2021-2022学年河南省中原名校高二下学期第二次联考数学(理)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 15 页 2021-2022 学年河南省中原名校高二下学期第二次联考数学（理）试题 一、单选题 1若p是真命题，q是假命题，则 Apq是真命题 Bpq是假命题 Cp是真命题 Dq是真命题【答案】D【详解】试题分析：因为p是真命题，q是假命题，所以pq是假命题，选项 A 错误，pq是真命题，选项 B 错误，p是假命题，选项 C 错误，q是真命题，选项 D 正确，故选 D.【解析】真值表的应用.2已知抛物线准线方程为2x ，则其标准方程为（）A28xy B28xy C28yx D28yx 【答案】C【分析】根据已知条件，判断抛物线的开口方向并求出p，即可得到抛物线的标准方程.【详解

2、】根据题意可知，抛物线开口向右且4p，故抛物线的标准方程为：28yx.故选：C.3已知正方体1111ABCDABC D中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足1/AF平面1BD E的图形个数为（）A0 B1 C2 D3【答案】B【分析】平移直线1A F，判断平移后的直线：在平面1BD E上，则1/AF平面1BD E，与平面1BD E交于一点则不平行，即可得解 第 2 页 共 15 页【详解】中，平移1A F至1D F，可知1D F与面1BD E只有一个交点1D，则1AF与平面1BD E不平行；中，由于11/AF D E，而AF 平面BDE，DE 平面BDE，故1/AF平面1BD E；中，平移

3、1A F至1D F，可知1D F与面1BD E只有一个交点1D，则1A F与平面1BD E不平行；故选：B 4方程22142xymm表示椭圆的充要条件是（）A(4,1)m B(4,1)(1,2)m C4,2m D(1,)【答案】B【解析】根据4,2mm为正数且不相等列不等式求解即可.【详解】方程22112xymm表示椭圆则402042mmmm，即(4,1)(1,2)m ；若(4,1)(1,2)m ，则22142xymm表示椭圆，所以方程22142xymm表示椭圆的充要条件是(4,1)(1,2)m ，故选：B 5已知椭圆C：222210 xyabab经过点31,2b，且C的离心率为12，则C的方

4、程是（）A22143xy B22186xy C22142xy D22184xy【答案】A【分析】由题意将点代入椭圆方程，结合离心率公式即可得解.第 3 页 共 15 页【详解】依题意可得2222131412aaba，解得2243ab，故C的方程是22143xy.故选：A.【点睛】本题考查了通过椭圆经过的点及离心率确定椭圆方程，考查了运算求解能力，属于基础题.6如图，点 M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 CD 的中点，则异面直线 AM 与 BC1所成角的余弦值是（）A105 B2 55 C55 D1010【答案】A【分析】连接1AD，1D M，根据异面直线所成角的定义，转化为求1D

5、AM（或其补角），然后在三角形1D AM中用余弦定理即可解得.【详解】连接1AD，1D M，如图：易得11/ADBC，所以1D AM（或其补角）是异面直线 AM 与 BC1所成角，设正方体的棱长为a，1AD2a，152AMD Ma，第 4 页 共 15 页 在三角形1D AM中，2221111cos2ADAMD MD AMADAM222552445222aaaaa105，所以异面直线 AM 与 BC1所成角的余弦值是105.故选：A【点睛】本题考查了求异面直线所成角，通过找平行线转化为两条相交直线所成角（或其补角）是解题关键，属于基础题.7设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中

6、正确的是 A若，m，n，则mn B若/，m，n，则/m n C若mn，m，n，则 D若m，/m n，/n，则【答案】D【详解】试题分析：m，,n,故选 D.【解析】点线面的位置关系.8 已知 F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆22221xyab的两个焦点，P为椭圆上一点且12PF PF=c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A3,13 B1 1,3 2 C32,32 D20,2【答案】C【详解】设222222212(,),2P x y PF PFxcycxyc，所以2222222222(2)320,2332bacybcaceab，选 C.9过双曲线222210,0 xyabab的右焦点1,0

