2022-2023学年北京市第十二中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 24 页 2022-2023 学年北京市第十二中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1一个袋中装有大小、质地相同的 3 个红球和 3 个黑球，从中随机摸出 3 个球，设事件A“至少有2 个黑球”，下列事件中，与事件A互斥而不互为对立的是（）A都是黑球 B恰好有 1 个黑球 C恰好有 1 个红球 D至少有 2 个红球【答案】B【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解即可【详解】解：从装有大小和质地完全相同的 3 个红球和 3 个黑球的口袋内任取 3 个球，在A中，至少有 2 个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故A错误，在B中，至少有 2 个黑球和恰有 1 个黑球不能

2、同时发生，是互斥而不对立事件，故B正确，在C中，至少有 2 个黑球和恰有 1 个红球能同时发生，不是互斥事件，故C错误，在D中，至少有 2 个黑球和至少有 2 个红球事件不能同时发生，是对立事件，故D错误 故选：B 2若向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)abc，满足条件()1cab，则（）A1 B2 C1 D2【答案】B【分析】首先通过向量的减法的坐标运算可得()(0,2,1)ca，再通过数量积运算即可得解.【详解】根据向量的运算可得：()(0,2,1)ca，所以()0 12(2)(1)1cab 4 131 ，所以2，故选：B 3椭圆2221xy的焦点坐标为（）A12(1,0),

3、(1,0)FF B12(0,1),(0,1)FF C1222,0,022FF D12220,0,22FF【答案】D 第 2 页 共 24 页【分析】根据题意可得22112xy，故该椭圆焦点在y轴上，2211,2ab，求得22212cab即可得解.【详解】由2221xy可得22112xy，故该椭圆焦点在y轴上，2211,2ab，所以22212cab，22c，故焦点坐标为12220,0,22FF，故选：D 4为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A该地农户家庭年收入低于 4.5

4、万元的农户比率估计为 6%B该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间【答案】C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定 ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定 C.【详解】因为频率直方图中的组距为 1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.第 3 页 共 24 页 该地农户家庭年收入低于 4.

5、5 万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%,故 A 正确；该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计值为0.040.02 30.1010%,故 B 正确；该地农户家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%,故 D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3 0.024 0.045 0.106 0.147 0.208 0.209 0.10100.1011 0.04120.0213 0.02140.027.6 (万元)，超过 6.5 万元，故 C 错误.综上，给出结论中不正确的是 C.故选：C.【点睛】本

6、题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于频率组距组距.5已知12,F F是双曲线22146xy的两个焦点，点P在双曲线上，若15PF，则2PF（）A1 或 9 B3 或 7 C9 D7【答案】C【分析】由题知点P在双曲线左支上，进而根据双曲线的定义求解即可；【详解】解：由题知，2,6,10abc，因为P在双曲线上，且15210PFac，所以，点P在双曲线左支上，由双曲线定义知2124PFPFa，故29PF；所以，29PF 故选：C

7、6在空间直角坐标系中，已知三点(0,0,0),(1,2,1),(1,1,0)OAB，若点 C 在平面OAB内，则点 C的坐标可能是（）A(1,1,3)B(3,0,1)C(1,1,2)D(1,1,2)【答案】B【分析】根据向量的运算可得(1,2,1)OA，(1,1,0)OB，由OA，OB不共线，结合向量基本定理可得(,2,)OCOAOB，求得 C 点坐标为(,2,)，代入验算即可得解.【详解】由(1,2,1)OA，(1,1,0)OB，第 4 页 共 24 页 显然OA，OB不共线，根据向量基本定理可得(,2,)OCOAOB，故 C 点坐标为(,2,)，经验算只有 B 选项符合条件，此时1,2，故

