湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学含解析.pdf

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1、2020-2021 学年湖北省武汉市华中师大一附中高一下学期期末 数学试卷 一、单选题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1下列命题正确的是（）A三点确定一个平面 B一条直线和一个点确定一个平面 C两条不平行的直线确定一个平面 D梯形可确定一个平面 2已知向量，且，则 m（）A8 B2 C2 D8 3某同学对他进入高中以来的数学测验的成绩进行了统计，得到如图所示的茎叶图其中的“茎”指竖线左边的一列数，它表示个数的高位，本茎叶图中的“茎”表示一个三位数的百位、十位数；“叶”指竖线右边的从“茎”旁边生出来的数，它表示一个数的低位，本茎

2、叶图中的“1”表示相应三位数的个位数如第二行：竖线左边为“12”，竖线右边第 5 个数为“7”，这两个数字结合起来就是该同学某次数学测验的成绩“127”则这组成绩的中位数、众数、极差分别是（）A130，122，36 B131.5，122，36 C131，136，29 D131.5，122，29 4在三棱锥 DABC 中，ACBC，ACBC2，AD平面 ABC，AD1，E 是线段 AC 的中点，则异面直线 AB 和 DE 所成的角等于（）A135 B120 C60 D45 5用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶

3、角，叫做圆锥的顶角已知过圆锥 SO 的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥 SO 的轴截面，则圆锥 SO 的顶角的取值范围是（）A（0，）B C D 6在ABC 巾，角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，ABC 的面积为，则（）Aa2bcsinA B C的最大值为 D的最大值 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.7已知复数和 都是实数，若 z1z2，则 m 8已知直线 ya（常数 a0）与曲线的图象有无穷多个公共点，其中有 3 个相邻的公共点自左至右分别为 A，B，C，则点 A 与点 C 的距离 9在三棱锥 SABC 中，作 SO平面

4、ABC，垂足为 O给出下列命题：若三条侧棱 SA，SB，SC 与底面 ABC 所成的角相等，则 O 是ABC 的外心；若三个侧面 SAB，SBC，SCA 与底面 ABC 所成的二面角相等，则 O 是ABC 的内心；若三组对棱 SA 与 BC，SB 与 CA，SC 与 AB 中有两组互相垂直，则 O 是ABC 的垂心 则其中真命题的序号是 10如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADCD，ABD 是边长为 2 的正三角形，P 是平面 ABCD内的动点，设，则+的取值范围是 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 11设 z，C，且|z|+（1）求

5、z；（2）在|2|z|，求复数 的模的取值范围 12已知向量，设函数（xR）（1）求函数 f（x）的单调递减区间和对称中心的坐标；（2）将函数 yf（x）的图象向左平个单位后得到函数 yg（x）的图象，若关于 x 的方程 g（x）m 在区间上有解求实数 m 的取值范围 13 袋中装有除颜色外完全相同的的 4 个球，其中有 3 个黑球和 1 个白球 现由甲乙两人从袋中轮流取球，取后不放，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，按下来再由乙取到有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率是相等，记事件 Ai“第 i 次取到的球是白球”，i1，2，3 试将下列件 A1，A2，A3表示

6、，并求出相应事件的概率（1）取球 2 次即终止；（2）最后一次取球的是甲 14如图，在ABC 中，B60，点 D 在边 AB 上，ADCD，BD1（1）若BCD 的面积为，求 AB 的长：（2）若，求角 A 的大小 15从某小区抽 100 户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在 50350（度）之间，在进行适当分组（每组为左闭右开区间），并列出频率分分布表、画频率分布直方图后，将频率分布方图的全部6 个矩形上方线段的中点自左右的顺序依次相连，再删掉这 6 个矩形，就得到了如图所示的“频率分布折线图”（1）请画出频率分布直方图，并求出频率分布折线图 x 的值；（2）请结合频率分布直方图，

