2022-2023学年九年级数学中考复习《三角形综合压轴题》专题提升训练(附答案).pdf
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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习三角形综合压轴题专题提升训练(附答案)1【观察发现】如图 1,ABC 和CDE 都是等腰直角三角形,连接 BD 和 AE,BD、AE 相交于点 P,猜想线段 BD 与 AE 的数量关系,以及 BD 与 AE 相交构成角的度数,请说明理由【深入探究】如图 2,ABC 和CDE 都是等腰直角三角形,且ACBDCE90,连接 AD、BE,Q 为 AD 中点,连接 QC试探究线段 CQ 与 BE 的关系,并加以证明 2在ABC 中,AB20cm,BC16cm,点 D 为线段 AB 的中点,动点 P 以 2cm/s 的速度从 B 点出发在射线 BC 上运动(1)
2、若B60,求出发几秒后,BDP 为等边三角形?(2)若B60,求出发几秒后,BDP 为直角三角形?(3)若 ABAC,点 Q 与点 P 同时出发,其中点 Q 以 acm/s(a0 且 a2)的速度从 C点出发在线段 CA 上运动,当 a 为何值时,BPD 和CQP 全等?3(1)在ABC 中,ABAC5,BC6,则 SABC ;(2)如图 1,在ABC 中 ABAC5,BC8点 D 在边 AB 上且 BD1,求点 D 到AC 边的距离(3)如图 2,在ABC 中 ABAC5,BC8点 P 是 BC 边上一动点,将ABC 沿着过点 P 的直线翻折,使点 C 恰好落在 AB 边上,求 CP 的最小
3、值 4【教材呈现】:华师版八年上册 69 页例 4 如图,在ABC 中,D 是 BC 的中点,过点 C 画直线 CE,使 CEAB,交 AD 的延长线于点 E,求证:ADED请结合图写出完整的证明过程【应用】(1)如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,点 E 是 CD 的中点,射线 AE 与BC 的延长线交于点 F,连结 BE,若 SABE3,则 S四边形ABCD (2)如图,在ABC 中,D 是 BC 的中点,点 G 是 AD 的延长线上一点,BGAC,BAEFAC90,ABAE,AFAC,AD2,则 EF 5如图 1,在ABC 中,ABACBC20cm,动点 P 以每秒 1cm 的速度从
4、点 A 出发,沿线段 AB 向点 B 运动设点 P 的运动时间为 t(t0)秒 (知识储备:一个角是 60的等腰三角形是等边三角形直角三角形中 30角所对的边等于斜边的一半)(1)当 t10 时,求证:PAC 是直角三角形(2)如图 2,若另一动点 Q 在线段 CA 上以每秒 2cm 的速度由点 C 向点 A 运动,且与点P 同时出发,点 Q 到达终点 A 时点 P 也随之停止运动当PAQ 是直角三角形时,直接写出 t 的值(3)如图 3,若另一动点 Q 从点 C 出发,以每秒 1cm 的速度沿射线 BC 方向运动,且与点 P 同时出发当点 P 到达终点 B 时点 Q 也随之停止运动,连接 P
5、Q 交 AC 于点 D,过点 P 作 PEAC 于 E在运动过程中,线段 DE 的长度是否发生变化?为什么?6综合与实践 某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型,两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来,会形成一组全等的三角形,具有这个规律的图形称为“手拉手”图形(1)材料理解如图 1,在ABC 中,分别以 AB,AC 为边向外作等腰ABD 和等腰ACEABAD,ACAE,BADCAE,连接 BE,CD,试猜想 BE 与 CD 的大小关系,并说明理由;(2)深入探究如图 2,在ABC 中,AB6,BC4,ABC45,分别以 AB,AC为边向外作等腰直角ABD