8、选：B 72|12xyy 表示的曲线为（）A两个半圆 B一个圆 C半个圆 D两个圆【答案】A【分析】去方程中的绝对值符号，平方整理，再分类讨论方程表示的曲线即可得解.【详解】依题意，|10 x ，则有1x或1x，当1x时，2222|1211(1)(1)(1)1xyyxyxy ，此时方程表示以点 O2(-1，1)为圆心，1 为半径的圆在直线 x=-1 及左侧的半圆，当1x时，2222|1211(1)(1)(1)1xyyxyxy ，此时方程表示以点 O1(1，1)为圆心，1 为半径的圆在直线 x=1 及右侧的半圆，如图，2|12xyy 表示的曲线为两个半圆.故选：A 8 已知点 A，B 是椭圆22

9、22:1(0)xyWabab长轴上的两个顶点，点 P在椭圆上（异于 A，B两点），若直线,PA PB斜率之积为43aca，则椭圆的离心率为（）A13 B14 C23 D34【答案】C 第 5 页 共 24 页【分析】根据题意可设P点坐标为(,)m n，则22221mnab，即22222a nmab，由(,0),(,0)AaB a，则2222243PAPBnnnbackkma mamaaa，整理解方程即可.【详解】设P点坐标为(,)m n，则22221mnab，22222a nmab，不妨设(,0),(,0)AaB a，则22222222243PAPBnnnnbackka nma mamaaab

10、，整理可得223440caca，即23e4e40，23e 或2e（舍），故选：C 9已知圆22:(7)(1)2Cxy和两点(0,),(0,)(0)AaBa a，若圆C上存在点P，使得90APB，则a的最大值为（）A4 2 B5 2 C6 2 D7 2【答案】C【分析】以AB为直径的圆与圆C有公共点，进而根据圆与圆的位置关系求解即可.【详解】解：因为圆C上存在点P，使得90APB，所以，以AB为直径的圆与圆C有公共点，因为以AB为直径的圆的方程为222:O xya，圆心为0,0O，ra 因为圆C的圆心为7,1C，半径为2R，所以5 2rROCrR，即5 2rRrR，所以，5 25 2RrR，即4

11、 26 2a 所以，a的最大值为6 2 故选：C 10如图，棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，点E是11DC的中点，F是侧面11ADD A的中心，则F到平面1EBC的距离为（）第 6 页 共 24 页 A2 63 B102 C32 D3【答案】A【分析】连接1A D，证明1/AD平面1CEB，进而将其转化为D到平面1EBC的距离，再根据等体积法求解即可.【详解】解：连接1A D，因为F是侧面11ADD A的中心，所以1FAD，因为，由正方体的性质知1111/,ABCD ABCD，所以，11ABCD是平行四边形，所以11/ADCB，因为1A D 平面1CEB，1CB 平面1CEB

12、 所以1/AD平面1CEB，所以，F到平面1EBC的距离与D到平面1EBC的距离相等，设D到平面1EBC的距离为h 1CEB中，115,2 2EBCEBC，112 25262CEBS，因为111111133D EB CBECEBCCEDDVVShSBC，所以，11361114233323CEDhSBC，解得42 636h 所以，F到平面1EBC的距离为2 63 故选：A 第 7 页 共 24 页 11已知椭圆22:14xEy，直线 l与两个坐标轴分别交于点 M，N且与椭圆 E 有且只有个公共点，O是坐标原点，则OMN面积的最小值是（）A4 2 B4 C2 2 D2【答案】D【分析】根据题意首先

13、设直线 l方程为ykxb，和椭圆方程联立结合韦达定理求得参数k和b之间的关系，利用面积公式结合基本不等式求最值即可得解.【详解】若要直线 l与两个坐标轴分别交于点 M，N，则直线 l的斜率存在，故设直线 l方程为ykxb，代入到椭圆方程2214xy可得 222(41)8440kxkbxb，根据提意可得222222644(41)(44)6416160k bkbkb，所以2241kb，根据题意对方程ykxb，0,0kb，所以令0 x 得yb，令0y 得bxk，所以221111 4111422222OMNbbkSOMONbkkkkk 111(4)422kkkk，当且仅当14kk时取等，所以OMN面积

