2022-2023学年北京市第八中学高一上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年北京市第八中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 1已知ab，Rc，则下列不等式中恒成立的是（）A11ab B22ab Cacbc Dacbc【答案】D【分析】直接利用特殊值检验及其不等式的性质判断即可.【详解】对于选项 A，令2a，1b，但 11ab，则 A 错误；对于选项 B，令2a，3b，但22ab，则 B 错误；对于选项 C，当0c时，acbc，则 C 错误；对于选项 D，有不等式的可加性得acbc，则 D 正确，故选：D.2已知0.20.32log 0.2,2,0.2abc，则 Aabc Bacb Ccab Dbca【答案】B【分析】

2、运用中间量0比较,a c，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a 0.20221,b 0.3000.20.21,则01,cacb故选 B【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法，利用转化与化归思想解题 3已知0 x，则2xx的最小值为（）A2 B2 C2 2 D4【答案】C【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【详解】因为0 x，则2222 2xxxx，当且仅当2xx，即2x 时取“=”，所以2xx的最小值为2 2.故选：C 4下列函数在其定义域内是增函数的是（）A2xy B2logyx C1yx D23yx 第 2

3、 页 共 15 页【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性依次判断即可.【详解】选项 A：2xy 在定义域(,)上是增函数，正确；选项 B：2logyx在定义域(0,)上是增函数，所以2logyx 在定义域(0,)上是减函数，错误；选项 C：1yx 的定义域为(,0)(0,)，1yx 在(,0)和(0,)上是增函数，当120 xx时，1211xx，C 错误；选项 D：23yx的定义域为(,)，因为203，由幂函数的性质可得23yx在(0,)上单调递增，又因为23yx是偶函数，由对称性可得23yx在(,0)单调递减，D 错误；故选：A 5已知a，b是不共线的向量，ABab，()A

4、CabR，那么A，B，C三点共线的充要条件为（）A2 B1 C1 D1【答案】B【分析】若A、B、C三点共线，则向量AC与AB平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列式，即可找出使A、B、C三点共线的充要条件【详解】解：若A、B、C三点共线，则向量/ACAB 即存在实数k，使得ABk AC，ABab，ACab()abk ab，可得1kk，消去k得1 即A、B、C三点共线的充要条件为1 故选：B 6 设 f x为R上的奇函数，且在0,上单调递增，10f，则不等式10f x的解集是（）A1,0 B0,1 C1,2 D,21,0 【答案】D【分析】根据函数单调性结合零点即可得解.第 3 页 共 1

5、5 页【详解】f x为R上的奇函数，00f 且在0,上单调递增，10f，10f x得：01 1x 或11x 解得,21,0 x .故选：D 7甲乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（）A甲得分的极差大于乙得分的极差 B甲得分的 75%分位数大于乙得分的 75%分位数 C甲得分的平均数小于乙得分的平均数 D甲得分的标准差小于乙得分的标准差【答案】B【分析】根据图表数据特征进行判断即可得解.【详解】乙组数据最大值 29，最小值 5，极差 24，甲组最大值小于 29，最小值大于 5，所以 A 选项说法错误；甲得分的 75%分位数是 20，,乙得分的 75%分位数

6、17，所以 B 选项说法正确；甲组具体数据不易看出，不能判断 C 选项；乙组数据更集中，标准差更小，所以 D 选项错误.故选：B 8为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取 100 件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图若质量指标值在25,35内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（）第 4 页 共 15 页 A0.38 B0.61 C0.122 D0.75【答案】B【分析】利用频率频率组距组距，即可得解.【详解】根据频率分布直方图可知，质量指标值在25,35内的概率 0.0800.04

7、250.12250.61P 故选：B 9若函数1()xf xa的图象经过点(4，2)，则函数 g(x)loga11x的图象是（）A B C D【答案】D【分析】根据函数1()xf xa的图象经过点(4，2)可求出a的值，把a的值代入函数()g x的解析式，从而根据函数()g x的定义域及单调性排除选项.【详解】由题意可知 f(4)2，即 a32，所以 a32.所以33221()loglog11g xxx，第 5 页 共 15 页 因为函数()g x的定义域为1,，且函数()g x在定义域内单调递减，所以排除选项 A，B，C.故选：D.10已知函数 12xfx，221fxx，1log1agxx

