2021-2022学年江苏省淮安市高中校协作体高二下学期期中联考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 17 页 2021-2022 学年江苏省淮安市高中校协作体高二下学期期中联考数学试题 一、单选题 1已知空间向量(1,2,3)a ，则向量a在坐标平面xOz上的投影向量是（）A(0,1,2)B(1,2,0)C(0,2,3)D(1,0,3)【答案】D【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案.【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点(1,2,3)A 在坐标平面xOz上的投影坐标，纵坐标为 0，横坐标与竖坐标不变 所以空间向量(1,2,3)a 在坐标平面xOz上的投影向量是：(1,0,3)，故选：D.2已知向量m，n分别是直线 l 和平面 的方向向量和法向量，若1cos,2

2、m n，则 l 与 所成的角为（）A30 B60 C120 D150【答案】A【分析】由1cos,2m n 知直线 l 和平面 的法向量所夹锐角为 60，根据直线 l 和平面 的位置关系，即可得出答案.【详解】由已知得直线 l 和平面 的法向量所夹锐角为 60，因此 l 与 所成的角为 30.故选：A.【点睛】本题考查线面角.属于基础题.找到向量m，n的夹角与 l 与 所成角的关系是解本题的关键.3已知两平面的法向量分别为)0()10011mn，则两平面所成的二面角为（）A45 B135 C45或 135 D90【答案】C【分析】直接利用空间向量的夹角公式公式，求解二面角的大小即可【详解】12

3、cos,=212m nm nmn，即45m n ,.两平面所成二面角为45或18045135.第 2 页 共 17 页 故选：C.4411(12)xx展开式中2x的系数为（）A10 B24 C32 D56【答案】D【解析】先将式子411(12)xx化成4411(12)(12)xxx，再分别求两项各自的2x的系数，再相加，即可得答案.【详解】444111(12)1(12)(12)xxxxx，4(12)x展开式中含2x的项为22241(2)24Cxx，41(12)xx展开式中含2x的项33241(2)32Cxxx，故2x的系数为243256.故选：D.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函

4、数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5某班级从 A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加 4100 m 接力比赛，其中第一棒只能在 A，B中选一人，第四棒只能在 A，C中选一人，则不同的选派方法共有（）A24 种 B36 种 C48 种 D72 种【答案】B【分析】分第一棒选 A 或选 B，两类求解.【详解】解：当第一棒选 A 时，第四棒只能选 C，则有24A种选派方法；当第一棒选 B 时，则有242A种选派方法.由分类计数原理得，共有2224442336AAA 种选派方法.故选：B 6 如图所示，某地有南北街道 6 条、东西街道 5 条，一快递员从A地出发，送货到C地，且途经B地

5、，要求所走路程最短，共有（）种不同的走法 A100 B80 C60 D40【答案】D 第 3 页 共 17 页【分析】考虑小矩形的横边和直边，例如从B到C的最短距离就是从 2 个横边加 3 个直边共 5 条线段，不同的方法就是什么时候走直边什么时候走横边，由组合知识可得不同的方法数，根据分步乘法计数原理可得【详解】分两步，第一步从A到B的最短距离的走法有13434C C，第二步从B到C的最短距离走法有235310C C，由分步乘法计数原理得，总方法数为4 1040 故选：D 7已知向量(2,0,1)n 为平面的法向量，点(1,2,1)A 在内，则点(1,2,2)P到平面的距离为（）A55 B5

6、 C2 5 D510【答案】B【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可【详解】因为(1,2,1)A，(1,2,2)P 所以(2,0,1)PA ，因为平面的法向量(2,0,1)n，所以点P到平面的距离|41|5|5PA ndn.故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题 8 中国南北朝时期的著作 孙子算经 中，对同余除法有较深的研究，设(0)abm m，为整数，若a和b被 m 除得的余数相同，则称a和b对模 m同余，记为(mod)abm.如9 和 21 除以 6 所得的余数都是 3，则记为921(mod 6)，若0122222222222222222aCCCC，(mod10

