2022-2023学年重庆市第十一中学校高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 18 页 2022-2023 学年重庆市第十一中学校高二上学期期末数学试题 一、单选题 1双曲线221916yx的实轴长为（）A3 B6 C8 D9【答案】B【分析】根据双曲线的实轴长定义进行求解即可.【详解】由221326916yxaa，所以双曲线221916yx的实轴长为6，故选：B 2已知数列9，99，999，9999，写出 na的通项公式（）A110nna B2 10nna C101nna D 101nna 【答案】C【分析】数列前几项可表示为10 1，2101，3101，4101，由此即可求得通项公式【详解】数列9，99，999，9999，可表示为：10 1，2101

2、，3101，4101，所以 na的通项公式101nna，故选：C 3已知圆2222(42)4410 xymxmymm 的圆心在直线70 xy上，则该圆的面积为（）A4 B2 C D2【答案】A【分析】将圆的一般方程化为标准方程，求得圆心，根据已知条件求得参数m，再求得圆的半径，即可求得结果.【详解】2222(42)4410 xymxmymm，即22221xmymm，则0m，其表示圆心为,21mm，半径为m的圆，根据题意可得：21 70mm，解得2m，故该圆的半径为2，则其面积4S.第 2 页 共 18 页 故选：A.4已知等差数列 na的前n项和为nS，且8141134aaa，则21S（）A7

3、2 B84 C144 D168【答案】B【分析】利用等差数列下标和性质可化简已知等式求得114a，代入等差数列求和公式可求得结果.【详解】由等差数列性质知：8141111234aaaa，解得：114a，12121112121842aaSa.故选：B.5设双曲线2222:1xyCab(0,0)ab的左、右焦点分别为12,F F，离心率为5P是C上一点，且12120F PF若12PF F的面积为4 33，则a（）A1 B2 C4 D8【答案】A【分析】根据双曲线的定义，余弦定理以及三角形的面积公式列出方程组，即可解出【详解】设2PFm，1PFn，由12120F PF，12FPF的面积为4 33，可

4、得222242cos12014 3sin12023nmacmnmnmn，22243416cnmmna 由离心率为5，可得5ca，代入式，可得1a.故选：A.6椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上，且关于 y轴对称若直线,AP AQ的斜率之积为14，则 C的离心率为（）A32 B22 C12 D13【答案】A【分析】设11,P x y，则11,Qx y，根据斜率公式结合题意可得2122114yxa，再根据2211221xyab，将1y用1x表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】方法一：设而不求 第 3 页 共 18 页 设11,P x y，则11,

5、Qx y 则由14APAQkk得：21112211114APAQyyykkxaxaxa，由2211221xyab，得2221212baxya，所以2221222114baxaxa，即2214ba，所以椭圆C的离心率22312cbeaa，故选 A.方法二：第三定义 设右端点为 B，连接 PB，由椭圆的对称性知：PBAQkk 故14APAQPAAQkkkk，由椭圆第三定义得：22PAAQbkka，故2214ba 所以椭圆C的离心率22312cbeaa，故选 A.7在长方体1111ABCDABC D中，已知1B D与平面ABCD和平面11AA B B所成的角均为30，则（）A2ABAD BAB 与平

6、面11ABC D所成的角为30 C1ACCB D1B D与平面11BBC C所成的角为45【答案】D【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出【详解】如图所示：第 4 页 共 18 页 不妨设1,ABa ADb AAc，依题以及长方体的结构特征可知，1B D与平面ABCD所成角为1B DB，1B D与平面11AA B B所成角为1DB A，所以11sin30cbB DB D，即bc，22212B Dcabc，解得2ac 对于 A，ABa，ADb，2ABAD，A 错误；对于 B，过B作1BEAB于E，易知BE 平面11ABC D，所以AB与平面11ABC D所成角为BAE，因为2tan

7、2cBAEa，所以30BAE，B 错误；对于 C，223ACabc，2212CBbcc，1ACCB，C 错误；对于 D，1B D与平面11BBC C所成角为1DB C，112sin22CDaDBCB Dc，而1090DBC，所以145DBCD 正确 故选：D 8如图，设抛物线22ypx的焦点为F，过x轴上一定点(2,0)D作斜率为 2 的直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于点C，记BCF的面积为1S，ACF的面积为2S，若1214SS，则抛物线的标准方程为()第 5 页 共 18 页 A2yx B22yx C24yx D28yx【答案】C【分析】求得直线l的方程，联立抛物线方程，可得x的

8、二次方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式，结合两个三角形同高可得面积之比为底边之比，联立方程组，解方程可得p，进而得到所求抛物线方程【详解】解：抛物线22ypx的焦点(2pF，0)，过x轴上一定点(2,0)D作斜率为 2 的直线l的方程为2(2)yx，联立抛物线方程可得22(8)80 xp x，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，可得1242pxx，124x x，设F到AB的距离为d，可得12211|121|4|2d BCSxBCSACxd AC，即124xx，联立可得14x，21x，2p 则抛物线的标准方程为24yx 故选：C【点睛】本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方