8、a，20gxkx k，则下列结论正确的是（）A函数 1fx和 2fx的图象有且只有一个公共点 B0 xR，当0 xx时，恒有 12gxgx C当2a 时，00,x，1010fxgx D当1ak时，方程 12gxgx有解【答案】D【解析】对于 A，易知两个函数都过0,1，又指数函数 12xfx 是爆炸式增长，还会出现一个交点，可知函数 1fx和 2fx的图像有两个公共点；对于 B，取特殊点0 x，此时 12gxgx；对于 C，当2a 时，作图可知x R，有 11fxgx恒成立；对于 D，当1ak时，易知两个函数都过点1,1k，即方程 12gxgx有解；【详解】对于 A，指数函数 12xfx 与一

9、次函数 221fxx都过0,1，但 12xfx 在 x 增大时时爆炸式增长，故还会出现一个交点，如图所示，所以函数 1fx和 2fx的图像有两个公共点，故A 错误；对于 B，取0 x，200gxkx k，当0 x时，1log1agxx a，此时 12gxgx，故 B 错误；对于 C，当2a 时，指数函数 12xfx 与对数函数 21loggxx互为反函数，两函数图像关于直线yx对称，如图所示，第 6 页 共 15 页 由图可知，x R，有 11fxgx恒成立，故 C 错误；对于 D，当1ak时，11logkgxx，20gxkx k，由1a 知，11k，且两个函数都过点1,1k，即方程 12gx

10、gx有解，故 D 正确；故选：D【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解 二、填空题 11函数 0.5log1f xx的定义域是_.【答案】1,【分析】根据对数函数定义求对数函数的定义域.【详解】解：要使函数 0.5log1f xx有意义就要10 x，即1x，所以函数 0.5log1f xx的定义域是1,.故答案为

11、：1,12命题“0 x，310 x”的否定是_【答案】0 x，310 x 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.【详解】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，第 7 页 共 15 页 所以命题“0 x，310 x”的否定是“0 x，310 x”.故答案为：0 x，310 x.1340.252lg83lg5_【答案】7【分析】利用指数运算及对数运算法则进行计算.【详解】40.25 2lg83lg50.25 163 lg2lg5437 故答案为：7 14已知函数 21,23,21xxf xxx，若方程 f xa有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是_.【答案】(0,1)【解析

12、】转化条件为直线ya与函数 yf x的图象有 3 个交点，数形结合即可得解.【详解】方程 f xa有三个不同的实数根，所以直线ya与函数 yf x的图象有 3 个交点，在直角坐标系中作出()f x的图象,如图，若要使直线ya与函数 yf x的图象有 3 个交点，数形结合可得，(0,1)a.故答案为：(0,1).15已知函数 12,1,1xa x xf xax（0a 且1a）.给出下列四个结论：第 8 页 共 15 页 存在实数 a，使得 f x有最小值；对任意实数 a（0a 且1a），f x都不是 R 上的减函数；存在实数 a，使得 f x的值域为 R；若3a，则存在00,x，使得 00f x

13、fx.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【分析】通过举反例判断.，利用分段函数的单调性判断，求出2ya x关于 y轴的对称函数为2yax，利用2yax与 y1xa的图像在1,上有交点判断.【详解】当2a 时，10,1,2,1xxf xx当1x 时，121x，所以 f x有最小值 0，正确；若 f x是 R 上的减函数，则1 12020101211aaaaaaa，无解，所以正确；当01a时，1xya单减，且当1x 时，值域为0,1，而此时2ya x单增，最大值为2a，所以函数 f x值域不为 R；当12a时，2ya x单增，1xya单增，若 f x的值域为 R，则1 121aa，所以1a，与1

14、2a矛盾；所以不存在实数 a，使得 f x的值域为 R；由可知，当2a 时，函数 f x值域不为 R；当2a 时，2ya x单减，最小值为2a，1xya单增，且11xa，所以函数 f x值域不为 R，综上错误；又2ya x关于y轴的对称函数为2yax，若3a，则1 1211aa，但指数函数1xya的增长速度快于函数2yax的增长速度，所以必存在01,x，使得0102xaxa，即 00f xfx成立，所以正确.故答案为：三、解答题 第 9 页 共 15 页 16 如图，在平行四边形OADB中，设11,33OAa OBb BMBC CNCD 试用求,a b表示,OM ON及MN 【答案】15,66

