2022-2023学年九年级数学中考复习《线段最值问题综合应用》解答题专题训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习线段最值问题综合应用解答题专题训练（附答案）1模型分析 问题：如图，点 A 为直线 l 外一定点，点 P 为直线 l 上一动点，试确定点 P 的位置，使AP 的值最小 解题思路：一找：过点 A 作直线 l 的垂线交直线 l 于点 P；二证：证明 AP 是点 A 到直线 l 的最短距离 请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程 2如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴为直线 x，直线 yx+2 经过点 B，C（1）求抛物线的表达式；（2）若点 M 为直线 BC

2、上一动点，连接 OM，当 OM 取得最小值时，求OCM 的面积 3如图，在矩形 ABCD 中，BAD 的平分线交 DC 于点 E，过点 B 作 BFAE 于点 F，且 BFAE（1）求证：ADEAFB；（2）如图，点 P 为 BF 上一动点，连接 AP，作PAQ45交 DC 于点 Q，连接 QF 求证：APAQ；若 AB2，求 FQ 的最小值 4如图，以 RtAOB 的直角顶点 O 为原点，两直角边所在的直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，已知 AO4，BO6，点 C 为线段 OB 上的一个动点，连接 AC（1）当 AC 平分OAB 时，求点 C 的坐标；（2）以 AC 为边在 AC

3、 右侧作等腰 RtACD，连接 BD 如图，若ACD 是以 AC 为底边的等腰直角三角形，求 BD 的最小值；若ACD 是以 AC 为直角边的等腰直角三角形，且ACD90，求 BD 的最小值 5模型分析 问题：如图，直线 AB，AC 相交于点 A，点 M 是平面内一点，点 P，点 N 分别是 AC，AB 上一动点，试确定点 P，N 的位置，使 MP+PN 的值最小 解题思路：一找：第一步：作点 M 关于 AC 的对称点 M；第二步：过点 M作 MNAB 于点 N，交 AC 于点 P；二证：证明 MP+PN 的最小值为 MN 请根据右侧的“解题思路”写出求 MP+PN 最小值的完整过程 6如图，

4、在矩形 ABCD 中，AB4，BC8，点 E 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 运动，同时点 F 从点 D 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动，设运动时间为 t 秒（1）若 S矩形ABCD8SAEF，求 t 的值；（2）若以 A，E，F 为顶点的三角形与ACD 相似，求 t 的值；（3）若点 P 为对角线 AC 上一个动点，在运动过程中，CF+FP 是否存在最小值，若存在，请求出 CF+FP 的最小值；若不存在，请说明理由 7如图，四边形 ABCD 为平行四边形，BC2AB4，A120，点 E，H 分别为 AB，BC 上的动点，连接 DE，EH，DH，在线段

5、DE 上找点 G，使CGE120，延长 CG交 AD 于点 F（1）求证：；（2）若EHD120，且 EHHD，求 CH 的长；（3）求 EH+DH 的最小值 8模型分析 问题：如图，点 A 为直线 l 上一定点，点 B 为直线 l 外一定点，点 P 为直线 l 上一动点，试确定点 P 的位置，使 kAP+BP（0k1）的值最小 解题思路：一找：找带有系数 k 的线段 AP；二构：在直线 l 下方构造以线段 AP 为斜边的直角三角形；在直线 l 上找一点 P，以定点 A 为顶点作角NAP，使 sinNAPk；过点 B 作 BEAN 于点 E，交直线 l 于点 P，构造 RtAPE；三转化：化折

6、为直，将 kAP 转化为 PE；四证：证明 kAP+BP 的最小值为 BE 的长 请根据“解题思路”写出求 kAP+BP 最小值的完整过程 9如图，已知抛物线 yx24x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C若点 Q 为线段 OC 上的动点，求 AQ+CQ 的最小值 10如图，点 A 是O 上一点，连接 OA，且 OA10，以点 A 为圆心，AO 长为半径画A，交 OA 延长线于点 B，交O 于点 C，D，连接 BC，BD，OC，OD（1）根据题意补全图形，并证明 BC 是O 的切线；（2）点 M 是 OB 上一点，点 N 是 BC 上一点，求 MC