9、程联立，运用韦达定理，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于基础题 二、多选题 9下列命题正确的是（）A任意一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率.B当直线的倾斜角从 0逐渐增大到 180时，其斜率一直增大.第 6 页 共 18 页 C双曲线22188yx与椭圆2219259xykkk有同焦点.D过4,3P且在坐标轴上截距相等的直线有 2 条.【答案】AD【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，结合双曲线、椭圆的焦点公式、直线截距是否为零逐一判断即可.【详解】当直线的倾斜角为直角时，该直线没有斜率，所以选项 A 正确；当直线的倾斜角为直角时，该直线没有斜率，所以选项 B 正确；因为双曲

10、线22188yx的焦点在y轴，坐标为0,4，椭圆2219259xykkk焦点坐标为4,0，所以选项 C 错误；当过4,3P的直线过原点时，显然此时该直线在坐标轴上截距相等，当过4,3P的直线不过原点时，因为在坐标轴上截距相等，所以设此时直线方程为：431011xymmmmmm，因此过4,3P且在坐标轴上截距相等的直线有 2 条，选项 D 正确，故选：AD 10 南宋数学家杨辉所著的 详解九章算法商功 中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三次有 6 个球，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列 na，则（）A49a B11nnaan

11、 C20210a D212nnnaa a【答案】BC【分析】首项根据数列特征得到410a，11nnaan，判断出 AB 选项，再根据数列的递推公式利用累加法求出12nn na，从而求出20210a，得到 C 正确；D 选项可举出反例.第 7 页 共 18 页【详解】根据题意，可知410a，且11nnaan，故 A 错误，B 正确，因为11nnaan，所以121121nnnaanannann 112n22n nn，所以2020 212102a，C 正确；因为2213aa a，故 D 错误.故选：BC 11古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点 A、B的距离之

12、比为定值（1）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，成为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，2,0A、4,0B，点 满足12PAPB，设点 所构成的曲线为 C，下列结论正确的是（）AC的方程为22416xy B在 C 上存在点 D，使得1AD C在 C 上存在点 M，使 M 在直线20 xy上 D在 C 上存在点 N，使得224NONA【答案】AD【分析】通过设出点 P 的坐标，利用12PAPB，即可求出曲线 C 的轨迹方程，然后假设曲线 C 上一点坐标，根据 BCD三个选项逐一列出所满足条件，然后与 C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案.【详解

13、】设点(,)P x y，由12PAPB，得2222(2)12(4)xyxy，化简得2280 xyx，即22(4)16xy，故 A 选项正确；对于 B选项，设00(,)D xy，由1AD 得2200()(0)21xy，又2200(4)16xy，联立方程可知无解，故 B 选项错误；对于 C选项，设00(,)M xy，由 M 在直线20 xy上得0020 xy，又2200(4)16xy，联立方程可知无解，故 C 选项错误；第 8 页 共 18 页 对于 D选项，设00(,)N xy，由224NONA，得22220000(2)4xyxy，又2200(4)16xy，联立方程可知有解，故 D选项正确.故选

14、：AD.12如图，圆 是边长为2 3的等边三角形 ABC的内切圆，其与 BC边相切于点 D，点 M为圆上任意一点，BMxBAyBD（x，Ry），则2xy可以取值为（）A16 B13 C23 D1【答案】CD【分析】建立坐标系，写出相应的点坐标，得到2xy的表达式，然后利用三角函数和三角恒等变换等知识求得到最大值即可.【详解】根据三角形面积公式得到11sin6022lrSABAC 周长，可得到内切圆的半径为 1；以 D 点为原点，BC 所在直线为 x 轴，AD所在直线为 y 轴，建立坐标系，可得到点的坐标为：(3,0)B，(3,0)C，(0,3)A，(0,0)D，(cos,1 sin)M，(co

15、s3,1sin)BM，(3,3)BA，(3,0)BD，BMxBAyBD(cos3,1sin)(33,3)BMxyx，cos333xy，sin31x，第 9 页 共 18 页 1 sin3cossin2333xy，cossin4242sin333333xy，1sin13，2223xy，故选项 CD 满足.故选：CD.【点睛】方法点睛：这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.三、填空题 13抛物线24yx的通径长为_【答案】1

