2022-2023学年重庆市第一中学校高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 18 页 2022-2023 学年重庆市第一中学校高二上学期期末数学试题 一、单选题 1已知椭圆2213xymm的一个焦点为1,0，则实数m的值为（）A12 B2 C22 D24【答案】A【分析】根据方程是椭圆方程，得0m，然后由,a b c关系得出m值【详解】由题意0m，223,am bm 231mm，12m，故选：A 2已知等比数列 na的各项均为正数，目1598a aa，则2123252729logloglogloglogaaaaa（）A3 B4 C5 D6【答案】C【分析】利用的等比数列的下标和性质推得52a，再根据对数的运算结合等比数列下标和性质，即可求得答案.【详解

2、】由题意等比数列 na的各项均为正数，目1598a aa，则2195a aa，故3159558,2a aaaa，所以2123252357271992loglogloglogloglogaaaaaa a a a a 55252loglog 25a，故选：C 3已知函数 321233fxxfxx，则 2f（）A1 B1 C5 D5【答案】B【分析】利用导数运算求得 2f.【详解】2221fxxfx，第 2 页 共 18 页 令2x 得 24421,21fff.故选：B 4已知双曲线22214xyb的左右焦点分别为12,F F过左焦点1F作斜率为 2 的直线与双曲线交于 A，B 两点，P是 AB 的

3、中点，O为坐标原点，若直线 OP 的斜率为14，则 b 的值是（）A2 B3 C32 D2【答案】D【分析】利用点差法设11,A x y、22,B xy，作差即可得到2121212124yyyybxxxx，再根据斜率公式，从而得到2124b，即可得解；【详解】解：设11,A x y、22,B xy，则2211214xyb，2222214xyb，两式相减可得1212121221104xxxxyyyyb，P为线段AB的中点，122pxxx，122pyyy，2121212124yyyybxxxx，又12122AByykxx，121214yyxx，2124b，即22b，2b，故选：D.5 九章算术是我

4、国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（1 匹40尺，一丈10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织 5 尺，一月织了七匹一丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有 29 天，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为na，则13292428aaaaaa的值为（）A15 B2829 C13 D1514【答案】D【分析】根据给定的信息可得数列na为等差数列，再利用等差数列前 n项和公式及通项的性质求解作答.【详解】依题意，数列na为递增

5、等差数列，且15a，第 3 页 共 18 页 所以12913291522824281515151521414142aaaaaaaaaaaa.故选：D 6已知抛物线2:4E yx，圆C：222xyx，过圆心C作直线l与抛物线E和圆C交于四点，自上而下依次为A，M，N，B，若AM，MN，NB成等差数列，则直线l的斜率为（）A2 B2 C22 D22【答案】B【分析】根据给定条件，可得圆心 C为抛物线的焦点，求出弦 AB 长，设出直线 AB方程并与抛物线方程联立，求解作答【详解】圆C：22(1)1xy的圆心(1,0)C，半径1r，显然点(1,0)C为抛物线2:4E yx的焦点，其准线为=1x，设11

6、22(,),(,)A x yB xy，则1212|112ABACBCxxxx ，而|2MN，由AM，MN，NB成等差数列得，2|4AMNBMN，因此|6AB，即有1226xx，解得124xx，设直线l的方程为(1)yk x，显然0k，由2(1)4yk xyx消去 y得：2222(24)0k xkxk，则有122424xxk，解得2k ，所以直线l的斜率为2.故选：B 7已知函数 f x是定义在R上的可导函数，其导函数为 fx，若 22ef，且 0f xfx，则关于x的不等式lnfxx的解集为（）第 4 页 共 18 页 A0,e B20,e Ce,D2e,【答案】B【分析】依题意令()()ex

7、f xg x，求导分析单调性，不等式lnfxx，可转化为 2lnln2eexfxf，即 ln2gxg，即可得出答案【详解】解：依题意令()()exf xg x，则2e()e()()()()0eexxxxfxf xfxf xg x，所以()g x在R上单调递减，对于不等式lnfxx，显然0 x，则ln1fxx，即lnln1exfx，又 22ef，所以 2221efg，所以 2lnln2eexfxf，即 ln2gxg，所以ln2x，解得20ex，即关于x的不等式lnfxx的解集为20,e.故选：B 8 设函数 2exf xaxax（Ra）（e2.718为自然对数的底数），若恰好存在两个正整数m，n

