2022-2023学年天津市西青区高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 12 页 2022-2023 学年天津市西青区高二上学期期末数学试题 一、单选题 1已知向量1,2,3a，2,6mk，若/am，则 k的值为（）A4 B14 C14 D4【答案】D【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解.【详解】因为/am，所以12326k解得4k，故选:D.2抛物线 24yx 的焦点坐标是（）A1,0 B0,1 C1,016 D10,16【答案】D【详解】抛物线 24yx的方程化为标准方程为：214xy，故18p ，则焦点坐标为1(0,)16，故选：D.3数列 na中，若11a，111(1)nnana，则4a（）A32 B53 C2 D14【答案】B【分析】1

2、111,1(1)nnaana,先求出2a,再由2a求3a,由3a求4a即可.【详解】1111,1(1)nnaana,21121a，313122a ，4151332a ，故选：B.4圆2214xay与221xy恰有三条公切线，则实数 a的值为（）A2 3 B2 3 C2 2 D2 2 第 2 页 共 12 页【答案】D【分析】根据公切线的条数判断两圆的位置关系，进而列出等式求解.【详解】因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，则圆心距212 1a ，解得2 2a ，故选:D.5椭圆221259xy与曲线22:19925xyCkkk的（）A焦距相等 B离心率相等 C焦点相同 D曲线C是双曲线【答案】

3、A【分析】根据椭圆的几何性质，曲线22:19925xyCkkk，化简为22:19925xyCkkk，即可解决.【详解】对于椭圆221259xy可得焦点在x轴上，5,3,2594abc，所以焦距为 8，离心率为45，焦点为4,0，曲线22:19925xyCkkk，化简为22:19925xyCkkk，因为9k，所以90,250kk，且259kk，所以曲线C表示焦点在y轴上椭圆，所以 25,9,2594ak bk ckk，焦距为 8，离心率为425k，焦点为0,4，故选：A 6如图，在平行六面体1111ABCDABC D中，AC与 BD 的交点为 M.设11111,ABa ADb A Ac，则下列向

4、量中与1BM相等的向量是（）第 3 页 共 12 页 A1122abc B1122abc C1122abc D1122abc【答案】B【分析】根据1112B MB BBMcBD代入计算化简即可.【详解】1111112222 B MB BBMcBDcBABCabc 故选：B.7已知等比数列an中，有 a3a114a7，数列bn是等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 b7a7，则 S13（）A26 B52 C78 D104【答案】B【解析】由等比数列的性质可得74a，再由等差数列的求和公式和性质，可得答案【详解】等比数列na中，31174a aa，可得2774aa，解得74a，等差数列 nb中77

5、4ba，则131137113()13134522Sbbb 故选：B【点睛】本题考查等比数列的性质以及等差数列的性质与求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题 8若直线340()xynnN与圆 C：22220nnxaya相切，则165a；数列 na为等差数列；圆 C 可能经过坐标原点；数列 na的前 10 项和为 23.以上结论正确的个数为（）A1 B2 C3 D4【答案】C【分析】利用距离公式可求65nna，从而可判断的正误，由42a 可判断的正误，计算出10S后可判断的正误.【详解】因为直线340()xynnN与圆 222:(2)(0)nnCxyaa 相切，第 4 页 共 12 页

6、 所以圆 C 的圆心(2，0)到直线的距离 22|3 20|34nnda，故65nna，则 175a ，故错误；数列 na是首项为75公差为15的等差数列，故正确;当4n 时，42a，圆 C 经过坐标原点，故正确；因为65nna，所以 na的前 10 项和为 107 1612352，故正确.故选：C.9如图第 1 个图案的总点数记为1a，第 2 个图案的总点数记为2a，第 3 个图案的总点数记为3a，依此类推，第 n 个图案的总点数记为na，则423520223342029999a aa aa aaa（）A20212022 B20222021 C20232022 D20222023【答案】A【

7、分析】由题意可得2n时33nan，从而可得19911133311nna annnnnn，再利用裂项相消求和法可求得答案.【详解】由题意，11a，当1n，*nN时，33nan，又当1n，*nN时，19911133311nna annnnnn，233445202220239999a aa aa aaa 1111111112233420212022 12021120222022 故选：A 10设P是双曲线22221(0,0)xyabab与圆2222xyab在第一象限的交点，1F，2F分别是双曲线的左，右焦点，若21tan3PF F，则双曲线的离心率为（）A10 B102 C3 D2【答案】B【分析】

