2022-2023学年江苏省南京市第一中学高二上学期1月阶段测试数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 19 页 2022-2023 学年江苏省南京市第一中学高二上学期 1 月阶段测试数学试题 一、单选题 1过点(4,3)A，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）A70 xy B10 xy C70 xy或10 xy D70 xy或10 xy 或340 xy【答案】D【分析】直线过原点求出直线方程，直线不过原点设出直线方程，利用待定系数法求解.【详解】当此直线过原点时，直线方程为34yx，化为340 xy；当此直线不过原点时，设直线的方程为xya，或xyb，把点(4,3)A分别代入可得43a，或4 3b，解得1a，7b 直线的方程为1xy或7xy 综上可知：直线的方程为1

2、0 xy 或70 xy，340 xy 故选：D 2已知双曲线22221xyab的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为（）A3yx B2yx C33yx D12yx 【答案】A【解析】根据离心率，由双曲线的性质，求出ba，即可得出渐近线方程.【详解】因为双曲线22221xyab的焦距等于实轴长的2倍，所以双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为2，所以2cea，则224ca，即2224aba，所以223ba，即3ba，因此所求渐近线方程为：3yx.故选：A.第 2 页 共 19 页 3已知函数 322f xxaxbxa在1x 处取得极值为 10，则a（）A4 或3 B4 或11 C4

3、 D3【答案】C【分析】根据函数322()f xxaxbxa在1x 处有极值 10，可知f（1）0和f（1）10，可求出a.【详解】由322()f xxaxbxa，得2()32fxxaxb，函数322()f xxaxbxa在1x 处取得极值 10，f（1）0，f（1）10，2230110abaab，411ab 或33ab，当33ab 时，2()3(1)0fxx，在1x 处不存在极值；当411ab 时，2()3811(311)(1)fxxxxx 11(3x ，1)，()0fx，(1,)x，()0fx，符合题意.故选：C【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水

4、平.4十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年（公元 1584 年），他写成律学新说，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在 1 和 2 之间插入 11 个正数，使包含 1 和 2 的这 13 个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第 4 个数应为（）A142 B132 C3132 D4132【答案】B【分析】利用等比数列的通项公式即可求得122q，从而求得451aa q即可【详解】根据题意，不妨设这 13 个数组成依次递增的等比数列为na，公比为q，则1131,2aa，所

5、以121312aqa，即1122q，第 3 页 共 19 页 所以新插入的第 4 个数为41143125122aa q 故选：B 5若圆221:214Cxy与圆2C关于直线30 xy对称，圆3C上任意一点M均满足2210MAMO，其中(0,2)A，O为坐标原点，则圆2C和圆3C的公切线有（）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条【答案】C【分析】由圆221:214Cxy，可得圆心1C，半径1r.设圆心1C关于直线30 xy的对称点为2(,)C m n，根据已知可列出方程组，解出m，n.再根据半径为 2，可得圆2C的方程.设(,)M x y，根据2210MAMO，整理可得圆3C的方程，判定两圆的

6、位置关系即可得出两圆的公切线的条数.【详解】圆221:214Cxy的圆心为1(2,1)C，半径为12r，设圆心1(2,1)C关于直线30 xy的对称点为2(,)C m n，则有 1112213022nmmn ，解得41mn，所以24,1C.又圆1C的半径12r，则圆2C的半径212rr，所以圆2C的方程为22(4)(1)4xy.设(,)M x y，则222MAxy，22MOxy.又2210MAMO，则2222210 xyxy，整理可得，22(1)4xy，圆3C的方程为22(1)4xy，圆心30,1C，32r.则圆2C和圆3C圆心距2223401 14C C，又234rr，则3223rrC C

7、所以，圆2C和圆3C外切，所以两圆的公切线有 3 条.故选：C.第 4 页 共 19 页 6若函数3213()432f xxxax在区间(0，4)上不单调，则实数 a 的取值范围为（）A944，B904，C944，D904，【答案】C【解析】求出 f x的导数，先求出()f x在区间(0，4)上单调的a的范围，即 0fx或 0fx在0,4恒成立，即可得出不单调的 a 的取值范围.【详解】可知 2239324fxxxaxa，若函数3213()432f xxxax在区间(0，4)上单调，则 0fx或 0fx在0,4恒成立，39024fa或 440fa，解得4a 或94a，函数3213()432f

