辽宁省铁岭市2023学年高三冲刺模拟数学试卷(含解析).pdf

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1、2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知等差数列na的前 n 项和为nS，262,21aS，则5a A3 B4 C5 D6 2 已知函数2

2、(0 xyaa且1a 的图象恒过定点P，则函数1mxyxn图象以点P为对称中心的充要条件是()A1,2mn B1,2mn C1,2mn D1,2mn 3i为虚数单位,则32i1 i的虚部为（）Ai Bi C1 D1 4已知双曲线C：22221xyab0,0ab的左右焦点分别为1F，2F，P为双曲线C上一点，Q为双曲线 C 渐近线上一点，P，Q均位于第一象限，且22QPPF，120QF QF，则双曲线C的离心率为（）A31 B31 C132 D132 5若复数z满足i2iz，则z（）A2 B3 C2 D5 6要得到函数()sin(3)3f xx的导函数()fx的图像，只需将()f x的图像（）A

3、向右平移3个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍 B向右平移6个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C向左平移3个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D向左平移6个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍 7关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校m名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对,x y；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对,x y的个数a；最后再根据统计数a估计的值，那么可以估计的值约为（）A4am B2am C2amm D42amm 8已知集合1

4、,0,1,2A，|lg(1)Bx yx，则AB（）A2 B 1,0 C1 D 1,0,1 9若等差数列 na的前n项和为nS，且130S，3421aa，则7S的值为（）A21 B63 C13 D84 10已知双曲线22221xyab的一条渐近线方程为43yx，则双曲线的离心率为（）A43 B53 C54 D32 11复数z满足12(iiz为虚数单位)，则z的虚部为（）Ai Bi C1 D1 12直线 l 过抛物线24yx的焦点且与抛物线交于A，B 两点，则4|AFBF的最小值是 A10 B9 C8 D7 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13从编号为1，2，3，4的张

5、卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_.14已知双曲线的一条渐近线为2yx，且经过抛物线24yx的焦点，则双曲线的标准方程为_.15已知三棱锥PABC的四个顶点都在球 O 的球面上，PAPBPC，2AB，5BC，3AC，E，F分别为AC，PB的中点，32EF，则球 O 的体积为_.16已知 i 为虚数单位，复数11 iz，则z_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知函数 2xxaxaf xe，其中aR.（1）当0a 时，求 fx在 1,1f的切线方程；（2）求证：fx的极大值

6、恒大于 0.18（12 分）已知数列 na的前n项和为nS，*21nnSanN.（1）求数列 na的通项公式；（2）若11111nnncaa，nT为数列 nc的前n项和.求证：123nTn.19（12 分）已知数列 na，其前n项和为nS，若对于任意m，*Nn，且mn，都有2m nmnmnSaaaamnmn.（1）求证：数列 na是等差数列（2）若数列 nc满足2*12Nnnnnaacan，且等差数列 na的公差为13，存在正整数,p q，使得pqac，求1a的最小值.20（12 分）已知数列 na满足对任意*nN都有122nnnaaa，其前n项和为nS，且7349,Sa是1a与13a的等比中

7、项，12aa（1）求数列 na的通项公式na；（2）已知数列 nb满足12nanb，nnnca b，设数列 nc的前n项和为nT，求92065nTn大于1000的最小的正整数n的值 21（12 分）已知12,F F分别是椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点，直线23by 与C交于,A B两点，290AF B，且2209F ABS（1）求C的方程；（2）已知点P是C上的任意一点，不经过原点O的直线l与C交于,M N两点，直线,PM PN MN OP的斜率都存在，且0MNOPkk，求PMPNkk的值 22（10 分）已知直线1xy过椭圆222210 xyabab的右焦点，且交椭圆于 A，

8、B 两点，线段 AB 的中点是2 1,3 3M，（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线 l 与线段 AB 相交（不含端点）且交椭圆于 C，D 两点，求四边形ACBD面积的最大值.2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】方法一：设等差数列na的公差为d，则1126 56212adad，解得111ad，所以51(51)15a .故选 C 方法二：因为166256()3()2aaSaa，所以53(2)21a，则55a.故选 C 2、A【答案解析】由题可得出P的坐标