7、求月用电量落在区间50，200）（度）内的用户的月用电量的中均数；（3）已知在原始数据中，月用电量落在区间50，200）（度）内的用户的月用电量的平均数为 140（度），方差为 1600，所有这 100 户的月川电量的平均数为 188（度），方差为 5200，且月用电最落在区间50，200）（度）内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，求月用电量在区间200，350）（度）内的用户用电量的标准差（参考数据：142196，262676，7225184，482+16003904，1402+160021200，1882+520040544）16如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PA

8、平面 ABCD，PAAB点 E 是 PD 的中点，作 EFPC，交 PC 于点 F（1）设平面 PAB 与平面 ACE 的交线为 l，试判断直线 PB 与直线/的位置关系，并给出证明；（2）求平面 PAB 与平面 ACE 所成的较小的二面角的余弦值；（3）求直线 PD 与平面 AEF 所成角的正切值 参考答案 一、单选题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1下列命题正确的是（）A三点确定一个平面 B一条直线和一个点确定一个平面 C两条不平行的直线确定一个平面 D梯形可确定一个平面【分析】根据已知条件，利用平面的基本性质，以及推论，

9、逐一判断即可【解答】对选项 A，当三点共线时，不能确定一个平面，故 A 错误；对选项 B：一条直线和直线外一个点确定一个平面，故 B 错误；对选项 C：如果这两条直线异面，则不可以确定一个平面，故 C 错误；对选项 D，梯形的上底和下底是一对平行线，可以确定一个平面，故 D 正确 故选：D 2已知向量，且，则 m（）A8 B2 C2 D8【分析】利用向量垂直的性质直接求解 解：向量，且，4+2m0 解得 m2 故选：B 3某同学对他进入高中以来的数学测验的成绩进行了统计，得到如图所示的茎叶图其中的“茎”指竖线左边的一列数，它表示个数的高位，本茎叶图中的“茎”表示一个三位数的百位、十位数；“叶”

10、指竖线右边的从“茎”旁边生出来的数，它表示一个数的低位，本茎叶图中的“1”表示相应三位数的个位数如第二行：竖线左边为“12”，竖线右边第 5 个数为“7”，这两个数字结合起来就是该同学某次数学测验的成绩“127”则这组成绩的中位数、众数、极差分别是（）A130，122，36 B131.5，122，36 C131，136，29 D131.5，122，29【分析】共有 22 个数据，第 11 个数据和第 12 个数据的平均数为中位数；122 出现的次数最多，为众数；找到最大值和最小值，差值为极差 解：共有 22 个数据，第 11 个数据为 131，第 12 个数据为 132，所以中位数为；数据 1

11、22 出现 3 次，出现次数最多，所以众数为 122；最大值为 112，最小值为 148，所以极差为 14811236；故选：B 4在三棱锥 DABC 中，ACBC，ACBC2，AD平面 ABC，AD1，E 是线段 AC 的中点，则异面直线 AB 和 DE 所成的角等于（）A135 B120 C60 D45【分析】作 BC 的中点 F，则 EFAB，所以异面直线 AB 和 DE 所成的夹角即直线 EF 和 DE 所成的夹角，求出 DE，EF，FD，结合余弦定理可求出DEF120，进而得到异面直线 AB 和 DE 所成的角为 60 解：如图，作 BC 的中点 F，则 EFAB，所以异面直线 AB

12、 和 DE 所成的夹角即直线 EF 和 DE 所成的夹角，即DEF 或其补角，因为 ACBC，CACB2，所以，所以，因为 AD平面 ABC，所以 ADAC，所以，连接 AF，则，因为 AD平面 ABC，又 AF平面 ABC，所以 ADAF，所以，在DEF 中，由余弦定理可得，又DEF（0，180），所以DEF120，故直线 EF 和 DE 所成的夹角为 60 故选：C 5用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角已知过圆锥 SO 的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥

13、 SO 的轴截面，则圆锥 SO 的顶角的取值范围是（）A（0，）B C D【分析】设圆锥的母线长为 l，顶角为，求出过圆锥 SO 的两条母线的截面三角形面积 S，求出 S 取得最大值时 的值，即可求出 的取值范围 解：设圆锥的母线长为 l，顶角为，则过圆锥 SO 的两条母线的截面三角形面积为 Sl2sin，当 sin1 时 S 取得最大值，此时，所以圆锥的轴截面中，顶角 的取值范围是（0，故选：B 6在ABC 巾，角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，ABC 的面积为，则（）Aa2bcsinA B C的最大值为 D的最大值【分析】根据三角形的面积公式可得出，从而得出 A 错误；根据余弦定