7、)ab，则b的值可以是（）A2019 B2020 C2021 D2022【答案】A【分析】利用二项式定理化简0122222222222222222aCCCC为11(10 1)，展开可得到a被 10 除余 9，由此可得答案.【详解】0122222222221122222222222(12)39aCCCC 110111101292101011111111111111(101)1010(1)10(1)10(1)(1)CCCCC,所以a被 10 除余 9，第 4 页 共 17 页 2019,2020,2021,2022 除以 10 余 9 的是 2019，故选：A.二、多选题 9下列选项正确的是（）A

8、AC!mmnnm B11AAmmnnm C11CCCmmmnnn D111CC1mmnnnm【答案】ACD【分析】根据排列数和组合数公式，化简，即可求解.【详解】A根据排列和组合数公式，可知 A 显然成立；B.12A()()()1mnnnmnn，11A(1)(2)(1)mnnnnm，所以11AAmmnnn，故 B 不成立；C.1!CC!()!(1)!(1)!mmnnnnm nmmnm !11(1)!()!1nmnmmnm!(1)(1)!()!(1)nnmnmm nm(1)!(1)!nm nm，1(1)!C,!(1)!mnnm nm 故 C 成立；D.11(1)!1!1CC(1)!()!1!()

9、!1mmnnnnnnmnmmm nmm，故 D 成立.故选：ACD 10如图所示，在正方体1111ABCDABC D中，下列结论正确的是（）ABD/平面11CB D B1ACBD C向量AD与1CB的夹角为 60 第 5 页 共 17 页 D1AC 平面11CB D.【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量方法依次判断各选项的对错.【详解】解 以 A 为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为 x轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 1，则有 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(

10、0，1，1)，所以AD(0，1，0)，BD(1，1，0)，1AC(1，1，1)，11BD(1，1，0)，1CB(0，1，1)，对于选项 A，由11BDBD可得11/B DBD，BD 平面11CB D，11B D 平面11CB D，所以/BD平面11CB D，A 正确；对于选项 B，由1AC1 1 00BD 可得1ACBD，B 正确；对于选项 C，由1cos,AD CB11AD CBAD CB120,1802AD CB，故 向量AD与1CB的夹角为135，C 错误；对于选项 D，由1AC11=1 1 00BD，1AC1=0 1 10CB ，所以111ACB D，11ACCB，1111B DCBB

11、，111,B D CB 平面11CB D，所以1AC 平面11CB D，D 正确；故选：ABD.11关于11ab的说法，正确的是（）A展开式中的二项式系数之和为 2048 第 6 页 共 17 页 B展开式中只有第 6 项的二项式系数最大 C展开式中第 6 项和第 7 项的二项式系数最大 D展开式中第 6 项的系数最大【答案】AC【解析】根据二项展开式的二项式系数的性质进行分析可知A正确，B不正确，C正确，根据项的系数的符号可知D不正确.【详解】11ab的展开式中的二项式系数之和为1122048，所以A正确；因为11n为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第 6 项和第 7 项）的二项式系数

12、相等且最大，所以B不正确，C正确；展开式中第 6 项的系数为负数，不是最大值，所以D不正确.故选：AC【点睛】本题考查了二项展开式的二项式系数的性质，考查了二项展开式中项的系数的最值问题，属于基础题.12某医院派出甲、乙、丙、丁 4 名医生到 A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（）A若 C 企业最多派 1 名医生，则所有不同分派方案共 48 种 B若每家企业至少分派 1 名医生，则所有不同分派方案共 36 种 C若每家企业至少分派 1 名医生，且医生甲必须到 A 企业，则所有不同分派方案共 12种 D所有不同分派方案共34种【答案】A

