2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 21 页 2022-2023 学年湖北省武汉外国语学校高二上学期期末数学试题 一、单选题 1抛物线24yx的焦点到准线的距离为（）A116 B18 C1 D2【答案】B【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.【详解】由24yx，可得214xy，所以18p，即焦点到准线的距离是18.故选：B.2若方程22216xyaa表示焦点在y轴上的椭圆,则实数a的取值范围是（）A3a B2a C3a 或2a D20a 或03a【答案】D【分析】根据椭圆焦点在y轴上,可得226,0aaa,解出范围即可.【详解】解:由题知22216xyaa表示焦点在y轴上的椭圆,则有:2260aaa,解得:2

2、0a 或03a.故选:D 3已知直线1:(2)310lmxy 与直线2:(2)10lmxmy 相互平行，则实数 m 的值是（）A4 B1 C1 D6【答案】A【分析】根据直线平行则它们的法向量也互相平行可解，需要验算.【详解】11:(2)310,2,3lmxynm，22:(2)10,2,lmxmynm m 12/,223,nnmmm 第 2 页 共 21 页 解之：4,1m 经检验4m 故选：A.4在正方体中，E、F、G、H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E、F、G、H四点共面的是（）A B C D【答案】B【分析】对于 B，证明/EHFG即可；而对于 BCD，首先通过辅助线找到其中三点所

3、在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可.【详解】对于选项A，如下图，点E、F、H、M确定一个平面，该平面与底面交于FM，而点G不在平面EHMF上，故E、F、G、H四点不共面；对于选项B，连结底面对角线AC，由中位线定理得/FGAC，又/EHAC，则/EHFG，故E、F、G、H四点共面 对于选项 C，显然E、F、H所确定的平面为正方体的底面，而点G不在该平面内，故E、F、G、H四点不共面；对于选项 D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点E、G、H确定的平面，该平面与正方体正面的交线为PQ，而点F不在直线PQ上，故E、F、G、H四点不共面 第 3 页 共 21 页 故选：B

4、5 已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，点E为棱AB的中点，则点A到平面1EBC的距离为（）A63 B34 C66 D55【答案】A【分析】利用等体积法结合条件即得.【详解】由于E是AB的中点，所以A到平面1EBC的距离等于B到平面1EBC的距离，设这个距离为h，由题可知2211215,2 2B ECEBC，所以 12212 25262B CES，由于11BBCEB B CEVV，所以1111 226323h，所以63h.故选：A 6设等比数列 na中，1232aaa，4564aaa，则101112aaa（）A16 B32 C12 D18【答案】A【分析】利用等比数列的性质求出公

5、比，代入计算即可.【详解】由题，3456123422aaaqaaa 第 4 页 共 21 页 则933101112123()2()16aaaaaa qq 故选：A.7若数列 na是等差数列，首项10a，公差2023202220230,0daaa，则使数列 na的前n项和0nS 成立的最大自然数n是（）A4043 B4044 C4045 D4046【答案】B【分析】根据等差数列的单调性，结合等差数列前n项和公式及等差数列的性质进行求解即可.【详解】因为 na是等差数列，首项10a，公差0d，所以 na是递减数列，又因为2023202220230aaa，所以20222023202220232022

6、20230,0,0aaaaaa，所以14045404520234045404502aaaS，1404420222023404440244024022aaaaS，所以使数列 na的前n项和0nS 成立的最大自然数n是 4044.故选：B.8已知中心在坐标原点的椭圆 C1与双曲线 C2有公共焦点，且左，右焦点分别为 F1，F2，C1与 C2在第一象限的交点为 P，PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|10，C1与 C2的离心率分别为 e1，e2，则122ee的取值范围是（）A12,2 B5,3 C1,D5,6【答案】B【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为 c，|PF1|m，|PF2|n

7、，mn，由条件可得 m10，n2c，再由椭圆和双曲线的定义可得125,55ac ac c，运用三角形的三边关系求得 c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为 c，|PF1|m，|PF2|n，mn，第 5 页 共 21 页 由于 PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10，则有 m10，n2c，由椭圆的定义可得12mna，由双曲线的定义可得22mna，即有125,55ac ac c，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2210cc，可得52c，即有552c，由离心率公式可得12122510225525555cccccceeaacccc 105

