辽宁省北票市桃园中学2023学年高三第二次诊断性检测数学试卷(含解析).pdf

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1、2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在ABC中，60BAC，3AB，4AC，点M满足2BMMC，则AB AM等于（）A10 B9 C8 D7 2三棱柱111ABCABC中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAACAA，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值

2、为（）A33 B66 C34 D36 3等比数列 na中，11,28aq，则4a与8a的等比中项是（）A4 B4 C14 D14 4甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（）A甲 B乙 C丙 D丁 5函数cos1ln(),1,(),1xxxf xxex的图象大致是（）A B C D 6已知(2)f x是偶函数，()f x在2，上单调递减，(0)0f，则(23)0fx的解集是 A2()(2)3，B2(2)3，C22()33，D22()()33 ，7 已知等差数列 na的公差不为零，且11a，31

3、a，41a构成新的等差数列，nS为 na的前n项和，若存在n使得0nS，则n（）A10 B11 C12 D13 8已知函数2log(1),1()3,1xxxf xx，则(2)ff（）A1 B2 C3 D4 9如图在直角坐标系xOy中，过原点O作曲线210yxx的切线，切点为P，过点P分别作x、y轴的垂线，垂足分别为A、B，在矩形OAPB中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）A16 B15 C14 D12 10某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是()A28cm B212cm C24 52 cm D24 54 cm 11已知函数()f x的图象如图所示，则()f x可以

4、为（）A3()3xf xx Bee()xxf xx C2()f xxx D|e()xf xx 12已知双曲线222:1(0)3yxCaa的一个焦点与抛物线28xy的焦点重合，则双曲线C的离心率为（）A2 B3 C3 D4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知等差数列na满足1357910aaaaa，222836aa，则11a的值为_ 14在ABC中，已知23AB ACBA BCCA CB，则cosC的最小值是_ 15在ABC中，90C，2CMMB若1sin5BAM，则 tanBAC_ 16六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同

5、的坐法有_种（用数字回答）.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知 3222f xxaxa x.（1）若0a，求函数 fx的单调区间；（2）若不等式 22 ln1xxfxa恒成立，求实数a的取值范围.18（12 分）已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，cos3 sinaCcAbc（1）求A；（2）若3a，3bc，求b，c 19（12 分）已知函数()|25|(0)f xxaxa.（1）当2a 时，解不等式()5f x；（2）当,22xaa时，不等式()|4|f xx恒成立，求实数a的取值范围.20（12 分）已知函数2()(1)1

6、(,)xg xeaxbxa bR，其中e为自然对数的底数.（1）若函数()()f xg x在区间0,1上是单调函数，试求a的取值范围；（2）若函数()g x在区间0,1上恰有 3 个零点，且(1)0g，求a的取值范围.21（12 分）以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴已知曲线1C的极坐标方程为4cos8sin，P是1C上一动点，2OPOQ，点Q的轨迹为2C（1）求曲线2C的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（2）若点(0,1)M，直线l的参数方程cos1sinxtyt（t为参数），直线l与曲线2C的交点为AB，当MAMB取最小值时，求直线l的普通方程 22（10 分）如

7、图，四边形ABCD中，2ADC，2ADABBCCD，AEEC，沿对角线AC将ACD翻折成ACD，使得BDBC.（1）证明：BECD；（2）求直线BE与平面ABD所成角的正弦值.2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】利用已知条件，表示出向量AM,然后求解向量的数量积【题目详解】在ABC中，60BAC，3AB，4AC，点M满足2BMMC，可得12.33AMABAC 则AB AM=12()33ABABAC=2122133 47.3332ABAB AC 【答案点睛

8、】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量 2、B【答案解析】设1AAc，ABa，ACb，根据向量线性运算法则可表示出1AB和1BC；分别求解出11AB BC和1AB，1BC，根据向量夹角的求解方法求得11cos,AB BC，即可得所求角的余弦值.【题目详解】设棱长为 1，1AAc，ABa，ACb 由题意得：12a b，12b c，12a c 1ABac，11BCBCBBbac 22111111122AB BCacbaca baa cb ca cc 又222123ABacaa cc 222212222BCbacbaca bb ca c 11111116cos,66AB BCAB

9、 BCABBC 即异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为：66 本题正确选项：B【答案点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.3、A【答案解析】利用等比数列 na的性质可得2648aa a，即可得出【题目详解】设4a与8a的等比中项是x 由等比数列 na的性质可得2648aa a，6xa 4a与8a的等比中项561248xa 故选 A【答案点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题 4、C【答案解析】分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.【题目详解】假设甲说的

