2023届高考数学二轮复习：三角换元求范围及值域(含答案)576.pdf

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1、2023 年高考总复习之三角换元求范围及值域 换元是通过换元将原来比较复杂的、非标准的形式转化为简单的、标准的形式，以利于揭示问题的本质、题目的分析和解决。三角换元法是众多换元法中的一种，它以三角函数为“元”，将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题，三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用。一般情况下，在运用三角换元的题目中，往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征，这一点给三角换元法的应用提供了线索。1.具体表现在该方法对于含有被开方式为二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用，因为二次根式cbxax2总是可以转化为22xk

2、、xk 2或22kx 的形式，其中 x 为变量，k 为非常数.2.二元二次曲线(二元二次方程)或者多元变量的最值问题，也可以转换成利用三角换元的方法进行求解。例如：1),0(3),0(222222yxyxttyxaayx，)0(222aazyx等，均可以用三角换元来解决。【典例精析】（三角换元与不等式）（2020 年 4 月温州二模）已知实数yx,满足yxyyx2,14)2(22则的最大值 为 .【解析之三角换元】由于14)2(22yyx，令)2,0(,sin2cos2yyx，则原式2cossin2yx 备注：1、本题由于Ryx,，因而)2,0(2、此处,2cossin可利用柯西不等式直接得到

3、，也可用三角函数的辅助角公式.3、其他解法不在此处赘述.【举一反三 1】若Ryxyxyx,7222，则22yx 的最小值为 .【解析之三角换元】,sincos,222ryrxryx令 原式7sinsincos2cos722222222rrryxyx 化简得：22cos2sin7cossin2sincos222r 故2272r 【举一反三 2】实数yx,满足1,1xy，且 2222(log)(log)log()log()aaaaxyaxay 当1a 时，则log()axy的取值范围是 .【解析之三角换元】本题直接求解较为复杂，若令log,log,aaux vy由1,1xy可得0,0uv，于是问题

4、转化为：“已知0,0uv，且22(1)(1)4,uv求uv的取值范围”，令1 2cos,1 2sin,0,2uv ，则 22cos2sinuv22 2sin()4 由0,0uv得11cos,sin22 211,6312412 当sin()14时，max()22 2uv 当sin()sin412或11sin12时，min()13uv 1322 2uv 故log()axy的取值范围是13,22 2。备注：已知0,0uv，且22(1)(1)4,uv求uv的取值范围”，也可用直线与圆的方法进行求解.【举一反三 3】实数yx,满足122yxyx，则yx2的取值范围是 .【解析之三角换元】122yxyx1

5、)23()2(22yyx 故令)2,0(,sin23cos2yyx，原式yx2=)sin(3212sin35cos 故3212,3212)2(yx 类型二：三角换元在求值域问题中的应用【典例精析】求函数368yxx的值域.【解析之三角换元】原式368yxx可化为 3210(2)yxx 令 2210sin(0)2x，则 30sin10cosy2 10sin()其中31cos,sin22，所以6，因此1sinsin()12，故值域为10,2 10 【举一反三】求函数213xxy的值域.【解析之三角换元】原式213xxy=,0)()sin(10sincos3，f 其中1010cos,10103sin

6、,3tan即.,)(,0，31010103)()(minff 10,3)(的值域为f 类型三：结合其他知识专题考查范围问题【典例精析】（2020 年 5 月台州二模）在等差数列 na中，若,1022119aa则数列 na的前 10 项和10S的最大值为 .【解析之三角换元】依题daS4510110，令2,0,sin1018cos101191daaa 故25102105)cos3(sin21052152511910aaS.【举一反三 1】*已知1)(321,cbcbacbacba，且，满足，则cb的取值范围 .【解析之三角换元】不妨令)sin,(cos),sin2,cos2(),0,3(abc

7、由题意知：1cos6)sin2,3cos2()sin,(cos 化简得：cos1213cos)3cos2(sinsin21cos6 故 33,33cos,cos1213)1cos6(2 1321-32cos1213sin4)3cos2(22，cb 【举一反三 2】11,0 xxkx恒成立，则实数 k 的取值范围是 .【解析之三角换元】考虑到1,xx 以及，故设2tanx cossincos11tan1111xxkxxk 2,2cossink 【实战演练】1、若226461xyxy，,x yR，则22xy的最大值为 （51）2、如图，已知4 BCAC，90ACB，M 为 BC 的中点，D 是以 AC 为直径的圆上一动点，则DCAM 的最大值是 .(548)3、（2015 浙江）若实数yx,满足122 yx，则yxyx3622的最小值为_.(3)4、已知实数cba,满足1,0222cbacba，则a的最大值是 .(36)5、函数23102xxxy的值域为 .72-5，