8、2111 55555cccc ，因为552c，所以155102c，5502c，则11210515c，1255c，故2125515cc，2125553cc，则2151 5553cc，即12325ee，故122ee的取值范围是5,3.故选：B 二、多选题 9已知数列 na的前n项和为nS，下列说法正确的是（）A若2bac，则,a b c成等比数列 B若 na为等差数列，则 2na为等比数列 C若21nSn，则数列 na为等差数列 D若31nnS，则数列 na为等比数列【答案】BD【分析】根据等比数列的概念可判断 AB，利用na与nS的关系结合等差数列等比数列的定义可判断CD.【详解】对于 A，当0

9、abc时，2bac，而,a b c不是等比数列，故 A 错误；对于 B，若 na为等差数列，设公差为d，则1122202nnnnaaada，所以 2na为等比数列，故 B 正第 6 页 共 21 页 确；对于 C，由21nSn，可得1232,3,5aaa，2132a aa，所以 na不是等差数列，故 C 错误；对于 D，由31nnS，当1n 时，12a，当2n时，111332 3nnnnnnaSS，此时12a，所以12 3nna，13nnaa，na为等比数列，故 D 正确.故选：BD.10已知圆221:230Oxyx和圆222:210Oxyy交于,A B两点，则（）A两圆的圆心距122OO B

10、直线AB的方程为10 xy C2AB D圆1O上的点到直线AB的最大距离为22【答案】BD【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，由两点间距离公式可求得圆心距，知 A 错误；两圆方程作差即可求得AB方程，知 B 正确；利用垂径定理可求得 C 错误；利用圆上点到定直线距离最大值为圆心到直线距离加半径可求得 D 正确.【详解】由圆1O的方程知：圆心11,0O，半径114 1222r；由圆2O的方程知：圆心20,1O，半径214422r；对于 A，圆心距2212112OO，A 错误；对于 B，两圆方程作差可得直线AB方程为：2220 xy，即10 xy，B 正确；对于 C，圆心1O到直线AB的距离222

11、d，22122 2ABrd，C 错误；对于 D，圆1O上的点到直线AB的最大距离为122rd，D 正确.故选：BD.11动点(,)M x y分别到两定点 5,05,0，连线的斜率的乘积为1625，设(,)M x y的轨迹为曲线C，12,FF分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中正确的有（）A曲线C的焦点坐标为12,0330FF；B若1203FM F，则1216 33FMFS；第 7 页 共 21 页 C12FMF的内切圆的面积的面积的最大值为94；D设 322A，则1MAMF的最小值为152【答案】ACD【分析】根据动点到两个定点连线斜率的乘积为定值可求得曲线的方程，可得到椭圆的焦点坐标，根据

12、椭圆焦点三角形的面积公式可得焦点三角形面积，当焦点三角形内切圆半径最大时面积最大，根据动点在椭圆上方运动的特点可知半径变化是由小到大再变小，当动点在上顶点处内切圆半径最大，利用等面积法可求得内切圆半径；利用椭圆定义将动点到左焦点的距离转化为动点到右焦点的距离的差，当点 M 在 A 的上方时有最大值.【详解】由题意可知:165525yyxx 化解得221,(5)2516xyx，A 项：22225 169cab，3c，即曲线 C 的焦点坐标为12,0330FF，故A 项正确；B 项：先推导焦点三角形面积公式：在12MF F中，设12FMF，11MFr，22MFr，由余弦定理得 222121212c

13、os2MFMFFFMFMF2221212(2)2rrcr r 22121 21 2()242rrrrcrr221 21 2(2)242arrcrr 221 21 24()22acrrrr21 21 22brrrr 21 21 2cos2rrbrr,即21 221 cosbrr，1 221 2112sinsin221cosMF FbSrr2sin1cosb=2tan2b 1 23016 tan=16(2-3)2FFS。M故 B 项错误；C 项：在三角形12MF F中，设内切圆的半径为 r，由椭圆形定义1210MFMF，126FF ，1 212121()2MF FSMFMFFFr2tan2b，解得

14、2tan2r（30tan()24），当 M 在上顶点时，3tan24，内切圆半径 r 取最大值，内切圆最大面积为94，故 C 正确；D 项：在三角形12MF F中,1210MFMF,则2110MAMFMAMF，当2MAF、三点共线，并且 M 在 A 的上方时，1MAMF有最小值，即 min12515101022AMFAMF（），故 D 项正确.第 8 页 共 21 页 故选：ACD【点睛】本题考查了圆锥曲线方程的求解、圆锥曲线焦点三角形的性质、椭圆第一定义的应用、数形结合的思想，属于较难题目，解题中首先对椭圆性质要准确掌握，可以简化计算，其次对字母运算能力要求较高.12如图，已知正方体1111

