2021-2022学年海南省琼海市嘉积中学高二下学期第二次月考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 14 页 2021-2022 学年海南省琼海市嘉积中学高二下学期第二次月考数学试题 一、单选题 1已知集合1,0,2,2A，22Bx x，则AB（）A1,0,2 B1,0 C0,2 D0,2,2【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合 B，再利用交集的定义计算作答.【详解】解不等式22x 得：22x，则|22Bxx，因1,0,2,2A，所以 1,0,2AB.故选：A 2设1 2i1 2iz，则在复平面内z对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【分析】由复数的除法运算化简复数，得出其共轭复数，从而可得出答案.【详解】1 2i1 2i1 2i34

2、i34i12i12i1 2i555z 则34i55z ，所以在复平面内z对应的点为3 4,5 5，在第二象限.故选：B 3将 3 个男生和 2 个女生随机排成一行，要求 2 个女生不相邻，则不同的排列方法共有（）种.A120 B72 C60 D36【答案】B【分析】根据给定条件，利用插空法列式计算作答.【详解】依题意，先排 3 个男生，再将 2 个女生插入 3 个男生站成一排形成的 4 个间隙中，所以不同的排列方法共有3234A A72种.故选：B 4函数()f x在0 xx处导数存在，若 p:000,:fxq xx是()f x的极值点，则 Ap 是 q 的充分必要条件 Bp 是 q 的充分条

3、件，但不是 q 的必要第 2 页 共 14 页 条件 Cp 是 q 的必要条件但不是 q 的充分条件 Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件【答案】C【详解】试题分析：根据函数极值的定义可知，函数0 xx为函数 yf x的极值点，00fx一定成立，但当 00fx时，函数不一定取得极值，比如函数 3f xx，函数的导数 23fxx，当0 x 时，00fx，但函数 3f xx单调递增，没有极值，则p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选 C【解析】必要条件、充分条件与充要条件的判定 5公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：3.14159263.1415927，为了纪念祖冲之在

4、圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1、4、1、5、9、2、6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到不同数字的个数为（）A720 B1260 C1440 D2520【答案】D【分析】七个数字中有2个1，其余5个数字不相同，可以理解为将7个数字全排，其中2个1之间的顺序是固定的，利用倍缩法可求得排法种数.【详解】七个数字中有2个1，其余5个数字不相同，可以理解为将7个数字全排，其中2个1之间的顺序是固定的，因此，不同的排法种数为7722A2520A.故选：D.6数列 na中，13a，m nmna

5、aa，若1232165kaaaa，则k（）A2 B3 C4 D5【答案】D【分析】令1m，推导出数列 na为等差数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列 na的通项公式，利用等差数列的求和公式可得出关于k的方程，结合Nk可求得k的值.【详解】令1m 可得113nnnaaaa，则13nnaa，第 3 页 共 14 页 所以，数列 na为等差数列，且首项和公差均为3，所以，3 313nann，所以，1212322361652kkk aaaaaakk，整理可得22550kk，Nk，解得5k.故选：D.7若函数()3exf xax在 R 上有小于 0 的极值点，则实数 a的取值范围是（）A,3 B,0

6、 C0,3 D3,【答案】C【分析】求出函数()f x的导数()fx，由()0fx有小于 0 的根列式求解作答.【详解】由函数()3exf xax求导得：()3exfxa，因函数()f x在 R 上有小于 0 的极值点，则()0fx有小于 0 的根，即当0 x 时，3exa，而函数3ex在 R 上单调递增，则当0 x 时，03e3x，于是得03a，经验证，当03a时，函数()3exf xax在 R 上有小于 0 的极值点，所以实数 a 的取值范围是0,3.故选：C 8设 A，B，C，D 是同一个直径为 8 的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9 3，则三棱锥DABC体积的最大值为（）

7、A18 3 B24 3 C36 3 D54 3【答案】A【分析】设点 M 为三角形 ABC的中心，O为球心，当D为 MO 与球的交点，判断出当DM 平面ABC，此时三棱锥DABC体积最大，然后进行计算可得.【详解】如图所示，设点 M 为三角形 ABC 的中心，O为球心，E为 AC中点，第 4 页 共 14 页 当DM 平面ABC时，三棱锥DABC体积最大 此时，4ODOBR 则239 34ABCSAB，所以6AB,所以点 M为三角形 ABC的中心，所以22 33BMBE，Rt OMB中，有222OMOBBM，426DMODOM，max19 3618 33D ABCV.故选：A 二、多选题 9已

