2022-2023学年北京市中央民族大学附属中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 19 页 2022-2023 学年北京市中央民族大学附属中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1在复平面内，复数(2i)(1 3i)对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【分析】计算得到复数的代数形式，即可得答案.【详解】(2i)(1 3i)26ii355i 其对应的点5,5位于第一象限 故选：A.2经过点(1,0)P 且倾斜角为60的直线的方程是（）A310 xy B330 xy C330 xy D310 xy 【答案】B【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程；【详解】由倾斜角为60知，直线的斜率3k，因此，其直线方程为03(

2、1)yx，即330 xy 故选：B 3已知直线 l经过点(1,1,2),(0,1,0)AB，平面的一个法向量为(2,0,4)n ，则（）Al Bl Cl Dl与相交，但不垂直【答案】B【分析】根据平面的法向量与直线l的方向向量的关系即可求解.【详解】因为直线 l经过点(1,1,2),(0,1,0)AB，所以(1,0,2)AB ，又因为平面的一个法向量为(2,0,4)n ，且2nAB，所以平面的一个法向量与直线 l的方向向量平行，则l，第 2 页 共 19 页 故选：B.4已知抛物线2yax上的点01,2My到其焦点的距离是1，那么实数a的值为（）A14 B12 C1 D2【答案】D【分析】利用

3、抛物线焦半径公式可直接构造方程求得结果.【详解】由抛物线方程知：抛物线焦点为,0(0)4aFa，准线为4ax ，由抛物线定义知：1124aMF，解得：2a.故选：D.5在平行六面体1111ABCDABC D中，点 M 满足2AMAC若11111,ABa ADb A Ac，则下列向量中与1BM相等的是（）A1122abc B1122abc C1122abc D1122abc【答案】C【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得.【详解】由点 M 满足2AMAC，所以 M 为AC中点，因为四边形 ABCD为平行四边形，所以 M 为BD中点,所以111()()222BMBDBABCab，所以11111

4、()222B MB BBMcababc .故选：C 6已知直线:l ykxb，22:1O xy，则“|1b”是“直线l与O相交”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A 第 3 页 共 19 页【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到结果.【详解】由题意可得直线:l ykxb与22:1O xy相交，则222111bbkk 当|1b 时，满足221bk，即“|1b”是“直线l与O相交”的充分条件；当直线:l ykxb与22:1O xy相交时，不一定有|1b，比如2,3bk也满足，所以“|1b”是“直

5、线l与O相交”的充分不必要条件.故选:A.7在正方体1111ABCDABC D中，直线l是底面ABCD所在平面内的一条动直线，记直线1AC与直线l所成的角为，则sin的最小值是（）A33 B12 C22 D63【答案】A【分析】过C作l的平行线，过1A作该平行线的垂线，垂足为P，则1ACP，11|sin|A PAC，根据11|APA A可求出结果.【详解】如图：过C作l的平行线，过1A作该平行线的垂线，垂足为P，则1ACP，所以11|sin|A PAC，设正方体的棱长为1，则1|3AC，11|1APA A，所以11|1sin|3APAC33,当且仅当P与A重合时，取得等号，所以sin的最小值是

6、33.故选：A.8已知 A，B（异于坐标原点）是圆22215xy与坐标轴的两个交点，则下列点 M 中，使第 4 页 共 19 页 得MAB为钝角三角形的是（）A0,0M B3 24,2M C2,15M D1,2 2M【答案】D【分析】先求出直线 AB的方程，确定弦 AB 为该圆的直径，再判断 A，B，C，D 各选项中的点 M与圆的位置关系，即可确定MAB的形状，从而得解【详解】因为 A，B（异于坐标原点）是圆22(2)(1)5xy与坐标轴的两个交点，所以易得(0,2)A，(4,0)B，则12ABk，直线 AB的方程为122yx，显然圆心(2,1)在直线 AB上，即弦 AB为该圆的直径，对于 A

7、，22(02)(0 1)5，即(0,0)M在圆上，则MAB为直角三角形，故 A 错误；对于 B，因为16420AB，23 29162206 222AM，23 23 2022BM，所以ABAM，ABBM，即AMB为MAB中的最大角，因为223 2(42)(1)52，即3 24,2M在圆外，即AMB为锐角，所以MAB为锐角三角形，故 B 错误；对于 C，22(22)(151)5，即(2,15)M在圆上，则MAB为直角三角形，故 C 错误；对于 D，22(12)(2 21)5，即(1,2 2)M在圆内，则MAB为钝角三角形，故 D 正确 故选：D 9“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该