15、OMab22,33ONab1126MNab【分析】结合图形关系，根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】在平行四边形OADB中,abOD abBA,所以11115,36666OMOBBMOBBCOBBAbabab 142222,333333ONOCCNOCCDOCODabab 进而得221511336626MNONOMababab 17已知函数()2f xx，2()4g xxmx（mR）(1)当4m 时，求不等式()()g xf x的解集；(2)若对任意xR，不等式()()g xf x恒成立，求m的取值范围；(3)若对任意11,2x，存在24,5x，使得12()()g xf x，求m的取值范围

16、【答案】(1)2|x x 或3x (2)(2 61,2 61)(3)5,2 22 【分析】（1）将4m 代入不等式，解该一元二次不等式即可；（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用0即可解得参数m的范围；（3）对任意11,2x，存在24,5x，使得12()()g xf x，转化为 1g x的值域包含于 2f x的值域.同时对 1g x值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解.【详解】（1）当4m 时，由2442xxx得2560 xx，即(3)(2)0 xx，解得2x 或3x 第 10 页 共 15 页 所以不等式()()g xf x的解集为2|x x

17、或3x （2）由()()g xf x得242xmxx，即不等式2(1)60 xmx的解集是R 所以2(1)240m，解得2 612 61m 所以m的取值范围是(2 61,2 61)（3）当24,5x 时，2222,3f xx 又222()4()424mmg xxmxx 当12m，即2m时，对任意11,2x，1()5,82 2,3g xmm 所以252823mmm，此时不等式组无解，当3122m，即23m时，对任意11,2x，21()4,82 2,34mg xm 所以解得52 22m，当3222m，即34m时，对任意11,2x，21()4,52,34mg xm 所以234,42,453,mmm

18、此时不等式组无解，当22m，即4m时，对任意11,2x，1()82,52,3g xmm 所以482253mmm此时不等式组无解 第 11 页 共 15 页 综上，实数m的取值范围是5,2 22【点睛】关键点点睛，本题中“对任意11,2x，存在24,5x，使得12()()g xf x”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论.18已知函数 21log1xf xx(1)若 1f a，求 a的值；(2)判断函数 f x的奇偶性，并证明你的结论；(3)若 f xm对于3,x恒成立，求实数 m的范围【答案】(1)3(2

19、)奇函数，证明见解析(3),1 【分析】（1）代入xa，得到21log11aa，利用对数的运算即可求解；（2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算,f xfx的数量关系，由此完成证明；（3）将已知转化为 minmf x，求出 f x在3,的最小值，即可得解.【详解】（1）()1f a，21log11aa，即121aa，解得3a ，所以 a 的值为3（2）f x为奇函数，证明如下：由10110 xxx，解得：1x 或1x，所以定义域为,11,关于原点对称，又 122221111loglogloglog1111xxxxfxf xxxxx ，所以 f x为奇函数；（3）因为 2221122loglog

20、log1111xxfxxxx，又外部函数2logyu为增函数，内部函数211yx 在3,上为增函数，由复合函数的单调性知函数 f x在3,上为增函数，第 12 页 共 15 页 所以 22min3 113loglog13 12f xf，又 f xm对于3,x恒成立，所以 minmf x，所以1m ，所以实数m的范围是,1 19为抗击新冠肺炎，某单位组织中老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功（每针接种后是否合格相互之间没有影响）.根据大数据比对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为7 5 5,8 6 7；老年员工乙在每针接种合格的概

21、率分别为8 3 3,9 4 4.(1)甲乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？(2)若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率.【答案】(1)中年员工甲接种成功的概率更大(2)7396 【分析】分别记“中年员工甲、老年员工乙接种成功”为事件A、B，且A、B相互独立，（1）甲、乙接种成功，即两人每针接种均合格，由独立事件概率的乘法公式，计算可得()P A、()P B比较可得答案；（2）记“记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为”为事件C，即CABABAB，由独立事件概率的乘法公式，计算可得答案；或利用间接法，确定对立事件CAB，计算)(P C，进而得 C 事件的概率【详解】（1）

