2022-2023学年陕西省西安市铁一中学高一上学期1月期末考试数学试题.pdf

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1、西安市铁一中学 2022-2023 学年上学期期末 高一数学 注意事项：1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位置上。答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带。4.考试结束后，只将答题卡交回。一、选择题：（本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合10Ax x，12Bxx，则AB（

2、）A1,B1,C1,1 D1,2 2函数1()ln1f xxx的定义域是（）A1,B1,C0,D0,3为了得到函数sin(2)4yx的图象，可以将函数sin2yx的图象（）A向左平移4个单位长度 B向右平移4个单位长度 C向左平移8个单位长度 D向右平移8个单位长度 4已知0.50.2lg12,log5,4abc，则 a，b，c 的大小关系为（）Aabc Bcba Cacb Dbac 5下列函数中，以2为最小正周期，且在区间0,4上单调递增的是（）Asin2yx Bsin4yx Ccos4yx Dtan2yx 6已知函数22,01()1,0 xxxf xxx，若函数()()g xf xt有三个

3、不同的零点123123,x x xxxx，则123111xxx的取值范围是（）A3,B2,C2 2,D2 2,7已知函数 sinR,04f xxx的最小正周期为，将 yf x的图像向左平移0 个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是（）A2 B38 C4 D8 8已知22loglog1ab且21922mmab恒成立，则实数m的取值范围为（）A,13,B,31,C1,3 D3,1 二、选择题：（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分）9由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪

4、直到 1872 年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000 多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集 Q 划分为两个非空的子集 M 与 N，且满足QMN，MN，M中的每一个元素都小于 N中的每一个元素，则称,M N为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割,M N，下列选项中，全科免费下载公众号-高中僧课堂可能成立的是（）AM 没有最大元素，N有一个最小元素 BM 没有最大元素，N也没有最小元素 CM 有一个最大元素，N有一个最小元素 DM

5、有一个最大元素，N没有最小元素 10下列结论正确的是（）A函数sinyx是以为最小正周期，且在区间,2上单调递减的函数 B若x是斜三角形的一个内角，则不等式tan30 x 的解集为0,3 C函数3tan 24yx 的单调递减区间为 5,Z2828kkk D函数1sin 2,234 4yxx 的值域为1 1,2 2 11下列结论中正确的是（）A若一元二次不等式220axbx的解集是1 1,2 3，则ab的值是14 B若集合*1Nlg2Axx，142xBx，则集合AB的子集个数为 4 C函数 21f xxx的最小值为2 21 D函数 21xf x 与函数 1421xxf x是同一函数 12已知函数

6、 22e,021,0 xxf xxxx，则下列结论正确的是（）A函数 yf xx有两个零点 B若函数 yf xt有四个零点，则 1,2t C若关于x的方程 f xt有四个不等实根1234,x xx x，则12342xxxx D若关于x的方程 230fxf x有 8 个不等实根，则92,4 三、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知函数 24222x axxf xxx，若对任意的12,x，都存在唯一的2,2x ，满足 21f xf x，则实数a的取值范围是_ 14已知方程250 xxa的解集为12,x x，且123xx，则a_.15定义：实数 a，b，c，若满足2ac

7、b，则称 a，b，c是等差的，若满足112abc，则称 a，b，c 是调和的已知集合2023,Mx xxZ，集合 P是集合M 的三元子集，即,Pa b cM，若集合 P 中的元素 a，b，c 既是等差的，又是调和的，称集合 P为“好集”，则集合 P为“好集”的个数是_ 16已知函数 2e1,0,0 xxf xxax x，若()f x存在最小值，则实数 a 的取值范围是_ 四、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（1）已知实数x满足11223xx，求1xx的值（2）若3461xyz，求证：1112xyz 18已知4sin5，0,2，5cos13，求