9、为(2,1)，再利用点对称的性质，即可求出m和n.【题目详解】根据题意，201xy，所以点P的坐标为(2,1)，又1()1mxm xnmnymxnxn 1mnxn，所以1,2mn.故选：A.【答案点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.3、C【答案解析】利用复数的运算法则计算即可.【题目详解】32 122111111iiiiiiiiiii ，故虚部为1.故选：C.【答案点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数,abi a bR的虚部为b，不是bi，本题为基础题，也是易错题.4、D【答案解析】由双曲线的方程22221xyab的左右焦点分别为12,F F，P为双曲线

10、C上的一点，Q为双曲线C的渐近线上的一点，且,P Q都位于第一象限，且2122,0QPPFQF QF，可知P为2QF的三等分点，且12QFQF,点Q在直线0bxay上，并且OQc，则(,)Q a b，2(,0)F c，设11(,)P x y，则11112(,)(,)xa ybcxy，解得1122,33acbxy，即22(,)33acbP，代入双曲线的方程可得22(2)1144aca，解得132cea，故选 D 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出,a c，

11、代入公式cea；只需要根据一个条件得到关于,a b c的齐次式，转化为,a c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围)5、D【答案解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.【题目详解】解：由题意知，i2iz，22212121i iiiziii ，221 2i125z ，故选：D.【答案点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.6、D【答案解析】先求得 fx，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.【题目详解】依题意 553cos 33cos33sin 33626fxxxx3sin 363x，所

12、以由()sin(3)3f xx向左平移6个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍得到 fx的图像.故选：D【答案点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.7、D【答案解析】由试验结果知m对 01之间的均匀随机数,x y，满足0101xy，面积为 1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)x y，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值【题目详解】解：根据题意知，m名同学取m对都小于1的正实数对,x y，即0101xy，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数,x y能与

13、1构成钝角三角形三边，则有22110101xyxyxy，其面积142S；则有142am，解得42amm 故选：D【答案点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题.线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.8、B【答案解析】求出集合B，利用集合的基本运算即可得到结论.【题目详解】由10 x，得1x，则集合|1Bx x，所以，1,0AB.故选：B.【答案点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合

14、B是解决本题的关键，属于基础题.9、B【答案解析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d，1a，然后结合等差数列的求和公式即可求解【题目详解】解：因为130S，3421aa，所以111313 602521adad，解可得，3d，118a，则717 1876(3)632S 故选：B【答案点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题 10、B【答案解析】由题意得出22ba的值，进而利用离心率公式21bea可求得该双曲线的离心率.【题目详解】双曲线22221xyab的渐近线方程为byxa，由题意可得22241639ba，因此，该双曲线的离心率为22222513cabbe

15、aaa.故选：B.【答案点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式21bea计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.11、C【答案解析】21 iz，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【题目详解】由已知，22(1 i)1 i1 i(1 i)(1 i)z，故z的虚部为1.故选：C.【答案点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.12、B【答案解析】根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得1121AFBFp；再由基本不等式可求得4 AFBF的最小值【题目详解】由抛物线标准方程可知 p=2 因为直线 l 过抛物线24yx的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知

16、1121AFBFp 所以4 AFBF 114 AFBFAFBF 44 1BFAFAFBF 因为AFBF、为线段长度，都大于 0，由基本不等式可知 444 152BFAFBFAFAFBFAFBF 52 2 9，此时2BFAF 所以选 B【答案点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、12【答案解析】基本事件总数4 416n ，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有 8 个，由此能求出概率.【题目详解】解：从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，基

17、本事件总数4 416n ，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有 8 个，分别为：1,1，1,2，1,3，1,4，2,2，2,4，3,3，4,4.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为81162P.故答案为12.【答案点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题.14、2214yx 【答案解析】设以直线2yx 为渐近线的双曲线的方程为22(0)4yx，再由双曲线经过抛物线24yx焦点(1,0)F，能求出双曲线方程 【题目详解】解：设以直线2yx 为渐近线的双曲线的方程为22(0)4yx，双曲线经过抛物线24yx焦点(1