8、xxxax在区间(0，4)上不单调，944a.故选：C.【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，属于基础题.7已知圆222690 xyym与直线31yx有两个交点，则正实数m的值可以为 A22 B32 C1 D2【答案】D【详解】圆222690 xyym化为标准方程即2223xym，由题意，圆心到直线的距离3 112dm ，结合选项，可得 D 正确，故选 D.8定义在R上的函数()f x满足2(1)e(2)()xf xfx，且对任意的1x都有()0fxf x（其中 fx为()f x的导数），则下列判断正确的是（）A e32ff B e10ff C 4e31ff D 5e32ff 第 5 页 共

9、 19 页【答案】D【分析】根据条件对任意的1x都有()0fxf x，构造函数()e()xF xf x，利用导数可得()F x在1x时单调递增由2(1)e(2)()xf xfx注意到(2)(2)e(2)xF xf x，则()e()xFxfx，代入已知表达式可得(2)()F xFx，所以()F x关于1x 对称，则由()F x在1x时单调递增，化简即可得出结果【详解】解：设()e()xF xf x，则()e()e()e ()()xxxF xf xfxf xfx，对任意的1x都有()0fxf x；则()0F x，则()F x在1,)上单调递增；则(2)(2)e(2)xF xf x，()e()xFx

10、fx；因为2(1)e(2)()xf xfx，(2)ee(2)()xxf xfx，(2)e(2)e()xxf xfx(2)()F xFx，所以()F x关于1x 对称，()F x在1,)上单调递增；32FF，所以 32e3e2ff，e32ff，所以A错误；21FF，又由对称性知 20FF，01FF，0e0e1ff，即 e10ff，所以 B 错误；31FF，31e3e1ff，4e31ff，所以 C 错误；43FF，42FF，23FF，23e2e3ff，5e32ff，所以 D 正确 故选：D 二、多选题 9（多选）已知等差数列 na的公差0d，前n项和是nS，则下列四个结论中正确的是（）A数列 na

11、是递增数列 B数列 nS是递增数列 C数列nan是递增数列 D数列nSn是递增数列【答案】AD 第 6 页 共 19 页【分析】对于 A，数列 na是递增数列，故 A 正确；对于 B，不能判断数列 nS的单调性，故 B 错误；对于 C，数列nan的通项公式为1naaddnn，显然当1ad时，数列nan是常数列，故 C 错误；对于 D，数列nSn的通项公式为111222nSndadn，而102d，所以数列nSn是递增数列，故 D 正确【详解】对于 A，因为0d，所以数列 na是递增数列，故 A 正确 对于 B，因为数列 na是等差数列，所以21111112222nSnanndn dnad 因此可

12、以把nS看成关于n的二次函数，0d 能确定图象的开口方向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断数列 nS的单调性，故 B 错误 对于 C，因为数列 na是等差数列，所以111naandndad因此数列nan的通项公式为1naaddnn，显然当1ad时，数列nan是常数列，故 C 错误 对于 D，因为数列 na是等差数列，所以21111112222nSnan ndn dnad 因此数列nSn的通项公式为111222nSndadn，而102d，所以数列nSn是递增数列，故 D 正确 故选：AD 10 已知F是抛物线2:16C yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则

13、（）AC的准线方程为4x BF点的坐标为0,4 C12FN D三角形ONF的面积为16 2（O为坐标原点）【答案】ACD【分析】先求C的准线方程4x，再求焦点F的坐标为4,0，接着求出4AN，8FF，中位线62ANFFBM，最后求出12FN，16 2QNFS即可得到答案.【详解】如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F，作MBl于点B，NAl于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为4x，F点的坐标为4,0，则4AN，8FF，第 7 页 共 19 页 在直角梯形ANFF中，中位线62ANFFBM，由抛物线的定义有6MFMB，结合题意，有6MNMF，故6612FNFMNM，221

14、248 2ON，18 2416 22QNFS.故选：ACD.【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是基础题.11已知直线1:10laxy，2:10lxay，Ra，以下结论正确的是（）A不论 a为何值时，1l与2l都互相垂直 B直线1l过定点(0,1)，2l过定点(1,0)C如果1l与2l交于点M，则点 M 的轨迹方程为220 xyxy D如果1l与2l交于点M，则|MO的最大值是2【答案】ABD【分析】A.根据两直线垂直的公式，即可判断；B.根据含参直线过定点问题，即可判断；C.取特殊点0 0，即可判断；D.首先求交点M的坐标，代入两点间距离公式，