8、名称源于屈原长诗天问，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点过椭圆上的点 P 向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线,PM PN，则MPN就是“天问一号”在点 P 时对火星的观测角图（2）所示的 Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是（）第 5 页 共 19 页 AQ BR CS DT【答案】A【分析】连接点 P 和椭圆的左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点 P位于条件中点 Q处，对火星的观测角最大.【详解】设火星半径为 R，椭圆左焦点为1F，连接1PF，则12MPNMPF，因为11si

9、nRMPFPF，所以1PF越小，1MPF越大，MPN越大，所以当点 P位于条件中点 Q处，对火星的观测角最大.故选：A.10如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，M，N分别为111,BD BC的中点，P 为正方体1111ABCDABC D表面上的动点下列叙述正确的是（）第 6 页 共 19 页 A当点 P在侧面11AA D D上运动时，直线CN与平面BMP所成角的最大值为2 B当点 P为棱11AB的中点时，CN平面BMP C当点 P在棱1BB上时，点 P 到平面CNM的距离的最小值为66 D当点PNC时，满足MP 平面NCP的点 P 共有 2 个【答案】C【分析】NC与MB

10、不可能垂直，故选项 A 错误；平移NC与平面相交于一点H，故选项 B 错误；利用体积相等即可求出点P到平面CNM的距离的最小值为66判断选项C，当点PNC时，满足MP 平面NCP的点 P共有 1 个.当点P为平面11BCC B的中心时，故判断选项 D【详解】由于线面角的最大值为2，NC与MB不可能垂直，故直线CN与平面BMP所成角的最大值达不到2.选项 A 错误；取DC的中点为H，11AB的中点为Q,连接11AC,11B D相交于点O，连接,OH ON,/ONHC且ONHC 故/OHNC H 平面1HBQD,OH 面1HBQD，故CN不能与平面BMP平行，故选项 B 错误；P CNMMPNCV

11、V M到平面PNC的距离始终为12，故当点P运动到点1B时，PNC取得最小值为1111224，故111132243P CNMMPNCPNCCNMVVSSh 32,22MCMN,52NC,13262228MNCS 故66h，故选项 C 正确.第 7 页 共 19 页 当点PNC时，满足MP 平面NCP的点 P共有 1 个.当点P为平面11BCC B的中心时，故选项 D 错误 故选：C.11在等差数列 na中满足，21a，43a，则等差数列前 4 项的和为（）A3 B4 C5 D6【答案】D【分析】根据已知得到等差数列的通项公式,再应用等差数列前n项的和公式计算即可.【详解】因为在等差数列 na中

12、，21a，43a,则4222aad,211aad 所以10,1ad 即得111naandn,所以14444 03622aaS.故选:D.12在等差数列 na中，154aa，则3a的值为（）A1 B2 C3 D4【答案】B【分析】根据等差数列性质求解即可.【详解】因为数列 na为等差数列，1 53 3，154aa 所以31524aaa，故32a，故选：B.13“实数a，b，c成等比数列”是“2bac”的（）A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据等比数列的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.第 8 页 共 19 页【详解】由实数,

13、a b c成等比数列，可得bcab，即2bac，即充分性成立；反之：如0ab时，满足2bac，但实数,a b c不能构成等比数列，即必要性不成立,所以“实数,a b c成等比数列”，是“2bac”的充分不必要条件.故选：A.二、填空题 14若复数z满足31 iiz，则z _【答案】22#122【分析】利用复数的四则运算化简复数z，利用复数的模长公式可求得z.【详解】由题意可得3i 1 ii11i1 i1 i1 i22z，因此，22112222z.故答案为：22.15已知直线1:20laxy，直线2:(1)10lxay 若12ll，则实数a_【答案】12#0.5【分析】直接根据两直线垂直的公式计

14、算即可.【详解】由12ll得10aa，解得12a 故答案为：12 16已知双曲线22221xyab的渐近线为2yx，则该双曲线的离心率为_【答案】3【分析】根据渐近线方程可得：2ba，进而得到2213bea.【详解】因为双曲线22221xyab的渐近线为2yx，所以2ba，则222222213ccabbeaaaa，故答案为：3.17已知椭圆2222:1(0)xyMabab的左、右焦点分别是12(0,.)，FF Ab，且12AF F是面积为3的第 9 页 共 19 页 正三角形过1F垂直于2AF的直线交椭圆 M 于 B，C两点，则ABC的周长为_【答案】8【分析】由12AF F面积为3，且其为正