8、cos的值 19已知命题：“1,2x，不等式22230 xmxm成立”是真命题(1)求实数m取值的集合A；(2)设不等式320 xaxa 的解集为B，若xA是xB的必要不充分条件，求实数a的取值范围 20我们知道如果点,P x y是角终边 OP 上任意一点0OPr，则根据三角比的定义：sinyr，cosxr，因此点 P的坐标也可以表示为cos,sinP rr(1)将 OP绕坐标原点 O逆时针旋转3至OP，求点P的坐标,x y（即分别把x、y用 x、y 表示出来）(2)将 OP绕坐标原点 O逆时针旋转角度至OP，求点P的坐标,x y（即分别把x、y用 x、y、表示出来）(3)把函数10yxx的图

9、象绕坐标原点逆时针旋转4后，可以得到函数_的图象（写出解析式和定义域）211.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同若使用注射方式给药，则在注射后的 4 小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y（单位：毫克/升）与时间 t（单位：小时）满足关系式15yat（0a，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y（单位：毫克/升）与时间 t（单位：小时）满足关系式22,01,45,14.ttytt 现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰假设同时使用两种方

10、式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和(1)若1a，求 4 小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；(2)若要使小白鼠在用药后 4 小时内血液中的药物浓度都不低于 4 毫克/升，求正数 a 的取值范围 22如果函数()f x满足在集合*N上的值域仍是集合*N，则把函数()f x称为H函数例如：()f xx就是H函数（1）下列函数：2yx，21yx，yx中，哪些是H函数（只需写出判断结果）？（2）判断函数()ln 1g xx是否为H函数，并证明你的结论（3）证明：对于任意实数 a，b，函数()xf xb a都不是H函数（注：“x”表示不超过 x 的最大

11、整数）参考答案：1B 利用并集的定义，即可得答案；101Ax xx x，12Bxx，AB1x x ，故选：B.本题考查并集的运算，属于基础题.2D 分母不等于零，对数的真数大于零联解即可.由题得100 xx 0 x 所以函数的定义域为：(0,)故选：D 3C 根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可.因为sin(2)sin2()48yxx，所以由函数sin2yx的图象向左平移8个单位长度可以得到函数sin(2)4yx的图象，故选：C 4C 根据题意得到1a，0b，01c，即可得到答案.1lg12lg 01a，即1a.0.20.2log5log10b，即0b.00.544，即01

12、c.所以acb.故选：C 5B 逐项分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间0,4上的单调性，可得出结论.对于 A 选项，函数sin2yx的最小正周期为22，故 A 错误；对于 B 选项，函数sin4yx的最小正周期为2，当0,4x时，,044x，因为sinyx在,04上单调递增，所以sin4yx在0,4上单调递增，故 B 正确；对于 C 选项，函数cos4yx的最小正周期为2，当0,4x时，,44 2x，因为cosyx在,4 2上单调递减，所以cos4yx在,4 2上单调递减，故 C 错误；对于 D 选项，函数tan2yx的最小正周期为2，故 D 错误.故选：B.6A 分析分段函数的性质

13、，画出()f x草图，易知()()g xf xt有三个不同的零点123123,x x xxxx，有01t，进而可得1231112txxxt，即可求范围.由题设，当0 x 时(0)0f，当0 x 时22()1112f xxxxx，当且仅当1x 时等号成立，故()(0,1f x，且(0,1)上递增，(1,)上递减，当0 x 时()f x单调递增，且()(0,)f x，综上可得，如下函数图象：要使()()g xf xt有三个不同的零点123123,x x xxxx，则01t，由图知：0 x 有11tx，当0 x 时令221xtx，则220txxt，有232xxt，231x x，1231112txxx

14、t 且01t，而2ytt 在01t 上递减，123111(3,)xxx.故选：A 关键点点睛：分析分段函数的性质并画出草图，将题设的零点问题转化为()f x与yt的交点问题，应用数形结合的思想，求出123111xxx关于t的解析式，由单调性求范围.7D 利用最小正周期公式求出，再利用平移变换得到平移后的函数结合正弦函数图像和性质求解即可.因为 f x最小正周期为，所以2，解得2，所以 sin 24f xx；将 yf x图像向左平移个单位长度得sin 224f xx，因为f x图像关于y轴对称，所以2Z42kk，解得82kkZ，则当0k 时，8，其他选项不满足题意，故选：D.8C 利用对数运算可