18、,0)F，1，双曲线方程为2214yx，故答案为：2214yx 【答案点睛】本题主要考查双曲线方程的求法，考查抛物线、双曲线简单性质的合理运用，属于中档题 15、4 3【答案解析】可证90ABC，则E为ABC的外心，又PAPBPC则PE 平面ABC 即可求出PB，PE的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得.【题目详解】解：2AB，5BC，3AC 222ABBCAC 90ABC，因为E为AC的中点，所以E为ABC的外心，1322BEAC 因为PAPBPC，所以点P在ABC内的投影为ABC的外心E，所以PE 平面ABC，BE 平面ABC PEBE，所以23PBEF，所以223

19、32PEPBBE，又球心O在PE上，设POr，则2223 3322rr，所以3r，所以球 O 体积，344 33Vr.故答案为：4 3【答案点睛】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题 16、22【答案解析】先把复数进行化简，然后利用求模公式可得结果.【题目详解】1112i1 i222zz 故答案为：22.【答案点睛】本题主要考查复数模的求解，利用复数的运算把复数化为abi的形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1yxe（2）证明见解析【答案解析】（1）求导，代入

20、0a，求出在1x 处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；（2）分类讨论得出极大值即可判断.【题目详解】（1）2222xxxaxaxaxfxee，当0a 时，1 1fe，11fe，则 f x在 1,1f的切线方程为1yxe；（2）证明：令 0fx，解得2x 或xa，当2a 时，0fx 恒成立，此时函数 f x在R上单调递减，函数 f x无极值；当2a 时，令 0fx，解得2ax，令 0fx，解得xa 或2x，函数 f x在,2a上单调递增，在,a，2,上单调递减，2420af xfe极大值；当2a 时，令 0fx，解得2xa，令 0fx，解得2x 或xa，函数 f x在2,a上单调递增，在,

21、2，,a上单调递减，0aaf xfae极大值，综上，函数 f x的极大值恒大于 0.【答案点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.18、（1）13nna（2）证明见解析【答案解析】（1）利用11,1,2nnnS naSSn求得数列 na的通项公式.（2）先将nc缩小即111233nnnc，由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立.【题目详解】（1）*21nnSanN，令1n，得113a.又11212nnSan，两式相减，得113nnaa.13nna.（2）111111133nnnc1113311231313131nnnnnn

22、 11123131nn.又11313nn，1111313nn，111233nnnc.22311111112333333nnnTn 111122333nnn.123nTn.【答案点睛】本小题主要考查已知nS求na，考查利用放缩法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19、（1）证明见解析；（2）118.【答案解析】（1）用数学归纳法证明即可；（2）根据条件可得29nnca，然后将pqac用1a，p，q表示出来，根据1183(31)1ampq是一个整数，可得结果 【题目详解】解：（1）令2m，1n，则23223Sa，即21233aaaa，1322aaa，123,a a a成等差数列

23、，下面用数学归纳法证明数列 na是等差数列，假设12,ka aa成等差数列，其中3k，公差为d，令mk，1n 1121kkSaadk，1112(1)(1)kkkkSkaadk aaakd 12(1)kkSaakd，1112(1)2kkSaakdakd，即11kaakd，121,kka aa a成等差数列，数列 na是等差数列；（2）2121233nnnnnncaaaaa，29na，若存在正整数,p q，使得pqac是整数，则11112(1)(1)339pqacapaq 122239pqaZ，设122239pqma，mZ，1183(31)1ampq是一个整数，1181a，从而1118a，又当11

24、18a 时，有131acZ，综上，1a的最小值为118【答案点睛】本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质，关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列，属于难题 20、（1）21nan（2）4【答案解析】（1）利用122nnnaaa判断 na是等差数列，利用749,S 求出47a，利用等比中项建立方程，求出公差可得.（2）利用 na的通项公式na,求出224,21 4nnnnnbcn，用错位相减法求出12065499nnnT，最后建立不等式求出最小的正整数.【题目详解】解：1任意*nN都有122nnnaaa，数列 na是等差数列，74449,749,7Saa，又3a是1a与13a的等比中项