15、三角形，可得a.后由中垂线性质结合椭圆定义可得答案.【详解】如图，设2OFc，则222abc，因12AF F面积为3，且其为正三角形，又OAb，则31232bcc b31bc，则2a.又直线 BC过1F，与2AF垂直，12AF F为正三角形，则直线 BC为2AF中垂线，则22，ABBFACCF，又11BCBFFC，故ABC的周长2112CBFBFFCF C，又C，B在椭圆上，则由椭圆定义有48Ca.故答案为：8 18古希腊数学家阿波罗尼斯在其著作圆锥曲线论中，系统地阐述了圆锥曲面的定义和利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法，并探究了许多圆锥曲线的性质其研究的问题之一是“三线轨迹”问题：给定三条直线，

16、若动点到其中两条直线的距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数，求该点的轨迹 小明打算使用解析几何的方法重新研究此问题，他先将问题特殊化如下：给定条直线111:22lyx，211:22lyx，3:1lx，动点P到直线1l、2l和3l的距离分别为1d、2d和3d，且满足122315d dd，记动点P的轨迹为曲线C给出下列四个结论：曲线C关于x轴对称；曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为22；平面内存在两个定点，曲线C上有无数个点P到这两个定点的距离之差为2；第 10 页 共 19 页 12dd的最小值为2 55 其中所有正确结论的序号是_【答案】【分析】设点,P x y，求出点P的轨迹方

17、程，根据曲线对称性的定义可判断；化简曲线C的方程，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可判断；化简曲线C的方程，根据双曲线的定义可判断；对点P的位置进行分类讨论，利用二次函数的基本性质可求得12dd的最小值.【详解】直线1l的方程为210 xy，直线2l的方程为210 xy，设点,1P x yx，则1215xyd，2215xyd，31dx，所以，1222321211551xyxyd ddx，化简可得222141xyx.对于，在曲线C上任取一点,P x y，则点P关于x轴的对称点为1,P xy，所以，2222214141xyxyx ，故点1P在曲线C上，对；对于，设点,P x y.当221

18、4xy时，则曲线C的方程可化为222141xyx，可得2yx，设坐标原点为O，则2220OPxyxx，且原点坐标满足方程222141xyx，此时122315d dd有意义，错；对于，当2214xy，则曲线C的方程可化为222411yxx，整理可得22112yx，取双曲线22112yx的焦点160,2F、260,2F，根据双曲线的定义可知，曲线C上有无数个点P，使得121222PFPF，对；对于，当点P在抛物线2yx上，且1x 时，2221221212121212 55555yyyyyxyxydd，当且仅当0y 时，等号成立，当点P在双曲线22112yx的上支时，则22y，且2112yx且1x，

19、第 11 页 共 19 页 此时，2212211211212155xxxxxyxydd，因为222221110 xxx，所以，2211xx且2211xx，故22221221121121121155xxxxxxxxdd 22 212 22 10555x，当且仅当0 x 时，等号成立；当点P在双曲线22112yx的下支时，同理可求得12dd的最小值为2 105.综上所述，12dd的最小值为2 55，对.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查曲线有关几何性质的应用，解题的关键在于根据题中的几何关系求出曲线的方程，并对曲线的方程进行化简，进而通过曲线的方程对曲线的几何性质进行分析求解.19数列 na

20、满足，12a，122nnaan n，则4a _.【答案】20【分析】根据递推关系即可求解.【详解】由12a，122nnaan n得2146aa，32612aa，43820aa，故答案为：20 20在 9 与 1 之间插入 5 个数，使这 7 个数成等比数列，则插入的 5 个数的乘积为_.【答案】243.【分析】根据等比数列的性质计算即可.【详解】设这 7 个数组成的等比数列为an，则179,1aa，所以24179aa a，故43a 插入的 5 个数的积为523456263544()()()243a a a a aa aa aaa.故答案为：243.第 12 页 共 19 页 21在等比数列 n

21、a中，若244aa，5716aa，则810aa_.【答案】64【分析】利用等比数列的性质n mnmaa q化简求值即可.【详解】设等比数列 na的公比为q，因为244aa，5716aa，所以3572416aaqaa，可得34q，所以3810574 1664 aaqaa.故答案为：64.三、解答题 22已知直线1:1ly 与直线2:2lykx交于点A，点A关于坐标原点的对称点为C，点B在直线1l上，点D在直线2l上(1)当1k 时，求点C的坐标；(2)当四边形ABCD为菱形时，求k的值【答案】(1)3,1C (2)3k 【分析】（1）当1k 时，联立直线1l、2l的方程，求出点A的坐标，再利用对

