2021-2022学年山东省蓬莱第一中学高一上学期期末考试数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 15 页 2021-2022 学年山东省蓬莱第一中学高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 1已知集合22|log(32),|4Ax yxBx x，则RAB（）A3|22xx B|2x x C3|22xx D|2x x【答案】D【解析】根据对数型函数的定义域化简集合A的表示，解一元二次不等式化简集合B的表示，最后根据集合的补集和并集的定义，结合数轴进行求解即可.【详解】因为242Bx xx x或2x ，所以R|22Bxx 又因为23|log(32)|320|,2Ax yxxxx x 所以RAB|2x x.故选：D【点睛】本题考查集合的补集与并集的定义，考查了数学运算能力，属于基

2、础题.2函数()31lg(2)f xxx 的定义域为（）A1,3 B1,23 C1,23 D2,【答案】C【分析】解不等式组310,20 xx 即得解.【详解】解：由题得3101,2203xxx.所以函数的定义域为1,23.故选：C 3已知角的顶点为坐标原点，始边为 x轴的非负半轴，若点(sin,tan)P在第四象限，则角的终边在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【分析】依据三角函数值的符号判断角的终边所在象限即可解决.【详解】由点(sin,tan)P在第四象限，可知sin0,tan0，第 2 页 共 15 页 则角的终边在第二象限.故选：B 4已知命题“3,3x ，

3、240 xxa”为假命题，则实数a的取值范围是（）A(4,)B21,C,21 D3,【答案】A【分析】由全称命题的否定转化为最值问题求解即可.【详解】因为命题“3,3x ，240 xxa”为假命题，所以240 xxa在 3,3x 上有解，所以2max(4)0 xxa，而一元二次函数24xxa在422(1)x 时取最大值，即224 20a 解得4a ，故选：A 5函数 1 3cos31 3xxfxx的图象大致是（）A B C D【答案】A【解析】先判断奇偶性，可排除 C，D，由特殊值 f，可排除 B，即可得到答案.【详解】因为 1 331cos3cos31 331xxxxfxxxf x，所以函数

4、 fx为奇函数，排除 C，D；又 1 3cos301 3f，排除B，故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断第 3 页 共 15 页 图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项 6若，的终边（均不在 y轴上）关于x轴对称，则（）Asinsin0 Bcoscos0 C22sinsin1 Dtantan0【答案】A【分析】因为，的终边（均不在y轴上）关于x轴对称，则2k，Zk，然后利用诱导公式对应各个选项逐个判断即

5、可求解【详解】解：因为，的终边（均不在y轴上）关于x轴对称，则2k，Zk，选项 A：sinsinsinsin(2)sinsin0k，故 A 正确，选项 B：coscoscoscos(2)2cos0k，故 B 错误，选项 C：22222sinsinsinsin(2)2sin0k，故 C 错误，选项 D：tantantantan(2)tantan2tan0k，故 D 错误，故选：A 7 若31,2，记cossincoslog,logcos,1logtanxyz，则,x y z的大小关系正确的是（）Axyz Bzxy Cxzy Dyxz【答案】C【分析】由题意可得0cossin1,tan1，然后利用

6、对数函数的单调性比较大小【详解】因为31,2，所以0cossin1,tan1，所以coscosloglog10 x，sinsinlogcoslogsin1y，coscoscos1logtanlog(costan)logsinz，因为0cossin1，所以coscoscoslogcoslogsinlog1，所以cos1logsin0，即01z，综上，xzy，故选：C 第 4 页 共 15 页 8 已知 f x是定义在1,1上的奇函数，且 11f，当,1,1a b且0ab时 0f af bab.已知,2 2 ，若 243sin2cosf x对1,1x 恒成立，则的取值范围是（）A,6 2 B,23

7、 C,3 2 D,2 6 【答案】A【解析】由奇偶性分析条件可得 f x在1,1上单调递增，所以 max1f x，进而得2143sin2cos，结合角的范围解不等式即可得解.【详解】因为 f x是定义在1,1上的奇函数，所以当,1,1a b且0ab时 00()f af bf afbabab，根据,a b的任意性，即,ab的任意性可判断 f x在1,1上单调递增，所以 max(1)(1)1f xff，若 243sin2cosf x对1,1x 恒成立，则2143sin2cos，整理得(sin1)(2sin1)0，所以1sin2，由,2 2 ，可得,6 2 ，故选：A.【点睛】关键点点睛，本题解题的

8、关键是利用 00()f af bf afbabab，结合变量的任意性，可判断函数的单调性，属于中档题.二、多选题 9已知全集U R，集合 M，N的关系如图所示，则（）ANMM BUMN C UUMN D UUUMNN【答案】AB【分析】根据韦恩图，结合集合的交并补运算逐个选项分析即可.第 5 页 共 15 页【详解】由图可知 ,UUUUUUNMMMNMNMNM.故选：AB 10幂函数21*()(22),Nmf xmmxm，则下列结论正确的是（）A1m B函数()f x是偶函数 C(2)(3)ff D函数()f x的值域为(0,)【答案】ABD【分析】根据幂函数定义可知2221mm，即可解得m的