25、，12aa，设数列 na的公差为d，且0d，则277379ddd，解得2d，1731ad，1 2121nann；2由题意可知 224,21 4nnnnnbcn，121 43 4?214nnTn ，23141 43 4?214nnTn ，得：231342 42 4?2 4214nnnTn ，12065499nnnT，1229204265nnnTn，由92065nTn1000得，2221000n，2210n，4n，满足条件的最小的正整数n的值为4【答案点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式及错位相减法求和.(1)解决等差数列通项的思路(1)在等差数列 na中，1ad、是最基本的两个量，一般

26、可设出1a和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解即可.(2)错位相减法求和的方法：如果数列 na是等差数列，nb是等比数列，求数列nna b的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列 nb的公比，然后作差求解;在写“nS”与“nqS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“nnSqS”的表达式 21、（1）22154xy（2）45【答案解析】（1）不妨设52,33Aab，52,33Bab，计算得到2245ab，根据面积得到2 5a b，计算得到答案.（2）设00,P x y，11,M x y，22,N xy，联立方程利用韦达定理得到001

27、22mx yxx，22201204m xx xx，代入化简计算得到答案.【题目详解】（1）由题意不妨设52,33Aab，52,33Bab，则252,33abF Ac ，252,33abF Bc 290AF B，2222254099bF A F Bca，2245ab 又212 52202339F ABabS，2 5a b，5a，2b，故C的方程为22154xy（2）设00,P x y，11,M x y，22,N xy，则00OPykx0OPMNkk，00MNykx，设直线MN的方程为000yyxm mx，联立0022,1,54yyxmxxy 整理得22222000004510540 xyxmx

28、y xxm P在C上，22004520 xy，上式可化为2220004240 xmx y xxm 00122mx yxx，22201204m xx xx，22220044160 xm ym，220001212042225myymxyyxxmx，2200001212121220000yyymyy yxmxmx xxxmxxxx 2222220000145ym xmyy，222222000102012012000255m xmx yyyyyy yyyyyyy 22200025m xmx y 2222000102012012024m xmx yxxxxx xxxxx 1020102045PMPNyy

29、yykkxxxx【答案点睛】本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22、（1）2212xy（2）4 33【答案解析】（1）由直线1xy可得椭圆右焦点的坐标为(1,0),由中点M可得121242,33xxyy,且由斜率公式可得21211yyxx,由点,A B在椭圆上,则2222112222221,1xyxyabab,二者作差,进而代入整理可得222ab,即可求解；（2）设直线:l ykx,点,A B到直线l的距离为12,d d,则四边形的面积为1212111222SCD dCD dCD dd,将ykx代入椭圆方程,再利用弦长公式求得CD,利用点到直线距离求得12,d

30、 d,根据直线 l 与线段 AB（不含端点）相交,可得4101033kk,即14k ,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.【题目详解】（1）直线1xy与 x 轴交于点(1,0),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0),故1c,因为线段 AB 的中点是2 1,3 3M,设1122,A x yB x y,则121242,33xxyy,且21211yyxx,又2222112222221,1xyxyabab,作差可得22222121220 xxyyab,则 21212121220 xxxxyyyyab,得222ab 又222,1abcc,所以222,1ab,因此椭圆的方程为2212xy.（2）由（1）

31、联立22121xyxy,解得01xy或4313xy,不妨令410,1,33AB,易知直线 l 的斜率存在,设直线:l ykx,代入2212xy,得22212kx,解得2221xk或2221k,设3344,CD xyyx,则23224222 2212121kkxkx,则223422 21121CxxDkkk,因为410,1,33AB到直线ykx的距离分别是122241133,11kddkk,由于直线 l 与线段 AB（不含端点）相交,所以4101033kk,即14k ,所以1222444133311kkddkk,四边形ACBD的面积121221114 21222321kSCD dCD dCD ddk,令1kt,34t,则2221243ktt,所以22224 24 24 213324334124323ttStttttt ,当123t,即12k 时,min4 214 324163312S，因此四边形ACBD面积的最大值为4 33.【答案点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.