13、BC【分析】选项 A，B，C 均可用分类加法计数原理求解；选项 D 可用分步乘法计数原理求解.【详解】选项 A：若 C企业最多派 1 名医生，则有以下两种情况：派 1 名医生去 C 企业，剩余 3 名医生派到企业 A或企业 B 中，有134232C种；4 名医生全部派到企业 A 或企业 B 中，有4216种.故共有321648种不同分派方案，故选项 A 正确；选项 B：若每家企业至少分派 1 名医生，则有以下三种情况：派 2 名医生去 A 企业，剩余 2 名医生一人去 B 企业，一人去 C 企业，有214212C C 种；派 2 名医生去 B 企业，剩余 2 名医生一人去 A 企业，一人去 C

14、 企业，有214212C C 种；派 2 名医生去 C 企业，剩余 2 名医生一人去 A 企业，一人去 B企业，有214212C C 种.第 7 页 共 17 页 故共有12 12 1236种不同分派方案，故选项 B 正确；选项 C：若每家企业至少分派 1 名医生，且医生甲必须到 A 企业，则有以下三种情况：派医生甲去 A企业，再派一名医生去 A企业，剩余 2 名医生一人去 B企业，一人去 C企业，有11326C C 种不同分派方案；派医生甲去 A企业，派 2 名医生去 B企业，剩余 1 名医生去 C企业，有233C 种；派医生甲去 A企业，派 2 名医生去 C企业，剩余 1 名医生去 B企业

15、，有233C 种.共有63312种不同分派方案，故选项 C 正确；选项 D：第一步：派医生甲去 3 个企业中的任何一个，有 3 种；第二步：派医生乙去 3 个企业中的任何一个，有 3 种；第三步：派医生丙去 3 个企业中的任何一个，有 3 种；第四步：派医生丁去 3 个企业中的任何一个，有 3 种；由分步乘法计数原理知，所有不同分派方案共4381种，故选项 D 错误；故选：ABC.三、填空题 13从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260.【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先

16、排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.详解：若不取零，则排列数为224534C C A,若取零，则排列数为21135333C C A A,因此一共有22421135345333C C AC C A A1260个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法.14如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心E是BD上一点，3,BEED以,AB AC AD为基底，则GE _ 第 8 页

17、 共 17 页 【答案】1131234ABACAD【详解】由题意，连接AE，则32 43GEAEAGABBDAM 321432ABADABABAC（）（）1131234ABACAD .故答案为1131234ABACAD.15空间直角坐标系Oxyz中，经过点000(,)P xy z且法向量为,mA B C的平面方程为0()A xx00)0()B yyC zz，经过点000(,)P xy z且一个方向向量为,0()()nvv 的直线l的方程为000 xxyyzzv，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为270 xyz，经过0,0,0的直线l的方程为352xyz，则直线l与平面所成角大小为

18、_.【答案】6 30【分析】依题意可得平面法向量为1,1,2m，直线方向向量3,5,2n，根据空间向量法求出线面角的大小；【详解】解：由平面的方程为270 xyz得平面法向量为1,1,2m，经过0,0,0直线l的方程为352xyz得直线方向向量3,5,2n，设直线l与平面所成角是，则1 3(1)(5)2(2)1cos,2|1 129252m nm nm n ，第 9 页 共 17 页 又,0,m n，所以,3m n，所以6；故答案为：6 四、双空题 16若554321543210(2)(1)(1)(1)(1)(1)xa xaxa xaxa xa，则12345aaaaa_，3a _；（用数字作答

19、）【答案】1 10【分析】利用赋值法求得12345aaaaa，由二项式展开式的通项公式求得3a.【详解】由554321543210(2)(1)(1)(1)(1)(1)xa xaxa xaxa xa，令1x 得01a ，令2x 得012345123450,1aaaaaaaaaaa.55211xx，所以 2235110aC.故答案为：1；10 五、解答题 17已知在2112nxx的展开式中，第9项为常数项.求：（1）n的值；（2）展开式中5x的系数.【答案】（1）10n （2）1058【详解】分析：（1）根据2112nxx的展开式中，第 9 项为常数项，即可求解n的值；（2）由（1）可得展开式的通