15、ABCDABC D的棱长为 2，E，F，G分别为AB，AD，11BC的中点，以下说法正确的是（）A1AC 平面EFG B三棱锥CEFG的体积为3 C异面直线EF与AG所成的角的余弦值为23 D过点EFG作正方体的截面，所得截面的面积是3 3【答案】AD【分析】对于 A，根据线面垂直，证得线线垂直，利用线面垂直判定定理，可得答案；对于 B，根据三棱锥体积公式计算，结合正方体的性质，可得答案；对于 C，根据异面直线夹角的定义，利用几何法，结合余弦定理，可得答案；对于 D，利用平行进行平面延拓，根据正六边形的面积公式，可得答案.【详解】，连接1AC、1AB、AC，如下图：,E F分别为,AB AD的

16、中点，且AC为正方形ABCD的对角线，ACEF，第 9 页 共 21 页 在正方体1111ABCDABC D中，1AA 平面ABCD，且EF 平面ABCD，1AAEF，1ACAAA，1,AC AA 平面1A AC，EF平面1A AC，1AC 平面1A AC，1EFAC，同理可得11ABAC，,F G分别是11,AD BC的中点，1/AFBG，1AFBG，即1/ABGF，1ACFG，EFFGF，,EF FG 平面EFG，1AC平面EFG，故 A 正确；对于 B，取BC中点H，连接GH，CG，CE，CF，如下图：,G H分别为11,BC BC的中点，GH 平面ABCD，设正方形ABCD的面积4S，

17、1341 122CEFAEFCEBCDFSSSSS ，113C EFGG CEFCEFVVGH S，故 B 错误；对于 C，连接AG，1FC，CE，CF，1C E，如下图：,F G分别为11,AD BC的中点，1/AFC G，1AFC G，则1/AGFC，故1C FE为异面直线EF与AG所成的角或其补角，222EFAEAF，22221113ECCECCCBBEC E，222221113FCCCCFCCCDDF，第 10 页 共 21 页 22211119292cos262 32C FEFC EC FEC F EF，异面直线EF与AG所成的角的余弦值为26，故 C 错误；对于 D，取1BB的中点

18、H，11C D的中点J，1DD的中点I，连接EH，HG，GJ，JI，IF，如下图：易知/EFJG，/GHFI，/IJEH，且正六边形EFIJGH为过点EFG作正方体的截面，则其面积为 2162sin603 32S，故 D 正确.故选：AD.三、填空题 13写出与圆221xy和22(3)(4)16xy都相切的一条直线的方程_【答案】3544yx 或7252424yx或=1x【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】方法一：显然直线的斜率不为 0，不妨设直线方程为0 xbyc，于是2|11cb，2|34|4.1bcb 故221cb，|34|4|.bcc于是344bcc或344bcc，再结

19、合 解得01bc或247257bc 或4353bc，所以直线方程有三条，分别为10 x，724250 xy，3450.xy(填一条即可)方法二：设圆221xy的圆心(0,0)O，半径为11r，第 11 页 共 21 页 圆22(3)(4)16xy的圆心(3,4)C，半径24r，则12|5OCrr，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10 x 符合题意；又由方程22(3)(4)16xy和221xy相减可得方程3450 xy，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线 OC 的方程为430 xy，直线 OC 与直线10 x 的交点为4(1,)3，设过该点的直线为4(1)3

20、yk x，则24311kk，解得724k，从而该切线的方程为724250.(xy填一条即可)方法三：圆221xy的圆心为0,0O，半径为1，圆22(3)(4)16xy的圆心1O为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为22345，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，第 12 页 共 21 页 当切线为 l时，因为143OOk，所以34lk ，设方程为3(0)4yxt t O到 l的距离|19116td，解得54t，所以 l的方程为3544yx，当切线为 m时，设直线方程为0kxyp，其中0p，0k，由题意22113441pkkpk，解得7242524kp，7252424yx 当切线为 n 时，易知切

21、线方程为=1x，故答案为：3544yx 或7252424yx或=1x.14已知抛物线22(0)ypx p的弦AB过其焦点F，若112AFBF，则p的值为_.【答案】1【分析】由题可设:2pAB xty，联立抛物线方程，根据韦达定理及抛物线的定义可得112AFBFp，即得.【详解】由抛物线22(0)ypx p可知,02pF，设:2pAB xty，1122,A x yB x y，第 13 页 共 21 页 由222pxtyypx，可得2220yptyp，所以2212212121222,44y ypyypt y ypx xp，所以1212222121212121111222224424xxpxxpp