7、+MN 的最小值；（3）点 P 是 OB 上一点，求 PC+PB 的最小值 11如图，在等腰 RtABC 中，ACB90，CACB，D 为 BC 上一点，连接 AD，将AD 绕点 A 逆时针旋转 90得线段 AE，连接 DE（1）如图，设 DE 与 AC 交于点，求证：；（2）如图，连接 BE 交 AC 于点 F，求证：AFDC+BD；（3）如图，若 AB4，tanDAC，O 为 DE 的中点，作射线 CO，在射线 CO上有一点 P，连接 EP 求 EP+PC 的最小值 12基本模型 问题：如图，定点 A，B 位于动点 P 所在直线 l 同侧试确定点 P 的位置，使 AP+BP 的值最小 解题

8、思路：一找：作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB，与直线 l 交于点 P；二证：验证当 A，P，B三点共线时，AP+BP 取得最小值 三计算 请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程 13模型演变 问题：如图，定点 A，B 位于动点 P 所在直线 l 同侧，在直线 l 上确定点 P 的位置，使|PAPB|的值最大 解题思路：一找：连接 AB 并延长，交直线 l 于点 P；二证：验证当 A，B，P 三点共线时，|PAPB|取得最大值 三计算 请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程 14模型演变 问题：如图，定点 A，B 位于动点 P 所在直线 l 的两侧，试确定点 P 的位置，

9、使 AP+BP的值最小 解题思路：一找：连接 AB 交直线 l 于点 P；二证：验证当 A，P，B 三点共线时，AP+BP 取得最小值 三计算 请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程 15模型演变 问题：如图，定点 A，B 位于动点 P 所在直线 l 的两侧，试确定点 P 的位置，使|PAPB|的值最大 解题思路：一找：作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB并延长，交直线于点 P；二证：验证当 A，B，P 三点共线时，|PAPB|取得最大值 三计算 请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程 16【问题提出】（1）如图，某牧马人要从 A 地前往 B 地，途中要到旁边一条笔直的河边

10、 l 喂马喝一次水，经测量 A 点到河边的距离 AC 为 300 米，B 点到河边的距离 BD 为 900 米，且点 C、D 间距离为 900 米，请计算该牧马人的最短路径长；【问题探究】（2）如图，在ABC 中，ABAC，BC6，AC 的中垂线分别交 AB，AC 的边于 E，F，ABC 的面积为 24，若点 D 是 BC 边的中点，点 M 是线段 EF 上的一动点，请求出CDM 周长的最小值；【问题解决】（3）如图所示，某工厂生产车间的平面示意图为四边形 ABCD，CD90，AD70m，CD60m，BC110m，在 AB 的中点处有一个出货口 M，在 BC 上有一个质检口 N，点 D 为货物

11、包装口为了使得该生产车间出货质检包装过程达到最高效率，现要求从出货口 M 到质检口 N 的距离 MN 与质检口到包装口 D 的距离 ND 之和最短（即 MN+ND 最短）请根据要求计算出 MN+ND 的最小值为多少？17如图，在菱形 ABCD 中，BD 为对角线，过点 A 作 AEBC 于点 E，交 BD 于点 F，其中 2BEBC，DF（1）求 EF 的长；（2）如图，点 G 为 CD 上一点，过点 G 作 GHAD 于点 H，交 BD 于点 M，在 AE上取点 N，使 AN2HM，连接 BN，CM，求证：BNCM；（3）如图，将ABD 沿射线 BD 的方向平移得到ABD，连接 AC，AD，

12、BC，求AC+AD 的最小值 18模型分析 问题：点 P 是AOB 内的一定点，点 M，N 分别为 OA，OB 上的动点，试确定点 M，N的位置，使PMN 的周长最小 解题思路：一找：分别作点 P 关于 OA，OB 的对称点 P，P“，连接 PP“，分别交 OA，OB 于点M，N；二证：验证当 P，M，N，P四点共线时，PMN 的周长最小 三计算 注：当三个点均为动点时，先假定一个点为定点，再将其特化为“一定两动“问题 请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程 19（1）如图，在等边ABC 中，BC4，点 P 是 BC 上一动点，点 P 关于直线 AB，AC的对称点分别为点 M，N，连接 M