14、的最小值是2.故选：D 12设圆22:2O xy，直线:40l xy，P为l上的动点过点P作圆O的两条切线,PA PB，切点为,A B，给出下列四个结论：当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为(2,2)第 8 页 共 24 页|PA的取值范围为 6,)当PAB为等边三角形时，点P坐标为(1,3)直线AB恒过定点1 1,2 2 其中正确结论的个数是（）A1 B2 C3 D4【答案】B【分析】对于，当四边形OAPB为正方形时，利用|OAOBAPBP，求出|2PO，再设00(,)P xy，利用004yx，解方程|2PO，可知不正确；对于，设00(,)P xy，利用004yx，22|APPOOA2|

15、2PO以及二次函数知识可得|6AP；故正确 对于，根据PAB为等边三角形，可得30APOBPO，|2 2OP，设出点P的坐标，利用|2 2OP 可求出结果；对于，设出点P的坐标，求出以|PO为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦AB的方程，将12xy代入直线AB的方程恒成立，可得答案.【详解】对于，当四边形OAPB为正方形时，|OAOBAPBP，又圆22:2O xy的圆心(0,0)O，半径2r，所以222|242POOAAPr，设点00(,)P xy，则004yx，所以2222000|(4)oPOxyxx2002816xx2，化简得200460 xx，该方程的判别式16240，该方程无

16、解，所以不存在点P使得四边形OAPB为正方形，故不正确；对于，由可知，22|APPOOA2|2PO20028162xx 202(2)6x6，即PA的取值范围为6,，故正确；对于，设点00(,)P xy，则004yx，当PAB为等边三角形时，可知60APB，第 9 页 共 24 页 又OP平分APB，所以30APOBPO，在直角三角形PAO中，由于|2OA,所以|sin|OAAPOOP，即2sin30|OP，所以|2 2OP，又点00(,4)P xx，所以2200(4)2 2xx，化简得20(2)0 x，解得02x，所以0042yx，则(2,2)P，故不正确；对于，设点00(,)P xy，则00

17、4yx，00(,4)P xx，以|PO为直径的圆的圆心为004(,)22xx，半径为2200(4)|22xxPO，所以以|PO为直径的圆的方程为222200004(4)()()224xxxxxy，化简得2200(4)0 xyx xxy，联立220022(4)02xyx xxyxy，得00(4)2x xxy，所以直线AB的方程为：00(4)2x xxy，将12xy代入直线AB的方程恒成立，故直线AB恒过定点1 1,2 2，故正确.所以正确的答案有 2 个，故选：B.二、填空题 13一组数据按从小到大的顺序排列为 1，4，4，x，7，8（其中7x），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的第

18、 60 百分位数是_.【答案】6【分析】先求出众数，进而求得中位数，解出6x，再由百分位数的求法求解即可.【详解】由题意知，众数是 4，则中位数为5454，则452x，解得6x，又6 60%3.6，则第 60 百分位数是 6.故答案为：6.第 10 页 共 24 页 14过椭圆22143xy的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为_【答案】3【分析】根据题意即求通径大小，先求1c，令1x 代入椭圆方程求得32y 即可得解.【详解】由2221cab，故1c，不妨令1x，代入22143xy可得294y，所以32y ，故弦长为3.故答案为：3 15已知直线12:210,:(1)10lxmylm

19、xy ，若12ll/，则m _【答案】2【分析】由题知210m m，进而解方程并检验即可得答案.【详解】解：因为直线12:210,:(1)10lxmylmxy 平行，所以，210m m，即220mm，解得：1m 或2m 当1m 时，12:210,:210lxylxy ，显然重合，舍；当2m 时，121:0,:102lxylxy，满足12ll/.所以，2m 故答案为：2 16已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab经过点3 5,22P，双曲线 C 的离心率为53，则双曲线 C 的焦点到其渐近线的距离为_【答案】4【分析】利用已知条件先求出双曲线的标准方程，找出一个焦点和一条渐近线，利用点到

