2022-2023学年广东省广州中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 19 页 2022-2023 学年广东省广州中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1经过点(1,0)且与直线210 xy 垂直的直线方程为（）A210 xy B220 xy C220 xy D210 xy 【答案】C【解析】先由垂直关系，求出所求直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果.【详解】因为所求直线与直线210 xy 垂直，所以其斜率为1212k ，又所求直线过点(1,0)，因此，所求直线方程为21yx，即220 xy.故选：C.2若平面，的法向量分别为a(1，2，4)，b(x，1，2)，且，则 x的值为（）A10 B10 C12 D12【答案】B【分析】由，可

2、得它们的法向量也互相垂直，从而可求出 x的值【详解】解：因为，所以它们的法向量也互相垂直，所以a b(1，2，4)(x，1，2)0，解得 x10 故选：B 3已知圆C经过原点，且其圆心在直线20 xy上，则圆C半径的最小值为（）A1 B2 C2 D2 2【答案】B【解析】计算出原点到直线20 xy的距离，即为所求.【详解】当OC与直线20 xy垂直时，圆C的半径最小，因此，圆C半径的最小值为 222211d .第 2 页 共 19 页 故选：B.4已知中心在原点的双曲线C的右焦点为3,0F,离心率等于32,在双曲线C的方程是 A22145xy B22145xy C22125xy D22125x

3、y【答案】B【详解】依题意3c,32e,所以2a,从而24a,2225bca,故选 B【考点定位】考查双曲线方程 5已知等比数列na满足12a，且12,6a a成等差数列，则4a（）A6 B8 C16 D32【答案】C【解析】设公比为q，由等比数列的通项公式和等差数列中项性质列方程，解方程可得 q，即可得到所求值【详解】12,6a a成等差数列，得12642aa，即：14a q，2q 所以341aa q16，故选：C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.6已知抛物线28yx的焦点与椭圆22221(0)xyabab的一个焦点重合，且椭圆截抛物

4、线的准线所得线段长为 6，那么该椭圆的离心率为()A2 B23 C22 D12【答案】D【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再根据椭圆的通径公式求出 a、c，算出离心率.【详解】易知抛物线28yx的焦点（2，0），准线 x=-2，即椭圆22221(0)xyabab的 c=2，因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；即通径为226ba，又因为 c=2 解得 a=4 第 3 页 共 19 页 所以离心率2142cea 故选 D.【点睛】本题目考察了抛物线的方程和性质，以及椭圆的性质，本题关键点在通径上，如果记不得通径公式就直接带入计算，一样可得答案，属于一般题型.7在四面体DAB

5、C中，点 G是ABC的重心，设DAa，DBb，DCc，则DG（）A122333abc B111333abc C222333abc D221333abc【答案】B【分析】结合重心的知识以及空间向量运算求得正确答案.【详解】设E是BC中点，23DGDAAGDAAE 211323DAABACDAABAC 11233DADBDADCDADADBDCDA 111111333333DADBDCabc.故选：B 8已知圆22:22Cxy,直线:2l ykx,若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线12,l l,使得12ll,则实数k的取值范围是 A 0,2323,B23,23 第 4 页 共 19 页 C,

6、0 D0，）【答案】D【分析】由题意结合几何性质可知点 P 的轨迹方程为22(2)4xy，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于 k的不等式即可求得实数 k的取值范围.【详解】圆 C（2,0），半径 r2，设 P（x，y），因为两切线12ll，如下图，PAPB，由切线性质定理，知：PAAC，PBBC，PAPB，所以，四边形 PACB为正方形，所以，PC2，则：22(2)4xy，即点 P 的轨迹是以（2,0）为圆心，2 为半径的圆.直线:2l ykx过定点（0，2），直线方程即20kxy，只要直线与 P 点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：2|2