9、值，结合m是正整数即可对选项做出判断.【详解】由幂函数定义可知，系数2221mm，解得1m 或32m ，又因为*Nm，所以1m；故 A 正确；1m 时，221()f xxx，其定义域为(,0)(0,)，且满足2()()1ffxxx，所以函数()f x是偶函数，即 B 正确；由21()f xx可知，函数()f x在(0,)为单调递减，所以(2)(2)(3)fff，所以 C 错误；函数21()f xx的值域为(0,)，即 D 正确；故选：ABD.11已知函数 sin0,2fxAx的图象如图所示，则（）A函数解析式 2sin 23fxx B将函数2sin 26yx的图象向左平移4个单位长度可得函数

10、f x的图象 C直线1112x 是函数 f x图象的一条对称轴 D函数 f x在区间,02上的最大值为 2【答案】ABC【分析】根据图像得到解析式，利用函数的性质进项判断即可.【详解】由题图知：函数 f x的最小正周期453612T，第 6 页 共 15 页 则22，2A，所以函数 2sin 2f xx 将点,212代入解析式中可得22sin6，则262kkZ，得23kkZ，因为2，所以3，因此 2sin 23fxx，故 A 正确 将函数2sin 26yx的图像向左平移4个单位长度可得函数 2sin 23fxx的图像，故 B正确.2sin 23fxx，当1112x 时，2f x，故 C 正确.

11、当,02x 时，23x2,33，所以 2,3f x，即最大值为3，故 D 错误 故选：ABC 12已知正实数 x，y，z满足236xyz，则（）A111xyz B236xyz C236xyz D24xyz【答案】ACD【分析】令236xyzt则1t，可得：2logxt，6logzt，进而结合对数运算与换底公式判断各选项即可得答案.；【详解】解：令236xyzt，则1t，可得：2logxt，3logyt，6logzt，对于选项 A：因为231111lg2lg31lg61lg2lg3log 6logloglglglglgtxyttttttz，所以111xyz，故选项 A 正确；对于选项 B，因为1

12、t，故lg0t，所以232lg3lg2log3loglg2lg323tttxty23lglg3lg2lg2 lg3t9lg lg80lg2 lg3t，即23xy；3663lglg3lglg62lg33lg6lg9363log6log0lg3lg6lg3 lg6lg3 lg6ttttyztt，即36yz，故 B 选项错误.对于选项 C：loglglgattaaa，因为02lg 23lg36lg 6，所以1112lg23lg36lg6，因为lg0t，所以lglglg2lg23lg36lg6ttt，即362logloglog236ttt，即236xyz，故选项 C 正确；第 7 页 共 15 页 对

13、于选项 D：223lglglglogloglg2 lg3lg2 lg3tttxytt，222262lg444 log4lglg6lg6tztt，因为22lg6lg2lg30lg2 lg324，因为lg2lg3所以等号不成立，所以214lg2 lg3lg6，即222lg4lglg2 lg3lg6tt，所以24xyz，根据“或”命题的性质可知选项 D 正确.故选：ACD 三、填空题 13如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是_.【答案】90180120180,kkkZ【分析】写出终边落在边界上的角，即可求出.【详解】因为终边落在 y轴上的角为90180,kkZ，终边落在图中直线上的角为

14、1203601202180,kk Zk；3003601201802180120(21)180,nnnnZ ，即终边在直线上的角为120180k，Zk，所以终边落在阴影部分的角为90180120180,kkkZ，故答案为：90180120180,kkkZ 14已知正数 x，y满足21xy，则12xxy的最小值为_.【答案】5【分析】根据基本不等式即可求解最值.第 8 页 共 15 页【详解】2 12121124yxxyxyxy，由于0,0 xy，21xy,所以12122222241125xyxyxxyxyxyxyxy ，当且仅当13xy 时，取等号，故12xxy最小值为 5，故答案为：5 15数

15、学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感莱洛三角形的画法：先画等边三角形 ABC，再分别以点 A，B，C为圆心，线段 AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形若线段 AB 长为 2，则莱洛三角形的面积是_ 【答案】22 3#2 32【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.【详解】由已知得23ABBCAC，则 AB=BC=AC=2，故扇形的面积为23，由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的 3 倍减去三角形面积的 2 倍，所求面积为22332222 334 故答案为：22 3或2 32 四、双空题 16已知定义在 R 上的奇函