20、直线距离公式求解即可.【详解】由双曲线经过点3 5,22P，则 22223 5221ab，双曲线离心率为：53cea，第 11 页 共 24 页 又222abc，联立解得：2229,16,25abc，所以双曲线标准方程为：221916xy 所以双曲线的一个焦点为5,0，一条渐近线为430 xy，所以双曲线 C 的焦点到其渐近线的距离为：224 53 0443d ，故答案为：4.17已知椭圆22195xy的左右焦点分别为1F，2F，P 是椭圆上的一点，且1260F PF，则21PF F的面积是_【答案】5 33【解析】根据椭圆的定义，得到12PFPF的值，再由1260F PF，在21PF F中，

21、用余弦定理，求出12PF PF，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】根据椭圆定义，可得1226PFPFa，且椭圆的焦距为122 954FF，又1260F PF，在21PF F中，由余弦定理，可得222121212121cos22PFPFFFFPFPF PF，所以22221121212122PFPFPF PFFFPF PF，即211236 162122PF PFPF PF，所以21203PF PF，因此21PF F的面积是1 22121112035 3sin22323PF FSPF PFFPF.故答案为：5 33.18如图，在直三棱柱111ABCABC中，11ABBB，3BC，90ABC，

22、CHxCB，1(01,01)CPyCBxy 第 12 页 共 24 页 记(,)f x yAHHP，给出下列四个结论：对于任意点 H，都存在点 P，使得平面AHP 平面11AB P；(,)f x y的最小值为3；满足(,)3f x y 的点 P 有无数个；当(,)f x y取最小时，过点 A，H，P作三棱柱的截面，则截面面积为154 其中所有正确结论的序号是_ 【答案】【分析】过点H作01HPBC，根据线面垂直判定定理，面面垂直判定定理证明平面0AHP 平面110AB P，由此判断；作展开图，利用平面几何结论判断，；确定过点 A，H，P 作三棱柱的截面，解三角形计算截面面积，判断命题.【详解】

23、因为三棱锥111ABCABC为直三棱锥，所以1BB 平面111ABC，又11A B 平面111ABC，所以111BBAB，又90ABC，所以11190ABC，所以1111ABBC，1111BBBCB，111,BB BC 平面11BBC C，所以11AB 平面11BBC C，对于任意点 H，过点H作01HPBC，垂足为0P，因为11AB 平面11BBC C，0HP 平面11BBC C，所以110ABHP，又1111BCABB，111,BC AB 平面110AB P，所以0HP 平面110AB P，又0HP 平面0AHP，所以平面0AHP 平面110AB P；所以对于任意点 H，都存在点 P，使得

24、平面AHP 平面11AB P；命题正确；第 13 页 共 24 页 将ABC绕BC翻折到平面1BB C内，则AHHP的最小值为点A到直线1BC的距离，又11ABBB，3BC，90ABC，190B BC，所以112ACCBAB，所以点A到直线1BC的距离为3，所以(,)f x y的最小值为3；正确；当(,)f x y取最小时，P为1BC的中点，因为1ABC为等边三角形，点B为线段1AB的中点，所以H为1ABC的重心，故13BHBC，在平面11BCC B中，延长HP交11BC于点M，因为1PCPB，11,PB MPCHB PMHPC ，所以1PB MPCH，故123B MCH，取1BM的中点Q，N

25、为11AC的中点，则1/MN AQ，因为1/BH BQ，1=BH BQ，所以四边形1BBQH为平行四边形，所以11/,HQ BB HQBB，又1111,/AABB AABB，所以1/AQ AH，所以/MN AH，故过点 A，H，P 的三棱柱的截面为梯形AHMN，第 14 页 共 24 页 又232 3133AH，11323MNAQ，222 33MHMQHQ，22112ANAAAN，在下图中过点M作MGAH，设,HGx AGy，因为222MHHGAG，222ANAGMNNG，所以22243xyMH，22323xy，所以36x，52y，所以四边形AHNM的面积35152224MNAHSAG，故过点