8、知向量1,2a，2,1b，则下列说法正确的是（）A2ab B3 2ab C4a b Dab【答案】ABC【分析】先求出ab，ab的坐标，从而可判断选项 A,B；由数量积的坐标公式可判断选项 C，从而判断选项 D.【详解】由题意3,3ab，1,1ab 所以 22112ab，22333 2ab 1 22 14a b 所以选项 A,B,C 正确，选项 D 不正确.故选：ABC 10实验室有 4 只兔子，随机选两只作为实验组，另外两只作为对照组，则下列说法正确的是（）A不同的方法种数有 12 种 B甲乙两只兔子同组的概率为13 C不同的方法种数有 6 种 D甲乙两只兔子同组的概率为16【答案】BC【分

9、析】实验室有 4 只兔子，选出两只作为实验组即可；甲、乙两只兔子同组分作为实验组或作为对照组，再利用古典概型的概率求解.【详解】实验室有 4 只兔子，随机选两只作为实验组，另外两只作为对照组，不同的方法种数有24C6 种，第 5 页 共 14 页 甲、乙两只兔子同组作为实验组或作为对照组有 2 种，所以甲乙两只兔子同组的概率为2163P，故选：BC 1110 xa的展开式中，7x的系数为 120，则下列说法正确的是（）A1a B第 4 项和第 6 项的系数一样大 C系数之和等于 1024 D二项式系数的最大值为 252【答案】ACD【分析】由10 xa的展开式的通项得出a，再由二项式定理的性质

10、逐一判断即可.【详解】10 xa的展开式的通项为10110CrrrrTxa，因为7x的系数为 120，所以3310C120,1aa，故 A 正确；第 4 项和第 6 项分别为377410C120Txx，555610C252Txx，故 B 错误；令1x，可得系数之和等于1021024，故 C 正确；二项式系数的最大值为510C252，故 D 正确；故选：ACD 12设1F，2F为椭圆22:1164xyC的两个焦点，点 M 在椭圆 C上.若12MF F为直角三角形，则下列说法正确的是（）A符合条件的 M点有 4 个 BM 点的纵坐标可以是2 33 C12MF F的面积一定是2 3 D12MF F的

11、周长一定是84 3【答案】BD【分析】求出焦点1F，2F的坐标，再由直角三角形12MF F的直角顶点情况逐项判断作答.【详解】椭圆22:1164xyC的长半轴长4a，焦点1(2 3,0)F，2(2 3,0)F，12MFF为直角三角形，以1F为直角顶点的直角12MF F有 2 个，以2F为直角顶点的直角12MF F有 2 个，显然椭圆 C的半焦距2 3c，短半轴长2b，bc，以线段12FF为直径的圆与椭圆 C有 4 个公共点，以M为直角顶点的直角12MF F有 4 个，因此，符合条件的 M点有 8 个，A 不正确；第 6 页 共 14 页 以M为直角顶点时，设00(,)M xy，由2200220

12、012416xyxy消去0 x得：02 3|3y，即 M 点的纵坐标为2 33，B 正确；由选项 B 知，以M为直角顶点时，12MF F的面积120112 3|4 34223SFFy，C 不正确；由椭圆定义知，12MF F的周长为12122284 3MFMFFFac，D 正确.故选：BD 三、填空题 136 名同学到甲、乙、丙三个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，甲小区安排1名，乙小区安排2名，丙小区安排3名，则不同的安排方法共有_种.（用数字作答）【答案】60【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及组合列式计算作答.【详解】依题意，先选 1 名同学去甲小区有16C种方法

13、，再从余下的 5 人中选 2 名同学去乙小区有25C种方法，然后将最后 3 名同学安排到丙小区有 1 种方法，由分步乘法计数原理得：1265CC160，所以不同的安排方法共有 60 种.故答案为：60 14双曲线22145xy的一个焦点F到其渐近线的距离为_.【答案】5【分析】由双曲线方程，得到焦点坐标为（3，0），渐近线为 y52x由点到直线的距离公式进行计算，结合双曲线基本量的关系化简，即可求出焦点 F 到其渐近线的距离【详解】双曲线方程为22145xy 双曲线的焦点坐标为（3，0）渐近线为 y52x，即52xy0 第 7 页 共 14 页 可得焦点 F到其渐近线的距离为 d5325514