22、称性可得出点C的坐标；（2）求出点A的坐标，设点,1B t，求出点D的坐标，根据点D在直线2l上可得出1tk，由菱形的几何性质可得出OAOB，根据斜率关系可得出关于k的等式，即可得解.【详解】（1）解：当1k 时，直线2l的方程为2yx，联立12yyx可得31xy，即点3,1A，因为点A关于坐标原点的对称点为C，故点C的坐标为3,1.（2）解：若0k，则12/ll，不合乎题意，所以，0k，第 13 页 共 19 页 联立12yykx可得31xky，即点3,1Ak，设点O为坐标原点，则133OAkkk，设点,1B t，因为四边形ABCD为菱形，且AC的中点为O，则BD的中点为O，所以点,1Dt，

23、因为点D在直线2l上，所以，21kt，则1tk，即点1,1Bk，所以，11OBkkk，由菱形的几何性质可知OAOB，所以，213OAOBkkk ，解得3k .23已知曲线 M 上的任意一点到点(1,0)的距离比它到直线2x 的距离小 1(1)求曲线 M的方程；(2)设点(0,1)E若过点(2,1)A的直线与曲线 M 交于 B，C 两点，求EBC的面积的最小值【答案】(1)24yx(2)2 7 【分析】（1）利用抛物线的定义即可求解；（2）设直线BC的方程，联立直线与抛物线的方程，可知EBC的面积12Syy，结合韦达定理及二次函数求最值，即可得解.【详解】（1）由已知得，曲线 M 上的任意一点到

24、点(1,0)的距离与它到直线=1x的距离相等，所以曲线 M 的轨迹是以(1,0)为焦点，=1x为准线的抛物线，所以曲线 M 的方程为24yx（2）设11,B x y，22,C xy 显然，过点(2,1)A的直线BC斜率不为 0，设其方程为2xmym 联立224xmymyx，整理得24042ymym 其中222121621628021616 mmmmm，由韦达定理得：124yym，1242y ym，第 14 页 共 19 页 所以EBC的面积212121212142SEAyyyyyyy y 222171616242424mmmmm 当12m 时，min77442 742S 所以EBC的面积的最小

25、值为2 7 24如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，点 F 为PD的中点 (1)已知点 G 为线段BC的中点，求证：CF平面PAG；(2)若2PAAB，直线PC与平面ABCD所成的角为30，再从条件、条件、条件这三个条件中选择几个作为已知，使四棱锥PABCD唯一确定，求：（）直线CD到平面ABF的距离；（）二面角BAFC的余弦值 条件：PA 平面ABCD；条件：2 2AD；条件：平面PAB 平面PAD【答案】(1)证明过程见详解(2)（）2 63；（）155.【分析】(1)取AD的中点E，连接EF，EC，AG，PG，利用中位线证明/EF平面PAG，再利用平行四边形对边平行证

26、明/CE平面PAG，然后利用面面平行的判定得到平面/PAG平面EFC，最后由面面平行得到证明即可；(2)选择条件和（）设点D到平面ABF的距离为h，利用等体积法即可求解；（）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，分别求出两个平面的法向量，进而求解即可.【详解】（1）取AD的中点E，连接EF，EC，AG，PG；第 15 页 共 19 页 因为,E F分别为,PD AD的中点，所以/EFPA，PA 平面PAG，EF 平面PAG，所以/EF平面PAG，又因为,G E分别为,BC AD的中点，四边形ABCD为平行四边形，所以/AEGC且AEGC，则四边形AGCE为平行四边形，所以/CEGA，GA平面PAG

27、，CE 平面PAG，所以/CE平面PAG，因为CEEFE，,CE EF 平面EFC，所以平面/PAG平面EFC，因为FC 平面EFC，所以/FC平面PAG.（2）选择条件和（）因为PA 平面ABCD，所以PCA即为直线PC与平面ABCD所成的角，由题意可知：30PCA，又2PAAB，所以2 3AC.因为平面PAD 平面PAB，且平面PAD 平面PABPA，因为PA 平面ABCD，所以ABPA，所以AB平面PAD，AD 平面PAD，所以ABAD,则四边形ABCD为矩形，因为2,2 3ABAC，所以222 2ADACCD，设点D到平面ABF的距离为h，由AB平面PAD可知：ABAF，在RtPAD中