15、得出2ab 且a、b均为正数，利用基本不等式求出192ab的最小值，可得出关于实数m的不等式，解之即可.因为 222logloglog1abab，则2ab 且a、b均为正数，由基本不等式可得1992322abab，当且仅当2192abab时，即当136ab时，等号成立，所以，192ab的最小值为3，所以，223mm，即2230mm，解得13m.故选：C.9ABD 举特例根据定义分析判断，进而可得到结果 令|10,Mx xxQ，|10,Nx xxQ，显然集合 M中没有最大元素，集合 N 中有一个最小元素，即选项 A 可能；令|2,Mx xxQ，|2,Nx xxQ，显然集合 M中没有最大元素，集合

16、 N 中 也没有最小元素，即选项 B 可能；假设答案 C 可能，即集合 M、N 中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；令|10,Mx xxQ，10,Nx xxQ，显然集合 M中有一个最大元素，集合 N中没有最小元素，即选项 D 可能.故选：ABD 10AC 根据正弦函数的周期性和单调性可判断 A 正确；根据正切函数的单调性可判断 B，C 正确；根据正弦函数的性质可判断 D 错.A 选项，函数sinyx的图象是在sinyx的图象基础上，将x轴下方的部分翻折到x轴上方，因此周期减半，即sinyx的最小正周期为；当,2x时，sinsinyxx，显然单调减；故 A 正确；B 选项，因为x是斜三角形

17、的一个内角，所以02x或2x；由tan30 x 得tan3x，所以03x或2x；故 B 错；C 选项，由3 2242kxk得5,Z8282kkxk，即函数3tan 24yx 的单调递减区间为 5,Z2828kkk，故 C 正确；D 选项，因为,4 4x，所以52,366x，因此1sin 21,32x，所以11 1sin 2,232 4x，故 D 错.故选：AC.11AB 对于 A：12和13为方程220axbx的两根且0a，即可得到方程组，解得即可判断A；根据对数函数、指数函数的性质求出集合A、B，从而求出集合AB，即可判断 B；当1x时 0f x，即可判断 C；求出两函数的定义域，化简函数解

18、析式，即可判断 D.解：对于 A：因为一元二次不等式220axbx的解集是1 1,2 3，所以12和13为方程220axbx的两根且0a，所以112311223baa，解得122ab ，所以14ab，故 A 正确；对于 B：*1NlgN101,2,32Axxxx0，12234222|2xxBxxx x，所以2,3AB，即AB中含有2个元素，则AB的子集有224个，故 B 正确；对于 C：21f xxx，当1x时10 x，0f x，故 C 错误；对于 D：2121,042121211 2,0 xxxxxxxf xx，令2210 x，解得xR，所以函数 1421xxf x的定义域为R，函数 21x

19、f x 的定义域为R，虽然两函数的定义域相同，但是解析式不相同，故不是同一函数，即 D 错误；故选：AB 12CD A 选项，画出 22e,021,0 xxf xxxx的图象，在同一坐标系内作出yx的图象，可看出两函数图象有 3 个交点，A 错误；B 选项，数形结合得到1,2t，B 错误；C 选项，可看出四个实根有两个根关于=1x对称，另外两个根关于2x 对称，从而得到12342xxxx，C 正确；D 选项，令 f xt，则230tt要有 2 个不相等的实数根12,t t，12,1,2t t，得到两根之和，两根之积，化简得到221 222239324t tttt，结合21,2t，求出92,4，

20、结合940 ，求出92,4.A 选项，当2x 时，2exf x单调递增，当02x时，2exf x单调递减，画出 22e,021,0 xxf xxxx的图象，可以看出2exy关于2x 对称，当2x 时，2exy取得最小值为 1，在同一坐标系内作出yx的图象，可看出两函数图象有 3 个交点，所以函数 yf xx有 3 个零点，A 错误；数形结合可得：函数 yf xt有四个零点，则1,2t，B 错误；由上图可知：若关于x的方程 f xt有四个不等实根1234,x xx x，不妨设1234xxxx 其中12,x x关于=1x对称，34,xx关于2x 对称，则12342,4xxxx，所以12342xxx