13、N 当点 P 与点 B 重合时，线段 MN 的长是 ，当 AP 的长最小时，线段 MN 的长是 ；如图，PM，PN 分别交 AB，AC 于点 D，E当 PB1 时，求线段 MN 的长；（2）如图，在等腰ABC 中，BAC30，ABAC，点 P，Q，R 分别为边 BC，AB，AC 上（均不与端点重合）的动点，当PQR 的周长最小时，求PQR+PRQ 的度数 20如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为 AB 上的一个点，作射线 DE 交 CB 的延长线于点F，过点 C 作 CMDE 交 AD 于点 M，交 DE 于点 N，连接 AF（1）当点 E 为 AB 的中点时 求证：DECM；若点 G，H

14、 分别为 AC，DC 上一点，AB2，求MGH 周长的最小值；（2）如图，若点 P，Q 分别为 AF，BC 的中点，连接 PQ 交 DF 于点 O，求证：OQOF 21模型分析 问题：点 P，Q 是AOB 内部的两定点，点 M，N 分别是 OA，OB 上的动点，试确定点M，N 的位置，使四边形 PMNQ 的周长最小 解题思路：一找：作点 P 关于 OA 的对称点 P，点 Q 关于 OB 的对称点 Q，连接 PQ，分别交OA，OB 于点 M，N；二证：验证当 P，M，N，Q四点共线时，四边形 PQNM 的周长最小 三计算 请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程 22如图，在矩形 ABCD 中

15、，AB4，AD6，点 E 在 AB 上，且 AE1，点 F，G 分别为BC，DC 上的动点，连接 EC，FE，FG，点 M 为EBC 的外心（1）求点 M 到 AB 的距离；（2）若 EFFG，且 FC2BF，求 DG 的长；（3）连接 AG，求四边形 AEFG 周长的最小值 23（1）如图，在四边形 ABCE 中，E90，BBCE60，AB4，D 是边AB 的中点，连接 CA，若 CA 恰好平分BCE 求 EC 的长；若 P，Q 分别是边 BC，EC 上的动点（不与端点重合），试求 DP+PQ+AQ 的最小值；（2）如图，在四边形 MNPQ 中，MN4，MQ5，NQ90，M60，点 A，B，

16、C，D 分别在边 MQ，MN，NP，QP 上，若 AQ1，求四边形 ABCD 周长的最小值 24基本模型 问题：如图，点 A，B 为直线 l 同侧两定点，M，N 为直线 l 上的动点，且 MN 的长度为定值，试确定点 M，N 的位置，使 AM+MN+BN 的值最小 解题思路：一找：以 AM，MN 为邻边构造AMNA，作点 A关于直线 l 的对称点 A“，连接 A“B，交直线 l 于点 N，再确定点 M；二证：验证当 A“，N，B 三点共线时，AM+MN+BN 的值最小 三计算 请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程 25模型演变 问题：如图，直线 ab，定点 A，B 分别位于直线 a 的上

17、方和直线 b 的下方，M，N 分别为直线 a，b 上的动点，且 MNa，试确定点 M，N 的位置，使 AM+MN+BN 的值最小 解题思路：一找：以 AM，MN 为邻边构造AMNA，连接 AB；二证：验证当 A，N，B 三点共线时，AM+MN+BN 的值最小 三计算 请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程 26 如图，在矩形 ABCD 中，AB，BC1，将ABD 沿射线 DB 方向平移得到ABD，连接 BC，DC，求 BC+DC 的最小值 27如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC2，点 E，F 分别是 AB，CD 边上的点（不与点B，D 重合），且 EFAC，EF 与 AC 交于点 O

18、（1）请在OAOC；EFCECF；AFCE；AFAE 中选择一个条件 （填序号），使得四边形 AECF 为菱形，并加以证明（选择一个即可）；（2）求 EF 的值；（3）求 AF+EF+CE 的最小值 28如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 BC，CD 边上的动点（均不与正方形的顶点重合），且EAF45，连接 EF（1）求证EFBE+DF；（2）如图，点 P 是 EF 的中点，连接 AP，作点 E 关于直线 AB 的对称点 E，作点 F关于直线 AD 的对称点 F，连接 EF，求证：EF2AP；（3）如图，正方形 ABCD 是李叔叔家菜地示意图，其中 AB800 米，李叔叔计划在菜