6、 和等腰直角ACE,BADCAE90,连接 BE,CD,求 BE 的长;(3)延伸应用如图 3,在ABC 中,AB10,点 D 为平面内一点,连接 AD,BD,满足 AD6,BDBC,DBC60,DAC30,求 AC 的长 7(1)尝试探究:如图 1,ABC 是等边三角形,DAB90,ADAB,连接 CD、BD,求CDB 的度数(2)类比延伸:如图 2,ABC 是等边三角形,ADAB,连接 CD、BD,AE 平分DAC,交 BD 于 E,交 CD 于 F,求CDB 的度数(3)拓展迁移:在(2)的条件下,试猜想 AF,BE,DE 之间有怎样的数量关系?并给出证明 8已知:如图,ABC 为等边三
7、角形,AB6,点 D 是直线 BC 上一点,连接 AD,以 AD为边作等边ADE,连接 CE(1)如图 1,当点 D 在线段 BC 的中点时,CE ;(2)如图 2,当点 D 在 BC 的延长线上时,求证:ABDACE(3)在(2)的条件下探索 AC,CD,CE 三条线段的长度有何关系?并说明理由 9阅读下面材料:某学校数学兴趣活动小组在一次活动中,对一个数学问题作如下探究:在ABC 中,BAC90,ABAC,BBCA45,D 是 BC 的中点,(1)问题发现:如图 1,若点 E、F 分别在线段 AB、AC 上,且 AECF,连接 EF、DE、DF、AD,此时小明发现BAD ,AD DC(填“
8、、”)接下来小明和同学们继续探究,发现一个结论:线段EF与DE长的比值是一个固定值,即 EF DE(2)变式探究:如图 2,E、F 分别在线段 BA、AC 的延长线上,且 AECF,若 EF4,求 DE 的长并写出过程(3)拓展应用:如图 3,ABAC6,动点 M 在 AD 的延长线上,点 H 在直线 AC 上,且满足BMH90,CH2,请直接写出 DM 的长为 10如图,在ABC 中,ABAC5,BC6,动点 P 从点 C 出发,按 CABC 的路经运动(回到 C 点停止)且速度为每秒 3 个单位,设出发时间为 t 秒(1)求 BC 边上的高线 AE 的长与 AC 边上的高线 BD 的长(2
9、)当 CPAB 时,求 t 的值;(3)若ACP 是等腰三角形,直接写出所有满足条件的 t 的值 11如图,在平面直角坐标系中,点 C(3,0),点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,且满足(OB)2+0(1)求点 A、B 的坐标;(2)若点 P 在 y 轴上,从点 B 出发,沿射线 BO 运动,连接 CP(不包括 BC),是否存在点 P,使得以点 C、O、P 为顶点的三角形与AOB 相似?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 12对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 MN 及点 Q,给出如下定义:若点 Q 满足 QMQN,则称点 Q 为线段 MN 的“中垂点”;当 QM
10、QNMN 时,称点Q 线段 MN 的“完美中垂点”(1)如图 1,A(4,0),下列各点中,线段 OA 的中垂点是 Q1(0,4),Q2(2,4),Q3(1,)(2)如图 2,点 A 为 x 轴上一点,若 Q(2,2)为线段 OA 的“完美中垂点”,写出线段 OQ 的两个“完美中垂点”是 和 (3)如图 3,若点 A 为 x 轴正半轴上一点,点 Q 为线段 OA 的“完美中垂点”,点 P(0,m)在 y 轴正半轴上 请用尺规作图在线段 PA 上方做出线段 AP 的“完美中垂点”M;求 MQ(用含 m 的式子表示)及MQA 13阅读理解,自主探究:“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况
11、,即三个等角角度为 90,于是有三组边相互垂直所以称为“一线三垂直模型”当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形(1)问题解决:如图 1,在等腰直角ABC 中,ACB90,ACBC,过点 C 作直线 DE,ADDE 于 D,BEDE 于 E,求证:ADCCEB;(2)问题探究:如图 2,在等腰直角ABC 中,ACB90,ACBC,过点 C 作直线 CE,ADCE 于 D,BECE 于 E,AD2.5cm,DE1.7cm,求 BE 的长;(3)拓展延伸:如图 3,在平面直角坐标系中,A(1,0),C(1,3),ABC 为等腰直角三角形,ACB90,ACBC,求 B 点坐标.14如