21、x，C 正确；D 选项，令 f xt，则230tt要有 2 个不相等的实数根12,t t，12,1,2t t，且123tt，1 2t t，221 222239324t tttt，因为21,2t，所以223992,244t，由940 ，解得：94，综上：92,4，若关于x的方程 230fxf x有 8 个不等实根，则92,4，D 正确.1304a 由题意可得函数 f x在2，）时的值域包含于函数 f x在（，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数 f x在 x2，）时的值域，当 x（，2）时，对 a分情况 讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出 a 的取值范围 解：设函数 24,2xg x

22、xx的值域为A，函数 2,2x ah xx的值域为B，因为对任意的12,x，都存在唯一的2,2x ，满足 21f xf x，则AB，且B中若有元素与A中元素对应，则只有一个.当12,x 时，244xg xxxx，因为4424xxxx，当且仅当4xx，即2x 时，等号成立，所以4,A，当2,2x 时，2,2x ah xx 当2a 时，2,2a xh xx，此时22,aB，224a，解得24a，当2a 时，2,2,2a xx axah xax，此时 h x在,a上是减函数，取值范围是1,，h x在,2a上是增函数，取值范围是21,2a，224a，解得02a，综合得04a.故答案为：04a 关键点点

23、睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.14-4 根据韦达定理列出等式即可，注意考虑有解的条件.方程250 xxa的解集为12,x x，所以12125,xxx xa，且2540a，解得254a 22121212124xxxxxxx x=254a=3，解得4a，故答案为：-4 151010 由好集的定义得2acb 且112abc，化简可解得2ab或ab，由 P是集合 M的三元子集可排除ab，结合M的元素特征可得42023b，bZ，0b，即可求得好集的个数.由好集的定义得2acb 且112abc，则有1122abb

24、a，化简得20abab，故2ab或ab，由,Pa b cM得ab，故2ab，4cb，2,4 Pb bbM，且0b.42bbb，42023b 且bZ，得33505,50544b，故集合 P 为“好集”的个数为2 5051010.故答案为：1010 162,分类讨论0,0 xx两种情况，结合指数函数的单调性与二次函数的性质，即可求得a的取值范围.因为 2e1,0,0 xxf xxax x有最小值，当0 x 时，()e1xf x 在(,0)上单调递增，且1()0f x，即()f x在(,0)上没有最小值.当0 x 时，2()f xxax，则()f x在(0,)上必有最小值，函数2()f xxax开口

25、向上，对称轴是2ax，当02a时，函数 min001f xf，故(0)f不是函数()f x的最小值，不满足题意，当02a时，222min()()2424aaaaf xf，要使()2af是函数的最小值，则()12af，即214a，解得2a 或2a，所以2a.综上，a的取值范围是2,故答案为：2,17（1）3 13；（2）证明见解析.（1）利用指数幂的运算求出1122xx的值，再利用平方差公式可求得1xx的值；（2）利用指数与对数的换算可得出3logxm，4logym，6logzm，再利用换底公式以及对数的运算性质可证得结论成立.（1）解：11223xx，21112229xxxx，21112221

26、3xxxx，又0 x，112213xx，所以1111122223 13xxxxxx；（2）证明：设346xyzm，则1m 且3logxm，4logym，6logzm，1log 3mx，1log 4my，1log 6mz，11log 3log 2log 62mmmxy，1112xyz.186365或3365 首先根据同角三角函数的基本关系求出cos、sin，再根据两角差的余弦公式计算可得.解：4sin5，0,2，23cos1 sin5，又5cos13，212sin1 cos13 ，当12sin13时，3541233coscos cossin sin51351365；当12sin13 时，3541