19、地中开拓一条小路 EMMNNF，其中点 E 为 AB 的中点，点 F 为 CD 边上一点，且CF300 米，点 M，N 在线段 BC 上（点 M 在点 N 的左侧），且 MN100 米为了尽可能少的破坏植物，需要以最小长度来修建，请你帮李叔叔计算这条小路长度的最小值（结果保留整数，参考数据：1.41，1.73）参考答案 1解：如图所示：APl 于点 P，AP 是点 A 到直线 l 的最短距离 2解：（1）直线 yx+2 经过点 B，C，当 x0 时，y2，y0 时，x4，B（4，0），C（0，2），抛物线的对称轴为直线 x，解得，抛物线的表达式为 yx2+x+2；（2）当 OMBC 时，OM

20、有最小值，B（4，0），C（0，2），OB4，OC2，BC2，SOBCOCOB，OM，CM，SOCM 3（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，BADD90，AE 平分BAD，BAFDAE，BFAE，AFB90，BFABsinBAFAB，BFAE，AEAB，AFBD90，DAEBAF，ADEAFB（AAS），（2）证明：由（1）得：ADEAFB，ADAF，DAEPAQ45，DAEFAQPAQFAQ，DAQPAF，DAFP，ADQAFP（ASA，APAQ；如图，当 FQCD 时，FQ 最小，AEAB2，AFAB，EFAEAF2，FQEF（2）4解：（1）如图，过点 C 作 CHAB 于 H，AC

21、平分OAB，OCAO，CHAB，OCCH，AO4，BO6，AB2，SAOBAOOBAOOC+ABCH，244OC+2CH，CO，点 C（，0）；（2）如图，连接 OD，ADC 是等腰直角三角形，DACACD45，ADC90，AOCADC90，点 A，点 D，点 C，点 O 四点共圆，DACDOC45AODACD，OD 平分AOC，即点 D 在AOC 的平分线上运动，当 BDOD 时，BD 有最小值，DOBDBO45，ODDB，BO6，BD3，即 BD 的最小值为 3；如图，过点 D 作 DHx 轴于 H，DHC90ACDAOC，ACO+CAO90DCH+ACO，DCHCAO，又ACCD，AOC

22、CHD（AAS），ACCH4，OCDH，设 OCaDH，点 D（a+4，a），点 D 在直线 yx4 上运动，设直线 yx4 与 x 轴交于点 M，交 y 轴于点 N，点 N（0，4），点 M（4，0），OMON4，BM2，OMN45，当 BDMN 时，BD 有最小值，DMBDBM45，BDDM，BD 的最小值为 5解：如图，点 M 与点 M关于直线 AC 对称，PMPM，PM+PNPN+PMMN，MNAB，MP+PN 的最小值为 MN 6解：（1）由题意知，AEt，AF82t，S矩形ABCDABBC328SAEF，解得：t2，t 的值为 2；（2）四边形 ABCD 为矩形，DFAE90，以

23、A，E，F 为顶点的三角形与ACD 相似，当FEAACD 时，解得 t2；当EFAACD 时，解得 t，综上所述，当以 A，E，F 为顶点的三角形与ACD 相似时，t 的值为 2 或；（3）存在，作点 C 关于 AD 的对称点 C，过点 C作 CPAC 于点 P，交 AD 于点 F，连接 CF，点 C与点 C 关于 AD 对称，CDCD4，CFCF，CF+FPCF+FPCP，当且仅当 CPAC 时取等号，CPAC，CPC90，CCP+CCP90，DCA+CAD90，CCPCAD，tanCCPtanCAD，设 CPx，则 CP2x，在 RtCCP 中，CP2+CP2CC2，x2+（2x）282，

24、解得 x或 x（不合题意，舍去），CP2x，即 CF+FP 的最小值为 7（1）证明：四边形 ABCD 为平行四边形，BADC，B+A180，B60 EGC120FGDA，FDGEDA，FDGEDA，DF：DGDE：DA，CGD180EGC60ADC，GCDDCF，GDCDFC，DF：GDCD：CGCF：CD，DE：DACF：CD，即 DE：CFAD：CD（2）解：四边形 ABCD 为平行四边形，A120，B60，BCD120，CHD+HDC180BCD60 EHD120，EHB+DHC60，EHBHDC 如图，将 EB 绕点 E 逆时针旋转 60，交 BC 于点 M，则EMC120BCD，B