7、F作x轴的垂线与双曲线交于,A B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为83，则双曲线的渐近线方程为 A32yx B2 2yx C2 3yx D2yx 【答案】B【详解】由题得222222812881(1)1(2)3233AOBbbbABSabaaa 解（1）（2）得12 233ab，所以双曲线的渐近线方程为2 2byxxa ，故选B.第 5 页 共 15 页 10如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点 E是棱 AB 的中点，则点 E到平面 ACD1的距离为（）A12 B22 C13 D16【答案】C【分析】以 D 为坐标原点，1,DCDA DD，分别为 x轴，y

8、输、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】如图，以 D 为坐标原点，1,DCDA DD，分别为 x轴，y输、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则10,0,1,1,1,0,1,0,0,0,2,0DEAC从而11,1,1,1(1,2,0)(1,),0,1EACDAD .设平面1ACD的法向量为,na b c，则100n ACn AD，即200abac ，得2abac，令2a，则2,1,2n，所以点 E 到平面1ACD的距离为1|2 1 2133|D Ehnn 故选：C 11如图所示，平面四边形ABCD中，1ABADCD，2BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD

9、 平面BCD，则下列说法中不正确的是（）第 6 页 共 15 页 A平面ACD 平面ABD BABCD C平面ABC 平面ACD DAD 平面ABC【答案】D【分析】选项 A.由面面垂直的性质可得到CD平面ABD，从而判断；选项 B.由条件可得ABAD，根据面面垂直可得AB 平面BCD，从而可判断；选项 C.由线面垂直的判定可得AB 平面ACD，从而可判断；选项 D.若AD 平面ABC,则可得则ADAC，从而得到矛盾，即可判断.【详解】选项 A.由平面ABD 平面BCD，平面ABD 平面BCDBD,又BDCD，且CD 平面BCD，所以CD平面ABD 由CD 平面ACD，所以平面ACD 平面AB

10、D，故 A 正确.选项 B.由上有CD平面ABD，又AB平面ABD，则ABCD，故 B 正确.选项 C.由上可知ABAD，ABCD，且ADCDD,所以AB 平面ACD,又AB平面ABC,所以平面ABC 平面ACD，故 C 正确.选项 D.由上有CD平面ABD，又AD 平面ABD，则ADCD 若AD 平面ABC，由AC 平面ABC,则ADAC,这与ADCD相矛盾，故 D 不正确.故选：D 12设抛物线220ypx p的焦点为F，,A B为抛物线上的两个动点，且满足60AFB，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则MNAB的最大值为（）A14 B12 C1 D2【答案】C【分析】设A

11、Fa，BFb，利用抛物线定义可得2abMN；在ABF中根据余弦定理，利用,a b表示出2AB，结合基本不等式可求得MNAB的最大值.第 7 页 共 15 页【详解】设抛物线准线为l，作APl，BQl，MNl，垂足分别为,P Q N，设AFa，BFb，由抛物线定义可知：AFAPa，BFBQb，22APBQabMN，在ABF中，由余弦定理得：2222222cos603ABabababababab，222221334ababMNABabababab（当且仅当ab时取等号），即MNAB的最大值为1.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线中与线段长度有关的最值问题的求解，解题关键是能够结合抛物线的

12、定义，利用焦半径表示出所需的线段长，从而利用基本不等式求得结果.二、填空题 13已知向量 2,3,1,2,2abk，且 ab，则实数 k _【答案】2【分析】0aba b，利用向量的数量积的坐标运算即可.【详解】0aba b，则2 2(3)1 20k ，解得2k 故答案为：2 14经过点(2,2)A且与双曲线2212xy有公共渐近线的双曲线方程为_【答案】22124xy【详解】由题意设所求双曲线的方程为22(0)2xy，第 8 页 共 15 页 点2,2在双曲线上，4422，所求的双曲线方程为2222xy，即22124yx 答案：22124yx 15函数21()e2xf xxax是 R 上的单