14、理和可得出 B 错误；可得出，进而得出，从而判断 C 正确；可得出，从而判断 D 错误 解：ABC 的面积为，a2bcsinA，A 错误；根据余弦定理，且，B 错误；，且 tan2，的最大值为，C 正确；，的最大值为 1，D 错误 故选：C 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.7已知复数和 都是实数，若 z1z2，则 m 【分析】由题意利用两个复数相等的条件，结合同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，计算求得结果 解：复数 和 都是实数，若 z1z2，则 2tan，且 m（cos2+2sin2）cos2，m，故答案为：8已知直线 ya（常数 a0）与曲线的图象有无穷多个

15、公共点，其中有 3 个相邻的公共点自左至右分别为 A，B，C，则点 A 与点 C 的距离 【分析】根据直线 ya 与曲线的图象交点成周期性出现，利用函数的周期性求出交点间的距离 解：根据直线 ya 与曲线的图象交点成周期性出现，其中 3 个相邻的交点自左至右分别为 A，B，C，则点 A 与点 C 的距离恰好是 1 个周期，且 y2|tan（3x）|的最小正周期为 T，所以 AC 故答案为：9在三棱锥 SABC 中，作 SO平面 ABC，垂足为 O给出下列命题：若三条侧棱 SA，SB，SC 与底面 ABC 所成的角相等，则 O 是ABC 的外心；若三个侧面 SAB，SBC，SCA 与底面 ABC

16、 所成的二面角相等，则 O 是ABC 的内心；若三组对棱 SA 与 BC，SB 与 CA，SC 与 AB 中有两组互相垂直，则 O 是ABC 的垂心 则其中真命题的序号是 【分析】连接 OA，OB，OC，由线面角的定义和三角形的外心的定义，可判断；过 S 作 SDAC，垂足为 D，连接 OD，过 S 作 SEBC，垂足为 E，连接 OE，过 S 作 SFAB，垂足为F，连接 OF，由二面角平面角的定义和三角形的内心的定义，可判断；连接 OA，OB，OC，由三垂线定理的逆定理和三角形的垂心的定义，可判断 解：对于，连接 OA，OB，OC，见图 1 由 SO平面 ABC，可得SAO 为 SA 与平

17、面 ABC 所成角，SBO 为 SB 与平面 ABC 所成角，SCO 为 SC 与平面 ABC 所成角，且SAOSBOSCO，所以 AOBOCO，即 O 为ABC 的外心，故正确；对于，过 S 作 SDAC，垂足为 D，连接 OD，过 S 作 SEBC，垂足为 E，连接 OE，过 S 作 SFAB，垂足为 F，连接 OF，见图 2 由三垂线定理的逆定理可得 ODAC，OEBC，OFAB，可得SFO 为侧面 SAB 与底面 ABC 所成角的平面角，SEO 为侧面 SCB 与底面 ABC 所成角的平面角，SDO 为侧面 SAC 与底面 ABC 所成角的平面角，且SFOSEOSDO，所以 ODOEO

18、F，即 O 为ABC 的内心，故正确；对于，连接 OA，OB，OC，见图 3 若 SABC，SBAC，由三垂线定理的逆定理可得 OABC，OBAC，即为0，0，即有（）0，（）0，所以，即有（）0，则 OCAB，即 O 为ABC 的垂心，故正确 故答案为：10如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADCD，ABD 是边长为 2 的正三角形，P 是平面 ABCD内的动点，设，则+的取值范围是 1，2 【分析】首先根据梯形所在的位置，建立平面直角坐标系，进一步利用|，建立单位圆的参数方程，再利用三角函数关系式，求出+的关系式，最后求出函数的关系式的取值范围即可求解答结论 解：根据题意建立平面直