8、使得 0f m，0f n，则实数a的取值范围是（）A24ee,2 12 B34ee,6 12 C32ee,62 D24ee,2 12【答案】A【分析】根据给定条件，只需考查当1x 时，2exaxx成立的正整数有且只有两个，再构造函数，探讨其性质即可作答.【详解】函数 2exf xaxax中，(1)e0f，而恰好存在两个正整数,m n使得 00,f mf n，则1,1mn，当1x 时，2e()0 xf xaxx，因此有且只有两个大于 1 的正整数使得2exaxx成立，令2e(),1xg xxxx，求导得：222(31e()()xxxxg xx，由()0g x得3512x，由()0g x得第 5

9、页 共 18 页 352x，因此函数()g x在35(1,)2上单调递减，在35(,)2上单调递增，而35232，则必有2e(2)2ag，又322eeee(3)(2)6232gg，因此符合题意的正整数只有 2 和 3 两个，于是得4e(4)12ag，所以实数a的取值范围是24ee212a.故选：A【点睛】关键点睛：涉及不等式整数解的个数问题，构造函数，分析函数的性质并画出图象，数形结合建立不等关系是解题的关键.二、多选题 9数列 na的前n项和为nS，已知27nSnn，则下列说法正确的是（）A数列 na是递增数列 B28nan C当4n 时，0na D当3n或 4 时，nS取得最大值【答案】B

10、CD【分析】根据给定的前n项和，求出na，再逐项判断作答.【详解】数列 na的前n项和27nSnn，当2n时，2217(1)7(1)28nnnaSSnnnnn ，而116aS满足上式，所以28nan，B 正确；数列 na是公差为2的等差数列，是单调递减的，A 不正确；当4n 时，2(4)0nan，C 正确；当4n 时，2(4)0nan，即数列 na前 3 项均为正，第 4 项为 0，从第 5 项起为负，因此当3n或 4 时，nS取得最大值，D 正确.故选：BCD 10已知函数 11lnf xxx，则（）A f x在1x 处的切线为x轴 B f x是0,上的减函数 C1x 为 f x的极值点 D

11、 f x最小值为 0 第 6 页 共 18 页【答案】ACD【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义可判断 A；结合函数的单调性与导数的关系，判断B;根据导数的正负与函数极值的关系，判断 C,继而判断 D.【详解】由题意知 11 ln,(0)f xx xx，故 22111xfxxxx，故 f x在1x 处的切线的斜率为 10f，而 1 1n1l 10f ，故 f x在1x 处的切线方程为00(1)yx，即0y，所以 f x在1x 处的切线为x轴，A 正确；当01x时，0fx，当1x 时，0fx，故 f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，B 错误；由此可得1x 为 f x的极小值

12、点，C 正确；由于在0,上 f x只有一个极小值点，故函数的极小值也为函数的最小值，最小值为 10f，D 正确，故选：ACD 11已知抛物线C：28xy的焦点为F，过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是（）A若12,2A，则52AF B若2,3E，则AEAF的最小值为 4 C以线段AB为直径的圆与直线=2y相切 D若3AFFB，则直线AB的斜率为 1【答案】AC【分析】求出抛物线C的焦点坐标、准线方程，设出点 A，B的坐标及直线 AB方程，再结合各选项的条件分别计算判断作答.【详解】抛物线C：28xy的焦点为(0,2)F，准线=2y，设点1122(,),(,)A x yB x

13、y，对于 A，显然12,2A在抛物线C上，则15(2)22AF ，A 正确；对于 B，221111123232AEAFxyyyy，当且仅当12x 时取等号，第 7 页 共 18 页 当12x 时，112y，有111132325yyyy，因此当12,2A时AEAF取得最小值 5，B 不正确；对于 C，1212|224ABAFBFyyyy，线段 AB的中点 M纵坐标为0y，则1201|222yyyAB，显然点 M是以线段AB为直径的圆的圆心，点 M到直线=2y的距离为011(2)|22|22yABAB ，所以圆 M 与直线=2y相切，C 正确；对于 D，显然直线 AB的斜率存在，设直线 AB的方程

