2021-2022学年陕西省汉中市高二上学期期末校际联考数学(理)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 13 页 2021-2022 学年陕西省汉中市高二上学期期末校际联考数学（理）试题 一、单选题 1设集合30Ax x，25Bxx，则AB（）A2,3 B3,5 C2,3 D3,5【答案】C【分析】根据集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合 303Ax xx x，25Bxx，根据集合交集的概念及运算，可得|232,3ABxx.故选：C.2命题“0,0 x，002sin0 xx”的否定是（）A0,0 x，002sin0 xx B,0 x ，2sin0 xx C,0 x ，2sin0 xx D0,0 x，002sin0 xx【答案】B【分析】根据存在量词命题的否定是全称

2、量词命题可得答案.【详解】命题“0,0 x，002sin0 xx”的否定是：对(,0)x ，2sin0 xx.故选：B 3如果,a b cR，且ab，那么下列不等式一定成立的是（）Acacb B22ab Cacbc D1ba【答案】B【分析】根据不等式的性质，结合特殊值，即可得出.【详解】对于 A 项，因为ab，所以ab，所以cacb，故 A 项错误；对于 B 项，因为ab，所以ab，所以22ab，故 B 项正确；对于 C 项，因为ab，若0c，则0acbc，故 C 项错误；对于 D 项，取1a，1b，则满足ab，但11ba ，故 D 项错误.第 2 页 共 13 页 故选：B.4已知P是双曲

3、线2222:1(0,0)xyCabab右支上的一点，C的左右焦点分别为12,F F，且118PF，C的实轴长为12，则2PF（）A4 B6 C8 D10【答案】B【分析】根据双曲线的定义可求.【详解】因为P在双曲线2222:1xyCab的右支上，所以12212.PFPFa 又因为118,PF 所以218 126PF.故选：B.5如图，在长方体1111ABCDABC D中，设AB a=，ADb，AAc，则A C（）Aabc Babc Cabc Dabc【答案】D【分析】根据向量线性运算直接求解即可.【详解】A CACAAABADAAabc.故选：D.6已知平面的一个法向量为2,1,3，平面的一个

4、法向量为3,9,1，则平面和平面的位置关系是（）A平行 B垂直 C相交但不垂直 D重合【答案】B【分析】利用数量积运算可证得法向量互相垂直，由此可得结论.【详解】将平面的法向量记为2,1,3m，平面的法向量记为3,9,1n，6930m n，mn，则.故选：B.7设mR，则“3m ”是“直线1:32lmxym与2:(2)1lxmy平行”的（）第 3 页 共 13 页 A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要的条件【答案】C【分析】由直线1:32lmxym与2:(2)1lxmy平行，可得312mm且211mm，解出即可判断出【详解】解：直线1:32lmxym与2:(2

5、)1lxmy平行，则312mm且211mm，解得3m ，因此“3m ”是“直线1:32lmxym与2:(2)1lxmy”平行的充要条件.故选：C.8下列函数中，最小值是 2 的是 A1yxx B1lg110lgyxxx C33xxy D1sin0sin2yxxx【答案】C【分析】结合基本不等式以及各个选项的定义域，即可求出y的取值范围.【详解】解：A：当0 x 时，10 x，最小值不是 2，故 A 错误；B：当110 x时，0lg1x，则11lg2 lg2lglgyxxxx，当且仅当1lglgxx，即10 x 时等号成立，故当110 x时，2y，B 错误；C：233323xxxxy，当且仅当3

6、3xx，即0 x 时等号成立，C 正确；D：因为02x，所以0sin1x，所以11sin2 sin2sinsinyxxxx，当且仅当1sinsinxx，即sin1x 时等号成立，由0sin1x得2y，D 错误.故选:C.【点睛】本题考查了基本不等式.在用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.9已知命题p：若直线l的方向向量与平面的法向量垂直，则l；命题q：等轴双曲线的离心率为2，则下列命题是真命题的是（）Apq B pq Cpq Dpq【答案】D 第 4 页 共 13 页【分析】先判断出 p、q的真假，再分别判断四个选项的真假.【详解】因为“若直线l的方向向量与平面的法向量垂直，则l或l”，

7、所以 p为假命题；对于等轴双曲线，ab，所以离心率为22222cabaeaaa，所以 q为真命题.所以pq为假命题，故 A 错误；pq 为假命题，故 B 错误；pq 为假命题，故 C 错误；pq为真命题，故 D 正确.故选：D 10如图，抛物线形拱桥的顶点距水面 2 米时，测得拱桥内水面宽为 12 米，当水面升高 1 米后，拱桥内水面宽度是 A62米 B66米 C32米 D36米【答案】A【分析】建立直角坐标系，求抛物线方程，再求结果.【详解】一抛物线顶点为坐标原点，平行水面的直线为 x 轴建立直角坐标系，如图，可设抛物线方程为2xmy，因为过点6,2，所以2262,18,18m mxy ，令

