2022-2023学年苏科版九年级数学下册《6-7用相似三角形解决问题》同步达标测试题(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年苏科版九年级数学下册6.7 用相似三角形解决问题 同步达标测试题（附答案）一选择题（共 8 小题，满分 32 分）1如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在 C、D 的位置时，乙的影子 DA 恰好与甲影子 CA 在同一条直线上，已知甲身高 1.8 米，乙身高 1.5 米，甲的影长是 6 米，则甲、乙两同学相距（）米 A1 B2 C3 D5 2如图，有一块直角三角形余料 ABC，BAC90，D 是 AC 的中点，现从中切出一条矩形纸条 DEFG，其中 E，F 在 BC 上，点 G 在 AB 上，若 BF4.5cm，CE2cm，则纸条 GD 的长为（）A3 cm B2cm

2、 Ccm Dcm 3为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8 米的点 E 处，然后沿着直线 BE 后退到点 D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点 A，再用皮尺量得 DE2 米，观察者目高 CD1.5 米，则树（AB）的高度为（）A12 米 B米 C6 米 D5.2 米 4如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚 AC 和 BD 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度 3 的地方（即同时使 OA3OC，OB3O

3、D），然后张开两脚，使 A，B 两个尖端分别在线段 a的两个端点上，当 CD1.8cm 时，则 AB 的长为（）A7.2 cm B5.4 cm C3.6 cm D0.6 cm 5如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像 CD的长是（）A B C D1cm 6为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点 A，再在河的这一边选点 B 和点 C，使得 ABBC，设 BC 与 AE 交于点 D，如图所示测得 BD120m，DC40m，EC30m，那么这条河的大致宽度是（）A90m B60m C100m D120m 7如图，在某一时刻测得 1 米长的竹竿竖

4、直放置时影长 1.2 米，在同一时刻旗杆 AB 的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为 BD9.6 米，留在墙上的影长 CD2 米，则旗杆的高度（）A9 米 B9.6 米 C10 米 D10.2 米 8在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为 3、4、5 的三角形按图 1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 1，则新三角形与原三角形相似 乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图 2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1，则新矩形与原矩形相似 对于两人的观点，下列说法正确的是（）A甲对，乙不对 B甲不对，乙对 C两人都对

5、D两人都不对 二填空题（共 8 小题，满分 32 分）9如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC 上，AB 的长为 10 毫米，AC 被分为 60 等份，如果小管口中 DE 正好对着量具上 20 份处（DEAB），那么小管口径 DE 的长是 毫米 10我国古代数学著作九章算术中有“井深几何”问题如下；“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的题意可以由如图所示获得，井深 BC 为 尺 11如图所示，两根竖直的电线杆 AB 长为 6，CD 长为 3，AD 交 BC 于点 E，则点 E 到地面的距离 EF 的长是 12如图，阳光通过窗口 AB 照到室内，在地面

6、上留下一个亮区 ED，已知亮区一边到窗下的墙脚距离 CE2.7m，窗高 AB0.8m，窗口底边离地面的高度 BC1m，则亮区宽度ED m 13如图，小卓利用标杆 EF 测量旗杆 AB 的高度，测得小卓的身高 CD1.8 米，标杆 EF2.4 米，DF1 米，BF11 米，则旗杆 AB 的高度是 米 14如图，小明在 B 时测得直立于地面的某树的影长为 12 米，A 时又测得该树的影长为 3米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米 15现有不等臂跷跷板 AB，当 AB 的一端点 A 碰到地面时（如图（1），另一端点 B 到地面距离为 3 米；当 AB 的另一端点 B 碰到地面时（如图（2）

7、，端点 A 到地面距离为 2 米，那么跷晓板 AB 的支撑点 O 到地面的距离 OH 米 16如图 1AB 为路灯主杆，BC 为路灯的悬臂AB4.6mBC0.5mMN 为足够长的标杆，标杆垂直地面且挂有若干个灯笼，已知 BCAB 于点 B，AM4.5m，高度为 1.6m的小艺同学沿地面 AM 行走并看路灯 C，GD2m，绘制示意图（如图 2），G，D，H 三点共线、GHAM，CDE90且DFHEDH，连结 CH 能满足CDH 与点 D、E、F 为顶点的三角形相似，此时所看到的灯笼 F 与 H 点的距离为 m 三解答题（共 8 小题，满分 56 分）17如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形

8、硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行并使直角边 DE 与旗杆顶点 A在同一直线上，已知 DE0.5 米，EF0.25 米，且测点 D 到地面的距离 DG1.5 米，到旗杆的水平距离 DC25 米，求旗杆 AB 的高度 18 将一盒足量的牛奶按如图 1 所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点 P 时停止倒入图 2 是它的平面示意图，AP6cm，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度 19淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆高度（1）如图 1 所示，淇淇将镜子放在地面上，然后后退直到她站直身子刚