26、 A，H，P 的截面面积为154命题正确；当52HB 时，32AH，则12AHHPAHHBAH，在下图中过点H作HRBC，垂足为R，则AHHPAHHR，又2AHHRAHHC，23AH，故对于任意的点H，当52HB 时，都存在对应的点P，满足3AHHP，故满足(,)3f x y 的点 P 有无数个；命题正确；故答案为：.【点睛】对于求空间中的线段和的距离最小值的问题，一般通过转化为平面图形中的线段和问题加以解决.第 15 页 共 24 页 三、解答题 19为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来检测培育的某种植

27、物的生长情况，现分别从,A B C三块试验田中各随机抽取 7 株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：A组 10 11 12 13 14 15 16 B组 12 13 14 15 16 17 18 C组 13 14 15 16 17 18 19 假设所有植株的生产情况相互独立从,A B C三组各随机选 1 株，A组选出的植株记为甲，B组选出的植株记为乙，C组选出的植株记为丙(1)求丙的高度小于 15 厘米的概率；(2)求甲的高度大于乙的高度的概率；(3)表格中所有数据的平均数记0从,A B C三块试验田中分别再随机抽取 1 株该种植物，它们的高度依次 14，16，15（单位：厘米）这 3 个

28、新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为1，试比较0和1的大小（结论不要求证明）【答案】(1)27(2)1049(3)01 【分析】（1）设事件iA为“甲是A组的第i株植物”，事件iB为“乙是B组的第i株植物”，事件iC为“甲是C组的第i株植物”，其中1,2,3,7i，设事件D为“丙的高度小于 15 厘米”，利用互斥事件求出概率即可；（2）由（1）中的事件分析直接求出“甲的高度大于乙的高度”的概率，（3）依题意分别计算出0和1比较即可.【详解】（1）设事件iA为“甲是A组的第i株植物”，第 16 页 共 24 页 事件iB为“乙是B组的第i株植物”，事件iC为“甲是C组的第i株植物”，

29、其中1,2,3,7i，由题意得：1()()(),1,2,3,77iiiP AP BP Ci，设事件D为“丙的高度小于 15 厘米”，由题知12DCC，且12,C C互斥，所以丙的高度小于 15 厘米的概率为：1212112777P DP CCP CP C.（2）设事件E为“甲的高度大于乙的高度”，所以甲的高度大于乙的高度的概率为：415161115262P EP A BP A BP A BP ABP A BP A B 72637374P A BP A BP A BP A B 11111111117777777777 11111111117777777777 1110107749.（3）由题意得

30、：01(1011 1213 1415 161213 1421 1516171813141516171819)14.67，11(1011 1213 1415 161213 1421 1516171813141516171819141615)14.71，所以01.20已知圆C的圆心在直线30 xy上，且经过点(1,3),(1,5)AB(1)求圆C的标准方程；(2)过点(2,1)P的直线l与圆C相交于,M N两点，且|2 3MN，求直线l的方程【答案】(1)22134xy(2)34100 xy或2x 【分析】（1）由已知设出圆心的坐标,3aa，再求出AB的中点M，利用ABCM求出a 第 17 页 共

31、 24 页 的值，进而可以求出圆心和半径，即可解决问题；（2）先判断直线的斜率是否存在，存在的话根据点斜式方程设出直线方程，求出圆心到直线的距离，然后利用2222MNRd 求出直线的斜率即可解决问题.【详解】（1）因为圆C的圆心在直线30 xy上，所以设圆C的圆心为：,3aa，由(1,3),(1,5)AB，所以AB的中点0,4M，由题知：ABCM，所以1ABCMkk，即 53341110aa ，解得1a，所以圆心为 1,3C，半径221 1332RAC 所以圆C的标准方程为：22134xy.（2）当直线l的斜率不存在时，因为直线l过点(2,1)P，所以方程为：2x，代入22134xy中解得：3