25、EM 为等边三角形，EMBM DHEH，DHCHEM（SAS），HCEMBM，DCHM BC2AB4，DCABMH2，BM+HC2，CH1；（3）解：如图，作点 D 关于 BC 的对称点 D，连接 DH，延长 BC 交 DD于点 N，过点 D作 DEAB 于点 E，交 BC 于点 H，点 D 与点 D关于 BC 对称，HDHD，DNDN，EH+DHEH+DHDE，当且仅当 D，H，E 三点共线，且 DEAB 时取等号，DEAB，B60，EHBNHD30 DCN180BCD60，DC2，DNDN，CN1，HD2DN2，HNND3，HCHNCN2，BHBCHC2，EHBH，DEDH+HE3，EH+

26、DH 的最小值为 3 8解：如图，在直线 l 上找一点 P，以定点 A 为顶点作NAP，使 sinNAPk，过点 B 作 BEAN 于点 E，交直线 l 于点 P，点 P 即为所求的位置，理由如下：BEAN，AEP90，sinNAPk，PEkAP，BEAN，点 B 到 AN 的最短线段为 BE，BEPE+BP，即 BEkAP+BP，此时，kAP+BP（0k1）的值最小 9解：在第二象限内作OCD30，CD 与 y 轴交于点 D，过点 Q 作 QPCD 于点 P，连接 AP，则ODC60，令 x0，得 yx24x+33，C（0，3），令 y0，得 yx24x+30，解得 x1 或 3，A（1，0

27、），B（3，0），OA1，OC3，ODOCtan30，AD+1，OCD30，PQ，AQ+CQAQ+PQAP，当 A、Q、P 三点依次在同一直线上，且 APCD 时，AQ+CQAQ+PQAP 的值最小，此时 APADsin60，AQ+CQ 的最小值为 10解：（1）BO 是A 的直径，C 点在圆上，OCB90，OC 是O 的半径，BC 是O 的切线；（2）由（1）得 BC 是O 的切线，同理可得 BD 是圆 O 的切线，BCBD，C 点与 D 点关于 OB 对称，过 D 作 DNBC 交于 N，交 BO 于 M，连接 AC，CM+ANAD+ANDN，DM+AN 的最小值为 DN，OA10，OB2

28、0，OC10，BC10，ACAB，ANBC，CN5，在 ROBC 中，101020CD，CD10，在 RtCDN 中，DN15，MC+MN 的最小值为 15；（3）过点 P 作 PGBD 交于 G，OC10，OB20，CBO30，OBD30，在 RtPBG 中，PGPB，PC+PBPC+PGCG，当 C、P、G 三点共线时，PC+PB 的值最小，最小值为 CG，CBG60，BC10，CG15，PC+PB 的最小值为 15 11（1）证明：如解图，过点 E 作 EQAC 于点 Q，则EQA90，QAE+AEQ90，DAEDAC+CAE90，DACAEQ，ADAE，DCAAQE，DACAEQ（AA

29、S），ACEQ，ACBC，EQBC，EQCACB90，EQBC，DCIEQI，；（2）证明：如解图，延长 BC 至点 C，使 CGBC，连接 AG，EG，延长 BA，GE 交于点 H，CACBCG，ACB90，ABG 为等腰直角三角形，ABAG，又BAGDAE90，BADGAE，ADAE，ABDAGE（SAS），AGEABC45，BGE90，HGBG，HGAC，AF 为BEH 的中位线，EH2AF，ABDAGE，BDGE，BGE90，ABC45，BGH 为等腰直角三角形，BGCH，EHDG，2AFEHDGBGBD2BCBD2（BD+DC）BD2DC+BD，AFDC+BD；（3）解：如解图，延长

30、 BC 至点 G，使 CGBC，连接 EG，AO，点 O 为 DE 的中点，ADE 为等腰直角三角形，AOD 是等腰直角三角形，BACDAO，BADCAO，ABDACO，ACO45，COAB，设射线 CO 交 GE 的延长线于点 M，在 CO 上方作射线 CK 交 GE 的延长线于点 K，使 tanMCK，过点 E 作 ERCK 于点 R，交射线 CO 于点 P，过点 P 作 PRCK 于点 R，tanMCK，PCPR，即 PRPC，EP+PCEP+PRER，则当点 P 与点 P重合时，EP+PC 取得最小值，连接 AM，交 CK 于点 N，由（2）可得四边形 ACGM 为正方形，在正方形 A