7、2|21kdk，解得：0k，即实数k的取值范围是0，）.本题选择 D选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、多选题 9已知圆1C：221xy和圆2C：22230 xyrr，以下结论正确的是（）A若1C和2C只有一个公共点，则2r B若1r，则1C和2C关于直线32x 对称 C若12r，则1C和2C外离 第 5 页 共 19 页 D若23r且1C和2C的公共弦长为3，则7r 【答案】BCD【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】圆1C的圆心为10,0C，半径为11r.圆2

8、C的圆心为23,0C，半径为2rr.圆心距123CC.当4r 时，2112rrCC，两圆内切，1C和2C只有一个公共点，A 选项错误.当1r 时，两个圆的半径相等，1C和2C关于直线32x 对称，B 选项正确.当12r时，1211,3rrr ，即1212CCrr，1C和2C外离，C 选项正确.当23r，1213,4rrr ，2111,2rrr ，所以211212rrCCrr，所以两圆相交，2222231xyrxy，两式相减并化简得21006rx，即相交弦所在直线方程为2106rx，所以公共弦长为222102 1372,36rr，D 选项正确.故选：BCD 10已知曲线 C的方程为22126xy

9、kk（Rk，且2k，6k），则下列结论正确的是（）A当4k 时，曲线 C 为圆 B若曲线 C 为椭圆，且焦距为2 2，则5k C当2k 或6k 时，曲线 C为双曲线 D当曲线 C 为双曲线时，焦距等于 4【答案】AC【分析】写出当4k 时的曲线方程，即可判断 A;分情况求出当曲线表示椭圆时 k的值，可判断 B；当2k 或6k 时，判断2,6kk的正负，即可判断 C;当曲线 C 为双曲线时,确定 k的范围，求得焦距，可判断 D.【详解】当4k 时,方程为22122xy，即222xy，表示圆，故 A 正确；若曲线 C 为椭圆，且焦距为2 2，则当焦点在 x轴上，260kk 且2(6)2kk，解得5

10、k ；当焦点在 y 轴上，620kk 且6(2)2kk，解得3k ,第 6 页 共 19 页 故此时5k 或3k，故 B 错误；当2k 时，20,60kk，曲线22126xykk表示的是焦点位于 y轴上的双曲线；当6k 时，20,60kk，曲线22126xykk表示的是焦点位于 x轴上的双曲线；故 C 正确；当曲线 C 为双曲线时，(2)(6)0kk，即2k 或6k，当2k 时，2 0,60kk，焦距22 82ck，当6k 时，20,60kk，焦距22 28ck，故 D 错误，故选：AC 11 已知数列 na的前n项和为nS，2a与6a是方程28120 xx的两根，则下列说法正确的是（）A若

11、na是等差数列，则44a B若 na是等比数列，则42 3a C若 na是递减等差数列，则当nS取得最大值时，7n 或8 D若 na是递增等差数列，216nSnt对*Nn恒成立，则8t 【答案】BC【分析】由题意利用等差数列性质求出公差和首项，利用前n项和求出nS，再利用二次函数性质，基本不等式，得出结论判断即可.【详解】因为数列 na的前n项和为nS，2a与6a是方程28120 xx的两根，由韦达定理得，268aa，6212aa，所以解得22a，66a 或26a，62a；对于 A 选项：若 na是等差数列，则264=42aaa，故 A 不正确；对于 B 选项：若 na是等比数列，则242aa

12、q，因为20a，所以40a，则462=2 3aaa，故 B 正确；对于 C 选项：若 na是递减等差数列，所以26a，62a，解得公差1d，首项17a，所以 211711522nnnSnnn ，故当7n 或8时nS取得最大值，故 C 正确；对于 D 选项：若 na是递增等差数列，所以22a，66a，解得公差1d，第 7 页 共 19 页 首项 1，所以2111222nSn nnnn ，因为216nSnt对*Nn恒成立，即216nnnt恒成立，即161tnn 恒成立，因为162 168nn，当且仅当4n 时等号成立，故1619nn，则9t，故 D 不正确.故选：BC.12如图所示，在正方体111