10、是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是

11、丙.综上所述，年纪最大的是丙 故选：C.【答案点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.5、A【答案解析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.【题目详解】当1x 时，1ln()f xxx，由1,yyxx 在1,递增，所以1txx在1,递增 又lnyt是增函数，所以 1ln()f xxx在1,递增，故排除 B、C 当1x 时 cosxf xe，若0,1x，则0,x 所以costx在0,1递减，而tye是增函数 所以 cosxf xe在0,1递减，所以 A 正确，D 错误 故选：A【答案点睛】本

12、题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.6、D【答案解析】先由(2)f x是偶函数，得到()f x关于直线2x 对称；进而得出()f x单调性，再分别讨论232x和232x，即可求出结果.【题目详解】因为(2)f x是偶函数，所以()f x关于直线2x 对称；因此，由(0)0f得(4)0f；又()f x在2，上单调递减，则()f x在2,上单调递增；所以，当232x即0 x 时，由(23)0fx得(23)(4)fxf，所以234x，解得23x ；当232x即0 x 时，由(23)0fx

13、得(23)(0)fxf，所以230 x，解得23x；因此，(23)0fx的解集是22()()33 ，.【答案点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.7、D【答案解析】利用等差数列的通项公式可得16ad，再利用等差数列的前n项和公式即可求解.【题目详解】由11a，31a，41a构成等差数列可得 31431111aaaa 即13341413341422aaaaddaaa aa aaa 又4111323aadaad 解得：16ad 又12(1)(12(1)(13)222nnnnSanddndd n 所以0nS 时，13n.故选：D【答案点

14、睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式，需熟记公式，属于基础题.8、C【答案解析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f,进而可求出(2)ff.【题目详解】由题意可得2(2)39f，则2(9)log(9 13(2)f ff.故选:C.【答案点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.9、A【答案解析】设所求切线的方程为ykx，联立201ykx kyx，消去y得出关于x的方程，可得出0，求出k的值，进而求得切点P的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【题目详解】设所求切线的方程为ykx，则0k，

15、联立201ykx kyx，消去y得210 xkx，由240k，解得2k，方程为2210 xx，解得1x，则点1,2P，所以，阴影部分区域的面积为1232100111 233Sxx dxxxx，矩形OAPB的面积为1 22S，因此，所求概率为16SPS.故选：A.【答案点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.10、D【答案解析】根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.【题目详解】根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为2 24.侧面的高为22215，所以侧面积为14254 52.所以该几何体的表面积是24 5

16、4 cm.故选：D【答案点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.11、A【答案解析】根据图象可知，函数()f x为奇函数，以及函数在0,上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出 【题目详解】首先对 4 个选项进行奇偶性判断，可知，ee()xxf xx为偶函数，不符合题意，排除 B；其次，在剩下的 3 个选项,对其在0,上的零点个数进行判断,|e()xf xx在0,上无零点,不符合题意，排除D；然后,对剩下的 2 个选项,进行单调性判断,2()f xxx在0,上单调递减,不符合题意，排除 C.故选：A【答案点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，

17、意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题 12、A【答案解析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得234a，解可得1a，由离心率公式计算可得答案【题目详解】根据题意，抛物线28xy的焦点为(0,2)，则双曲线22213yxa的焦点也为(0,2)，即2c，则有234a，解可得1a，双曲线的离心率2cea.故选：A【答案点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、11【答案解析】由等差数列的下标和性质可得

18、52a，由22882822aaaaaa即可求出公差d，即可求解；【题目详解】解：设等差数列的公差为d，1357910aaaaa，193752aaaaa 52a 又因为2222888253626aaaaaaad，解得32d 115611aad 故答案为：11【答案点睛】本题考查等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用，属于基础题.14、23【答案解析】分析：可先用向量的数量积公式将原式变形为：cos2cos3cosbcAacBabC，然后再结合余弦定理整理为22223abc，再由 cosC 的余弦定理得到 a，b 的关系式，最后利用基本不等式求解即可.详解：已知23AB ACBA BCCA CB

19、，可得cos2cos3cosbcAacBabC，将角 A,B,C 的余弦定理代入得22223abc，由222222123c23s32oababcabCab，当 a=b 时取到等号，故 cosC 的最小值为23.点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化23AB ACBA BCCA CB是解题关键.属于中档题.15、62【答案解析】分析：首先设出相应的直角边长，利用余弦勾股定理得到相应的斜边长，之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系，从而应用正切函数的定义，对边比临边，求得对应角的正切值，即可得结果.详解：根据题意，设,3ACm BCn，则2,CMn BMn，根据1sin