16、4#0.25【分析】根据抛物线的通径的定义进行求解即可.【详解】由22144yxxy，所以该抛物线的焦点坐标为1(0,)16，把116y 代入24yx中，得211648xx，所以抛物线24yx的通径长为11284，故答案为：14 14如图，在直三棱柱111ABCABC中，ABC是等边三角形，14ABAA，D是棱AB的中点.求点1B到平面1ACD的距离等于_ 第 10 页 共 18 页【答案】8 55【分析】利用三棱锥的等积性、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理和性质，结合直三棱柱的性质、三棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】因为111ABCABC是直三棱柱，所以1AA 平面ABC，而,AB A

17、C 平面ABC，所以11,AAAC AAAB，因为D是棱AB的中点，所以122ADAB，由勾股定理可得：22111642 5ADAAAD，221116163 2ACAAAC，因为ABC是等边三角形，D是棱AB的中点.，所以ABCD，所以221642 3CDACAD，因为22211ADCDAC，所以1ADCD，因此112 52 32 152ACDS，因为1AA 平面ABC，1AA 平面11A ABB，所以平面ABC平面11A ABB，因为平面ABC平面11A ABBAB，ABCD，CD 平面ABC，所以CD 平面11A ABB，设点1B到平面1ACD的距离为h，由111 11118 52 154

18、 4 2 33325BACDC A B DVVhh ，故答案为：8 55 15已知点(2,3)A 在抛物线的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率是_【答案】43【详解】试题分析：点 A（-2，3）在抛物线 C：22ypx的准线上，即准线方程为：x=-2，p0，22p 即 p=4，抛物线 C：28yx，在第一象限的方程为2 2yx，设切点 B（m，n），第 11 页 共 18 页 则2 2nm，又导数112 2yxx，则在切点处的斜率为2m，322nmm即22 22 23mmm，解得2 2m 切点 B（8，8），又 F（2，0），直线 BF 的斜率为80

19、4823【解析】抛物线的简单性质 16关于x的方程29(3)4xk x有两个不同的实数解时，实数k的取值范围是_【答案】72,24 3【解析】方程左边是圆心为原点，半径为 3 的上半圆，右边为恒过(3,4)的直线，当直线AB与半圆相切时，求出k的值，直线过点(3,0)时，求得k的值，利用图象即可确定出实数k的范围【详解】设219yx，2(3)4yk x，图象如图所示，当直线与半圆相切时，圆心O到直线AB的距离dr，即2|34|31kk，解得：724k，当直线过点(3,0)时，可求得4023(3)3k，则利用图象得：实数k的范围为72(,24 3，故答案为：72(,24 3.【点睛】此题考查了直

20、线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键 四、解答题 第 12 页 共 18 页 17已知nS为数列 na的前n项和，且1nnaad，（*Nn，0d），若312S，353525100a aaa求：(1)数列 na的通项公式；(2)nS的最值【答案】(1)28nan (2)最大值12，无最小值 【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式求解即可（2）利用等差数列求和公式表示出nS，由二次函数的性质可求得最值.【详解】（1）由1nnaad，（*Nn，0d），知 na为等差数列，公差为 d，设首项为1a，由312S，353525100a aaa，得11111331

21、2242254100adadadadad，解得131ad或162ad，因为0d，所以162ad，故28nan （2）当28nan 时，162ad，216272nn nSnnn ，所以当3n或 4 时，nS有最大值3412SS，nS无最小值 18已知点1,0M，直线l：2x，平面内存在点P，使得点P到点 M 的距离比到直线l的距离小1.(1)求点P的轨迹方程 C.(2)已知直线2l：112yx，求2l被曲线 C截得的弦长.【答案】(1)24yx 第 13 页 共 18 页(2)4 10 【分析】(1)根据抛物线的定义即可求解.(2)将直线方程与曲线方程联立，利用韦达定理和弦长公式即可求解.【详解

22、】（1）因为点1,0M，直线l：2x，平面内存在点P，使得点P到点 M 的距离比到直线l的距离小 1，也即点P到点 M 的距离等于到直线=1x的距离，由抛物线的定义可知：点P的轨迹是以(1,0)M为焦点，以直线=1x为准线的抛物线，所以点P的轨迹方程为：24yx.（2）由（1）可知：曲线C的方程为：24yx，设直线2l与曲线C交于11(,)A x y，22(,)B xy，联立方程组21124yxyx，消元可得：2880yy，所以128yy，128y y，由弦长公式可得：21212122115()454 24 10AByyyyy yk，所以2l被曲线 C 截得的弦长为4 10.19如图，在四棱锥

23、PABCD中，PA 平面 ABCD，/ADBC，90ABC，22PAABBCAD，点 M，N 分别为棱 PB，DC 的中点.(1)求证：/AM平面 PCD；(2)求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)2613 【分析】（1）利用线面平行判定定理，结合中位线定理以及平行四边形的性质，可得答案；（2）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案.第 14 页 共 18 页【详解】（1）取PC的中点E，连接,ME DE，如下图：在PBC中，,M E分别为,BP CP的中点，则1,/2MEBC MEBC，/,2BCAD BCA