32、3y，此时|33332 3MN，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l方程为：1(2)210yk xkxyk ，由圆心 1,3C到直线l的距离为：222321211kkkdkk ，由2222MNRd，所以222222 3221kk，第 18 页 共 24 页 解得：34k ，所以直线l的方程为：34100 xy，综上，直线l的方程为：34100 xy或2x.21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的菱形，侧面PAD 底面ABCD，60BCD，2PAPD，E为BC的中点，点Q在侧棱PC上.（1）求证：ADPB；.（2）若Q是PC的中点，求二面角EDQC的余弦值；（3）若PQP

33、C，当/PA平面DEQ时，求的值.【答案】（1）见解析；（2）217；（3）23.【详解】分析：（1）先利用等腰三角形的“三线合一”和面面垂直的性质得到线面垂直，再利用菱形的对角线垂直得到线线垂直，进而建立空间直角坐标系，利用两直线的方向向量数量积为 0 进行求解；（2）先求出两平面的法向量，再利用法向量的夹角公式进行证明；（3）利用三点共线设出Q的坐标，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，利用两向量数量积为 0 进行求解.详解：（1）取AD的中点O，连结OP，OB，BD，PAPD，POAD，侧面PAD 底面ABCD，平面PAD 平面ABCD AD，PO 底面ABCD，底面ABCD是菱形，6

34、0BCD，BABD，BOAD，以O为原点，分别以OA，OB，OP方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz，由题意可得0,0,0O，1,0,0A，0,3,0B，2,3,0C，1,0,0D，1,3,0E，0,0,1P，2,0,0AD ，0,3,1PB，0AD PB，ADPB.第 19 页 共 24 页（2）由题意，3 11,22Q，设平面DQC的一个法向量1,nx y z，1,3,0DC ，3 10,22DQ，由1100n DCn DQ，即3031022xyxz，令3x，1y，3z ，所以13,1,3n，又平面EDQ的一个法向量21,0,0n，由12121221cos,7n nn n

35、nn，右图可知，二面角EDQC为锐角，所以余弦值为217.（3）PQPC，01，易得2,3,1Q，设平面DEQ的一个法向量3,nx y z，0,3,0DE，21,3,1DQ，由3300n DEn DQ，即3021310yxyz，取21z，得31,0,21n，又1,0,1PA，/PA平面DEQ，30PAn，即 11 210，得23，所以当23时，/PA平面DEQ.点睛：本题考查空间中垂直的转化、空间向量在立体几何中的应用等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力.22已知椭圆W以坐标轴为对称轴，且经过两点3(2,0),1,2AB(1)求椭圆W的方程；第 20 页 共 24 页(2)设过点(

36、2,1)P的直线l交椭圆W于CD、两点，过点D作垂直于x轴的直线，与线段AB交于点M，与AC交于点E，再从条件、条件、条件中选择一个作为已知求|MDME的值 条件：直线l的斜率为1；条件：直线l过点B关于y轴的对称点；条件：直线l过坐标原点O【答案】(1)22143xy(2)1 【分析】（1）由题设221,0,mxnymo nmn，进而待定系数求解即可；（2）条件：由题知直线l的方程为1yx，进而联立方程221143yxxy，设1122,C x yD xy得121288,77xxx x，再根据AB方程为322yx，AC方程为1122yyxx得223,22Mxx，12212,2yxE xx，再计

37、算2852xMD，12158222xxMEx，再结合韦达定理求比值即可；条件：由题知，点B关于y轴的对称点为31,2，直线l的方程为1463yx，进而结合的方法求解即可；条件：由题知直线l的方程为12yx，进而联立方程2212143yxxy得 333,3,22DC，再求得33,332M，73,632E，再求距离，比值即可.【详解】（1）解：因为椭圆W以坐标轴为对称轴，且经过两点3(2,0),1,2AB 所以，设椭圆W的方程为2210,0,mxnymnmn，所以41914mmn，解得11,43mn 所以，椭圆W的方程为22143xy（2）解：条件：直线l的斜率为1；因为过点(2,1)P的直线l交