22、ppppppAFBFpxxx xxxxx，所以1p.故答案为：1.15已知三棱锥OABC中，,OA OB OC两两垂直，2,1OAOCOB，则直线OB与平面ABC所成的角的正弦值为_.【答案】63【分析】利用坐标法，求平面 ABC的法向量m，根据线面角的向量求法即得【详解】因为,OA OB OC两两垂直，以O为原点，,OB OC OA为,x y z轴的正方向的空间直角坐标系，(0,0,2)A，(1,0,0)B，(0,2,0)C，则(1,0,2)AB，(0,2,2)AC，(1,0,0)OB，若(,)mx y z是平面 ABC的一个法向量，则20220AB mxzAC myz，令1y，则(2,1,

23、1)m，26cos,36 1OB mOB mOB m，故直线 OB与平面 ABC所成角的正弦值为63.故答案为：63.第 14 页 共 21 页 四、双空题 16某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm的长方形纸，对折 1 次共可以得到10dm 12dm，20dm6dm两种规格的图形，它们的面积之和21240dmS，对折 2 次共可以得到5dm 12dm，10dm6dm，20dm 3dm三种规格的图形，它们的面积之和22180dmS，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折n次，那么1nkkS_2dm.【答案】5

24、 415 37202nn【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得nS，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）由对折 2 次共可以得到5dm 12dm，10dm6dm，20dm 3dm三种规格的图形，所以对着三次的结果有：5312 5 610 3 2022，；，共 4 种不同规格（单位2dm)；故对折 4 次可得到如下规格：5124，562，5 3，3102，3204，共 5 种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为 1202dm,第 n次对折后的图形面积为111202n，对于第 n此对折后的图

25、形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为1n种（证明从略），故得猜想1120(1)2nnnS，设0121112011202120312042222nknknSS，则12111202120 3120120(1)22222nnnnS，两式作差得：211201111124012022222nnnS 1160 1120122401212nnn 112011203120360360222nnnnn，因此，4240315372072022nnnnS.第 15 页 共 21 页 故答案为：5；41537202nn.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（

26、2）对于n na b结构，其中 na是等差数列，nb是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于nnab结构，利用分组求和法；（4）对于11nna a结构，其中 na是等差数列，公差为0d d，则111111nnnna adaa，利用裂项相消法求和.五、解答题 17已知直线:21370lmxm y和圆22:9O xy(1)求证：直线l过定点，并求这个定点(2)若直线l截圆O所得的弦长为4 2，求直线l的方程【答案】(1)证明见解析，定点1,2P；(2)1x 或3450 xy.【分析】（1）根据方程的性质进行求解即可；（2）根据弦长公式及点到直线的距离公式即得.【详解】（1）直线l：21370mxm

27、 y，即3720 xymxy，令20370 xyxy，解得12xy，所以直线l过定点1,2P；（2）由圆22:9O xy，可得圆心0,0，半径为 3，又直线l截圆O所得的弦长为4 2，所以圆心到直线l的距离29(2 2)1d，第 16 页 共 21 页 所以2271(21)(3)mm，解得3m 或135m ，所以直线l的方程为1x 或3450 xy.18在平面直角坐标系中，椭圆C：222210 xyabab的离心率为33，焦距为2 3.(1)求椭圆C的方程.(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为60的直线与椭圆交于A，B两点，求AOB的面积.【答案】(1)22196xy(2)3611 【分析】(1

28、)根据离心率和焦距就可得到,a c，再根据222bac可求得b.(2)根据题意设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，求出两根之和，两根之积，再表示出三角形的面积，代入两根之和，两根之积，即可求出结果.【详解】（1）因为椭圆离心率为33cea，焦距22 3c，则解得3,3,6acb，所以椭圆方程为22196xy.（2）已知椭圆方程22196xy，左焦点为(3,0)F，若倾斜角为60，则斜率为tan603，过左焦点且倾斜角为60的直线方程为：3(3)yx 设,A B点的坐标分别为1122(,),(,)x yxy，则12121213333222AOBSOF yyxxxx 联立方程组221963(3)x

29、yyx得，21118 390 xx，所以128 311xx，12911x x 21212124xxxxx x218 3924()4111111 所以12332436221111AOBSxx.所以AOB的面积为3611.19设 na是等差数列，nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab.第 17 页 共 21 页(1)求 na，nb的通项公式；(2)求数列nnab的前n项和nS.【答案】(1)21nan，12nnb；(2)221nnSn.【分析】（1）设公差为d，公比为q0q，根据已知列出方程可求出2d，2q，代入通项公式，即可求出结果；（2）分组求和，分别求出 na