19、角坐标系：直角梯形 ABCD 中，CBCD，ADBC，ABD 是边长为 2 的正三角形，解得：BC1，CD，ABBDAD2，所以 A（2，0），B（1，），C（0，），D（0，0），则（2，0），（1，）由|，可得点 P 在以 C 为圆心，为半径的圆上运动，该圆方程为 x+（y），设 P（cos，sin+），则（cos+2，sin+），由于，则：（cos+2，sin+）（2，0）+（1，），整理得：，所以，所以+sin+cos+sin（+）+，因为1sin（+）1，所以 1sin（+）+2，所以+的取值范围是1，2 故答案为：1，2 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明

20、、证明过程或演算步骤 11设 z，C，且|z|+（1）求 z；（2）在|2|z|，求复数 的模的取值范围【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数模的计算公式，求解即可（2）设 x+yi，x，yR，由已知，可得（x2）2+y24，求出 x 的范围，再求出复数 的模的取值范围即可 解：（1）设 za+bi，a，bR，|z|+，则，解得，z2i（2）设 x+yi，x，yR，由|2|z|，可得（x2）2+y24，y24（x2）20，0 x4，|，|0，4 12已知向量，设函数（xR）（1）求函数 f（x）的单调递减区间和对称中心的坐标；（2）将函数 yf（x）的图象向左平个单位后得到函

21、数 yg（x）的图象，若关于 x 的方程 g（x）m 在区间上有解求实数 m 的取值范围【分析】（1）利用向量坐标运算法则及三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得 g（x）的范围，可得 m 的范围 解：（1）由题可得 f（x）（2cosx，cosx）（sinx，2cosx）2cosxsinx2cosxsin2xcos2x+12sin（2x）+1，令+2k2x+2k，kZ，解得+kx+k，kZ，即 f（x）的单调递减区间为+k，+k（kZ）；令 2xk，kZ，解得 x+（kZ），即 f（x）的对称中心坐标为（+，0）（kZ）；

22、（2）由（1）可知 g（x）2sin2（x+）+12sin（2x+）+1，若关于 x 的方程 g（x）m 在区间0，上有解，在区间0，上，2x+，sin（2x+），1，g（x）0，2 若方程 g（x）m 在区间0，上有解，则 m0，2 13 袋中装有除颜色外完全相同的的 4 个球，其中有 3 个黑球和 1 个白球 现由甲乙两人从袋中轮流取球，取后不放，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，按下来再由乙取到有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率是相等，记事件 Ai“第 i 次取到的球是白球”，i1，2，3 试将下列件 A1，A2，A3表示，并求出相应事件的概率（1）取球

23、2 次即终止；（2）最后一次取球的是甲【分析】（1）取球 2 次终止情况为第一次取黑球，第二次取白球，结合概率的乘法公式，即可求解（2）最后一次取球的是甲，则意味着取到白球的次数为奇数，则包括 A1，A3两种情况，分别求出两种情况，并求和，即可求解 解：（1）取球 2 次终止情况为第一次取黑球，第二次取白球，则 P2（2）最后一次取球的是甲，则意味着取到白球的次数为奇数，则包括 A1，A3两种情况，A1事件对应的概率 P1，A3事件对应的概率 P3，最后一次取球的是甲的概率 PP1+P2 14如图，在ABC 中，B60，点 D 在边 AB 上，ADCD，BD1（1）若BCD 的面积为，求 AB

24、 的长：（2）若，求角 A 的大小 【分析】（1）由三角形面积公式可求得 BC，再由余弦定理可求得 CD，从而可求得 AB 的长；（2）设 AACD，在ACD 中，利用正弦定理可求得 CD，在BCD 中，利用正弦定理可得 cossin（2），利用诱导公式即可求解 的大小，即角 A 的大小 解：（1）在BCD 中，B60，BD1，若BCD 的面积为，则 SBCDBDBCsinB，所以BC，所以 BC2，则 CD，所以 ADCD，所以 ABAD+BD+1（2）在ACD 中，ADCD，可设 AACD，则ADC2，又，由正弦定理，得，所以 CD，在BCD 中，BDC2，BCD2，由正弦定理，得，即，化