38、椭圆W于CD、两点，第 21 页 共 24 页 所以，直线l的方程为12yx，即1yx，联立方程221143yxxy得27880 xx，设1122,C x yD xy 所以121288,77xxx x，因为AB方程为322yx，AC方程为1122yyxx 所以223,22Mxx，12212,2yxE xx 所以2222853524222xMDxyx ，12122112582322222yxxxMExxx，所以221112212121212185852816 510258251081658222xxxMDxx xxMExxx xxxxxx 2212122121222288881652281652

39、77718885102162510162777xxxxx xxx xxxxxx 所以1MDME 条件：直线l过点B关于y轴的对称点；由题知，点B关于y轴的对称点为31,2，所以直线l的方程为11421663yxx ，所以联立方程221463143yxxy 得274110 xx，设1122,C x yD xy 所以1212411,77xxx x，因为AB方程为322yx，AC方程为1122yyxx 所以223,22Mxx，12212,2yxE xx 第 22 页 共 24 页 所以2222233144522226333MDxyxxx ，121221221111422281033632222226

40、2xxyxxxMExxxxx，所以212121221211451016820338101620281062xMDxxx xMEx xxxxxx221221212122224111210682061068207771121148166206816610777xxxxxx xx xxxxxx 所以1MDME 条件：直线l过坐标原点O 由题知直线l的方程为12yx，所以联立方程2212143yxxy得23x，解得3x 所以，交点坐标为333,3,22 因为过点D作垂直于x轴的直线，与线段AB交于点M，与AC交于点E，所以333,3,22DC 因为AB方程为322yx，AC方程为33222322 34

41、yxx 所以33,332M，373,323,6322 34E 所以33332 3322MD ，7363332 3322ME ，第 23 页 共 24 页 所以1MDME 23对于集合 A，定义函数1,()1,AxAfxxA，对于两个集合 A，B，定义运算 A*Bx|fA(x)fB(x)1(1)若 A1,2,3，B2,3,4,5，写出 fA(1)与 fB(1)的值，并求出 A*B；(2)证明：*运算具有交换律和结合律，即 A*BB*A，(A*B)*CA*(B*C)【答案】(1)fA(1)1，fB(1)1，A*B1,4,5；(2)证明见详解.【分析】（1）由新定义的元素即可求出 fA(1)与 fB

42、(1)的值，再分情况求出 A*B；（2）先证明 fA*B(x)fA(x)fB(x)即可证明出*运算具有交换律和结合律【详解】（1）A1,2,3，B2,3,4,5，fA(1)1，fB(1)1，由运算定义知：只需保证元素属于集合 AB，不属于集合 AB，即有 A*B1,4,5；（2）先证明 fA*B(x)fA(x)fB(x)：当 xA且 xB时，fA(x)fB(x)1，所以 xA*B所以 fA*B(x)1，所以 fA*B(x)fA(x)fB(x)，当 xA且 xB 时，fA(x)1，fB(x)1，所以 xA*B所以 fA*B(x)1，所以 fA*B(x)fA(x)fB(x)，当 xA 且 xB 时

43、，fA(x)1，fB(x)1 所以 xA*B所以 fA*B(x)1 所以 fA*B(x)fA(x)fB(x)当 xA 且 xB时，fA(x)fB(x)1 所以 xA*B所以 fA*B(x)1 所以 fA*B(x)fA(x)fB(x)从而可得 fA*B(x)fA(x)fB(x)；因为 A*Bx|fA(x)fB(x)1，B*Ax|fB(x)fA(x)1x|fA(x)fB(x)1，第 24 页 共 24 页 所以 A*BB*A 因为(A*B)*Cx|fA*B(x)fC(x)1x|fA(x)fB(x)fC(x)1，A*(B*C)x|fA(x)fB*C(x)1x|fA(x)fB(x)fC(x)1，所以(A*B)*CA*(B*C)