27、263coscos cossin sin51351365 .19(1)2,2,3 (2)4a或29a （1）不等式小于零等价于函数值为负值.(2)xA是xB的必要不充分条件，找到BA的包含关系，32aa，32aa，32aa情况讨论；（1）令 2223f xxmxm，命题：“1,2x，不等式22230 xmxm成立”是真命题，则 2211 23024430fmmfmm，解得2m 或23m，即2,2,3A （2）因为不等式320 xaxa 的解集为B，且xA是xB的必要不充分条件，则B是A的真子集；当32aa，即1a 时，解集2,3Baa，223a 或32a，此时1a；当32aa，即1a 时，解集

28、B，满足题设条件；当32aa，即1a时，解集3,2Baa 22a 或233a，此时4a或219a 综上可得4a或29a 20(1)1322xxy，3122yxy (2)cossinxxy；cossinyyx (3)22yxxR （1）结合三角恒等变换求得正确答案.（2）结合三角恒等变换求得正确答案.（3）由（2）的结论，利用赋值法求得正确答案.（1）OPOPr.1313coscossin32222xrrrxxy；同理，31sin322yrxy （2）coscoscossinsinxrrr，故cossinxxy；同理，sincossinyryx （3）在（2）中令4得cossin44xxy，可得

29、11122xxyxx 同理，112yxx，两式平方相减得222yx，由于0y，所以，函数为22yxxR 21(1)当2t 时血液中药物的浓度最高，最大值为 6(2)504a （1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案；（2）讨论01t 和14t 两种情况，（1）当1a 时，药物在白鼠血液内的浓度 y与时间 t的关系为 1225,01,410,14.tttyyyttt 当01t 时，225(1)66yttt 当14t 时，因为44tt（当且仅当2t 时，等号成立），所以max1046y 故当2t 时血液中药物的浓度最高，最大值为 6（2）由题意得25,01,410

30、,14.atttyattt 当01t 时，2125421attattatt，设1ut，则22211auuu，1,u，则2113,u ，故3a；当14t 时，44410466atatatttt，由14t，得246att，令1vt，则223946444avvv ，1,14v，则2395 94,444 4v，故54a 综上，504a 22（1）只有yx是H函数；（2）函数()ln 1g xx是H函数；证明见解析；（3）证明见解析（1）根据H函数的定义可判断只有yx是H函数（2）任意*xN，*1lnxN 设 1lnxk，*k N，由 1lnxk，可得11kkexe一定存在*xN，满足1kkexe，由此

31、能证明函数()1g xlnx是H函数（3）当0b时，有f（2）2 0ba，函数()xf xba都不是H函数；当0b 时，若0a，有f（1）0ba，函数()xf xba都不是H函数若01a，由指数函数性质得xbaba，函数()xf xba都不是H函数若1a，令12mmbaba，则一定存在正整数k，使得12kkbaba，推导出函数()xf xba都不是H函数由此得到对于任意实数a，b，函数()xf xba都不是H函数（1）解：只有yx是H函数（2）解：函数()ln 1g xx是H函数 证明如下：显然，*x N，*()ln 1g xx N 不妨设ln 1xk，*kN，由ln 1xk，可得1 lnkx

32、k，即111 eeekkkx，因为*k N，恒有11eee(e1)1kkk成立，所以一定存在*xN，满足1eekkx，所以设*k N，总存在*xN，满足ln 1xk，所以函数()ln 1g xx是H函数（3）证明：当0b时，有2(2)0fb a，所以函数()xf xb a都不是H函数 当0b 时，若0a，有(1)0fb a，所以函数()xf xb a都不是H函数 若01a，得xb ab a，所以*x N，都有()xf xb ab a，所以函数()xf xb a都不是H函数 若1a，令12mmb ab a，则2log(1)amba，所以一定存在正整数 k，使得12kkb ab a，所以1n，*2n N，使得112kkb annb a，所以12()(1)f knnf k 又因为当xk时，xkb ab a，所以()()f xf k；当1xk时，1xkb ab a，所以()(1)f xf k，所以*x N，都有*1()|nf xxN，所以函数()xf xb a都不是H函数 综上所述，对于任意实数 a，b，函数()xf xb a都不是H函数 本题考查H函数的判断与证明，考查函数性质、新定义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题