12、果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形,那么这种分割叫做等腰分割,这条线段称为这个三角形的等腰分割线如图 1,当ABD 和ACD 为等腰三角形时,AD为ABC 的等腰分割线(1)如图 2,ABC 中,B2C,线段 AC 的垂直平分线 ED 交 AC 于点 D,交 BC于点 E求证:AE 是ABC 的一条等腰分割线(2)如图 3,在ABC 中,A120,B20,C40,请你用两种不同的方法完成ABC 的等腰分割,并在图中标注底角的度数(3)在ABC 中,AD 为ABC 的等腰分割线,且 ADBD,C30,请直接写出A 的度数 15小明在学习中遇到了如下的问题:如图 1,在ABC 中,AB6,
13、AC10,D 为 BC 边上的中点,求 AD 的取值范围【感知方法】:他思索了很久,但没有思路,老师提示他要添加适当的辅助线,如图 2,方法一:延长AD 至点 E,使得 DEAD,连接 CE;方法二:过点 C 作 CEAB,交 AD 的延长线于点E;添加辅助线后,小明恍然大悟,易得ABDECD,再利用三角形的三边关系可以解决问题(1)在老师的提示下,小明求得 AD 长度的范围是大于 且小于 ;【知识迁移】:(2)如图 3,已知ABC 和ADE 为两个等腰直角三角形,其中 ACAB,ADAE,CABDAE90,F 为 CD 中点请根据上述条件,回答以下问题 CAD+BAE 的度数为 试探究线段
14、AF 与 BE 的数量关系,并写出解答过程【结论应用】:(3)在(2)的条件下,若 AB17,AD10,BE21,四边形 BCDE 的面积为则点 D 到线段 AF 的距离为 (直接写出答案,不需要解答过程)(4)在(2)的条件下,若 AC4,AD3,CD2,求 BE 的长为 (直接写出答案,不需要解答过程)16【问题初探】如图(1),ABC 中,BAC90,ABAC,点 D 是 BC 上一点,连接 AD,以 AD为一边作ADE,使DAE90,ADAE,连接 BE,BE 与 CD 的数量关系 ,位置关系 【类比再探】如图(2),ABC 中,BAC90,ABAC,点 M 是 AB 上一点,点 D
15、是 BC 上一点,连接 MD,以 MD 为一边作MDE,使DME90,MDME,连接 BE,求EBD的度数【方法迁移】如图(3),RtABC 中,BAC90,ACB30,BC6,点 M 是 AB 中点点 D是BC上一点且BD1,连接MD,以MD为一边作MDE,使DME90,MD,连接 BE,求 BE 的长 17在 RtABC 中,ACBC,ACB90,P 为线段 AB 上一动点(1)如图 1,点 D、E 分别在 AC、BC 上(点 D 不与点 A 重合),若 P 运动到 AB 的中点,且 PDPE 求证:ADCE;若 AD7,BE1,求 PD 的长;(2)如图 2,点 F 在 BC 上,且 P
16、CPF,过点 F 作 FHAB,垂足为 H,若 AB10,在点 P 运动的过程中,线段 PH 的长度是否发生变化?若不变,请求出 PH 的长度;若变化,请说明理由 18在ABC 中,ABAC,BAC90(1)如图 1,点 E 为ABC 外一点,AECE,过 B 作 BFAE,垂足分别为 E、F 求证:EFBFCE(2)如图 2,点 D 是 BC 上一点,BABD,CEAD 于 E,求证:AD2CE(3)如图 3,点 D 为 BC 上一点,AECE,过点 A 作 AMAE,且 AMAE,连接 BM 若CE2,求 AG 的长度 19【问题】:如图 1,等腰直角三角形 ABC 中,ABAC4,BAC
17、90,AD 是ABC的角平分线,点 E 为 AD 上一点,EFCE 交 BA 延长线于点 F,连接 CF,探究 AE,AC,AF 之间的数量关系【分析】:小明在思考这道题时,先通过测量猜想出 CEEF,然后他想到了老师讲过的“手拉手”模型,便尝试着过点 E 作 AD 的垂线与 AC 相交于点 G(如图 2),通过证明EAFEGC,最终探究出 AE、AC、AF 之间的数量关系(1)请根据小明的思路,补全EAFEGC 的证明过程;(2)请直接写出 AE,AC,AF 之间的数量关系;【应用】(3)当 AF2 时,请直接写出 AE 的长为 ;【拓展】(4)若CF的中点为点M,当B,E,M三点共线时,请
