2021-2022学年河南省信阳市高二下学期期中教学质量检测数学(理)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 13 页 2021-2022 学年河南省信阳市高二下学期期中教学质量检测数学（理）试题 一、单选题 1若复数21izi则3zz的虚部为 A-4 B4i C4 D4i【答案】C【解析】利用复数的除法可先求出z，然后再计算3zz，从而可得其虚部.【详解】因为2 1111iiziii ，所以1 iz ，324zzi，故选C.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的概念，属于基础题.2已知 ln xfxx，则01122lim4xffxx 等于（）A1 ln2 B1 ln2 C1 ln2 D1 ln2 【答案】D【分析】利用导数的定义和运算法则求解.【详解】解：因为 ln xfxx，所以

2、21 ln xfxx，则14 1 ln22f，所以00111112222limlim44 xxffxfxfxx，1114 1ln21 ln2424 f.故选：D 3函数()f x在0 xx处导数存在，若 p:000,:fxq xx是()f x的极值点，则 Ap 是 q 的充分必要条件 Bp 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 Cp 是 q 的必要条件但不是 q 的充分条件 Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件【答案】C【详解】试题分析：根据函数极值的定义可知，函数0 xx为函数 yf x的极值点，00fx一定成立，但当 00fx时，函数不一定取得极值，比如函数 3f x

3、x，第 2 页 共 13 页 函数的导数 23fxx，当0 x 时，00fx，但函数 3f xx单调递增，没有极值，则p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选 C【解析】必要条件、充分条件与充要条件的判定 4已知函数()()exf xxa的图象在1x 和1x 处的切线相互垂直，则a（）A1 B0 C1 D2【答案】A【解析】求得 fx，利用(1)(1)1ff，即可求得结果.【详解】因为()(1)xfxxae，所以1(1)(2),(1)afae faee，由题意有(1)(1)1ff ，所以1a，故选：A.【点睛】本题考查利用导数由斜率求参数值，属基础题.5满足211nii+211nii=2n

4、的最小自然数为（）A1 B2 C3 D4【答案】C【分析】由复数的乘方与除法则化简后然后代入n值验证【详解】因为22(1)122iiii，222()211iiii ，所以22(1)(1)(2)(2)1(1)(2)111111nnnnnniiiiiiiiiii 121(1)(1)nnniii ，1n 时，原式(11)2iii ，2n 时，原式22(11)4iii ，3n时，原式2 332(11)2iii ，满足题意 故选：C 6已知函数2()9ln3f xxxx，在其定义域内的子区间(1,1)mm上不单调，则实数 m 的取值范围为（）A1 3,2 2 B31,2 C51,2 D51,2【答案】D

5、 第 3 页 共 13 页【分析】依题意知，函数2()93f xxlnxx在区间(1,1)mm上有极值，从而得到30112mm，解之即可【详解】解：2()93f xxlnxx在其定义域内(0,)的子区间(1,1)mm上不单调，函数2()93f xxlnxx在区间(1,1)mm上有极值，由9(3)(23)()230 xxfxxxx得32x 或3x （舍去）30112mm，解得：512m，故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，分析得到函数2()93f xxlnxx在区间(1,1)mm上有极值是关键，注意定义域，考查分析与运算能力，属于中档题 7 聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦

6、，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2233445522,33,44,55338815152424，则按照以上规律，若8888nn具有“穿墙术”，则n（）A35 B48 C63 D80【答案】C【解析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出7 8763n 即可.【详解】因为222222331 2 1，333333882 32，4444415153 43，55555524244 54，所以888888887 8763nn，即63n.故选：C.【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相

7、同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）8用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（）A假设至少有一个钝角 B假设至少有两个钝角 C假设没有一个钝角 D假设没有一个钝角或至少有两个钝角【答案】B【解析】根据反设的思想，直接得出结果.第 4 页 共 13 页【详解】用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为“假设至少有两个钝角”.故选：B.【点睛】本题主要考查反证法的应用，熟记反证法的概念即可，属于基础题型.9方底无盖水箱的容积为 256，则最省材料时，它的高为（）A4 B6 C4.5 D8【答案】A【分析】【详解】设底面边长为 x，高为 h，则

8、 V(x)x2h256，h，S(x)x24xhx24xx2，S(x)2x.令 S(x)0，解得 x8，h4.答案 A 10已知21()sin()42f xxx，()fx为 f（x）的导函数，则()fx的图象是（）A B C D【答案】B【分析】求出函数的导函数，令 g xfx，根据导函数的奇偶性可排除 AD，再根据6g的符号可排除 C，即可得解.【详解】解：2211()sin()cos424f xxxxx，则 1sin2fxxx，令 1sin2g xfxxx，1sin2gxxxg x ，所以函数 g x为奇函数，故排除 AD，又106122g，故排除 C.故选：B.第 5 页 共 13 页 1