30、和 nb的前n项和，加起来即可求出结果.【详解】（1）设 na公差为d，nb公比为q0q，因为111ab，则由3521ab可得，41221dq，即4202qd，由5313ab可得，21413dq，解得2124qd，则3d.所以有24202124qdd，整理可得2847620dd，解得2d 或3138d（舍去）.所以2d，则2124 24q ，解得2q （舍去负值），所以2q.所以有1 2121nann，111 22nnnb.（2）由（1）知，21nan，12nnb，则1212nnnabn.1122nnnSababab1212nnaaabbb11 211221 2nn nn 221nn.20如图

31、所示，四棱锥PABCD中，平面PAD 平面,2ABCD PAPD，四边形ABCD为等腰梯形，1/,12BCAD BCCDAD (1)求证：PBAC 第 18 页 共 21 页(2)求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2)17.【分析】（1）取AD中点O，根据面面垂直的性质可得PO平面ABCD，结合条件建立坐标系，利用坐标法即得；（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.【详解】（1）取AD中点O，连接PO，因为PAPD，所以POAD，又平面PAD 平面ABCD，平面PAD 平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD，取BC的中点M，连接OM，

32、因为ABCD为等腰梯形，所以OMAD，如图建立空间直角坐标系，则3 1310,0,1,0,1,0,0,1,0,0,02222PADCB，所以313 3,1,02222PBAC，所以33044PB AC，所以PBAC；（2）由（1）知3 131,0,0,1,1,0,0,1,12222ABPDDCPA，设平面PAB的一个法向量为,nx y z，第 19 页 共 21 页 则031022n PAyzn ABxy ，令1x，可得1,3,3n，设平面PCD的一个法向量为,ma b c，则031022m PDbcm DCab，令1a，可得1,3,3m，设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为，则1 331

33、coscos,777m nm nm n，即平面PAB与平面PCD所成的锐二面角余弦值为17.21已知数列 na满足111,4nnnaa a(1)求数列 na的通项公式(2)记42444642loglogloglognnbaaaa，求数列1nb的前n项和nT【答案】(1)12,2,nnnnan为奇数为偶数；(2)21nnTn.【分析】（1）由题可得 na的奇数项和偶数项分别是等比数列，利用等比数列的通项公式即得；（2）由题可得12nn nb，然后根据裂项相消法即得.【详解】（1）由14nnna a，可得1124nnnaa，两式相除得24nnaa，所以 na的奇数项和偶数项分别是以 4 为公比的等

34、比数列，由11a，124a a，可得24a，第 20 页 共 21 页 当n为奇数时，1112142nnnaa，当n为偶数时，1122244 42nnnnaa，所以12,2,nnnnan为奇数为偶数；（2）因为42444642loglogloglognnbaaaa 242444log 2log 2log 2n 1122n nn，所以1211211nbn nnn，所以111211111112 121231234nTnnnnn.22 已知圆22:(3)4Mxy和点3,0,NP是圆M上任意一点，线段NP的垂直平分线与直线MP相交于点Q(1)求点Q的轨迹C的方程(2)设过点3,0F的直线l交C于,A

35、B，在x轴上是否存在定点T，使得TA TB为定值？若存在，求出定点T的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.【答案】(1)2218yx；(2)存在定点9,0T，使得TA TB为定值 80.【分析】（1）根据双曲线的定义即得；（2）假设存在点,0T t，可设直线:3l xmy，利用韦达定理法表示出TA TB，结合条件即得.【详解】（1）因为线段NP的垂直平分线与直线MP相交于点Q，所以QNQP，所以226QMQNQPQNMN-，所以点Q的轨迹为以,M N为焦点的双曲线，设其方程为22221(0,0)xyabab，则22,261,3,2 2acacb，第 21 页 共 21 页 所以点Q的轨迹C的方

36、程为2218yx；（2）假设存在点,0T t使得TA TB为定值，当直线l不与x轴重合时，设直线1122:3,l xmyA x yB xy，由22183yxxmy，可得222816890mxxm，228148640mymy，所以212121222268964,818181mxxx xy ymmm，所以21212121212TA TBxtxty yx xt xxty y 2222222289664865581818181mtmtttmmmm，为定值，即与m的值无关，则必有865581t，解得9t ，此时点9,0,80TTA TB，当直线l与x轴重合时，可知1,0,1,0AB，对于点9,0,8 1080TTA TB，所以存在定点9,0T，使得TA TB为定值 80.