15、即可判断.【详解】对于 A，1(1)0aa 恒成立，l1与 l2互相垂直恒成立，故 A 正确；对于 B,无论a为何值，直线1l过定点(0,1)，2l过定点(1,0)，故 B 正确；对于 C，（0，0）能使方程220 xyxy成立，但不能使直线方程成立，故 C 不正确；第 8 页 共 19 页 对于 D，联立1010axyxay ，解得221111axaaya ，即2211,11aaMaa ，所以222221122111aaMOaaa ，所以|MO的最大值是2，故 D 正确 故选：ABD 12将数列 na中的所有项排成如下数阵：1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9

16、a 已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数125,a a a成等差数列，且2104,10aa从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以12为公比的等比数列，则（）A1 1a B2022a在第 85 列 C221nnaa D2221322nnan【答案】ACD【分析】由已知，根据条件，选项 A，设第一列数所组成的等差数列公差为 d，根据2104,10aa求解公差，然后再求解1 a即可验证；根据数阵的规律，先计算第n行共有21n项，然后再总结前n行共有2n项，先计算前 44 行共有1936项，然后用2022193686，即可判断选项 B；选项 D，先计算第一列数所组成的等差数列第n行

17、的第一项为：32n，然后再根据每一行中的数按从左到右的顺序均构成以12为公比的等比数列，利用等比数列通项公式即可求解通项；选项 C，先表示出2131nan，2131nan，然后可令 22132N2nf nnn、33Ng nnn，分别判断数列的单调性，求解出对应的最大值与最小值，比较即可判断.【详解】由已知，第一列数125,a a a成等差数列，且2104,10aa，设第一列数所组成的等差数列公差为 d，则102104322aad，所以12 431aad，选项 A 正确；第 9 页 共 19 页 第一行共有 1 项，第二行共有 3 项，第三行共有 5 项，第n行共有21n项，所以前一行共有21项

18、，前二行共有22项，前三行共有23项，前n行共有2n项，所以前 44 行共有2441936项，而2022193686，所以2022a位于第 45 行 86 列，故选项 B 错误；第一列数所组成的等差数列第n行的第一项为：1132ndn，且每一行中的数按从左到右的顺序均构成以12为公比的等比数列，所以第n行的数构成以32n为首项，公比为12的等比数列，所以2221322nnan，故选项 D 正确；因为第一列数所组成的等差数列第n行的第一项为：1132ndn，所以2131nan，令 22132N2nf nnn，所以 22221111313299222nnnf nf nnnn，当1n 且Nn时，10

19、f nf n，所以 121ff，所以 max1f n，而令 33Ng nnn，在Nn上单调递增，所以 min16g ng，所以221nnaa成立，选项 C 正确.故选：ACD.【点睛】在处理等差等比数列交叉的数阵问题时，可根据条件说明，或者数阵行、列的规律总结、类比出等差、等比数列，需要注意的是，不要把求通项和求和的式子混淆了.三、填空题 13已知函数()cos3sinf xxx，则()3f 的值为_【答案】0【分析】根据导数的运算法则，结合正弦函数、余弦函数的导数公式进行求解即可.第 10 页 共 19 页【详解】()cos3sinsin3cossin3cos0,333f xxxfxxxf

20、故答案为：0 14记等比数列 na的前 n 项和为nS，若214a，378S，则公比q _【答案】12或 2【分析】由214a，378S，可得：11174448qq，化简解出即可得出【详解】由214a，378S，11174448qq，化简得：22520qq 解得12q 或 2 故答案为：12或 2【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 15已知1F，2F分别是椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点，A，B 是椭圆上关于x轴对称的两点，2AF的中点 P 恰好落在y轴上，若20BP AF，则椭圆 C 的离心率的值为_.【答案】33【分析】

21、由已知条件先判断出AB过左焦点1F且12ABFF，然后求出,A B两点坐标，再表示出P点坐标，根据20BP AF，利用向量数量积坐标形式得到关于,a b c的方程，结合cea及222abc即可求出e.【详解】解：由于2AF的中点P 恰好落在y轴上，又 A，B 是椭圆上关于x轴对称的两点，所以AB过左焦点1F且12ABFF，则22,bbAcBcaa.因为P是2AF的中点，则20,2bPa.又2,0F c，则2223,2,2bbBPcAFcaa.因为20BP AF，则4223202bca，即232 bca.又222bac，则2223acac，即23230ee，解得：33e 或3e （舍去）.故答案