25、简得 cossin（2），于是 sin（）sin（2），因为 0，所以 0，2，所以2 或+2，解得 或，即角 A 的大小为或 15从某小区抽 100 户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在 50350（度）之间，在进行适当分组（每组为左闭右开区间），并列出频率分分布表、画频率分布直方图后，将频率分布方图的全部6 个矩形上方线段的中点自左右的顺序依次相连，再删掉这 6 个矩形，就得到了如图所示的“频率分布折线图”（1）请画出频率分布直方图，并求出频率分布折线图 x 的值；（2）请结合频率分布直方图，求月用电量落在区间50，200）（度）内的用户的月用电量的中均数；（3）已知在原始数据中

26、，月用电量落在区间50，200）（度）内的用户的月用电量的平均数为 140（度），方差为 1600，所有这 100 户的月川电量的平均数为 188（度），方差为 5200，且月用电最落在区间50，200）（度）内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，求月用电量在区间200，350）（度）内的用户用电量的标准差（参考数据：142196，262676，7225184，482+16003904，1402+160021200，1882+520040544）【分析】（1）根据折线图的频率即可作出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图求出各组电量，可求得平均数；（3）根据方差公式设前 60 户

27、的月用电分别为 xi，（i1，2，60），平均数为 140，方差1600，后 60 户的月用电量分别为 yi，（i1，2，60）平均数为，方差为，进而可依公式求解 解：（1）频率分布直方图：由频率分布折线图或频率分布直方图得（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）501，即 x0.0044；（2）月用电量落在区间50，100）（度），100，150）（度），150，200）（度）内的用户数分别为 0.00245010012，0.00365010018，0.00605010030 所平均数（2512+12518+17530）60140（度）；（3）由（2）知，

28、月用电落在（间50，200）（度）的户数12+18+3060 月用电量在区间200，350）（度）内的户数1006040 设前 60 户的月用电分别为 xi，（i1，2，60），平均数为 140，方差1600 后 60 户的月用电量分别为 yi，（i1，2，60）平均数为，方差为 全部 100 户的月用电量分别为，平均数，方差为 s25200 060+40 100，即 故有，有，所以：，故 16如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PA平面 ABCD，PAAB点 E 是 PD 的中点，作 EFPC，交 PC 于点 F（1）设平面 PAB 与平面 ACE 的交线为 l，试判断直线 PB 与直

29、线/的位置关系，并给出证明；（2）求平面 PAB 与平面 ACE 所成的较小的二面角的余弦值；（3）求直线 PD 与平面 AEF 所成角的正切值 【分析】（1）根据线面平行的性质定理进行证明即可（2）先找出二面角的平面角，然后进行求解即可，（3）根据线面角的定义进行求解即可，【解答】证明：（1）连结 BD 交 AC 交于 G，ABCD 是正方形，G 为 BD 的中点，又E 是 PD 的中点，EG/PB，又PB平面 ACE，EG平面 ACE，PB/平面 ACE，又 PB平面 PAB，平面 PAB平面 ACEl，PB/l 解：（2）PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB，设正方形 ABC

30、D 的边长为 4，PAPB，PAB 的中线 AH2，PB4，AHPB，同理 AE2，PD4，AEPD，EGPB2，AGAC2，AEG 为正三角形，中线 AI，且 AIEG，AHPB，PB/l，AHl，同理 AIl，HAI 是二面角 CElPB 的一个平面角，又在正三角形PBD 中 HI，cosHAI，则平面 PAB 与平面 ACE 所成的较小的面角的余弦值为 解：（3）同（2）中 PAAB，得 PACD，又在正方形 ABCD 中，ADCD，PAADA，PA平面 PAD，AD平面 PAD，CD平面 PAD，同理 AE平面 PCD 同理 PF面 AEF PEF 是直线 PD 与平面 AEF 所成的角，在 RtPEF 和 RtPCD 中得 tanPEFcotCPD，直线 PD 与平面 AEF 所成角的正切值为