福建省宁德市2022届高三下学期5月质量检测(三模)数学试题(含答案).pdf

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1、宁德市 2022 届普通高中毕业班五月份质量检测 数学试题 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则 MN=A-1，4）B-1，2）C（-2，-1）D 2.若16zi，则 z z的值为 A2B 2 C3D 3 3

2、.函数 yf x的图象如图所示，则 f（x）的解析式可能是 A 22xf x B 2log2f xx C 2f xx D.212f xx 4.函数 sin(0)6fxx的周期为 2，下列说法正确的是 A2B.13fx是奇函数 C f（x）在43，73上单调递增 D.yf x的图像关于直线13x 对称 5.已知点 E 是ABC 的中线 BD 上的一点（不包括端点）。若AExAByAC，则21xy的最小值为 A 4 B 6 C 8 D 9 6.从 0，1，2，9 这十个数字中随机抽取 3 个不同的数字，记 A 为事件：“恰好抽的是 2，4，6”，记 B 为事件：“恰好抽取的是 6，7，8”，记 C

3、 为事件：“抽取的数字里含有 6”。则下列说法正确的是 A P ABP A P B B.110P C C P CP AB D.|(|P A CP B C）7.贾宪是我国北宋著名的数学家，其创制的数字图式（如右图）又称“贾宪三角”，后被南宋数学家杨辉的著作详解九章算法所引用。n 维空间中的几何元素与之有巧妙的联系，使我们从现实空间进入了虚拟空间。例如，1 维最简几何图形线段它有 2 个 0 维的端点，1 个 1 维的线段：2 维最简几何图形三角形它有 3 个 0 维的端点，3 个 1 维的线段，1 个 2 维的三角形区域：如下表所示。利用贾宪三角，从 1 维到 9 维最简几何图形中，所有 1 维

4、线段数的和为 元素维度 几何体维度 0 1 2 3 n=1（线段）2 1 n=2（三角形）3 3 1 n=3（四面体）4 6 4 1 A 120 B 165 C 215 D 240 8.若ln2bxax对0,x恒成立，则1ba的最小值为 A12eB1eC-1 D 0 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。9.某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其 200 名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是 A图中的0.04m B成绩不低于 8

5、0 分的职工约 80 人 C 200 名职工的平均成绩是 80 分 D若单位要表扬成绩由高到低前 25%职工，则成绩 87 分的职工 A 肯定能受到表扬 10.数列na中，设12nnTa aa。若nT存在最大值，则na可以是 A62nnaB 1nna C29nanD121nnan 11.已知正方体 ABCD-1111ABC D的棱长为 2，F 是正方形11CDDC的中心，则 A三棱锥 F-11BCC的外接球表面积为 4 B1B F平面1ABD C1C F 平面1ACF，且12C F D若点 E 为 BC 中点，则三棱锥11AAB E的体积是三棱锥1AFA B体积的一半。12.已知椭圆 C：22

6、221(0)xyabab，焦点1F（-c，0），2,0(0)F cc，下项点为 B过点1F的直线 l 与曲线 C 在第四象限交于点 M，且与圆2221:24Axcyc相切，若2120MF FF，则下列结论正确的是 A椭圆 C 上不存在点 Q，使得12QFQFB圆 A 与椭圆 C 没有公共点 C当3a 时，椭圆的短轴长为 26D21F BFM 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若过点（2，2）的双曲线的渐近线为2yx，则该双曲线的标准方程是_。14.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O 与 x 轴的正半轴交于点 A，点 B，C 在圆 O 上，若射线 OB平分AOC

7、，B（35，45），则点 C 的横坐标为_。15.已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当0 x时，2224xf xxa ea。若 f（x）的图象与 x 轴恰有三个交点，则实数 a 的值为_。16.如图为某企业的产品包装盒的设计图，其设计方案为：将圆锥 SO 截去一小圆锥SO作包装盒的盖子，再将剩下的圆台挖去以 O 为顶点，以圆O为底面的圆锥OO。若圆 O 半径为 3，3 3SO，不计损耗，当圆锥OO的体积最大时，圆O的半径为_，此时，去掉盖子的几何体的表面积为_。四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10 分）已知ABC 的内角 A，B

8、，C 所对的边分别是 a，b，c，且cossin6cAaC（1）求 A 的度数；（2）若71ac，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，求 AD 的长 18（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，215CDPDADPC，点 E为线段 PC 上的点，且BCDE（1）证明：PDAC；（2）若二面角EADB的大小为4，求直线 BP 与平面 EAD 所成的角。19.（12 分）设数列na的前 n 项和为nS，13a。数列3nS 为等比数列，且1S，3S，4S-12S成等差数列。（1）求数列nS的通项公式：（2）若 1nnnSNMa，求MN的最小值。20.（12 分）某地为