8、先由双曲线定义与题中条件得到12|2PFPFa，21tan3PF F，求出1|3PFa，2|PFa，第 5 页 共 12 页 再由题意得到1290FPF，即可根据勾股定理求出结果.【详解】解：根据双曲线定义：12|2PFPFa，21tan3PF F，12|3|PFPF，1|3PFa，2|PFa，22rabc，12FF是圆的直径，1290FPF，在12RtFPF中，222(3)(2)aac，得102e 故选B【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.二、填空题 11直线10 xy 与直线220 xmy垂直，则实数m的值为_.【答案】2【分析】直接利用两直线垂直

9、，求出m.【详解】直线10 xy 与直线220 xmy垂直,所以20m，解得：2m 故答案为：2 12已知双曲线 C:221(0)2xyaaa一个焦点到其渐近线的距离为2，则双曲线 C的实轴长为_.【答案】4【分析】先求出渐近线方程，再利用点到直线距离公式求出2a 进而可求解.【详解】由题，双曲线的一条渐近线方程为222ayxxa，右焦点3,0a的距离为622112ada，解得2a，所以双曲线的实轴长为2 24a，故答案为:4.13已知圆22460 xyxy，则过点 1,1M的最短弦所在的直线方程是_.【答案】230 xy 第 6 页 共 12 页【分析】由题知，弦最短时，圆心与点M的连线与直

10、线l垂直，进而求解直线方程即可.【详解】解：根据题意：弦最短时，圆心与点M的连线与直线l垂直,因为圆22460 xyxy，即222313xy，圆心为：2,3O，所以3 122 1OMk，所以112lOMkk，所以所求直线方程为：230 xy.故答案为：230 xy.14在直三棱柱111ABCABC中，90BCA，D，F分别是11AB，11AC的中点，1BCCACC，则BD与AF所成角的余弦值是_.【答案】3010#13010【分析】已知111ABCABC是直三棱柱，取BC的中点O，连接,AO FO，DF，可得AF和FO所成角即为BD与AF所成角求出边长，利用余弦定理求解角的大小【详解】D，F分

11、别是11AB，11AC的中点，取BC的中点O，连接,AO FO，FD，则/BCFD且12FDBCBO，所以BDFO为平行四边形，/BDFO,那么AF和FO所成角即为BD与AF所成角 设12BCCACC，90BCA，111ABCABC是直三棱柱，5AO，5AF，6FOBD 22230cos210AFFOAOAFOAF FO 第 7 页 共 12 页 故答案为：3010 三、双空题 15抛物线2:8Cyx的焦点到准线的距离是_；若点A在抛物线C上且与焦点的距离为6，则点A的坐标为_.【答案】4 4,4 2或4,4 2【分析】根据抛物线几何意义，抛物线定义即可解决.【详解】由题知，抛物线2:8Cyx

12、，开口向右，4p，焦点为(2,0)，准线为2x，所以焦点到准线的距离是 4，因为点A在抛物线C上且与焦点的距离为 6，所以点A到准线的距离为 6，所以26Ax，即4Ax，所以232Ay，解得4 2Ay ，所以点A的坐标为4,4 2或4,4 2 故答案为：4；4,4 2或4,4 2 16数列 na的前 n 项和为nS，2nnSa，数列 2na的前 n项和为nT，则na _；nT=_.【答案】112n 41134n【分析】通过1nnnaSS，得到112nnaa，求出1a的值，则112nna，则求出1214nna，利用等比数列求和公式即可得到41134nnT.【详解】2nnSa,2n时，1122nn

13、nnnaSSaa,化为：112nnaa，1n 时,1112aSa,解得11a.第 8 页 共 12 页 数列 na是等比数列,首项为 1,公比为12,112nna,1122,1124nnnnSa,11414113414nnnT,故答案为：112n；41134nnT.四、解答题 17圆C经过坐标原点和点(4,0)，且圆心在x轴上.(1)求圆C的标准方程；(2)已知直线 l：3410 xy 与圆C相交于,A B两点，求弦长AB的值；(3)过点(4,4)P引圆C的切线，求切线的方程.【答案】(1)2224xy(2)2 3(3)4x 和3440 xy 【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）

14、求出圆心到直线距离，进而求出弦长.（3）当斜率不存在时，符合题意，当斜率存在时，设出直线方程，根据dr，求出斜率，写出方程.【详解】（1）由题意可得，圆心为2,0，半径为 2，则圆C的方程为2224xy；（2）由（1）可知：圆C的半径2r，设圆心C2,0到:3410lxy 的距离为d，则6 115d，第 9 页 共 12 页 所以2222 3ABrd.（3）当斜率不存在时，4x 为过点P的圆 C的切线.当斜率存在时，设切线方程为4(4)yk x，即440kxyk 2224442211kkkdrkk，解得34k 3440 xy 综上所述：切线的方程为4x 和3440 xy.18在等差数列 na中