14、 故答案为5【点睛】本题考查了点到渐近线的距离，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题 15522xx的展开式中3x的系数为_.（用数字作答）【答案】0【分析】由52x展开式的通项得出522xx的展开式中含3x的项，进而得出系数.【详解】52x展开式的通项为55C 2rrrx，则522xx的展开式中含3x的项为32323233552C2C280800 xxxxx，即522xx的展开式中3x的系数为0 故答案为：0 16已知函数3()1(Rf xaxxa且12)3a 的图像在点 1,1f处的切线与 x轴，y 轴分别交于 A，B点，O 为坐标原点，则当OAB面积最小时，a_.【答案

15、】76116【分析】利用导数的几何意义求出切线 AB 的方程，再求出OAB面积的函数关系，结合均值不等式求解作答.【详解】由函数3()1f xaxx求导得：2()31fxax，则(1)31fa，而(1)2fa，则切线 AB的方程为：(2)(31)(1)yaax，而123a ，由0 x 得：21ya，由0y 得：2131axa，因此，21,2131aOAOBaa，OAB面积225125()11(21)22156336|()112231333333aaSOAOBaaaa 2521520362()133393aa ，当且仅当25136133aa ，即76a 时取“=”，第 8 页 共 14 页 所以

16、，当OAB面积最小时，76a .故答案为：76 四、解答题 17记nS为正项等比数列 na的前 n项和，已知26S，314S，(1)求 na的通项公式；(2)判断4nS，13nS，22nS是否成等差数列，并说明理由.【答案】(1)2nna (2)是等差数列，理由见解析【分析】（1）利用等比数列的前 n项和公式求解；（2）利用等差中项判断.【详解】(1)解：设数列 na的公比为 q，则0q，又因为26S，314S，所以12123614aaaaa，即112111614aa qaa qa q，解得122qa或12318qa（舍），所以112nnnaa q，即数列 na的通项公式为2nna.(2)4n

17、S，13nS，22nS是等差数列 证明如下：由（1）得1112 21221nnnna qSq，所以2122nnS，3222nnS，则132424 222 22nnnnSS，2214222 2 222nn，216 222 2nnS，第 9 页 共 14 页 所以，4nS，13nS，22nS是等差数列.18 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，coscos2 cosaBbAcC，3c.(1)求角 C；(2)求 ABC的外接圆的半径 R，并求 ABC的周长的取值范围.【答案】(1)3(2)1R，2 3,3 3【分析】（1）由正弦定理结合和角公式得出角 C；（2）由正弦定理得出1R，由正

18、弦定理的边化角公式得出2sinsin3abcRAB，结合三角函数的性质得出 ABC的周长的取值范围.【详解】(1)由题，因为coscos2 cosaBbAcC 所以由正弦定理可得sincossincos2sincosABBACC 即sin2sincosABCC 在 ABC中，ABC，且A，B，0,C 又sinsin0ABC，所以1cos2C，则3C(2)由正弦定理得22sincRC，所以1R 由（1）知23ABC，23BA，20,3A 所以22sinsin32 sinsin33abcRABAA 312 sincossin322AAA 2 3sin36A 因为5,666A，所以1sin,162A

19、 则2 3,3 3abc 即 ABC的周长的取值范围为2 3,3 3 19如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面ABCD，12ABBCAD，90BADABC，E是PD上一点，若直线PDBE.第 10 页 共 14 页 (1)证明：E是PD的中点(2)求直线BE与平面PCD夹角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)2114【分析】（1）连接AE，证明出PD 平面ABE，可得出AEPD，再利用等腰三角形三线合一的性质可证得结论成立；（2）取AD的中点O，连接CO、PO，证明出CO 平面PAD，POAD，以点O为坐标原点，OC、OD、OP所在直线分别为x、y、z轴建

20、立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线BE与平面PCD夹角的正弦值.【详解】(1)证明：连接AE，因为90BADABC，则ABAD，/BCAD，因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以，AB 平面PAD，PD 平面PAD，PDAB，因为PDBE，ABBEB，PD平面ABE，AE 平面ABE，AEPD，因为PAD为等边三角形，则E为PD的中点.(2)解：取AD的中点O，连接CO、PO，由已知/BC AD且12BCAD，因为O为AD的中点，所以，/BC AO且BCAO，所以，四边形ABCO为平行四边形，所以，/CO AB，因为AB 平面PAD，则CO 平