18、直接写出AE的长为 20已知:在 RtABC 中,ACB90,BCAC,点 D 在直线 AB 上,连接 CD,在 CD的右侧作 CECD,CDCE(1)如图 1,点 D 在 AB 边上,线段 BE 和线段 AD 数量关系是 ,位置关系是 ;(2)如图 2,点 D 在 B 右侧,AD,BD,DE 之间的数量关系是 ,若 ACBC2,BD1求 DE 的长;(3)拓展延伸 如图 3,DCEDBE90,CDCE,BC,BE1,请求出线段 EC 的长 参考答案 1解:【观察发现】结论:AEBD,AEBD 理由:如图 1 中,设 AE 交 BD 于点 J CACB,CDCE,ACBDCE90,ACEBCD
19、,在ACE 和BCD 中,ACEBCD(SAS),BDCE,AECBDC,DPJEPJ,DJPPCE90,AEBD;【深入探究】结论:CQBE,CQBE 理由:如图 2 中,延长 CQ 到 R,使得 CQQR,连接 AR、DR,延长 QC 交 BE 于点 K ABC 和CDE 都是等腰直角三角形,ACBDCE90,ACBC,CECD,BCE+ACD180,AQDQ,CQQR,四边形 ACDR 是平行四边形,ARCDCE,ARCD,CAR+ACD180,BCECAR,CACB,ARCE,ACRBCE(SAS),CRBE,ACRCBE,CQBE,ACR+BCK90,CBE+BCK90,CKB90,
20、即 QKBE 2解:(1)B60,当 BDBP 时,BDP 为等边三角形,AB20cm,点 D 为线段 AB 的中点,BD10cm,BP10cm,动点 P 的运动时间为:5(秒),即出发 5 秒后,BDP 为等边三角形;(2)设运动时间为 x 秒,当BPD90时,B60,BDP30,2BPBD10cm,BP5cm,即 2x5,x2.5;当BDP90时,B60,BPD30,BP2BD20cm,即 2x20cm,x10;当 P 出发 2.5 秒或 10 秒后,BPD 为直角三角形;(3)设运动时间为 t 秒,ABAC,BC,AB20cm,D 是 AB 的中点,BD10cm,当 BDQC,BPCP
21、时,BDPCQP,BC16cm,BPCP8cm,BP2t,t4,CQat4a10,a,当 BDPC,BPCQ 时,BDPCPQ,CP162t10,t3,BP6,CQat3a6,a2,综上所述,当 a或 2 时,BPD 和CQP 全等 3解:(1)如图,过点 A 作 ADBC 于点 D,ABAC5,BC6,ADBC,BDCDBC3,AD4,SABCBCAD6412,故答案为:12;(2)如图 1,过点 A 作 AEBC 垂足为 E,连接 CD,过点 D 作 DFAC 交 CA 的延长线于点 F,ABAC5,AEBC,BC8,BEBC4,在 RtABE 中 AE3,SABCBCAE8312,BD1
22、,ADABBD4,SADC12,ACDF5DF,DF,即点 D 到 AC 边的距离为;(3)如图 2,设点 C 落在 AB 上的 D 点,过点 A 作 AEBC 于点 E,连接 AP,由翻折得 PCPD,所以当 PDAB 时 PD 最小,设 PCx,则 PDx,BP8x,SABPABPDBPAE,5x(8x)3,x3,PC 的最小值为 3 4【教材呈现】证明:CEAB,ABDECD,BADCED 在ABD 与ECD 中,ABDECD(AAS),ADED;【应用】解:(1)ADBC,DAEF,DFCE 点 E 为 DC 边的中点,DECE 在ADE 和FCE 中,ADEFCE(AAS),AEEF
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- 三角形综合压轴题 2022 2023 学年 九年级 数学 中考 复习 三角形 综合 压轴 专题 提升 训练 答案
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