20、项公式，令x的指数幂为 5，求得r的值，即可得到展开式中5x项的系数.详解：（1）在根据2112nxx的展开式中，第 9 项为常数项，则第 9 项的通项公式为88216488220922rnrnnnTCxxCx，所以2200n，解得10n.（2）由（1）可得展开式的通项公式第 10 页 共 17 页 52010201022110102(1)(1)2rrrrrrrrrrTCxxCx ，令52052r，解得6r，则得到展开式中5x项的系数6101105248C.点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项式定理的通项是解答的关键，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题

21、：（1）考查二项展开式的通项公式1Crn rrrnTab；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用 18用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)1和2之间恰有一个奇数，没有偶数；(3)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.【答案】(1)1440(2)720(3)840【分析】（1）不相邻问题插空法（2）先考虑 12 和 21 的情况，再将它们看作一个整体，与其它元素全排列（3）先选 3 个位置排偶数，再在剩下的位置排奇数.【详解】(1)根据题意，分 2 步进行分析：

22、先将 4 个奇数排好，有44A种排法，排好后，有 5 个空位可选，在其中任选 3 个，安排 3 个偶数，有35A种排法，则有43451440A A 个符合题意的七位数；(2)根据题意，分 2 步进行分析：在 1 和 2 之间安排一个奇数，考虑 12 和 21 的情况，有223A种安排方法，将三个数字看成一个整体，与其他 4 个数字全排列，有55120A 种排法，则有25253720A A 个符合题意的七位数；(3)根据题意，分 2 步进行分析：在 7 个数位中任选 3 个，将三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列，有37C种排法，剩下的 4 个数字安排在剩下的 4 个数位上，有44A种排法，第

23、11 页 共 17 页 则有3474840C A 个符合题意的七位数.19在二项式1()2nxx的展开式中，.给出下列条件：若展开式前三项的二项式系数和等于 46；所有奇数项的二项式系数和为 256；若展开式中第 7 项为常数项.试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中的常数项.(备注：如果多个条件分别解答，按第一个条件计分)【答案】(1)356316Tx，326638Tx(2)212【分析】（1）选择由01246nnnCCC求解；选择：由024256nnnCCC 求解；选择：由通项公式为3221C 2rnrr nrn

24、Tx，令3202rn求解；由9n，得到展开式中二项式系数最大的项为第 5 和第 6 项求解；（2）由展开式通项为3189219C2rrrrTx，令31802r 求解.【详解】(1)解：选择：因为展开式前三项的二项式系数和等于 46，所以01246nnnCCC，即(1)1462n nn，即2900nn，即1090nn，解得9n 或10n （舍去）选择：因为所有奇数项的二项式系数和为 256，所以024256nnnCCC，即12256n，解得9n.选择：通项公式为32()2211CC 22n rrrnrn rrr nrnnTxxx，则有3202rn，所以32nr 因为展开式中第 7 项为常数项，即

25、6r，所以9n.所以展开式中二项式系数最大的项为第 5 和第 6 项，5452359163C216Tx xx，453542269163C28Tx xx；第 12 页 共 17 页(2)展开式通项为：9318(9)9221991CC22rrrrrrrrTxxx，令31802r，6r，展开式中常数项为第 7 项，常数项为637921C22T.20设82345678012345678(31)xaa xa xa xa xa xa xa xa x.(1)求02468aaaaa 的值；(2)求12326272727272727SCCCCC除以 9 的余数；(3)求123482348aaaaa的值.【答案】

26、(1)71522(2)7(3)3072【分析】（1）分别令1x 和1x，两式相加即可得结果；（2）根据二项式系数和公式可得9(9 1)1S，再按照二项式定理展开即可得结果；（3）先对函进行求导，再令1x 即可得结果.【详解】(1)（1）对于823801238(31)xaa xa xa xa x 令1x ，得：8012382aaaaa 令1x ，得：8012384aaaaa +得：88024682()24aaaaa 7150246822aaaaa.(2)12326272792727272727CCCCC2181S 9(91)1 09182727278899999999C 9C 9(1)C 9(1