21、面PAD，因为PAD为等边三角形，O为AD的中点，POAD，以点O为坐标原点，OC、OD、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，第 11 页 共 14 页 则1,1,0B、1,0,0C、0,1,0D、0,0,3P、130,22E，设平面PCD的法向量为,nx y z，1,1,0DC，0,1,3DP，则030n DCxyn DPyz ，取3y，则3,3,1n，331,22BE，321cos,142 7BE nBE nBEn，因此，直线BE与平面PCD夹角的正弦值为2114.20已知函数 2lnf xxxx，(1)求函数 f x在点 1,1f处的切线方程；(2)求函数 f

22、x的单调区间.【答案】(1)20 xy(2)单调增区间为1,2，单调减区间为10,2【分析】（1）利用导数的几何意义求解；（2）求导，令 0fx，0fx求解.【详解】(1)解：因为 2lnf xxxx，所以函数 f x的定义域为0,，且 1210fxxxx，则 12f，12f，所以切线方程为221yx，第 12 页 共 14 页 即函数 f x在点 1,1f处的切线方程为20 xy；(2)因为 2211121210 xxxxfxxxxxx，令 0fx，解得1x（舍）或12x，令 0fx，解得12x，令 0fx，解得102x，即函数 f x的单调增区间为1,2，单调减区间为10,2.21已知曲线

23、2:20C xpy p的焦点为0,1，若 A，B 为 C上不同的两点，且 A与 B的横坐标之和为 4.(1)求直线 AB的斜率；(2)已知2,1M，且AMBM，求直线 AB的方程.【答案】(1)1(2)7yx【分析】（1）利用焦点坐标求出抛物线方程，再利用点差法求出直线AB的斜率；（2）根据（1）设出直线AB的方程，与抛物线联立写出韦达定理，再利用向量垂直的数量积为0，列出方程求解即可.【详解】(1)因为曲线2:20C xpy p的焦点为0,1 所以122pp，则曲线2:4C xy 设11,A x y，22,B xy，则124xx，12xx 且2114xy，2224xy 上两式相减可得2212

24、1212121244xxyyxxxxyy 所以1212xxyy，则12121yyxx 即直线 AB的斜率为 1.(2)由（1）设直线 AB 的方程为yxb 联立24xyyxb消去 y 整理得2440 xxb 由题可知24440b ，所以1b 由韦达定理可知124xxb 又因为2,1M，且AMBM，所以 第 13 页 共 14 页 0MAMB 11222,12,10 xyxy 121212122410 x xxxxbxbxbxb 2670bb 解得7b或者1b（舍）直线 AB的方程为7yx 22已知 ln1f xxaxaR，fx为 f x的导函数.(1)若 0f x 恒成立，求 a 的取值范围；

25、(2)若120 xx，证明：对任意常数 a，存在唯一的012,xx x，使得 12012f xf xfxxx.【答案】(1)1,(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得ln1xax，设 ln1xg xx，利用导数求出函数 g x的最大值即可得出答案.（2）设 1212f xf xh xfxxx，即将证明函数 h x在区间12,x x上有唯一的零点，讨论出 h x的单调性，得出 h x再出的函数值的符号，从而可证明.【详解】(1)因为 ln1f xxaxaR，所以0 x 又由 0f x，所以ln1ln1xaxxax 令 ln1xg xx，则 2ln xgxx 所以当0,1x时，0g x；当1,x

26、时，0gx；所以 g x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，所以 max11g xg 所以1a 即a的取值范围为1,(2)由题意 1fxax 第 14 页 共 14 页 设 1212f xf xh xfxxx，则问题可转化为 h x在区间12,x x上有唯一的零点，由 12112212121212lnlnlnln11f xf xxaxxaxxxh xfxaxxxxxxxx 得 210h xx h x在区间12,x x上单调递减，故函数 h x在区间12,x x上至多有 1 个零点，又因为 122211121211lnln111lnxxxxh xxxxxxxx 121222121221lnln111 lnxxxxh xxxxxxxx 由（1）知，当1a 时，ln10 xx（当且仅当1x 时取等号）由120 xx，则211xx，所以2211ln10 xxxx，又120 xx，即1210 xx，所以 10h x，由120 xx，则1201xx，所以1122ln10 xxxx，即2112ln10 xxxx，又120 xx，即1210 xx，所以 20h x，由函数零点存在定理知：h x在区间12,x x上有唯一的零点，即存在唯一的012,xx x，使得 12012f xf xfxxx成立.即对任意常数 a，存在唯一的012,xx x，使得 12012f xf xfxxx