9、好能从镜子里看到旗杆的顶端 E，测得脚掌中心位置 B 到镜面中心 C 的距离是 50cm，镜面中心 C 距离旗杆底部 D 的距离为 4m，已知淇淇同学的身高是 1.54m，眼睛位置 A 距离淇淇头顶的距离是 4cm，求旗杆 DE 的高度（2）如图 2 所示，嘉嘉在某一时刻测得 1 米长的竹竿竖直放置时影长 2 米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为 10 米，落在斜坡上的影长为米，DCE45，求旗杆AB 的高度？20如图，已知正方形 ABCD 中，BE 平分DBC 且交 CD 边于点 E，将BCE 绕点 C 顺时针

10、旋转到DCF 的位置，并延长 BE 交 DF 于点 G（1）求证：BDGDEG；（2）求证：DGGF；（3）若 EGBG4，求 BE 的长 21如图所示，AD、BC 为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在 P 处，小亮站在 Q 处，小明在路灯 BC 下的影长为 2m，已知小明身高1.8m，路灯 BC 高 9m小明在路灯 BC 下的影子顶部恰好位于路灯 DA 的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方 计算小亮在路灯 AD 下的影长；计算 AD 的高 22如图，王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时，测得影子 CD 的长为 1 米，继

11、续往前走 3 米到达 E 处时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米（1）求路灯 A 的高度；（2）当王华再向前走 2 米，到达 F 处时，他的影长是多少？23问题提出 在判定两个三角形全等时，除根据一般三角形全等判定定理外，还有“HL”方法类似的，我们对直角三角形相似的条件进行探索（1）提出猜想 除根据一般三角形相似判定的条件外，请你提出类似于“HL”的判定直角三角形相似的方法，并用文字描述为：（2）初步思考 其中，我们不妨将问题用符号语言表示为：如图，在 RtABC 和 RtDEF 中，CF90，若 ，则ABCDEF，请给予证明（3）深入研究 若图中的CF90，其他

12、条件不变，两个三角形是否相似？试利用以上探究的结论解决问题，若相似请证明，若不相似，请画出反例 24 课本中有一道作业题：有一块三角形余斜 ABC，它的边 BC120mm，高 AD80mm 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC上（1）加工成的正方形零件的边长是多少 mm？【探索发现】（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图，问这个矩形的最大面积是多少？如果 BCa，高 ADh，则矩形 PQMN 面积的最大值为 （用含 a，h 的代数式表示）【实际应用】（3）现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量 AB60cm，BC100cm，CD70c

13、m，且BC60，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M、N 在边 BC 上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积 参考答案 一选择题（共 8 小题，满分 32 分）1解：设两个同学相距 x 米，ADEACB，解得：x1 故选：A 2解：依题意得：AGDABC，即，解得 GD（cm）故选：C 3解：根据题意，易得CDEABE90，CEDAEB，则ABECDE，则，即，解得：AB6 米 故选：C 4解：OA3OC，OB3OD，OA：OCOB：OD3：1，AOBDOC，AOBCOD，AB3CD31.85.4（cm）故选：B 5解：如图过 O 作直线 OEAB，交 CD 于 F，依题意 ABCD O

14、FCD OE12，OF2 而 ABCD 可以得AOBCOD OE，OF 分别是它们的高，AB6，CD1，故选：D 6解：ABBC，CDBC，ABDECD，AB：CEBD：CD，即 AB：30120：40，AB90，即这条河的大致宽度是 90m 故选：A 7解：作 CEAB 于 E 点，如图，则四边形 BDCE 为矩形，BDCE9.6，BECD2，根据题意得，即，解得 AE8，所以 ABAE+BE8+210（m）答：旗杆的高度为 10m 故选：C 8解：甲：根据题意得：ABAB，ACAC，BCBC，AA，BB，ABCABC，甲说法正确；乙：根据题意得：ABCD3，ADBC5，则 ABCD3+25

15、，ADBC5+27，新矩形与原矩形不相似 乙说法不正确 故选：A 二填空题（共 8 小题，满分 32 分）9解：DEAB CDECAB CD：CADE：AB 20：60DE：10 DE毫米 小管口径 DE 的长是毫米 故答案为：10解：依题意有ABFADC，AB：ACBF：DC，即 5：AC0.4：5，解得 AC62.5，BCACAB62.5557.5 尺 故答案为：57.5 11解：ABDC，ABEDCE，2，ABDC，BEFBCD，则设 ECx，故 BE2x，解得：EF2 故答案为：2 12解：根据题意，易得DCBACE，又因为 AB0.8 米，CE2.7 米，BC1 米，所以，解得 ED