14、为：2ykx，由228ykxxy消去 y得：28160 xkx，有12128,16xxk x x，由3AFFB得：123xx，于是得213k，解得33k ，D 不正确.故选：AC 12已知函数 e1 sinxf xxx，则（）A函数 f x在,02上单调递增 B函数 f x在,0上有两个零点 C对,0 x 恒有 20f xk，则整数k的最大值为3 D若01x，则有 elnf xx 【答案】ABD【分析】根据给定条件，求出函数()f x的导数()fx，再求出()fx的导数，推导()fx正负判断 A；结合零点存在性定理推理判断 B；利用导数探讨最值判断 C；利用导数证明不等式判断 D 作答.【详解

15、】函数 e1 sinxf xxx，求导得()esin(1)cosxfxxxx，令()()esin(1)cosxg xfxxxx，求导得()e2cos(1)sinxg xxxx，对于 A，当02x时，e0,sin0,1 cos0 xxxx，有()0fx，函数 f x在,02上单调递增，A 正确；对于 B，当2x 时，ecos0,(1)sin00,xxxx，有()0g x，函数()fx在,2上单调递增，而2()e10,()e102ff ，则0(,)2x 使得0()0fx，第 8 页 共 18 页 当0 xx时，()0fx，当02xx 时，()0fx，因此()f x在0,x上递减，在0,2x上递增，

16、由选项 A 知，()f x在0,0 x上递增，又20()e0,(0)10,()()e1022fff xf ，则1020(,),(,0)xxxx，使得12()()0f xf x，因此函数 f x在,0上有两个零点，B 正确；对于 C，对,0 x 恒有 202()f xkkf x，由选项 B 知，min0()()f xf x，则有00002()e1 sinxkf xxx，由 00fx得：0000esin(1)cosxxxx，0000000000()sin(1)cos1 sinsin(1)(cossin)f xxxxxxxxxx，令()sin(1)(cossin),2h xxxxxx，()(3)co

17、ssin0h xxxxx，函数()h x在,2上单调递减，()()222h xh ，又20()()e122f xf，则有 201111e42242f x，因此整数k的最大值为2，C 不正确；对于 D，当01x时，令()sin,()ln(1)u xxx t xxx，则1()cos10,()10u xxt xx ，函数()u x在(0,1)上递减，()(0)0u xu，即0sin1xx，函数()t x在(0,1)上递增，()(1)0t xt，即ln1xx，令2e(1)sinlne(1)1e(1()n)lxxxxxxxxxfxxxx，01x，显然2(1)x在(0,1)上单调递增，则有函数2e(1)x

18、yx在(0,1)上单调递增，因此2e(1)exx，即e()x，所以当01x时，elnf xx 成立，D 正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.三、填空题 13函数 322f xxxaxa有极值，则实数a的取值范围是_【答案】1(,)3【分析】求出函数的导数()fx，再利用()fx存在变号零点求出 a的范围作答.第 9 页 共 18 页【详解】函数 322f xxxaxa定义域为 R，求导得：2()32fxxxa，因为函数()f x有极值，则函数()fx在 R 上存在变号零点，即()0fx有两个不等

19、实根，即有方程2320 xxa有两个不等实根，于是得4 120a，解得13a，所以实数a的取值范围是1(,)3.故答案为：1(,)3 14双曲线C：22221xyab（0a，0b）的渐近线与抛物线22 2yx的准线交于A，B两点，O为坐标原点，OAB的面积为 1，则双曲线的渐近线方程为_【答案】2yx 或2yx【分析】求出抛物线22 2yx的准线及双曲线C的渐近线，再联立求出线段 AB 长，结合三角形面积，求出ba作答.【详解】双曲线C：22221xyab的渐近线方程为：byxa，抛物线22 2yx的准线为直线：22x ，联立byxa 与22x 得：22bya，因此有222|()|22bbbA