9、调查国家提出的乡村振兴战略目标实施情况，随机抽查了 100 件某乡村企业生产的产品，经检验，其中一等品 80 件，二等品 15 件，次品 5 件，若销售一件产品，一等品利润为 30 元，二等品利润为 20 元，次品直接销毁，亏损 40 元。（1）用频率估计概率，求从中随机抽取一件产品的利润的期值。（2）根据统计，由该乡村企业的产量 y（万只）与月份编号 x（记年份 2021 年 10 月，2021 年11 月，分别为12xx，依此类推）的散点图，得到如下判断：产量 y（万只）与月份编号 x 可近似满足关系式byc x（c，b 为大于 0 的常数），相关统计量的值如下表所示：61(lnln)ii

10、ixy 1(ln)biix 61(ln)iiy 621(ln)iix-1.87 6.60-2.70 9.46 根据所给统计量，求 y 关于 x 的回归方程；并估计该企业今年 6 月份的利润为多少万元（估算取2.7e，精确到 0.1）？附：对于一组数据,1,2,3,iiu vin，其回归直线vbua的斜率和截距的最小二乘估计分别为2121,niiiniiu vnuvbavbuunu 21.（12 分）已知抛物线 C：22(0)ypx p上的一点 M（0 x，4）到 C 的焦点 F 的距离为 5。（1）求 P 的值；（2）若01x，点 A，B 在抛物线 C 上，且MAMBMNAB，N 为垂足，当|

11、MN|最大时，求直线 AB 的方程。22.（12 分）已知函数 sinxf xexax（1）若1a，判断 f（x）在（2，0）的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，求 a 的取值范围。f（x）在0，2上有且只有 2 个零点；当0,2x时，2f xx。2022 届宁德市普通高中毕业班五月份质量检查 数学试题参考答案及评分标准说明：1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法俱参考，如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则。2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现理或计算错误，则错误部分依细则

12、扣分，并报据对后续步骤影响的程度决定后部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3.解答右端所注分效，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4.解答题只给整数分数，填空题不始中间分。一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 40 分。1.A 2.D 3.B 4.C 5.C 6.D 7.B 8.A 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。9.AB 10.BD 11.BCD 12.AC 三、填空题：本考查基础知识和基本运算，每小题 5 分

13、，满分 20 分。13.14.72515.2 16、三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。17.本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等，满分 10 分。解法一：（1）由正弦定理可得。1 分 0cos(s)iins n6AAC。2 分。分 可得tan3A。0A，3A。注：最后答案用弧度制或角度制表示都可以。（2）依题设，设ADx 由余弦定理得。6 分 由题设知。，又。由可得。8 分，所以。9 分 解得，即。10 分 解法二：（1）由正弦定理可得 cos()sinsins6niACCA。分

14、0,cos(siin)s n,6AAC。2 分。3 分 50,666222AAA，或。4 分 3A（后者无解）。分（2）由余弦定理得。5 分 由题设知。，又。由ABDACDSBDSDC得13BDABDCAC，。分 222213 3,sin1 cos22 72cos7acbBBaBc。9 分 由正弦定理得7 3 3sin3 342 714sin62BDBAD 所以。10 分 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平而与平面的位置关系，空间角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等。满分 12分 解：（1）证明：因为四边形 ABCD 为矩形，所

15、以BCCD 又BCDE CDDED 所以 BC平面 PCD。1 分 则BCPD。又222PDCDPC。所以CDPD。分 BCCDC 所以 PD平面 ABCD 则PDAC。（2）解法一：由（1）得，PD平画 ABCD，且四边形 ABCD 为矩形 如图建立空间直角坐标系 D（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，2，0），C（0，2，0）。分）易知，平面 ABD 的一个法向量为1(0,0,1)n 7 分 点 E 在线段 PC 上，设）则(0.2 1)DEDPPEDPPC，(1,0,0)DA，设平面 EAD 的一个法向量为2(,)nx y z 2200n DEn DA，即2(1)

16、00yzx 令，得2z 则2(0,1,2)n 由二面角的余弦值为4得121212|2|cos,|2 n nn nnn 即22|2|22(1)4 解得13或1（舍去）则22 2(0,)3 3n 10 分 又(1,2,1)BP 设直线 BP 与平面 E4D 所成角为，222|3sin|cos,|2|BP nBP nBP n。11 分 直线 BP 与平面 EAD 所成角大小为3。12 分 解法二：由（1）得，BC平面 PCD 1 则 AD平面 PCD ADDF 又ADCD 所以CDE 即为二面角的平面角 则6 分 121|sin|2442PDESPDDEDEPEh（121|sin|2422CDESC

17、DDEDECEh 所以|1|2PECE。即 E 为 PC 的三等分点。分 取 CD 中点 M，连接 PM，PMDEG 易知PDM 为等腰直角三角形 所以PMDE 又 AD平画 PCD，则ADPM ADDED 过 E 作 则PHG 即为直线 BP 与平面 EAD 所成角。在 RtPHG 中，。10 分 所以。11 分 直线 BP 与平面 EAD 所成角大小为3。12 分 19.本小题主要考查等比数列的通项公式、求和等基础知识，考面运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等，满分 12 分。解：（1）设数列的公比为，由13a，得136S，1 分 所以136nnsq，即163nnsq。2 分 由1