9、1已知(,)zxyi x yR且1z，则3xy的最大值 A13 B2 C1 D3【答案】B【详解】分析：由1z 可得221xy，可设cosx，siny，R，可得32sin()6xy，进而利用正弦函数的性质求出答案 详解：,zxyi x yR且1z 221xy 设cosx，siny，R.3cos3sin2sin()6xy 3xy的最大值是2 故选 B.点睛：本题主要考查复数的求模公式及三角函数的性质，解答本题的关键是利用三角换元结合三角函数的性质求函数的最值 12已知定义域为R的函数 f x满足 1f xxfx（fx为函数 f x的导函数），则不等式2111x fxfxx的解集为（）A0,B0,

10、1 C,1 D,01,【答案】A【分析】构造函数()()g xxf xx，由题意可知()g x在R上单调递增，再对x分情况讨论，利用函数()g x的单调性即可求出不等式的解集.【详解】由2(1)(1)(1)x fxfxx，（1）当1x 时，可得2(1)(1)(1)(1)(1)(1)xx fxx fxx x，即222(1)(1)(1)(1)xfxx fxxx，即222(1)(1)(1)(1)(1)(1)xfxxx fxx，构造函数()(),()()()10g xxf xx g xf xxfx，所以函数()g x单调递增，则211xx，此时01x，即01x满足；第 6 页 共 13 页（2）当1x

11、 时，可得222(1)(1)(1)(1)(1)(1)xfxxx fxx，由函数()g x递增，则211xx，此时0 x 或1x，即1x 满足；（3）当1x 时，2(0)(0)1ff，即(0)1f满足()()1f xx fx.综上，,()0 x.故选：A.二、填空题 13设复数(,)abi a bR的模为3，则()()abi abi_.【答案】3【详解】由3abi得，即223ab，所以22()()3abi abiab.【解析】复数的运算.14 若函数 1,0,cos,0,2xxf xxx则 f x与x轴围成的封闭图形的面积为_.【答案】321.5【分析】画出函数 f x的图象，明确 f x与x轴

12、围成封闭图形，利用定积分表示后就是即可【详解】函数 1,0cos,02xxf xxx，则 f x的与x轴围成封闭图形如，其面积为：22001131 1cossin222xdxx ；故答案为：32 15已知00,P x y是抛物线220ypx p上的一点，过P点的切线方程的斜率可通第 7 页 共 13 页 过如下方式求得在22ypx两边同时求导，得：22yyp，则pyy，所以过P的切线的斜率0pky.试用上述方法求出双曲线22yx12在(22)P，处的切线方程为_.【答案】220 xy【详解】分析：结合题中的方法类比求解切线方程即可.详解：用类比的方法对2212yx 两边同时求导得，22xyyx

13、yy ，000222|22x xxkyy ，切线方程为22(2)yx，整理为一般式即：220 xy.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.16已知函数 3,43,x xaf xxx xa则下列命题正确的有：_.若 f x有两个极值点，则0a 或112a 若 f x有极小值点，则12a 若 f x有

14、极大值点，则12a 使 f x连续的 a有 3 个取值【答案】【分析】同一坐标系中作出3,43yx yxx的图象，利用数形结合法求解.【详解】解：在同一坐标系中作出3,43yx yxx的图象，如图所示：第 8 页 共 13 页 若 f x有两个极值点，则0a 或12a，故错误；当0a 时，0 x 是 f x的极小值点，故错误；若 f x有极大值点，由图象知：12a ，故正确；使 f x连续的 a有 3 个取值-1,0,1 故正确；故答案为：三、解答题 17已知复数 z满足1 2i43iz.(1)求复数 z；(2)若复数2iza在复平面内对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围.【答案】(1)

15、2 iz (2)1,1【分析】（1）1 2i43iz，利用复数的除法运算求解；（2）【小问 2 详解】先化简复数，再根据复数在复平面内对应的点在第一象限求解.【详解】(1)解：1 2i43iz，43i43i 12i105i2i12i12i 12i5z，2 iz.(2)由（1）知2 iz，则222i2ii21 i zaaa，24141 iaa，由题意得：第 9 页 共 13 页 2410,410,aa 解得11a，即实数 a的取值范围为1,1.18设 a，b，c 均为正数，且1ab.(1)证明：114ab；(2)是否存在247aab？并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【