20、Baaa，而OAB的面积1222|12242OABbbSABaa，即2ba，所以双曲线的渐近线方程为2yx 或2yx.故答案为：2yx 或2yx 15已知数列 na满足12a，且1x 是函数 4321114nnfxaxa xx（Nn）的极值点，设3log1nnba，1 2231202420242024nnnSbbb bb b，则2023S_【答案】2023【分析】根据给定条件，利用导数结合函数极值点的意义求出数列 na的通项，进而求出nb，再求2023S作答.【详解】函数 4321114nnfxaxa xx，求导得：13232nnfxaxa xx，依题意，10f，即132nnaa，有113(1

21、)nnaa，而113a ，因此数列1na 是首项为 3，公比为 3 的等比数列，此时 32(32)32(1)(32)2nnnfxaxa xxx xax，而320na，第 10 页 共 18 页 即当01x时，0fx，当1x 时，0fx，则1x 是函数()f x的极值点，因此132nnaa，13nna ，3log 3nnbn，120242024112024()(1)1nnb bn nnn，11111120242024(1)()()2024(1)223111nnSnnnn，所以20232023S.故答案为：2023 16 已知椭圆C：222210 xyabab的左、右焦点分别是1F，2F，斜率为1

22、2的直线l经过左焦点1F且交 C于 A，B两点（点 A 在第一象限），设12AF F的内切圆半径为1r，12BFF的内切圆半径为2r，若122rr，则椭圆的离心率e _【答案】56【分析】由题意得122ABryry，联立直线与椭圆方程得22244ABb cyyab，4224ABbyyab，再利用22ABABABBAyyyyyyyy，再代入值计算即可得答案.【详解】如图所示，由椭圆定义可得122AFAFa，122BFBFa，设12AF F的面积为1S，12BF F的面积为2S，因为123rr，所以111222112222221122222AABBac rcySrySryac rcy ，即2ABy

23、y，设直线:2l xyc，则联立椭圆方程与直线l，可得 222242222222(4)40 xycabyb cybb xa ya b，由韦达定理得：22244ABb cyyab，4224ABbyyab 又22ABABABBAyyyyyyyy，即2222422441122224b cabbab 化简可得222222216132442ccaacab，即22365ca，即22365ca时，有255366ee.第 11 页 共 18 页 故答案为：56 四、解答题 17已知数列 na是公差不为零的等差数列，2410aa，且5a是2a和14a的等比中项(1)求数列 na的通项公式：(2)已知2,5,6n

24、nnnba n，求数列 nb的前 20 项和20T【答案】(1)21nan；(2)313.【分析】（1）根据给定条件，结合等比中项列式求出数列 na的公差，即可求解作答.（2）利用（1）的结论，利用分组求和法，结合等差等比数列前 n 项和公式计算作答.【详解】（1）设等差数列 na的公差为()d d 0，由2410aa 得3210a ，解得35a ，又5a是2a和14a的等比中项，有25214aa a，则2333(2)()(11)adadad，整理得23156da d，而0d，解得2d ，3(3)21naandn，所以数列 na的通项公式是21nan.（2）由（1）知，Nn，2,521,6nn

25、nbnn，所以5234562020672015()2(12)22222122aaTaaa 1362156215(25)313a .18设函数 33f xxaxa 第 12 页 共 18 页(1)当4a 时，求 f x的极值；(2)若函数 f x有三个零点，求实数a的取值范围【答案】(1)极大值(2)12f，极小值(2)20f；(2)14a.【分析】（1）把4a 代入，利用导数求出函数的极值作答.（2）根据给定条件，求出函数的极大值与极小值，再利用三次函数的图象特征列出不等式求解作答.【详解】（1）当4a 时，3124f xxx，求导得：2()3123(2)(2)fxxxx，当2x或2x 时，(

26、)0fx，当22x 时，()0fx，因此函数()f x在(,2),(2,)上单调递增，在(2,2)上单调递减，所以函数()f x在2x 取得极大值(2)12f，在2x 取得极小值(2)20f.（2）函数 33f xxaxa，求导得：2()33fxxa，当0a 时，()0fx，当且仅当0 x 且0a 时取等号，函数()f x在 R 上单调递增，()f x最多一个零点，不符合题意，当0a 时，当xa 或xa时，()0fx，当axa时，()0fx，因此函数()f x在(,),(,)aa 上单调递增，在(,)aa上单调递减，则函数()f x在xa 取得极大值()2faa aa，在xa取得极小值()2f