18、3412ssss，成等差数列，所以314122ssss 3 分 即2312666.qq 解得2q，或0q（舍去）。4 分 所以16 23nns。5 分（2）由16 23nns，当时，两式相减得。13 2nna，对1n 也成立 所以13 2nna。设111(1)(1)(623)1(1)(2),3 22nnnnnnnnnsba 当 n 为奇数时，1122nnb 为递减数列，所以21nb ；。9 分 当 n 为偶数时，1122nnb为递增数列，所322nb。11 分 所以的最小值为 4。注：第（1）题来设公比扣 1 分；第（2）题未判断nb的单调性各扣 1 分，两个nb的范围中开闭有错总共扣 1 分

19、。20.本小题主要考面频率分布直方图、二项分布、正态分布等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查统计思想、化归与转化思想，满分 12 分。解：（1）设一件产品的利润为，由题意可得 30 0.820 0.1540 0.0525E 所以从中随机抽取一件利润的期望值为 25 元。（2）因为(0,0)kyc xcb 所以lnlnlncbxy。令lnlniiiiuxvy，得vb ua，且ln.ac 依题设数据可得11.10.452ABuvk，根据所给统计量及最小二乘估计公式有：122211.876 1 1(0.45)19.66 1.12niiiniiu ymuvbunu 所以10.45

20、1.112avbu ，即ln1ac。8 分 所以1 ce 所求 y 关于 x 的回归方程为121yxe。9 分 因为今年 6 月份即9x 所以1391.112.7ye（万只）。10 分 估计该企业今年 6 月份的利润约为万元。12 分 21.本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考考生分析问题和解决问题的能力，满分 12分。解法一：解（1）把 M（x0，4）代入抛物线 C 得，0162,px，得08xp1 分 由|5MF 得08522ppxp。2 分 得210160pp。分 解得2p 或8p。（2）当8p

21、时，01x。故舍去。5 分 当2p 时，04x，所以 M（4，4），抛物线2:4C yx，设221212(,),(,)44yyAyBy，直线 B 的方程为xmyn，与抛物线 C 联立得。6 分 所以12124,.4.yymy yn。由MAMB，得0MA MB 所以221212(4)(4)(4)(4)044yyyy。8 分 由14y 且24y 故，即 所以，即。9 分 从而直线 AB 的方程为,即直线 A 过定点 Q（8，-4）。又2MQk，当|MN|最大时即ABMN。11 分 所以2m，直线 AB 的方程为。12 分 方法二：（1）同解法一：（2）当8p 时，01x，故舍去。分 当2p 时，0

22、4x，所以 M（4，4），抛物线 C：设 A（，1y），B（，2y）。则12221212444AByykyyyy。分 由MAMB，得0MM MB 所以221212(4)(4)(4)(4)044yyyy。7 分 由且 故 即，。8 分 直线 AB 的方程为 整理得12124()xy yy yy。分 将式代入，可得12432()(4)xyyy 即直线 AB 过定点 Q（8，-4）。又，当|MN|最大时即。11 分 所以，直线 AB 的方程为。12 分 22.本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等

23、，满分 12 分。解：（1）当1a 时，()sin,(,0)2xf xexax x ()sincos12sin()14xxxfxexexex。2 分 当,02x 时，所以 又01xe 故，从而 0fx。4 分 所以，f（x）在（2，0）上单调递增。5 分（2）选择 由函数，可知 00f 因此 f（x）在上有且只有 1 个零点。，令，则在0.2上恒成立。即在0，2上单调递。分 当1a时，f（x）在0.2上单调递增。则 f（x）在（0，2上无零点，不合题意，舍去。分 当2ae 时，f（x）在0，2上单调递减，则 f（x）在（0，2上无零点，不合题意，舍去。当21nea 时，2(0)10,()02f

24、afea 则()fx在（0，2）上只有 1 个零点，设为0 x。且当0(0,)xx时，0fx；当时，0fx 所以当00 xx，时，f（x）在（0，0 x）上单调递减，在（x0，2）上单调递增。10 分 又 因此只需即可，即 缩上所述12 分 选择 构造函数2()sin,0,2xm xexaxxx 此时 则2()sincos2(0)1,()2xxm xexexaxma mea，易知()(1)2mm 令()sincos2,()2cos2,(0)0,()22xxxt xexexax t xextt 令2()2cos2,()2(cossin),(0)2,()22xxp xexp xexxppe，令()

25、2(cossin)xq xexx，则()4sin0 xq xex 所以()2(cossin)xq xexx在（0，2）上单调递减。7 分 又2(0)(0)20,()()2022qpqpe 在（0，2）上存在唯一实数1x使得，且满足当10 xx，时，0q x 当1(,)2xx时。即 p（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，2）上单调递减。又,所以()2cos2xp xex在1(,)2x上存在一实数2x使得 且满足当2(0,)xx时，；当2()2xx时，即()()t xm x在（0，x2）上单调递增，在（2x，2）上单调递减。10 分 当时，即，函数在0，2上单调递增，又，因此恒成立，符合题意 当，即，在0,2x上必存在实数3x，使得当时，0m x 又，因此在上存在实数不合题意，舍去 综上所述1a。