22、解：记中年员工甲接种成功的事件为A，老年员工乙接种成功的事件为 B，则 7552586748P A，83319442P B P AP B，故中年员工甲接种成功的概率更大.（2）法一：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为 C，则CABABAB()()()()()P CP ABABABP ABP ABP AB()()()()()()P A P BP A P BP A P B 第 13 页 共 15 页 251251251731148248248296 法二：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为C，则CAB，25123()()()()1148296P CP ABP A P B 23173

23、()1()148296P CP C 两人中至少有一人接种成功的概率为7396.20某工厂有甲，乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲，乙两条生产线的产量之比为4:1.现采用分层抽样的方法从甲，乙两条生产线得到一个容量为 100 的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）.一等品 二等品 甲生产线 76 a 乙生产线 b 2 (1)写出 a，b的值；(2)从上述样本的所有二等品中任取 2 件，求至少有 1 件为甲生产线产品的概率；(3)以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲，乙两条产品生产线随机抽取 10 件产品记1P表示从甲生产线随机抽取的 10 件产品中恰好有 5 件一等品的概率，2P表示

24、从乙生产线随机抽取的 10 件产品中恰好有 5 件一等品的概率，试比较1P和2P的大小.（只需写出结论）【答案】(1)4,18ab；(2)1415；(3)12PP.【分析】（1）根据题意列出方程组7621007642abab，从而求出 a，b的值；（2 记C为“至少有 1 件为甲生产线产品”这一事件，首先列出从 6 件二等品中任取 2 件的所有结果，然后再找出事件C所包含是基本事件，从而利用古典概型的概率公式即可求出答案.（3）根据样本中甲，乙产品一等品的概率，同时结合二项分布即可比较大小.第 14 页 共 15 页【详解】（1）由题意，知7621007642abab，解得4,18ab；（2）

25、记样本中甲生产线的 4 件二等品为1234AAAA，乙生产线的 2 件二等品为12,B B.从 6 件二等品中任取 2 件，所有可能的结果有 15 个，它们是：1213142324341121,A AA AA AA AA AA AA BA B,，31411222324212,A BA BA BA BA BA BB B，记C为“至少有 1 件为甲生产线产品”这一事件，则C中的结果有 1 个，它是12,B B.所以 114111515P CP C .（3）12PP.21设函数 f x的定义域为 R若存在常数(0)m m，对于任意xR，f xmmfx成立，则称函数 f x具有性质.记 P 为满足性质

26、的所有函数的集合.（I）判断函数yx和2y 是否属于集合 P？（结论不要求证明）（II）若函数()(2)xg x，证明：g xP;（III）记二次函数的全体为集合Q，证明：PQ.【答案】（I）yx不属于集合P，2y 属于集合P；（II）证明见解析；（III）证明见解析.【解析】（I）根据性质的定义判断yx与2y 是否具有性质，由此判断出函数yx和2y 是否属于集合P；（II）先根据定义证明函数 2xg x 具有性质，然后即可证明 g xP；（III）将问题转化为证明二次函数不具备性质，先假设二次函数具备性质，然后通过已知条件推出与条件矛盾的结果，由此完成证明.【详解】（I）yx不属于集合P，2

27、y 属于集合P；（理由如下：设 f xx，若 f xmmfx，则有xmmx，解得0m，不符题意，所以yx不具有性质，所以yx不属于集合P；设 2f x，若 f xmmfx，则有22m，所以1m，所以2y 具有性质，所以2y 属于集合P）（II）证明如下：第 15 页 共 15 页 因为 2xg x，不妨令 g xmmg x，所以 22x mxm，所以 2mm，显然关于m的方程有解：2m，所以 2xg x 具有性质，所以 g xP；（III）根据题意可知：PQ 二次函数不具备性质，假设存在二次函数 20f xaxbxc a具备性质，所以存在常数0m m 对于任意xR都有 f xmmfx成立，所以存在常数0m m 使22a xmb xmcamxbmxcm成立，所以存在常数0m m 使2222axamb xambmcamxbmxcm成立，所以22aamambbmambmccm，解得0,0,1abm，这与假设中0a 矛盾，所以假设不成立，所以二次函数都不具备性质，所以PQ.【点睛】关键点点睛：解答本题第三问的关键是将待证明的问题转化为分析二次函数是否具备性质，再通过“反证”的思想完成证明.