22、为：33.【点睛】本题考查椭圆的简单性质离心率，考查运算能力，属于基础题.第 11 页 共 19 页 16定义在R上的奇函数()f x对任意两个不相等实数a，b，总有()()0f af bab成立，则不等式260f mf m解集是_【答案】(2,)【分析】根据不等式判断函数的单调性，结合奇函数的性质、单调性进行求解即可.【详解】不妨设ab，由 ()()0f af bf af bab，所以()f x在R上单调递增；又()f x为奇函数；由260f mf m得，266f mf mfm；26mm；解得，m2；原不等式的解集为(2,)故答案为：(2,)四、解答题 17已知圆C经过点1,3A，2,2B，

23、并且直线:320mxy平分圆C.(1)求圆C的方程；(2)若直线:2l ykx与圆C交于,M N两点，是否存在直线l，使得6OM ON（O为坐标原点），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22231xy;(2)不存在直线 l，理由见解析.【分析】(1)由弦的中垂线必过圆心,所以求出线段的中垂线,与320 xy的交点即为圆心,由两点间距离公式求圆的半径；(2)设1122,M x yN xy，由向量的数量积坐标表示可知12126xxyy,直线与圆组方程组,利用韦达定理代入上式,可求得 k,同时检验判别式.【详解】（1）线段AB的中点3 5,2 2E，32112ABk，故线段AB

24、的中垂线方程为5322yx，即10 xy.因为圆 C 经过,A B两点，故圆心在线段AB的中垂线上.又因为直线:320mxy平分圆 C，所以直线 m 经过圆心.第 12 页 共 19 页 由10320 xyxy,解得23xy，即圆心的坐标为2,3C.而圆的半径2222231rBC，所以圆 C 的方程为：22231xy.（2）设1122,M x yN xy，将2ykx代入方程22231xy，得22211xkx，即 2212440kxkx，由222416 10kk，得212160kk，解得403k.所以121222244,11kxxx xkk.又因为1212121222OM ONx xy yx x

25、kxkx 21212124kx xk xx,所以222424124611kkkkk,23410kk,解得1k（舍）或13k （舍去）.所以不存在直线 l，使得6OM ON.18在325256aaab，；234323baab，；345298Saab，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知等差数列 na的公差为1d d，前 n 项和为nS，等比数列 nb的公比为 q，且11abdq，_（1）求数列 na，nb的通项公式（2）记nnnacb，求数列 nc，的前 n 项和nT注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】三个条件都可以填入求解，总体

26、思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可，（2）数列 nc是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决。【详解】方案一：选条件 第 13 页 共 19 页（1）325211561aaababdqd，11125256adada d 解得112ad或1256512ad（舍去）112bq 11nnd 21n 1112nnnbbq（2）nnnacb 11211(21)()22nnnncn 2211111135(23)(21)2222nnnTnn 23111111135(23)(21)222222nnnTnn 211111112(21)22222nnnTn 111122112(21)121

27、2nnn 13(23)2nn 116(23)2nnTn 方案二：选条件（1）2343112,3,1baab ab dq d 12112253a dada d 第 14 页 共 19 页 112256a dadd 解得112ad或112ad （舍去）112bq 1(1)=naand=2n-1 1112nnnbbq （2）nnnacb 11211(21)()22nnnncn 2211111135(23)(21)2222nnnTnn 23111111135(23)(21)222222nnnTnn 211111112(21)22222nnnTn 111122112(21)1212nnn 13(23)2

28、nn 116(23)2nnTn 方案三：选条件 3452119,8,1Saab ab dq d 1113278adada d 第 15 页 共 19 页 解得112ad或121838ad（舍去）112bq 1(1)naand 21n 11nnbbq 12n（2）nnnacb 11211(21)22nnnncn 2211111135(23)(21)2222nnnTnn 23111111135(23)(21)222222nnnTnn 211111112(21)22222nnnTn 111122112(21)1212mnn 13(23)2nn 116(23)2nnTn【点睛】此题考查等差等比数列综合

29、应用，掌握乘公比错位相减求和的题型特点，属于较易题目。19已知函数321()33f xxxxa (1)求()f x的单调区间；(2)若()f x在区间 3，3上的最小值为73，求a的值【答案】(1)单调减区间为(，1和3，)，单调增区间为1,3 第 16 页 共 19 页(2)4 【分析】1求出导数，令0fx，0fx解不等式可得到所求的增减区间；2求得 f x在区间3,3内的单调区间，求得极值，以及端点处的函数值，可得最小值，解方程可得a的值【详解】（1）32133f xxxxa，223fxxx，令()0fx，得13x；令()0fx，得1x或3x，所求()f x的单调减区间为(，1和3，)，单