8、1y ，则3 226 2xx，选 A.【点睛】本题考查抛物线标准方程，考查基本分析判断能力，属基础题.11函数 221f xxxa有两个不同的零点，则实数 a的取值范围是（）A1a B12a C1a 或2a D2a 或1a【答案】D 第 5 页 共 13 页【分析】令22yxx，根据图象交点有两个即可求解参数【详解】由 2210f xxxa 得221xxa 令22yxx，如图所示：当11a 时，即2a，221xxa 有两个根；当10a时，即1a，221xxa 有两个根；所以2a 或1a时，函数 221f xxxa有两个不同的零点 故选：D 12将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，得到如图

9、所示的三棱锥ABCD，其中O为BD的中点，则下列结论错误的是（）ABD平面AOC B平面ABC与平面BCD所成角的余弦值为33 CAC与BD所成的角为90 DAD与BC所成的角为30【答案】D【分析】根据题意，利用线面垂直的判定定理可以证明 A 正确；由于BD平面AOC，可得 C 正确；建立空间直角坐标系，设出三棱锥的棱长，求出平面ABC与平面BCD的法向量，计算可得 B 正确；第 6 页 共 13 页 求出AD与BC的方向向量，通过其方向向量计算异面直线所成的角,得 D 错误.【详解】因为折叠前ABCD为正方形，由题意则折叠后有AOBD，COBD，又AO 平面AOC，CO 平面AOC，AOC

10、OO，所以BD平面AOC，故 A 正确；又AC平面AOC，所以ACBD，AC与BD所成的角为90，故 C 正确；因为二面角ABDC为直二面角，而BD平面AOC，所以AOC为二面角ABDC的平面角，即AOOC，如图所示，以,OB OC OA所在直线为,xy z轴建立空间直角坐标系Oxyz，设2AB，则 2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,0BCAD，2,0,2AB，2,2,0BC ，2,0,2AD 设平面ABC的法向量为,nx y z，则220220n ABxzn BCxy 令1x，则可得1,1,1n，取平面BCD的法向量为0,0,1m，平面ABC与平面BCD所成角的余弦值为13cos,

11、=33 1m nm nm n，故 B 正确；设AD与BC所成的角为，则21coscos,=2 22AD BCAD BCAD BC，又因为090，所以60，故 D 错误.故选：D.二、填空题 13已知直线l的方向向量为(1,1,2)e ，平面的法向量为1(,1)()2nR，若l，则实数第 7 页 共 13 页 的值为_.【答案】12【分析】由l，得出e与n平行，利用向量的共线关系求解即可【详解】由题意得，l，所以e与n平行，则存在实数m使得=e m n，即1(1,1,2)(,1)2m，可得1212mmm ，所以，12，2m ，答案为：12【点睛】本题考查空间向量的共线问题，属于基础题 14若椭圆

12、222210 xyabab的离心率为32，短半轴长为2，则该椭圆的长半轴长为_【答案】4【分析】根据离心率、短半轴长和椭圆,a b c关系，可构造方程组求得a的值.【详解】由题意知：222322cababc，解得：216a，4a，即椭圆的长半轴长为4.故答案为：4.15用半径为 4 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为_.【答案】8 33【分析】由半圆弧长可求得圆锥的底面半径，从而得到圆锥的高，代入圆锥体积公式求得结果.【详解】半圆的弧长为：12442 42 R 即圆锥的底面半径为：2R 圆锥的高为：22422 3h 第 8 页 共 13 页 圆锥的体积为：218 322 333V

13、 本题正确结果：8 33【点睛】本题考查圆锥侧面积、体积的相关问题的求解，属于基础题.16设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为F，以线段OF（O为坐标原点）为直径的圆交双曲线C的一条渐近线于O A两点，且2OAAF，则双曲线C的离心率为_【答案】52【分析】根据题意可得OAAF，再结合渐近线的斜率与离心率的关系列式求解即可.【详解】因为以线段OF（O为坐标原点）为直径的圆交双曲线C的一条渐近线于OA、两点，故OAAF.又根据渐近线的斜率可得1tan2bAFAOFaOA，故离心率2512cbaa.故答案为：52 三、解答题 17已知等比数列 na中，11a，418a (1)求数

14、列 na的通项公式；(2)设2lognnba，求数列 nb的前n项和nS【答案】(1)112nna(2)(1)2nn nS 【分析】（1）根据条件求出q即可；（2）1221loglog12nnnban，然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.【详解】（1）设等比数列 na的公比为q，有34118aqa，解得12q 故数列 na的通项公式为112nna；第 9 页 共 13 页（2）1221loglog12nnnban，故数列 nb的前n项和(1)2nn nS 18ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知coscos2 cosbCcBaB(1)求角B的大小；(2)若3b，2ca，求