20、5BAM，得2 6cos5BAM，由勾股定理可得22224,9AMmnABmn，根据余弦定理可得222222222492 65249mnmnnmnmn，化简整理得422412360mm nn，即222(6)0mn，解得6mn，所以336tan26nnBACmn，故答案是62.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.16、135【答案解析】根据题意先确定 2 个人位置不变，共有2615C 种选择，再确定 4 个人坐

21、 4 个位置，但是不能坐原来的位置，计算得到答案.【题目详解】根据题意先确定 2 个人位置不变，共有2615C 种选择.再确定 4 个人坐 4 个位置，但是不能坐原来的位置，共有3 3 1 19 种选择，故不同的坐法有15 9135.故答案为：135.【答案点睛】本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案不唯一，具体见解析（2）2,【答案解析】（1）分类讨论，利用导数的正负，可得函数 fx的单调区间.（2）分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域.【题目详解】（1）22323fxx

22、axaxaxa 由0fx得xa 或3ax 当0a 时，由0fx，得3aax.由0fx，得xa 或3ax 此时 fx的单调递减区间为,3aa，单调递增区间为,a 和,3a.当0a 时，由0fx，得3axa 由0fx，得3ax 或xa 此时 fx的单调递减区间为,3aa，单调递增区间为,3a和,a 综上：当0a 时，fx单调递减区间为,3aa，单调递增区间为,a 和,3a 当0a 时，fx的单调递减区间为,3aa，单调递增区间为,3a和,a.（2）依题意0,x，不等式 22 ln1xxfxa恒成立 等价于22 ln321xxxax在0,上恒成立，可得31ln22axxx，在0,上恒成立，设 31l

23、n22h xxxx，则 221 31131222xxh xxxx 令 0h x，得1x，13x （舍）当01x时，0h x；当1x 时，0h x 当x变化时，h x，h x变化情况如下表：x 0,1 1 1,h x 0 h x 单调递增 2 单调递减 当1x 时，h x取得最大值，max2h x，2a.a的取值范围是2,.【答案点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.18、（1）3；（2）1b，2c 或2b，1c.【答案解析】（1）利用正弦定理，转化原式为sincos3sinsinsinsinACCABC，结合BAC，可得1sin62A，即得

24、解；（2）由余弦定理2222cosabcbcA，结合题中数据，可得解【题目详解】（1）由cos3csinaCAbc及正弦定理得 sincos3sinsinsinsinACCABC 因为BAC，所以sinsincoscossinBACAC，代入上式并化简得 3sinsincossinsinCAACC 由于sin0C，所以1sin62A 又0A，故3A（2）因为3a，3bc，3A，由余弦定理得2222cosabcbcA即23()293bcbcbcbc,所以2bc 而3bc，所以b，c为一元二次方程2320 xx的两根 所以1b，2c 或2b，1c 【答案点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的综合应用

25、，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.19、（1）8|23x xx或；（2）13(2,5.【答案解析】（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到a的取值范围，判断xa，4x为正，去掉绝对值，转化为254xa在,22xaa时恒成立,得到4a，4254axa，在,22xaa恒成立，从而得到a的取值范围.【题目详解】（1）当2a 时，33,252257,22533,2x xf xxxxxxx ，由 5f x，得23 35xx，即223xx ，2x 或52275xx，即5222xx，22x 或52335xx，即5283xx，83x 综上：2x 或83

26、x，所以不等式 5f x 的解集为8|23x xx或.（2）4f xx，254f xxaxx，因为,22xaa，22aa，所以2a，又,22xaa，0 xa，40 x，得254xaxx.不等式恒成立，即254xa在,22xaa时恒成立，不等式恒成立必须4a，4254axa，解得129axa.所以21449aaaa，解得1315a，结合24a，所以1325a，即a的取值范围为132,5.【答案点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.20、（1）3,1,22e；（2）(1,2)e.【答案解析】（1）求出()()g xf x，再求()0,0,1fxx恒成立，

27、以及()0,0,1fxx恒成立时，a的取值范围；（2）由已知(1)(0)0gg，()g x在区间(0,1)内恰有一个零点，转化为()()f xg x在区间(0,1)内恰有两个零点，由（1）的结论对a分类讨论，根据()f x单调性，结合零点存在性定理，即可求出结论.【题目详解】（1）由题意得()2(1)xf xeaxb，则()2(1)xfxea，当函数()f x在区间0,1上单调递增时，()2(1)0 xfxea在区间0,1上恒成立.min2(1)1xae（其中0,1x），解得32a.当函数()f x在区间0,1上单调递减时，()2(1)0 xfxea在区间0,1上恒成立，max2(1)xaee