31、CGM 中，AM4，ME2，在CMN 中，tanMCN，CMAM4，过点 N 作 NQCM 于点 Q，设 NQQMx，则 MNx，CQ2x，CQ+MQMC，2x+x4，解得 x，MN，AN，ACKE，CANKMN，KM8，KE10，在 RtACN 中，NC，EP+PC 的最小值为 12解：如图，点 B 与点 B关于直线 l 对称，PBPB，PA+PBPA+PBAB，此时 PA+PB 的值最小 13证明：如图，P为 l 上异于 P 的一点，连接 PA、PB，在ABP中，由三角形的三边关系得：|PAPB|AB，PAPBAB，|PAPB|PAPB|，当 A、B、P 三点共线时，|PAPB|的值最大

32、14解：图形如图所示：理由：在直线 l 上任意取一点 P，连接 PA，PB PA+PBAB，ABPA+PB，PA+PBPA+PB，AP+PB 的值最小 15解：如图，在直线 L 上任意取一点 P，连接 PB，|PAPB|AB，当 A，B，P共线时，|PAPB|的值最大，最大值为 AB的长 16解：（1）如图中，作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 BA交直线 l 于点 P，连接PA，此时 PA+PB 的值最小，最小值为线段 BA的长 过点 B 作 BTAA交 AA 的延长线于点 T 在 RtABT 中，BTCD900 米AT1200 米，BA1500（米），该牧马人的最短路径长为 150

33、0 米；（2）如图中，连接 AD，AM ABAC，AD 是中线，ADBC，BDCD3，SABCBCAD24，BC6，AD8，EF 垂直平分线段 AC，MAMC，MD+MCAM+MDAD8，MD+MC 的最小值为 8，CDM 的周长的最小值为 11；（3）如图中，延长 DC 到 R，使得 CRDC，连接 MR，过点 M 作 MQCD 于点 Q BCDR，CDCR，NDNR，MN+NDMN+NRMR，AMBM，ADMQBC，DQCQ30m，MQ（AD+BC）90（m），MR90（m），MN+DN90，MN+ND 的最小值为 90m 17（1）解：如图，连接 AC，四边形 ABCD 是菱形，ABCB

34、ADCD，ACBD，ADBC，DAFBEF90，AEBC，2BEBC，DF，BECEBC，ABACCBADCD，ABC 和ADC 都是等边三角形，ABCADCBAC60，EBFABC30，ADFADC30，BCADDFcos301，BE1，EFBEtan30，EF 的长是（2）证明：如图，GHAD，HDM30，DHM90，DM2HM，AN2HM，ANDM，BANBAC30，CDMADC30，BANCDM，ABNDCM（SAS），BNCM（3）如图，连接 AC 交 BD 于点 O，作直线 AA，由平移得 AABD；作点 D 关于 AA的对称点 G，连接 CG 交 AA于点 H、交 AD 于点 L

35、，连接 DG 交 AA于点 R，连接 DH，AA垂直平分 DG，ARD90，OARAOBAOD90，四边形 AODR 是矩形，DROA，DG2DR，DCAC2OA，DGDC1，LDGLDCDAC60，DLCG，CLGL，DLC90，CLCDsin601，CG2CL2，AGAD，AC+ADAC+AG，AC+AGCG，当点 A与点 H 重合时，AC+AGCG，此时 AC+AG 的值最小，AC+AD 的最小值为 18解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P、P，连接 PP，交 OA 于 M，交 OB于 N，根据轴对称的性质可得 MPPM，PNPN，PMN 的周长的最小值PP 19解：（1）如

36、图1 中，当点 P 与 B 重合时，设 PN 交 AC 于点 T P，N 关于 AC 对称，PNAC，ABC 是等边三角形，ABBCAC4，ATCT2，BTTN2，MN4，如图2 中，连接 AM，AN 当 APBC 时，AP2，P，M 关于 AB 对称，P，N 关于 AC 对称，AMAPAN，BAPBAM，PACNAC，MAN2BAC120，MNAMAP6，故答案为：4，6；如图中，连接 AM，AN作 AHBC 于点 H ABACBC4，AHCB，BHCH2，PB1，PH1，AP P，M 关于 AB 对称，P，N 关于 AC 对称，PMPMPA，MAN120，MNAM；（2）作点 P 关于 A