13、1ABCDABC D中，E为AC的中点.则（）A111,120AB B D B1BDAC C11BDEB D145BB E【答案】ABC【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式、空间向量数量积的运算性质逐一判断即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，则111(2,0,2),(2,2,0),(2,2,2),0,0,2,(2,0,0),(0,2,0),(1,1,0)ABBDACE，因为111(0,2,2)(2,2,0,)ABB D，所以111111222211141cos,22222AB B DAB B DABB D ，因为1110,180AB B D ，所以11

14、1,120AB B D，因此选项 A 正确；第 8 页 共 19 页 因为1(2,2,2),(2,2,0)BDAC ，所以11440BDACBDAC1BDAC，所以选项 B 正确；因为11(2,2,2),(1,1,2)BDEB,所以有11112240BDEBBDEB 11BDEB，所以选项 C 正确；因为11(0,0,2),(1,1,2)B BB E，所以有11111146cos,321 14B B B EB B B EB BB E，所以145BB E不正确，因此选项 D 不正确，故选：ABC 三、填空题 13两直线330 xy与610 xmy 平行，则它们之间的距离为_.【答案】7 1020

15、【详解】因为直线与平行，得，所以，即，330 xy化为6260 xy 由平行直线距离公式.14已知数列 na是等比数列，函数2=53yxx的两个零点是15aa、，则3a _【答案】3【解析】首先利用韦达定理可得153a a，再利用等比数列的性质即可求解.【详解】由韦达定理可知155aa，153a a，则10a，50a，从而30a，且231533,3aa aa.故答案为：3【点睛】本题考查了等比数列的性质，需熟记性质，属于基础题.15如图,在棱长都为 1 的平行六面体1111ABCDABC D中,1,AB AD AA两两夹角均为3,则第 9 页 共 19 页 1AC BD_.【答案】0【分析】根

16、据空间向量的加减,将1AC BD转化为1,AB AD AA之间的运算,再根据模及夹角计算结果即可.【详解】解:由题知平行六面体1111ABCDABC D棱长为 1,且1,AB AD AA两两夹角均为3,所以11CCACBAAADDBC 1BCAAADBABA 1ADAAADBABA 1212ADADAAADAAABABADAABB 1 1 1 1 cos1 1 cos33 0.故答案为:0 16已知椭圆222210 xyabab的短轴长为 2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是1F，2F，且1F AB的面积为232，点P为椭圆上的任意一点，则1211PFPF的取值范围是_.【答案】1,4

17、【分析】根据1F AB的面积和短轴长得出 a，b，c的值，从而得出1PF的范围，得到1211PFPF关于1PF的函数，从而求出答案【详解】由已知得22b，故1b，1F AB的面积为232，第 10 页 共 19 页 12322ac b，23ac，又2221acacacb，2a，3c，12121211PFPFPFPFPF PF211112444aPFPFPFPF，又12323PF，211144PFPF，121114PFPF.即1211PFPF的取值范围为 1,4.故答案为 1,4【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题 四、解答题 17已知

18、等差数列 na满足2344,17aaa.(1)求数列 na的通项公式;(2)若数列 nb满足12b,再从12nnbb;12nnbb;1nnbb 这三个条件中任选一个作为已知,求数列nnab的前n项和nT.【答案】(1)32nan(2)选时,2132222nnnnT;选时,22314222nnnnT;选时,231122nnnnT .【分析】(1)由题意设出 na公差,代入2344,17aaa中,求出基本量即可求出通项公式;(2)先选择一种条件,根据 nb递推关系得到 nb为等比数列,求出 nb的首项和公比,用分组求和即可得nT.【详解】（1）解:由题知 na是等差数列,记数列 na公差为d,因为

19、2344,17aaa,第 11 页 共 19 页 所以1142517adad,解得11,3ad,故32nan;（2）由(1)知32nan,当选择时:因为12nnbb,12b,故0nb,所以12nnbb,即 nb为以 2 为首项,2 为公比的等比数列,所以2nnb,123123nnnTaaaabbbb 2 12132212nnn 2132222nnn;当选择时:因为12nnbb,12b,故0nb,所以112nnbb,即 nb为以 2 为首项,12为公比的等比数列,所以212nnb,123123nnnTaaaabbbb 12 113221212nnn 22314222nnn;第 12 页 共 19