15、ABC的面积【答案】(1)3B (2)3 32 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简求得cosB，进而得到B；（2）利用余弦定理可求得a，代入三角形面积公式即可.【详解】（1）由正弦定理得：sincossincos2sincosBCCBAB，即sinsin sin2sincosBCAAAB，0,A，sin0A，1cos2B，又0,B，3B.（2）由余弦定理得：2222222cos429bacacBaaa，解得：3a，22 3ca，1133 3sin3 2 32222ABCSacB.19面对当前严峻复杂的疫情防控形势，为更好教育引导群众理性对待疫情、科学防控疫情，陕西新华出版

16、传媒集团迅速推出2022版新型冠状病毒肺炎防护知识读本、新冠肺炎防控与心理干预100问2种抗疫电子出版物为了解某市市民对这两种抗疫电子出版物的理解情况，从该市10岁60岁的人群中随机抽取了100人进行调查，并将这100人按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示 (1)求图中a的值；(2)将频率视为概率，现从该市年龄在20,30，30,40这两个年龄段的人群中利用分层抽样的方法第 10 页 共 13 页 抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，求这2人来自不同年龄段的概率【答案】(1)0.005a (2)35 【分析】（1）根据频率和为1可构造方程求得结果；（2）根据分层抽样原则可知年龄在2

17、0,30和30,40两组中分别抽取的人数，采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】（1）由频率分布直方图可知：0.020.030.0250.02101a，解得：0.005a （2）20,30，30,40的频率之比为0.220.33，应从年龄在20,30中抽取2人，记为,a b，从年龄在30,40中抽取3人，记为,C D E，从5人中随机抽取2人，所有可能的情况有：,a b，,a C，,a D，,a E，,b C，,b D，,b E，,C D，,C E，,D E，共10种；其中2人在不同年龄段的情况有：,a C，,a D，,a E，,b C，,b

18、 D，,b E，共6种；这2人来自不同年龄段的概率63105P 20已知抛物线C：22(0)ypx p.（1）若直线20 xy经过抛物线C的焦点，求抛物线C的准线方程；（2）若斜率为-1 的直线经过抛物线C的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，当2AB 时，求抛物线C的方程.【答案】(1)2x.(2)2yx.【分析】（1）由抛物线的焦点的位置，可以判断出直线20 xy与横轴的交点坐标就是抛物线C的焦点，这样可能直接写出抛物线的准线方程；（2）写出斜率为-1 经过抛物线C的焦点F的直线的方程，与抛物线方程联立，根据抛物线的定义和根与系数的关系可以求出AB，结合已知2AB，求出的值，写出抛物线的方

19、程.【详解】(1)直线20 xy经过抛物线C的焦点，抛物线C的焦点坐标为(2,0)，抛物线C的准线方程为2x.第 11 页 共 13 页（2）设过抛物线C的焦点且斜率为-1 的直线方程为2pyx ，且直线与C交于，由222pyxypx 化简得22304pxpx，.1242ABxxpp，解得12p，抛物线C的方程为2yx.【点睛】本题考查了已知抛物线过定点，求抛物线的标准方程，以及运用抛物线的定义求其标准方程的问题.21在三棱柱111ABCABC中，侧棱1AA 底面ABC，90BAC，12ABACAA，,M N分别是1,AB AC的中点请用空间向量知识解答下列问题：(1)求证：/MN平面11BC

20、C B；(2)求直线1BC与平面1MBC夹角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)23 【分析】（1）以1A为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量坐标运算可得112MNBC，知1/MN BC，根据线面平行的判定可得结论；（2）利用线面角的向量求法可直接求得结果.【详解】（1）以1A为坐标原点，11111,AB AC A A正方向为,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，第 12 页 共 13 页 则12,0,0B，2,0,2B，10,2,0C，0,2,2C，1,0,2M，0,1,1N，1,1,1MN，12,2,2BC ，112MNBC，1/MN BC，又1BC 平面11BCC B，MN平

21、面11BCC B，/MN平面11BCC B.（2）由（1）知：12,2,2BC ，11,0,2MB，12,2,2BC ，设平面1MBC的法向量,nx y z，则11202220MB nxzBC nxyz，令1z，解得：2x，1y，2,1,1n，11142cos,32 36BC nBC nBCn，即直线1BC与平面1MBC夹角的正弦值为23.22已知12,F F分别是椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点，22,0F，点P在椭圆C上且满足122 6PFPF(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为1的直线l与椭圆C相交于,A B两点，若6AB，求直线l的方程【答案】(1)22162xy(2)2y

22、x或2yx 【分析】（1）根据椭圆定义、焦点坐标和椭圆,a b c关系直接求解即可；（2）设:l yxm，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，利用弦长公式可构造方程求得m，进而得到直线方程.【详解】（1）由椭圆定义知：1222 6PFPFa，解得：6a，第 13 页 共 13 页 又22,0F，即2c，2222bac，椭圆C的方程为：22162xy.（2）设直线:l yxm，11,A x y，22,B xy，由22162yxmxy得：2246360 xmxm，223616 360mm，解得：2 22 2m；1232mxx，212364mx x，222121292423664mABxxx xm，解得：2m ，直线l的方程为：2yx或2yx.