37、B 的对称点 P，作 P 关于 AC 的对称点 P，连接 PP，分别交 AB、AC 于点 Q、R，连接 AP、AP 则 PQPQ，PRPR，APAPAP，PAQPAQ，PARPAR，PQR 周长PQ+QR+PRPQ+QR+PRPP，PAPPAQ+PAQ+PAR+PAR2BAC23060，APP为等边三角形，PPAPAPAP，当 APBC 时，AP 最短，即为PQR 周长的最小值，此时PAPQ60，PAPR60，QPR120，PQR+PRQ60 20（1）证明：CMDE，CND90，NCD+NDC90，四边形 ABCD 为正方形，BADADC90，ADDC，ADE+NDC90，ADEDCM，AD

38、EDCM（ASA），DECM；解：由（1）得，ADEDCM，DMAE 点 E 为 AB 的中点，DMAE1/2AB，即点 M 为 AD 的中点，点 M 与点 E 关于 AC 对称，如图，作点 M 关于 DC 的对称点 M，连接 EM交 AC 于点 G，交 DC 于点 H，连接MG，MH MGN 的周长MG+MH+GHEG+HM+GHEM，当且仅当 E，G，H，M四点共线时取等号，MGH 周长的最小值为 EM的长 AB2，DMDMAE1，AM3，EM，MGH 周长的最小值为；（2）证明：如图，过点 P 作 PTAD 交 DF 于点 T，连接 PB，TQ，点 P 为 AF 的中点，PTAD ADB

39、C，ADBC，点 Q 为 BC 的中点，PTBQ，PTBCBQ，四边形 PTQB 为平行四边形，TQPB，TQPB 在 RtABF 中，点 P 为 AF 的中点，PBAFPF，TQPF，PFBPBFTQF 在PFQ 和TQF 中，PFQTQF（SAS），PQFTFQ，OQOF 21解：如图，分别作点 P，Q 关于 OA、OB 的对称点 P、Q，连接 PQ，交 OA于 M，交 OB 于 N，根据轴对称的性质可得 MPPM，QNQN，四边形 PQNM 周长的最小值PQ 22解：（1）这 MNAB 于 N，点 M 为EBC 的外心，EMMC，MNBC，ENBN，MNBC3；（2）EFFG，GFC+E

40、FBBEF+EFB90，GFCBEF，EBFFCG，EBFFCG，BF：CGEB：FC，2：CG3：4，CG；（3）作 A 关于 DC 的对称点 Q，连接 CQ，作 E 关于 BC 的对称点 P，连接 PF，连接 PQ，当点 P，F，G，Q 共线时，四边形 AEFG 的周长最小，PQ2PA2+QA2，PQ272+122，PQ，四边形 AEFG 的周长最小值为：+1 23解：（1）如图中，AC 平分BCE，ACBACEBCE30，B60，BAC90，ACAB4，E90，ECACcos3046；如图中，作点 D 关于 BC 的对称点 D，作点 A 关于 EC 的对称点 A，连接 AD交 BC 于点

41、 P，交 EC 于点 Q，连接 DP，AQ，此时 DP+PQ+AQ 的值最小，最小值为 AD的长，连接 AC，过点 D作 DTAC 于点 T设 DD交 BC 于点 J A，A关于 EC 的长，ECAECA30，BCE60，ACBBCT90，TDJC90，四边形 CJDT 是矩形，BDAD2，DJB90，B60，BJ1，DJJD，BC2AB8，CJTD7，CAAC4，CTJD，AT5，AD2，DP+PQ+AQ 的最小值为 2；（3）如图中，作点 A 关于 PQ 的对称点 E，点 A 关于 MN 的对称点 F，点 B 关于 PN的对称点 G，点 F 关于 PN 的对称点 H，连接 BF，CG，DE

42、，GH，EH，过点 E 作 ETFH 于 T 交 MN 于 K，设 AF 交 MN 于 J 由对称性可知，DADE，CBCG，ABBF，BFGH，AD+CD+CB+ABDE+CD+CB+BFED+CD+CG+GHEH，在 RtAMJ 中，AJM90，AMMQAQ514，M60，MJAMcos602，AJJFKT2，JNMNMJ422，FH2JN4，在 RtEMK 中，EKEMsin603，BMEMcos603，TEEK+KT5，JKFTMKMJ1，THFHFT413，EH2，当 E，D，C，G，H 共线时，AD+CD+CB+BA 的值最小，最小值为 2 24解：如图，四边形 AMNA为平行四边