28、（其中0,1x），解得12ea.综上所述，实数a的取值范围是3,1,22e.（2）()2(1)()xg xeaxbf x.由(0)(1)0gg，知()g x在区间(0,1)内恰有一个零点，设该零点为0 x，则()g x在区间00,x内不单调.()f x在区间00,x内存在零点1x，同理()f x在区间0,1x内存在零点2x.()f x在区间(0,1)内恰有两个零点.由（1）易知，当32a时，()f x在区间(0,1)上单调递增，故()f x在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意.当12ea时，()f x在区间0,1上单调递减，故()f x在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意，3122

29、ea.令()0fx，得ln(22)(0,1)xa，函数()f x在区间(0,ln(22)a上单凋递减，在区间(ln(22),1)a上单调递增.记()f x的两个零点为1212,x xxx，12(0,ln(22),(ln(22),1)xaxa，必有(0)10,(1)220 fbfeab.由(1)0g，得abe.11()102feabee 又(0)10,(1)20 faefa，12 ea.综上所述，实数a的取值范围为(1,2)e.【答案点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、零点问题，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.21、（1）2cos4sin，22125xy；（2

30、）10 xy.【答案解析】（1）设点,P Q极坐标分别为0,，由2OPOQ可得012cos4sin2,整理即可得到极坐标方程,进而求得直角坐标方程；（2）设点,A B对应的参数分别为12,t t，则1=MAt，2=MBt，将直线l的参数方程代入2C的直角坐标方程中,再利用韦达定理可得122 cossintt，1 23t t ，则121212212()4MAMBttttttt t，求得MAMB取最小值时符合的条件,进而求得直线l的普通方程.【题目详解】（1）设点,P Q极坐标分别为0,，,，因为2OPOQ,则012cos4sin2，所以曲线2C的极坐标方程为2cos4sin，两边同乘,得22 c

31、os4sin，所以2C的直角坐标方程为2224xyxy,即22125xy.（2）设点,A B对应的参数分别为12,t t，则1=MAt,2=MBt，将直线l的参数方程cos1sinxtyt（t参数），代入2C的直角坐标方程22125xy中，整理得22 cossin30tt.由韦达定理得122 cossintt，1 23t t ，所以1212122221(4 cossin4si)4121n2362MAMBttttttt t，当且仅当sin21 时，等号成立，则tan1，所以当MAMB取得最小值时，直线l的普通方程为10 xy.【答案点睛】本题考查极坐标与直角坐标方程的转化,考查利用直线的参数方程

32、研究直线与圆的位置关系 22、（1）见证明；（2）36【答案解析】（1）取CD的中点K，连,EK BK.可证得EKCD，BKCD，于是可得CD平面BKE，进而可得结论成立（2）运用几何法或向量法求解可得所求角的正弦值【题目详解】（1）证明：取CD的中点K，连,EK BK.AEEC，/EKAD 又ADCD，EKCD.在BCD中，BCBD，BKCD 又EKBKK，CD平面BKE，又BE 平面BKE，BECD.（2）解法 1：取AD的中点F，连结,EF BF，AEEC，/EFCD,又CDAD，ADEF 又由题意得ABD为等边三角形，ADBF，BFEFF，AD平面BEF 作EHBF，则有EH 平面AB

33、D，EBF就是直线BE与平面ABD所成的角 设1CD，则12EF，在等边ABD中，3232BF 又在ABC中，2,AC5ABBC，故22511222BE 在EBF中，由余弦定理得 22211132233cos611232EBF，3sin6EBF，直线BE与平面ABD所成角的正弦值为36 解法 2：由题意可得EBACD平面，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.不妨设1CD，则在直角三角形ACD中，可得2,AC5AD，作DGAC于G，则有平面几何知识可得2 53 5510D GEGECCG，3 5 2 50,105D 又可得50,02A，11,0,02B.4 5 2 50,55AD,115,022AB 设平面ABD的一个法向量为,y,mxz，由4 52 5055115022m ADyzm ABxy，得55112xyzy ，令11y，则得5,11,2 11m 又11,0,02EB，设直线BE与平面ABD所成的角为，则3sincos,6|mEBm EBm EB 所以直线BE与平面ABD所成角的正弦值为36【答案点睛】利用向量法求解直线和平面所成角时，关键点是恰当建立空间直角坐标系，确定斜线的方向向量和平面的法向量解题时通过平面的法向量和直线的方向向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角求解时注意向量的夹角与线面角间的关系