27、aa aa，因为三次函数 f x有三个零点，从而()0()0fafa，即2020a aaa aa，解得14a，所以实数a的取值范围是14a.19已知双曲线C经过点3,4P，点2,2Q(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知2,2A，过点2,0的直线l与双曲线C交于不同两点M，N，若以线段MN为直径的圆刚好经过点A，求直线l的方程【答案】(1)2212yx；(2)20 xy或7140 xy.第 13 页 共 18 页【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.（2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合垂直关系的向量表示求解作答.【详解】（1）依题意，设双曲

28、线C的方程为：221,0mxnymn，而双曲线C经过点3,4P，点2,2Q，则有9161221mnmn，解得11,2mn，即有22112xy，所以双曲线C的标准方程为：2212yx.（2）显然直线l不垂直于 y轴，设直线l的方程为：2xty，由22222xtyxy消去x得：22(21)860tyty，显然2210t ，2226424(21)16240ttt，设1122(,),(,)M x yN xy，则有12122286,2121tyyy ytt，因为以线段MN为直径的圆刚好经过点A，即有0AMAN，而1122(2,2),(2,2)AMxyANxy，于是得1212(2)(2)(2)(2)0 x

29、xyy，即21212(1)2()40ty yyy，有2226(1)16402121tttt，整理得：27810tt，解得1t 或17t，因此直线l：2xy或127xy，所以直线l的方程为20 xy或7140 xy.20已知数列 na的前n项和为nS，22nnSa(1)求数列 na的通项公式；(2)若21nnnba，数列 nb前n项和为nT，是否存在实数，使得 13mnmTa对任意m，*Nn恒成立，若存在，求出实数的所有取值；若处存在，说明理由【答案】(1)2nna；(2)存在，0.【分析】（1）根据给定的递推公式，探讨数列 na的性质，再求出其通项公式作答.（2）由（1）求出nb，利用错位相减

30、法求出nT，再结合数列不等式恒成立求解作答.第 14 页 共 18 页【详解】（1）数列 na的前n项和为nS，22nnSa，当2n时，1122nnSa，两式相减得：122nnnaaa，即有12nnaa，而11122aSa，即12a，因此数列 na是首项为 2，公比为 2的等比数列，所以数列 na的通项公式是2nna.（2）由（1）知，212nnnb，23135212222nnnT，则234111352321222222nnnnnT，两式相减得：1211111111111121121323221222222222212nnnnnnnnnT，于是得2332nnnT，显然Nn，3nT，假设存在实数

31、，使得 13mnmTa对任意m，*Nn恒成立，则存在实数，使得 133mma对任意*Nm恒成立，即*Nm，10102mmm成立，当m为正偶数时，0，当m为正奇数时，0，从而0，所以存在实数，使得 13mnmTa对任意m，*Nn恒成立，的值为 0.21 已知直线l：3x，点1,0F，点P是平面内一个动点，过点P作PQl于点Q，且21PQPF(1)求点P的轨迹方程；(2)设点,0M t是一定点，0t 且2t ，过点M的直线交点P的轨迹于A，B两点，该平面内是否存在不同于点M的一定点N，使得|MANBMBNA恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由【答案】(1)2212xy；(2)存在，2

32、(,0)t.【分析】（1）根据给定条件，设出动点 P的坐标，列出方程化简得解.（2）假定存在符合条件的点 N，设出其坐标，直线 AB 不垂直于 y 轴时设出其方程，与（1）中轨迹方程联立，结合已知计算推理即可，再验证直线 AB垂直 y 轴的情况作答.第 15 页 共 18 页【详解】（1）设点(,)P x y，依题意，22|3|,|(1)PQxPFxy，则22|3|2(1)1xxy，当3x时，2242(1)2xxy，整理得：222414xyx，即22(2)218xy，因为22(2)22518xy，则当3x时，不成立，当3x时，2222(1)2xxy，整理得2222xy，显然符合题意，所以点P的