16、分析】（1）利用基本不等式证明；（2）利用基本不等式判断.【详解】(1)方法一：证明：因为1ab，所以1111224b aabababa b（当且仅当12ba时取等）；方法二：11111224ababababab（当且仅当12ba时取等）；(2)因为1ab，所以224424224 2abaabaababab，（当且仅当2,22ba时取等）而24 27，所以247aab.19某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是 15 元，销售价是 20 元，月平均销售a件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为(01)xx，那

17、么月平均销售量减少的百分率为2x，记改进工艺后电子公司销售该配件的月平均利润是y（元）.（1）写出y与x的函数关系式；（2）改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大.【答案】(1)y与x的函数关系式为235(144)(01)yaxxxx;(2)改进工艺后，每个配件的销售价为30元时，该电子公司销售该配件的月平均利润最大.【详解】试题分析：（1）由题易知每件产品的销售价为20 1x，则月平均销售量为第 10 页 共 13 页 a21x件，利润则是二者的积去掉成本即可（2）由（1）可知，利润函数是一元三次函数关系，可以对其求导解出其最值 试题解析：（1）改进工艺

18、后，每个配件的销售价为20 1x，月平均销售量为21ax件，则月平均利润2120 115yaxx（元），y与x的函数关系式为235144(01)yaxxxx（2）由2542120yaxx得1212,23xx（舍）当102x时0y；112x时0y，函数235144(01)yaxxxx在12x 取得最大值，故改进工艺后，每个配件的销售价为120 1302元时，该电子公司销售该配件的月平均利润最大.20已知数列 na的通项公式21nan，其前n项和为nS.（1）求nS；（2）若231111111nnbSSS，试猜想数列 nb的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）2nSn;（2）见解析.【详解

19、】试题分析：（1）21nan，可知数列 na是等差数列，根据等差数列前n 项和公式即可求出结果；（2）由于231111111nnbSSS，可得134b，22436b，358b，436510b，于是猜想221nnbn.然后再利用数学归纳法证明，即可证明出结果.试题解析：（1）21nan，数列 na是等差数列，且12 1 11a ，于是21212nnnSn.（2）231111111nnbSSS，第 11 页 共 13 页 134b，22436b，358b，436510b，于是猜想221nnbn.下证明猜想：当1n 时，134b，猜想成立；假设当nk时，猜想成立，即231111211121kkkbS

20、SSk，那么，当1nk时，1231211111111kkkbSSSS 2221211121212kkkkSkk 2132212kkkkk 12322211kkkk 所以，1nk时，猜想成立.由可知，221nnbn对任意*nN都成立.21设函数 f(x)x36x5，xR.（1）求 f(x)的极值点；（2）若关于 x的方程 f(x)a有 3 个不同实根，求实数 a 的取值范围；（3）已知当 x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立，求实数 k的取值范围.【答案】（1）极大值点为2，极小值点为2；（2）54 2,54 2；（3）,3.【分析】（1）求导，讨论导函数的正负得出函数的单调性，根据函数的单调

21、性可求得其极值点；（2）由（1）可知函数的单调性及极值，结合数形结合分析可得a的范围；（3）由题意分离参数即25kxx在(1，)上恒成立，令 g(x)x2x5，求出其在上的最小值即可得到答案.【详解】（1）2(2)3fxx，令 0fx，得12x ，22x 当,22,x 时，f(x)0，当2,2x，f(x)g(1)3，所以所求 k 的取值范围是为(，3.22设函数1()lnxxbef xaexx,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 y=e(x-1)+2.(1)求,a b (2)证明:()1f x 【答案】（1）1,2ab；（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）根据求导法则求出原

22、函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1)可得 fx的解析式，fx为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得.试题解析：（1）函数()f x的定义域为(0,)，112()lnxxxxabbfxaexeeexxx.由题意可得(1)2f，(1)fe.故1a，2b.（2）证明：由（1）知，12()lnxxf xexex，从而()1f x 等价于2lnxxxxee.设函数()lng xxx，则()1 lng

23、 xx.所以当10,xe，)(0g x；当1,xe时，()0g x.第 13 页 共 13 页 故()g x在10,e上单调递减，1,e上单调递增，从而()g x在0,上的最小值为11()gee.设函数2()xh xxee，则)()(1xehxx.所以当(0,1)x时，()0h x；当(1,)x时，()0h x.故()h x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，从而()h x在(0,)上的最大值为1(1)he.综上，当0 x 时，()()g xh x，即()1f x.【解析】1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题利用导数研究函数 fx的单调性进一步求函数最值的步骤：确定函数 fx的定义域；对 fx求导；令 0fx，解不等式得x的范围就是递增区间；令 0fx，解不等式得x的范围就是递减区间；根据单调性求函数 fx的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出()g x在0,上的最小值及()h x在(0,)上的最大值，进而得证的.