15、，已知公差10,1da，且123,1,6a aa 成等比数列(1)求数列 na的通项公式；(2)记 2nanbn，求数列 nb的前n项和nT【答案】(1)an=n(2)1(1)22nnTn 【分析】（1）由已知条件可得（d+2）2=2d+7，从而可求出公差d，进而可求得数列 na的通项公式，（2）由（1）得2nnbn，然后利用错位相减法求nT【详解】（1）因为 a1，a2+1，a3+6 成等比数列，所以2213(1)(6)aa a 又 a1=1，所以（d+2）2=2d+7，所以 d=1 或 d=3（舍），所以 an=n；（2）因为2nnbn，所以23121 2 2 23 22nnnTbbbn

16、，所以234121 2223 2(1)22nnnTnn ，所以231112 2222222nnnnnTnn 所以1(1)22nnTn 19如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面四边形ABCD满足ABAD，DCAD，422PAADDCAB，E是PD的中点.第 10 页 共 12 页 (1)求直线AE到平面PBC距离；(2)求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值.【答案】(1)4 2121(2)10535 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线AE到平面PBC距离.（2）求出平面PDC与平面PBC的法向量，利用向量法求出平面PDC与平面PBC夹角的余弦值.【详解】（1）在四棱

17、锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，DCAD 分别以,AB AD AP为,x y z轴建立空间直角坐标系.4,22PAADDCAB,E是PD的中点(0,0,0),(0,2,0),(0,0,4),(0,1,2),(1,0,0),(2,2,0)ADPEBC(0,1,2),(1,0,4),(2,2,4),(0,0,4)AEPBPCPA 设平面PBC的法向量为(,)nx y z 则40,2240n PBxzn PCxyz取4x，(4,2,1)n 0,AE nAE平面PBC/AE平面PBC 第 11 页 共 12 页 直线AE到平面PBC距离为44 212121PA ndn（2）平面PBC的法向

18、量(4,2,1)n，(0,2,4)PD，设平面PDC的法向量(,)ma b c 则240,2240m PDbcm PCabc取2,(0,2,1),bm 设平面PDC与平面PBC夹角为 则105cos35n mn m 20已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆 C 的离心率为12，且经过点31,2M（1）求椭圆 C 的方程；（2）是否存在过点(2,1)P的直线1l与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足2PA PBPM？若存在，求出直线1l的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）22143xy（2）存在直线1l满足条件，其方程为12yx【分析】（1）先设椭圆的标准方程，将点M代入得到一个方程，根据离心

19、率得到一个关系式，再由222abc可得到a，b，c的值，进而得到椭圆的方程（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为(2)1yk x，然后与椭圆方程联立消去y得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应0 得到k的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再由2PA PBPM，可确定k的值，从而得解【详解】（1）设椭圆C的方程为22221(0)xyabab，12cea，且经过点3(1,)2M，2213144cc，解得21c，24a，23b，故椭圆C的方程为22143xy（2）若存在直线l满足条件，由题意直线l存在斜率，设直线l的方程为(2)1yk x，由22143(2)1xyyk x，得222(3

20、4)8(21)161680kxkkxkk 因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，第 12 页 共 12 页 设A，B两点的坐标分别为1(x，1)y，2(x，2)y，所以222 8(21)4(34)(16168)0kkkkk 整理得32(63)0k 解得12k，又21212228(21)16168,3434kkkkxxx xkk，因为2PA PBPM，即12125(2)(2)(1)(1)4xxyy，所以22125(2)(2)(1)|4xxkPM 即2121252()4(1)4x xxxk 所以222222161688(21)44524(1)3434344kkkkkkkkk，解得12k 因为12k，所以12k 于是存在直线1l满足条件，其方程为12yx【点睛】直线l与圆锥曲线相交于两点,A B时，一般都设1122(,),(,)A x yB xy，直线方程为ykxb，把直线方程代入圆锥曲线方程得x的一元二次方程，由韦达定理得1212,xxx x，再把其他与,A B有关的条件用12,x x表示出来，把刚才的1212,xxx x代入，化简整理就可得到要求的结论这是解析几何中常用的“设而不求”方法，可减少大量的计算，简化推理过程