33、轨迹方程是2212xy.（2）假设存在符合条件的点000(,),N xyxt，设1122(,),(,)A x yB xy，当直线AB不垂直于 y轴时，设其方程为xmyt，由2222xmytxy消去 x得：222(2)220mymtyt，有2 22244(2)(2)0m tmt，即2220mt，212122222,22mttyyy ymm，由|MANBMBNA得12|yNAMANBMBy，则22101012222020()()|()()xxyyyyxxyy，即22222222210210120120()()()()yxxyyyyxxyyy，2222222221020011201002()(2)(

34、)(2)ymytxyyy yymytxyyy y ，2222222222200122001100121002()2()(2)()2()(2)ytxm txy yyyy yytxm txy yyyy y，2222222100122102101221()()2()()()2()0yytxm txy yyyyyyy y yyy，22210012021012()()2()()20yytxm txy yyyyy y y，2221000012()()2()20yytxym txyy y，22200002()2()2(2)0mt txym txyt，222200002()(2)()2(2)0m txtt t

35、xtyy t，2222000002(2)22(2)0m x txytxy t，因为2222000002(2)22(2)0m x txytxy t对符合题意的任意 m值恒成立，因此2220000(2)20 x txytx且202(2)0y t，由202(2)0y t 得00y，则有22000(2)20 x txtx，即00(2)()0 x ttx，于是得02xt，即点2(,0)Nt为定点，当直线AB垂直于 y 轴时，不妨令(2,0),(2,0)AB，由|MANBMBNA得：22220000|2|(2)|2|(2)txytxy，当02xt且00y 时，上述等式成立，综上得：存在定点2(,0)Nt，

36、使得|MANBMBNA恒成立，第 16 页 共 18 页 所以存在不同于点M的一定点N，使得|MANBMBNA恒成立，点N的坐标是2(,0)t.【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.22已知函数 e xkf xx(1)若 f x在0,上单调递增，求实数k的取值范围；(2)若 lng xf xk x存在极小值，且极小值等于2lnk，求证：ln2ekk【答案】(1)1k；(2)证明见解析.【分析】（1）由条件可得 2ee0 xxxkfxx在0,上恒成立，然后可得e 1x

37、kx，然后利用导数求出=e1xxx的最大值即可；（2）求出 g x，分1k、1ke、ek、ek 四种情况讨论 g x的单调性，然后可得lnlneeetttttt，令 ln1xh xxx、2elnln 2e1eG xxxxxx，然后利用 h x、G x的单调性可证明.【详解】（1）因为 e xkf xx在0,上单调递增，所以 2ee0 xxxkfxx在0,上恒成立，且 fx不恒等于0，由 2ee0 xxxkfxx可得e 1xkx，令=e1xxx，则=e1e=e0 xxxxxx，所以=e1xxx在0,上单调递减，所以 01k；（2）因为 lng xf xk x，其定义域为0,，所以 2e1xkxk

38、gxfxxx，第 17 页 共 18 页 当1k 时，e0 xk，所以当0,1x时 0g x，g x单调递减，当1,x时 0gx，g x单调递增，所以 g x的极小值为 1e0gk，而2ln0k，不合题意，当1ke时，由 0g x可得lnxk或1x，当0,lnxk时，0gx，g x单调递增，当ln,1xk时，0g x，g x单调递减，当1,x时，0gx，g x单调递增，所以 g x的极小值为 1e0gk，而20lnk，不合题意，当ek时，0gx，g x在0,上单调递增，不合题意，当ek 时，由 0g x可得lnxk或1x，当0,1x时，0gx，g x单调递增，当1,lnxk时，0g x，g x

39、单调递减，当ln,xk时，0gx，g x单调递增，所以 g x的极小值为2lnln lnlngkkkk ，令ln1,tk，则2e lnttt，所以lnlneeetttttt，令 ln1xh xxx，则 eth th，21 ln xhxx，所以 h x在1,e上单调递增，在e,+上单调递减，所以1eett，令 2elnln 2e1eG xxxxxx，则 2elnln 2e2exxGxxxxx 2222e2eln2elneelne202e2exxxxxxxxxxx 所以 G x在1,e上单调递增，所以 e0G xG，所以当1,ex时有ln 2eln2exxxx，第 18 页 共 18 页 因为1eett，所以ln 2elnelne2etttttt，又因为 h x在e,+上单调递减，所以e2ett，所以e2ett，即ln2ekk.