43、形，AAMN，AMAN，点 A与点 A关于直线 l 对称，NANA，AM+BNAN+NBBA，此时 AM+BN 的值最小，AM+MN+BN 的值最小 25解：图形如图所示：理由：在直线 a 上任意取一点 M，作 MNb 于点 N，连接 AMBN，AN 四边形 AANM 是平行四边形，AAMN，MNMN，AAMN，AAMN，四边形 AANM是平行四边形，AMAN，AM+MN+BNAN+NN+MNAB+MNAM+MN+BN，AM+MN+BN 的值最小 26解：四边形 ABCD 是矩形，ADBC1，A90，BD，将ABD 沿射线 DB 平移得到ABD，BDBD2，作点 C 关于 BD 的对称点 G，

44、连接 CG 交 BD 于 E，连接 DG，则 CDGDCEBD，CG2CE，CE CG，以 BD，GD为邻边作平行四边形 BDGH，则 BHDGCD，当 C，B，H 在同一条直线上时，CB+BH 最短，则 BC+DC 的最小值CH，四边形 BDGH 是平行四边形，HGBD2，HGBD，HGCG，CH BC+DC 的最小值为：27解：（1）都满足条件 当 OAOC 时，四边形 ABCD 是矩形，ABCD，FCOEAO，在FCO 和EAO 中，FCOEAO（ASA），CFAE，CFAE，四边形 AFCE 是平行四边形，EFAC，四边形 AFCE 是菱形；当 AFEC 时，CFAE，四边形 AFCE

45、 是平行四边形，EFAC，四边形 AFCE 是菱形；当 AEAE 时，ACEF，OFOE，同法可证FCOEAO，CFAE，CFAE，四边形 AFCE 是平行四边形，EFAC，四边形 AFCE 是菱形；故答案为：；（2）如图，过点 F 作 FHAB 于点 H 四边形 ABCD 是矩形，DDAB90，ABCD4，ADBC2，AC2，FHAB，ACEF，DFHEAOEDAH90，四边形 ADFH 是矩形，FHAD2，DAC+CAB90，CAB+FEH90，DACFEH，CDAFHE，EF；（3）设 DFx 在 RtEFH 中，EH1，四边形 ADFH 是矩形，AHDFx，EB4x13x，AF+EC+

46、，欲求 AE+EC 的最小值，相当于在 x 轴上找一点 M（x，0），使得点 M 到，P（0，2），Q（3，2）的距离和最小，如图 1 中，作点 P 关于 x 轴的对称点 P，连接 QP交 x 轴于点 M，连接 PM，此时 PM+MQ 的值最小，最小值QP的长，P（0，2），Q（3，2），QP5，AF+EC 的最小值为 5，AF+EF+CE 的最小值为 5+28（1）证明：如图中，延长 CB 至 K，使得 BKDF，连接 AK，则ABKADF，AKAF，BAKDAF，EAKEAB+BAKEAB+DAF90EAF45，EAKEAF，在EAK 和EAF 中，EAKEAF（SAS），EFEKBK+B

47、EDF+BE；（2）证明：如图中，延长 AP 至 T，使得 PTAP，连接 AE，AF，ET，由题可得，点 E 关于直线 AB 的对称点为 E，点 F 关于直线 AD 的对称点为 F，B 为 EE的中点，D 为 FF的中点，又四边形 ABCD 为正方形，ABEADF90，AB 为 EE的中垂线，AD 为 FF的中垂线，AEAE，AFAF，点 P 是 EF 的中点，PEPF，又EPTFPA，APTP，PETPFA（SAS），ETAF，PETPFA，ETAF，且AETAEP+PETAEP+AFP180EAF，AEAE，ABAB，ABEABE90，RtABERtABE（HL），BAEBAE，同理可得

48、FADFAD，EAFBAE+DAF+BADBAE+DAF+BAD（BADEAF）+BAD180EAF，AETEAF，又AEAE，AFET，EAFAET（SAS），EFAT2AP；（3）解：如图中，作 ETBC，使得 ETMN100 米，延长 ET 交 CD 于点 H，作点F 关于 BC 的对称点 F，连接 TF交 BC 于点 N，此时 EM+MN+NF 的值最小 四边形 ABCD 是正方形，ABCDBCAD800 米，ADBC，AEEB，DHHC400 米，EHAD800 米，CFCF300 米，ETMN100 米，TH700 米，HF700 米，TF700987（米），EM+MN+NFTN+ET+NFET+TF1087 米，EM+MN+NF 的最小值为 1087 米