24、D，/,ADME ADME，即/AMDE，AM 平面PCD，DE平面PCD，/AM平面PCD.（2）由题意，易知,AP AB AD两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则00 2P,，0,2,0B，2,2,0C，1,0,0D，由,M N分别为,PB DC的中点，则0,1,1M，3,1,02N，取3,0,12MN，在平面PDC内，取1,0,2PD，2,2,2PC，设平面PDC的法向量,nx y z，则202220 xzxyz，即2xzyz，令1z，则2,1xy，故平面PCD的一个法向量2,1,1n，设直线MN与平面PCD所成角为，则30 126sin1394 1 114n MNnMN .20在数列

25、na的首项为11a ，且满足13 2nnnaa 第 15 页 共 18 页（1）求证：2nna 是等比数列（2）求数列 na的前 n项和nS【答案】（1）证明见解析；（2）1122,23,nnnnSn为偶数为奇数.【分析】（1）由13 2nnnaa ，化简得到11212nnnnaa，结合等比数列的定义，即可求解；（2）由（1）求得(1)2nnna ，分当n为偶数和当n为奇数，两种情况讨论，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由题意，数列 na满足13 2nnnaa，即13 2nnnaa ，则11123 2221222nnnnnnnnnnnnnaaaaaa ，又由11a，可得1121

26、a ，所以数列2nna 表示首项为1，公比为1的等比数列.（2）由（1）知121(1)(1)nnnna ，所以(1)2nnna ，所以12=222(1)1(1)nnnS ，当n为偶数时，可得12(12)=02212nnnS；当n为奇数时，可得12(12)=12312nnnS，综上可得，1122,23,nnnnSn为偶数为奇数.21在三棱台111ABCABC中，1AA 平面ABC，111122AAABACAC，111163BCVA C 第 16 页 共 18 页(1)证明：1CC 平面11A B C；(2)求二面角11CBCA的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)2 23 【分析】（1）利用线线

27、垂直，证明线面垂直.（2）建系，分别求出平面11CBC和平面11BC A的法向量，进而利用向量法，计算出二面角11CBCA的余弦值即可.【详解】（1）证明：在梯形11AAC C中，1114242ACCS，因为111122AAABACAC，所以114AB，设点1B到平面11ACC A距离为 h，111116433BCCAVh，解得114hAB，故11AB 平面11ACC A，而1CC 平面11ACC A，则111ABCC，又1111290ACAAA ACAAC，易得112 2,2 2ACCC，又114AC，则1190ACC，又111111,ABACA AB，1AC 平面11A B C，则1CC

28、平面11A B C（2）由（1）知，11111,A A AC AB两两互相垂直，以1A为原点，11111,A A AC AB方向分别为 x轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系1Axyz，如图，则11(2,2,0),(0,0,4),(0,4,0),(2,0,0)CBCA，设平面11CBBC的法向量为111,mx y z，第 17 页 共 18 页 则1110,0,m CCm BC即1111220,440,xyyz 取11x 得，(1,1,1)m，设平面11BC A的法向量为222,xny z，则1110,0,n BCn AC即2222440,240,yzxy 取21y，则(2,1,1)

29、n，21 12 2cos,3|36m nm nm n ，故二面角11CBCA的余弦值为2 23 22设椭圆 E:（a,b0）过 M（2，2），N(6,1)两点，O 为坐标原点，（1）求椭圆 E 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAOB？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由【答案】（1）22184xy（2）2283xy【详解】试题分析：（1）因为椭圆 E:22221xyab（a,b0）过 M（2，2），N(6,1)两点,所以2222421611abab解得22118114ab所以2284ab椭圆 E 的方程为22184xy（2）

30、假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAOB,设该圆的切线方程为ykxm解方程组22184ykxmxy得222()8xkxm,即222(12)4280kxkmxm,则=222222164(12)(28)8(84)0k mkmkm,即22840km 12221224122812kmxxkmx xk，第 18 页 共 18 页 22222222212121212222(28)48()()()121212kmk mmky ykxm kxmk x xkm xxmmkkk22222222212121212222(28)48()()()121212kmk mm

31、ky ykxm kxmk x xkm xxmmkkk 要使OAOB,需使,即2222228801212mmkkk,所以223880mk,所以223808mk又22840km,所以22238mm,所以283m,即2 63m 或2 63m ,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21mrk,222228381318mmrmk,2 63r,所求的圆为2283xy,此时圆的切线ykxm都满足2 63m 或2 63m ,而当切线的斜率不存在时切线为2 63x 与椭圆22184xy的两个交点为或2 62 6(,)33满足OAOB,综上,存在圆心在原点的圆2283xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAOB【解析】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系 点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备（2）小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性