30、调增区间为1,3（2）由函数在区间3,3内的列表可知：x 3 3,1 1 1,3 3 fx-0 0 f x 3f 递减 极小值 递增 极大值 函数 f x在3,1 上是减函数，在1,3上是增函数 1f xf 171 333a ，4a 20已知数列na的前n项和220nnSna(1)求na的通项公式；(2)令12222333111logloglog999nnaaab，求1nb的前n项和nT【答案】(1)126?13nna(2)21nnTn 第 17 页 共 19 页 【分析】（1）根据,nnSa的关系可得1na 为等比数列，进而可求通项，（2）根据对数的运算性质得231log9nan，进而根据等

31、差数列求和公式以及裂项相消即可求解.【详解】（1）数列na的前n项和220nnSna 则：当2n时,111220nnSna 得：1122nnnaaa 所以：1321nnaa 整理得：12113nnaa 所以：11213nnaa常数 所以：数列1na 是以1(1)a 为首项，23为公比的等比数列 当1n 时，17a 所以：1216?3nna 所以 数列的通项公式为：126?13nna（2）根据（1）得：223312loglog93nnan 所以：1122nn nbn 12112(1)1nbn nnn 12111122 111nnnTbbbnn 21在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2222:1

32、(0,0)xyCabab的左顶点为A，右焦点为F；点(2,3)P在双曲线C上，直线l与双曲线C交于M，N两点，且当直线MA的斜率为 1 时，MFAF.(1)求双曲线C的方程；(2)若OMON，求O到直线l的距离.【答案】(1)2213yx；第 18 页 共 19 页(2)62.【分析】(1)根据给定条件可得MAF为等腰直角三角形，由此导出 a，b 的关系，再由点 P在双曲线上即可计算作答.(2)当直线l斜率存在时，设出其方程，再与双曲线C的方程联立，借助韦达定理及点到直线 距离计算得解，当直线l斜率不存在时，利用对称性即可计算作答.【详解】（1）依题意，(,0)Aa，(c,0)F，其中22ca

33、b，当直线MA的斜率为 1 时，即45MAF，又|MFAF，则MAF为等腰直角三角形，且MFAF，于是有2(,)bM ca，且222bcaacaa，化简得2ca，3ba，而点(2,3)P在双曲线C上，即22491ab，解得1a，3b，2c，所以双曲线的方程为2213yx.（2）设11(,)M x y，22(,)N xy，当直线MN的斜率不存在时，M，N关于x轴对称，由OMON，可得11|yx，且221113yx，解得2132x，则直线MN的方程为1xx，则O到直线MN的距离为16|2x，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ykxt，由2233ykxtxy消去 y并整理得：222(3)23

34、0kxktxt，230k，2 2222244(3)(3)12(3)0k tkttk，12223ktxxk，212233tx xk，222222212121212222323()()()()333tkttky ykxt kxtk x xkt xxtkkttkkk，因OMON，则有12120 x xy y，即2222233()033ttkkk，化简得223(1)2tk，因此O到直线ykxt的距离为222|6162211tkkk，综上得，O到直线l的距离为62.22已知函数 22xf xaxx，其中aR 1若1a 时，求函数 f x的零点；2当0a 时，求证：函数 f x在0,内有且仅有一个零点 第

35、 19 页 共 19 页【答案】（1）当1a 时，函数 f x的零点为0 x，或12x ，或12x ；（2）见解析.【分析】（1）若1a 时，22xf xxx，通分求解方程的根即为函数的零点（2）当0a 时，0 x，由函数 0f x 转化为证明方程2210axax 有唯一的零点，根据二次函数的单调性和在 y 轴上的截距说明有唯一零点【详解】1当1a 时，函数 22xf xxx，令202xxx，可得可得0 x，或2210 xx，解得0 x，或12x ，或12x 综上可得，当1a 时，函数 f x的零点为0 x，或12x ，或12x 2证明：当0a 时，0 x，由函数 0f x 得：2210axax，记 221g xaxax，则 g x的图象是开口朝上的抛物线，由 010g 得：函数 g x在0,内有且仅有一个零点 函数 f x在0,上有唯一零点【点睛】学生需要熟练掌握二次函数的性质以及三个“二次”之间的关系，其中二次函数为轴对称图形，对称轴为，开口与 值有关，开口向上，开口向下，函数与 的交点为函数的零点，对称轴的左右两侧的单调性相反，最低点的坐标为.