28、，222 3PDPAAD，因为F为PD的中点，所以132AFPD，所以1123322ABFSAB AF，112 2 22 222ABDSAB AD，因为/DCAB，AB平面ABF，DC 平面ABF，所以/DC平面ABF，所以点D到平面ABF的距离也就是直线CD到平面ABF的距离.因为D ABFFABDVV，即111332ABFABDShSAP，也即1132 2 133h，所以2 63h 故直线CD到平面ABF的距离为2 63.第 16 页 共 19 页 （）由（）可知：AB，AP，AD两两垂直，分别以AB，AP，AD所在直线为x轴，z轴，y轴建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(2

29、,0,0)B，(0,2,1)F，(2,2 2,0)C，则(2,0,0)AB，(0,2,1)AF，(2,2 2,0)AC，设平面ABF的法向量为111(,)mx y z，平面AFC的法向量为222(,)nxy z，则有00m AFm AB，也即1112020yzx，令12z，则(0,2,2)m；则有00n AFn AC，也即22222022 20yzxy，令12z，则(2,2,2)n，则615cos,524424m nm nm n，由图可知：二面角BAFC为锐二面角，所以二面角BAFC的余弦值为155.25已知椭圆2222:1(0)xyEabab的焦距为 2，长轴长为 4(1)求椭圆 E 的方程

30、；(2)过点(3,0)M 且与 x 轴不重合的直线 l与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，点 B关于 x轴的对称点为B问：平面内是否存在定点 P，使得B恒在直线PC上？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由【答案】(1)22143xy(2)存在，4,03P 【分析】（1）根据条件求出,a b c，即可得椭圆 E 的方程；（2）直线 l为3xty，1122,B x yC x y，消去x得223418150tyty，利用点,B C写出直第 17 页 共 19 页 线B C的方程，利用韦达定理整理变形可得直线过定点.【详解】（1）由已知得22,24ca，则1,2ca，2223bac 椭圆 E

31、的方程为22143xy；（2）设直线 l为3xty，1122,B x yC x y，则11,B xy 联立223143xtyxy，消去x得223418150tyty，221860 340tt，解得253t 则1212221815,3434tyyy ytt，又直线B C的方程为212221yyyxxyxx 2122122112212112212212121212121yyy xy xyyx yx yyyx yx yyxyxxxxxxxxxxxxyy 又212211212122121212121533234342318334tyytyyty yyyx yx ytttyyyyyyt，212143yy

32、yxxx，恒过定点4,03 故存在定点4,03P，使得B恒在直线PC上.26设数列 na的前n项和为nS，21nSnn，Nn.(1)写出1a，2a，3a的值；(2)求数列 na的通项公式【答案】(1)11a，22a，34a；(2)1,122,2,Nnnannn 【分析】(1)由条件取1,2,3nnn，结合nS的定义可求1a，2a，3a的值；(2)由12nnnSSan可求当2n时na的表达式，由此可求数列 na的通项公式.【详解】（1）因为21nSnn，取1n 可得，11S，故11a，第 18 页 共 19 页 取2n 可得242 13S ，即123aa，故22a，当3n可得393 17S ，即

33、1237aaa，故34a，所以11a，22a，34a；（2）当2n时，221111122nnnaSSnnnnn ，又11a，不满足上式，所以1,122,2,Nnnannn，所以数列 na的通项公式为1,122,2,Nnnannn.27在等差数列 na中满足，316a ，972S .(1)求等差数列 na的通项公式(2)若数列 na的前n项的和为nS，判断nS是否有最小值，若nS有最小值，求此时n的值；若nS没有最小值，说明理由【答案】(1)428nan；(2)nS有最小值-84，nS取最小值时，6n 或7n.【分析】(1)利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程求公差和首项，由此可得通项公式；(2)求数列 na的前n项和nS，结合二次函数性质求其最小值.【详解】（1）设等差数列 na的公差为d，因为316a ，972S ，所以1216ad，193672ad，所以124a ，4d，所以等差数列 na的通项公式为428nan；（2）因为428nan，所以212131692262222nnaanSnnn，Nn，当6n 或7n 时，nS取最小值，最小值为-84，所以nS有最小值-84，nS取最小值时，6n 或7n.第 19 页 共 19 页