20、 页 当选择时:因为1nnbb,12b,故0nb,所以11nnbb,即 nb为以 2 为首项,-1 为公比的等比数列,所以121nnb,123123nnnTaaaabbbb 2 11132211nnn 231122nnn .18已知双曲线22:15xyEm（1）若4m，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）若双曲线E的离心率为6,22e，求实数m的取值范围【答案】（1）焦点坐标为(3,0)，3,0，顶点坐标为(2,0)，2,0，渐近线方程为52yx；（2）5,10.【分析】（1）根据双曲线方程确定,a b c，即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）先求e（用m表

21、示），再根据6,22e解不等式得结果.【详解】（1）当4m 时，双曲线方程化为，22145xy 所以2a，5b，3c，所以焦点坐标为(3,0)，3,0，顶点坐标为(2,0)，2,0，渐近线方程为52yx.（2）因为222551cmeamm，6,22e 第 13 页 共 19 页 所以35122m，解得510m，所以实数m的取值范围是5,10【点睛】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.19如图，在长方体1111ABCDABC D中，11ADAA，2AB，E 为 AB 的中点.（1）证明：11D EAD；（2）求点 E 到平面1

22、ACD的距离；（3）求平面1AD E与平面1ACD夹角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）13；（3）2 23.【解析】（1）首先建立空间直角坐标系，证明110D E AD；（2）求平面1ACD的法向量，利用点到平面的距离的向量公式代入求解；（3）求平面1AD E与平面1ACD的法向量，利用法向量求二面角夹角的余弦值.【详解】（1）如图，以DA，DC，1DD为,x y z轴的正方形建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，10,0,1D，1,1,0E，11,0,1A，0,0,0D 第 14 页 共 19 页 11,1,1D E，11,0,1AD ，11111 0110D E AD ，所以11D

23、 EAD；（2）1,0,0A，0,2,0C，10,0,1D，1,1,0E，1,2,0AC ，11,0,1AD ，0,1,0EA 设平面1ACD的法向量为,nx y z，则100n ACn AD，即200 xyxz ，令1,y 则2,2xz，所以2,1,2n，则点E到平面1ACD的距离222113212EA ndn；（3）由（1）可知11ADD E，又1ADAA，11ADAD，且111ADD ED，1AD平面1AD E，11,0,1AD 是平面1AD E的法向量，11121212 2cos,331 1n ADn ADn AD ，平面1AD E与平面1ACD夹角是锐角，所以平面1AD E与平面1A

24、CD夹角的余弦值为2 23.【点睛】思路点睛：本题第二问涉及点到平面的距离，1.可以采用等体积转化求解；2.利用向量法，直接代入公式求解；3.几何法，确定点在平面内的射影，或是利用面面垂直，点到交线的距离就是点到平面的距离.20已知抛物线22(0)ypxp的准线方程是12x .第 15 页 共 19 页（）求抛物线的方程；（）设直线(2)(0)yk xk与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OMON.【答案】（）22yx（）详见解析【详解】试题分析：（）利用排趋性的准线方程求出 p，即可求解抛物线的方程；（）直线 y=k（x-2）（k0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可

25、证明 OMON 试题解析：（）解：因为抛物线22(0)ypxp的准线方程为2px ，所以 122p，解得1p，所以 抛物线的方程为22yx.（）证明：设11(,)M x y，22(,)N xy.将(2)yk x代入22yx，消去y整理得 22222(21)40k xkxk.所以 124x x.由2112yx，2222yx，两式相乘，得 2212124y yx x，注意到1y，2y异号，所以 124y y .所以直线OM与直线ON的斜率之积为12121yyxx，即 OMON.【解析】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程 21如图，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是平行四边形，且1ABBC，