27、)C 9(1)C 9(1)C(1)1 08172627788999999 C 9C 9(1)C 9(1)C 9(1)C(1)2 显然，上面括号内的数为正整数，故求S被 9 除的余数为 7.(3)823801238(31)xaa xa xa xa x 两边求导数得：7127123824(31)238xaa xa xa x，令1x，则有71238242238aaaa，第 13 页 共 17 页 即12382383072aaaa.21如图，在棱长是 2 的正方体1111ABCDABC D中，E为CD的中点.(1)求证：11EBAD；(2)求异面直线1D E与1AB所成角的余弦值；(3)求点1B到平面

28、1AD E的距离.【答案】(1)证明见解析(2)1010(3)6【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【详解】(1)解：因为正方体1111ABCDABC D棱长为 2，故以D为坐标原点，1,DA DC DD所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则有(0,0,0)D，(2,0,0)A，(2,2,0)B，(0,2,0)C，1(0,0,2)D，第 14 页 共 17 页 1(2,0,2)A，1(2,2,2)B，1(0,2,2)C.因为E为CD的中点，所以(0,1,0)E，1(2,1,2)EB，1(2,0,2)AD ，所以112(2)1 02 20

29、EBAD ，所以11EBAD，即11EBAD；(2)解：因为1(0,1,0)(0,0,2)(0,1,2)DE，1(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)AB，所以1111112410cos,10|58D E ABD E ABD EAB，因为异面直线1D E与1AB所成角是锐角，所以异面直线1D E与1AB所成角的余弦值是1010.(3)解：设平面1AD E的法向量是(,)mx y z，则1mAD，mAE，即100m ADm AE，又1(0,0,2)(2,0,0)(2,0,2)AD ，(0,1,0)(2,0,0)(2,1,0)AE ，所以22020 xzxy 令1x，则2y，1z，所以(1,2

30、,1)m，又1(2,1,2)EB，所以点1B到平面1AD E的距离1|222|6|6EB mdm.22四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，四边形ABCD为菱形，60ADC，2PAAD，E为AD的中点.第 15 页 共 17 页 (1)求证：平面PCE 平面PAD；(2)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值；(3)求二面角APDC的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)64(3)77【分析】(1)根据面面垂直的判定定理证明；(2)平面直角坐标系，利用向量方法求解；(3)求二面角的两个半平面的法向量，利用法向量夹角与二面角的平面角的关系结合向量夹角公式求解.【详解】(1)因为四边形ABCD为菱

31、形，所以DADC.又60ADC，所以ADC为等边三角形，即有CACD，又在ADC中，因为E是AD 中点，所以CEAD.因为PA 平面ABCD，CE 平面ABCD，所以CEPA.又PAADA，,PA AD 平面PAD，所以CE 平面PAD，又CE 平面PCE，所以平面PCE 平面PAD.第 16 页 共 17 页 (2)取BC中点为F，则AFBC，又/ADBC，所以AFAD，因为PA 平面ABCD，所以,PAAD PAAF 故以A为坐标原点，以AF，AD，AP所在直线分别为 x轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz.则各点的坐标为：(0,0,0)A，(0,0,2)P，(3,0,0)F，(

32、3,1,0)B，(3,1,0)C，(0,2,0)D，(0,1,0)E.由(1)EC 平面PAD，所以平面PAD的法向量是(3,0,0)EC，又(3,1,2)PC 设直线PC与平面PAD所成角是，36sincos,4|3 143PC ECPC AFPCEC ，直线PC与平面PAD所成角的正弦值是64.(3)设二面角APDC的平面角为，设平面PDC的法向量(,)nx y z，则,nPC nPD所以0,0,n PCn PD 第 17 页 共 17 页 而(3,1,2),(0,2,2)PCPD，则320,220 xyzyz，令1z，则1y，33x，所以)3,1,13(n，又平面PAD的法向量是3,0,0AF，所以17coscos,7|11 133n AFn AFnAF ，所以二面角APDC的平面角的余弦值是77.