13、调递增函数，则 a的取值范围是_【答案】1a【分析】对()f x求导，由题设有exax恒成立，再利用导数求exyx的最小值，即可求 a 的范围.【详解】由题设，()exfxxa，又()f x在 R 上的单调递增函数，exax恒成立，令exyx，则e1xy，当(,0)x 时0y，则y递减；当,()0 x时0y，则y递增.min0|1xyy，故1a.故答案为：1a.16 已知函数 fx是函数 f x的导函数,1ef,对任意实数x都有 20f xfx,则不等式 1eexxfx的解集为_.【答案】1,【详解】令 2exf xF x，则 220exfxf xFx，F x在 R 上是减函数 又 1eexx

14、fx等价于 1F xF 1x 故不等式的解集是1，答案：1，点睛：本题考查用构造函数的方法解不等式，即通过构造合适的函数，利用函数的单调性求得不等式的解集，解题时要注意常见的函数类型，如在本题中由于涉及到ex，故可从以下两种情况入手解决：（1）对于()()0(0)fxf x，可构造函数()()xh xe f x；（2）对于()()0(0)fxf x，可构造函数()()xf xh xe 第 9 页 共 15 页 三、解答题 17（1）请用分析法证明：6785aaaa；（2）请用反证法证明：设0b，0a，则1ab与1ba中至少有一个不小于 2【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1

15、）应用分析法，将要证的结论转化为证明一个显而易见的结论即可；（2）首先否定结论：假设1ab与1ba都小于 2 成立，结合基本不等式求证一个相互矛盾的结论即可.【详解】证明：（1）要证：6785aaaa 只需证：226785aaaa 只需证：213267213285aaaaaa 只需证：6785aaaa 只需证：2213421340aaaa 只需证：4240，而4240显然成立，原不等式得证（2）假设结论不成立，即1ab与1ba都小于 2，则11224abba 而由基本不等式，知：12aa，12bb，当且仅当1,1ab时等号成立，1111224ababbaab与式矛盾，假设不成立，原命题成立 1

16、8已知函数 32391f xxxxxR（1）求函数 f x的单调区间（2）若 210f xa 对2,4x 恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）单调增区间,1,()(3),单调减区间1,3（2）252a 【详解】试题分析：（1）对函数 fx求导，令 0f x，解不等式，即得到递增区间，令0fx，解不等式，即得递减区间；（2）若 210f xa 对2,4x 恒成立，即 21f xa对2,4x 恒成立，所以问题转化为求 min21f xa成立即可，即求函数 fx在区间2,4上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在2,4上第 10 页 共 15 页 的最小值，于是可以求出a的取值范围 试题

17、解析：（1）令，解得或，令，解得：.故函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，对恒成立，即，19甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球 2 次均未命中的概率为.（）求乙投球的命中率；（）若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.【答案】（）（）的分布列为 0 1 2 3 的数学期望2E【详解】试题分析：对于问题（I）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率p；对于问题（II），首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出取各个值时所对应的概率

18、，就可得到的分布列 试题解析：（I）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.第 11 页 共 15 页 由题意得221(1()(1)16P Bp解得34p 或54（舍去），所以乙投球的命中率为34.（II）由题设知（I）知1()2P A，1()2P A，3()4P B，1()4P B，可能取值为0,1,2,3 故2111(0)()()()2432PP A P B B，12(1)()()()()()PP A P B BC P BP BP A2113117()22444232，2139(3)()()()2432PP A P B B 15(2)1(0)(1)(3)32PPPP 的分

19、布列为 171590123232323232E 【解析】1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.20为推行“新课堂”教学法，某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，若成绩大于 70 分为“成绩优良”.(1)由以上统计数据填写下面 22 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 第 12 页 共 15 页 总计 (2)从甲、乙两班 40 个样本中，成绩在 60 分

20、以下(不含 60 分)的学生中任意选取 2 人，记 为所抽取的 2 人中来自乙班的人数，求 的分布列及数学期望.附:K2=2(-)()()()()n ad bcac bd ab cd(n=a+b+c+d)，P(K2k0)0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)表格见解析，能(2)分布列见解析，23【分析】（1）根据茎叶图中的数据，统计出甲、乙两班“成绩优良”及“成绩不优良”的人数，填入列联表，计算2K的观测值，与 3.841 进行比较即可得出结论.（2）根据茎叶图得出的所有可能取值，分别计算概率，列出分布列，根据分布列求数