26、1MD，MD 平面ABCD，H是MB中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：二面角AMDC的大小是23；2BAD 若_，求CH与平面MCD所成角的正弦值 第 16 页 共 19 页 【答案】答案见解析.【分析】若选，先证明23ADC，轴DC，以D为坐标原点，以DC，DM所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求CH与平面MCD所成角的正弦值；若选，以D为坐标原点，以DA，DC，DM所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求CH与平面MCD所成角的正弦值.【详解】若选：因为MD 平面ABCD，所以ADMD，CDMD，所以ADC就是二面角AMD

27、C的平面角，所以23ADC.过D作x轴DC，以D为坐标原点，以DC，DM所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则0,1,0C，3 1 1,44 2H.所以33 1,44 2CH.第 17 页 共 19 页 取平面MCD的一个法向量1,0,0n.设CH与平面MCD所成角为，则334sin439116164CH nCHn.所以CH与平面MCD所成角的正弦值是34.若选，因为MD 平面ABCD，2BAD，所以DA，DC，DM两两垂直.以D为坐标原点，以DA，DC，DM所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0,1,0C，1 1 1,2 2 2H.所以11 1,22

28、2CH.取平面MCD的一个法向量1,0,0n.设CH与平面MCD所成角为，则334sin3111444CH nCHn.所以CH与平面MCD所成角的正弦值是33.【点睛】本题主要考查空间角的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22已知圆22:264Qxy，P（2，0），M 点是圆 Q上任意一点，线段 PM的垂直平分线交半径 MQ 于点 C，当 M点在圆上运动时，点 C 的轨迹为曲线 C(1)求曲线 C 方程；(2)已知直线 l：x8，A、B 是曲线 C 上的两点，且不在 x 轴上，1AAl，垂足为1A，1BBl，垂足第 18 页 共 19 页 为1B，若 D（3，0），且11AB

29、D的面积是 ABD 面积的 5 倍，求 ABD面积的最大值【答案】(1)2211612xy(2)32 【分析】（1）由定义法求出曲线 C 的方程；（2）先判断出直线 AB 过定点 H(2,0)或 H(4,0).当 AB 过定点 H(4,0)，求出11 212ABDS 最大；当 H(2,0)时，可设直线 AB：2xmy.用“设而不求法”表示出2224634ABmyym，不妨设24tm（4t），利用函数的单调性求出 ABD面积的最大值.【详解】（1）因为线段 PM 的垂直平分线交半径 MQ于点 C，所以MCPC,所以84QCPCQCCMPQ,符合椭圆的定义，所以点 C 的轨迹为以 P、Q 为焦点的

30、椭圆，其中28,24ac，所以 22212bac，所以曲线 C的方程为2211612xy.（2）不妨设直线 l：x8 交 x轴于 G(8,0)，直线 AB交 x轴于 H(h,0)，则1 11112A B DABSDGyy,12ABDABSDHyy.因为，1AAl，1BBl，所以11ABAByyyy.又因为11AB D的面积是 ABD面积的 5 倍，所以5DGDH.因为 G(8,0)，D（3，0），所以1DH，所以 H(2,0)或 H(4,0).当 H(4,0)时，则 H与A（或 H 与 B）重合，不妨设 H与A 重合，此时，112ABDABSyy，要使 ABD 面积最大，只需 B 在短轴顶点时

31、，By=2 最大，所以11 212ABDS 最大；当 H(2,0)时，要想构成三角形 ABD，直线 AB的斜率不为 0，可设直线 AB：2xmy.设 1122,A x yB x y,则22211612xmyxy，消去 x可得：22346360mymy，所以236 13160m，122634myym，2123634y ym，第 19 页 共 19 页 所以2212121222636443434ABmyyyyyyy ymm 2224634mm.不妨设24tm（4t），则222241666643834948mttmtt，由对勾函数的性质可知，1664948utt在4,上单调递减，所以当 t=4 时，max3u，此时131 322ABDS 最大 综上所述，ABD面积的最大值为32.【点睛】（1）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；（2）解析几何中最值计算方法有两类：几何法：利用几何图形求最值；代数法：表示为函数，利用函数求最值.