16、1.2 米 故答案为：1.2 13解：CG 的延长线交 AB 于 H，如图，易得 GFBHCD1.8m，CGDF1m，GHBF11m，EGEFGF2.4m1.8m0.6m，EGAH，CGECHA，即，AH7.2，ABAH+BH7.2+1.89（m），即旗杆 AB 的高度是 9m 故答案为：9 14解：根据题意，作DFC，则树高为 CE，DCF90，ED3 米，FE12 米，DCF90，DECFEC90，D+FD+DCE，DCEF，RtDECRtCEF，即 EC2EDEF，EC231236，EC6，答：树的高度为 6 米 故答案为：6 15解：如图所示：过点 B 作 BNAH 于点 N，AMBH

17、 于点 M，HOBN，AOHABN，即，同理可得：BOHBAM，即，+，得，OH1.2（米），故答案为：1.2 16解：过 C 作 CNGH 于点 N，CNBGABAG4.61.63（m），BCGN0.5m，GHAM4.5m，NHGHGN4（m），DNDGGN1.5（m），DHNHND41.52.5（m），CDE90，CDN+EDH90，CDN+DCN90，DCNEDH，DFHEDH，DCNDFH，CNDFHD90，CDNFDH，即，FH5（m）故答案为：5 三解答题（共 8 小题，满分 56 分）17解：ADCFDE，ACDFED90，ACDFED，即，解得 AC12.5，ABBG，DGBG

18、，DCAB，ABGBGDDCB90，四边形 BGDC 是矩形，BCDG1.5，ABAC+BC12.5+1.514 米 答：旗杆 AB 的高度是 14 米 18解：过点 P 作 PNAB 于点 N，由题意可得：AP6cm，AB10cm，则 BP8cm，NPABAPBP，NP4.8（cm），124.87.2（cm）答：容器中牛奶的高度为：7.2cm 19解：（1）由题意可得：AB1.5m，BC0.5m，DC4m，ABCEDC，则，即，解得：DE12，答：DE 的长为 12 米（2）延长 AD 交 BC 的延长线于点 F，过点 D 作 DEBC 于点 E，CD2米，DCE45，DECE2，同一时刻物

19、高与影长成正比，解得 EF2DE4，BF10+2+416，DEBC，ABBC，EDFBAF，即 AB8 米 答：旗杆的高度约为 8 米 20解：（1）证明：由旋转可知：BCEDCF，FDCEBC BE 平分DBC，DBEEBC，FDCDBE，DGEDGB，BDGDEG（2）解：EBCGDE，BECDEG，DGEBCE90 DGBFGB90，DBGFBG，BGBG，DBGFBG（ASA）DGGF；（3）由（1）可知：BDGDEG，即 DG2BGEG4，DG2，DGGF，DF2DG4，由旋转可知：BCEDCF，BEDF2DG4 21解：EPAB，CBAB，EPACBA90 EAPCAB，EAPCA

20、B AB10 BQ1026.51.5；FQAB，DAAB，FQBDAB90 FBQDBA，BFQBDA DA12 22解：（1）设 BCx 米，ABy 米，由题意得，CD1 米，CE3 米，EF2 米，身高 MCNE1.5 米，ABDMCD，ABFNEF，解得，经检验，是分式方程的根，路灯 A 的高度为 6 米（2）如图，连接 AG 交 BF 延长线于点 H，ABHGFH，GF1.5 米，BH3+3+2+FH8+FH，解得（米）答：当王华再向前走 2 米，到达 F 处时，他的影长是米 23解：（1）斜边和一条直角边对应成比例的两直角三角形相似，故答案为：斜边和一条直角边对应成比例的两直角三角形

21、相似；（2）在 RtABC 和 RtDEF 中，CF90，若，则ABCDEF 理由：在 BA 上取一点 A使 BADE，过点 A作 ACAC 交 BC 于 C，ACBC90F，ACBACB，BADE，ACDF 在 RtACB 和 RtDFE 中，RtACBRtDFE（HL），ACBACB，DFEACB；故答案为若；（3）成立，如图 2，过点 A 作 AGBC 交 BC 的延长线于 G，过点 D 作 DHEF 交 EF 的延长线于 H，GH90，ACBDFE，ACGDFH，AGCDHF，BACFDH，用（2）的结论得，ABGDEH，BE，BAGEDH，BACEDF，BE，ABCDEF 24解：（

22、1）如图 1，设正方形的边长为 xmm，则 PNPQEDx，AEADED80 x，PNBC，APNABC，即，解得 x48 加工成的正方形零件的边长是 48mm；（2）设 PNx，矩形 PQMN 的面积为 S，由条件可得APNABC，即，解得：PQhx 则 SPNPQx（hx）x2+hx，故 S 的最大值为；故答案为：；（3）如图 2，延长 BA、CD 交于点 E，过点 E 作 EHBC 于点 H，BC，EBEC，BC100cm，且 EHBC，BHCHBC50cm，tanB，EHBH5050cm，由（2）知，矩形 PQMN 的最大面积为BCEH1250cm2，答：该矩形的面积为 1250cm2