21、学期望.【详解】(1)根据茎叶图中的数据作出22列联表如表所示：甲班 乙班 总计 成绩优良 10 16 26 成绩不优良 10 4 14 总计 20 20 40 根据22列联表中的数据，得2K的观测值为2240(10 4-16 10)3.9563.84126 14 20 20K，所以能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.(2)样本中成绩在 60 分以下的学生中甲班有 4 人，乙班有 2 人，所以的所有可能取值为0,1,2，则2426C(0)CP=25，114226C C8(1)C15P，2226C(2)CP=115，则随机变量的分布列为：0 1 2 第 13

22、 页 共 15 页 P 25 815 115 则数学期望2812()012515153E+.21近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的A县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量x（单位：千辆）与年使用人次y（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示.x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 101 196 （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型lgyabx或指数函数模型(0,0)xyc dcd对两个变量的关系

23、进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出y关于x的回归方程；（2）已知每辆单车的购入成本为200元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次0.2元，按用户每使用一次，收费1元计算，若投入8000辆单车，则几年后可实现盈利？参考数据：其中lgiivy，117niivv.y v 71iiix y 71iiixv 0.5410 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考公式：对于一组数据11,x y，22,x y，,nnxy，其回归直线 aybx的斜率第 14 页 共 15 页 和截距的最小二乘估计公式分别为121()(

24、)()niiiniixxyybxx.【答案】（1）xyc d适宜，0.253.47 10 xy；（2）6年.【分析】（1）根据散点图判断，xyc d适宜；由xyc d两边同时取对数得lglglgycxd，设lg yv，则lglgvcxd，根据参考数据以及参考公式首先求出vx，的回归直线方程进而求出结果；（2）将 8000 代入回归直线方程可得年使用人次，求出每年收益与总投资，则可求出结果.【详解】（1）由散点图判断，xyc d适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型.由xyc d，两边同时取常用对数得lglglglgxyc dcxd.设lg yv，则lglgvcxd.因为4x，1.54v，

25、721140iix，7150.12iiix v，所以7172217lg7iiiiix vx vdxx250.127 4 1.5470.251407 428 .把(4,1.54)代入lglgvcxd，得lg0.54c，所以0.540.25vx，所以lg0.540.25yx，则0.54 0.250.25103.47 10 xxy，故y关于x的回归方程为0.253.47 10 xy.（2）投入8千辆单车，则年使用人次为0.25 83.4710347千人次，每年的收益为347(10.2)277.6（千元），总投资800020016000001600千元，假设需要n年开始盈利，则277.61600n，即

26、5.76n，故需要6年才能开始盈利.22已知函数 sinexxf x，0,x（1）求函数 f x的单调区间；（2）若12xx，且 12f xf x，证明：122xx 第 15 页 共 15 页【答案】（1）在0,4上单调递增，在,4上单调递减；（2）证明见解析【分析】（1）求出 cossinexxxfx，得出当04x时，0fx；当4x时 0fx即可求解；（2）通过分析法将原问题转化为证明 112f xfx，构造 2sincos2eexxxxg xf xfx，利用导数研究其单调性即可.【详解】（1）cossinexxxfx，0 x，由 0fx得4x，当04x时，0fx；当4x时 0fx，f x在

27、0,4上单调递增，在,4上单调递减（2）12xx，且 12f xf x，由（1）知，不妨设1204xx 要证122xx，只需证明212xx，而1422x，f x在,4上单调递减，故只需证明 212f xfx 又 12f xf x，只需证明 112f xfx 令函数 22sinsinsincos22eeeexxxxxxxxg xfxfx，则 2222cossinsincos11ee(cossin)(cossin)eeeeexxxxxxxxxxgxxxxx.当04x时，cossin0 xx，2xx，故 0g x，g x在0,4上单调递增，故在0,4上 0444g xgff，112f xfx成立，故122xx成立