16、数1 2,(0)()(),(0)xxf xg xx，则(1)f _；不等式()7ff x的解集为_.【答案】1 (,2【解析】由奇函数关于原点对称的性质，即可求得(1)f；不等式()7ff x的解集等价于()3f x 的解集，即可求得答案.第 9 页 共 15 页【详解】解：1 2,(0)()(),(0)xxf xg xx 是定义在R上的奇函数，当0 x 时，1 221xxg xf xfx ，1 2,(0)()21,(0)xxxf xx，(1)2 1 1f ；又1 2,(0)()21,(0)xxxf xx 在0,和0，上都单调递减，而且函数又是连续性函数，图像没有断开，所以函数1 2,(0)(

17、)21,(0)xxxf xx 在R上单调递减，不等式()7,(3)7f f xf，()3f x，01 23xx 或0213xx ，解得：2x，即不等式()7ff x的解集为(,2.故答案为：1；(,2.【点睛】本题考查奇函数的性质以及求解方法，考查复合不等式的求解，属于中档题.五、解答题 17（1）计算20.520311035222216274 （2）计算31log 242766194log 3 log8log 82log33.【答案】（1）0；（2）3【分析】（1）利用有理数指数幂性质以及运算法则求解；（2）利用对数性质及运算法则求解.【详解】（1）20.520311035222216274

18、 第 10 页 共 15 页 12223816442216273 22933220444 .（2）31log 242766194log 3 log8log 82log33 3212log 2323662134log3 log 2log 22log 33 3log 42366134log 3 log 2log 2log 32 642log23213.18如图，以 Ox 为始边作角与(0)，它们的终边分别与单位圆相交于 P，Q两点，已知点 P的坐标为3 4,5 5 （1）求sin2cos211tan的值；（2）若coscossinsin0，求sin的值【答案】（1）1825（2）725【分析】(1

19、)由三角函数的定义首先求得sin,cos的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；(2)由题意首先求得,的关系，然后结合诱导公式和两角和差正余弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】（1）由三角函数定义得3cos5，4sin5，原式2222sincos2cos2cos(sincos)3182cos2sinsincos5251coscos （2）coscossinsincos()0，且0，2，2，3sinsincos25，4coscossin25 第 11 页 共 15 页 44337sin()sincoscossin555525 【点睛】本题主要考查三角函数的定义

20、，二倍角公式及其应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19已知函数()2sin()(0)3f xx图象的相邻两条对称轴间的距离为.2(1)求函数()f x的单调递增区间和其图象的对称轴方程;(2)先将函数()yf x的图象各点的横坐标向左平移12个单位长度，纵坐标不变得到曲线 C，再把 C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到()g x的图象，若1()2g x，求 x 的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为5,(Z)1212kkk，对称轴方程为5(Z)212kxk；(2),(Z).62kkk 【分析】(1)由条件可得函数()f x的最小正周期

21、，结合周期公式求，再由正弦函数性质求函数()f x的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数()g x的解析式，根据直线函数性质解不等式求 x的取值范围.【详解】（1）因为()f x图象的相邻两条对称轴间的距离为.2，所以()f x的最小正周期为，所以2，2，所以()2sin(2)3f xx，由2 22 232kxk，可得51212kxk，()kZ，所以函数()f x的单调递增区间为5,(Z)1212kkk，由2Z32xkk得5(Z)212kxk，所以所求对称轴方程为5(Z)212kxk（2）将函数()yf x的图象向左平移12个单位长度得到曲线:2sin(2)6C yx，把

22、 C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到()sin(2)6g xx的图象，由1()2g x 得1sin(2)62x，所以52 22 666kxk，Zk，所以62kxk，Zk，所以 x 的取值范围为,(Z).62kkk 20已知函数()yf x的定义域为 R，且对任意 a，bR，都有()()()f abf af b，且当0 x 时，()0f x 恒成立.第 12 页 共 15 页(1)证明函数()yf x是奇函数；(2)证明函数()yf x是 R 上的减函数；(3)若2(2)()0f xf x，求 x的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)1x x 或2x 【分析

23、】（1）利用特殊值求出(0)0f，从而证明()()fxf x 即可；（2）证明出121222()()()()f xf xfxxxf x12()f xx，再利用当0 x 时，()0f x 恒成立即可得解；（3）利用函数的单调性和奇偶性进行证明即可得解.【详解】（1）证明：由()()()f abf af b，令0ab可得(0)(0)(0)fff，解得(0)0f，令,ax bx可得()()()f xxf xfx，即()()(0)f xfxf，而(0)0f，()()fxf x，而函数()yf x的定义域为 R，故函数()yf x是奇函数（2）证明：设12xx，且1Rx，2xR，则120 xx，而()(

24、)()f abf af b 121222()()()()f xf xfxxxf x 1222()()()f xxf xf x 12()f xx，又当0 x 时，()0f x 恒成立，即12()0f xx，12()()f xf x，函数()yf x是 R 上的减函数；（3）(方法一）由2(2)()0f xf x，得2(2)()f xf x，又()yf x是奇函数，即2(2)()f xfx，第 13 页 共 15 页 又()yf x在 R 上是减函数，22xx 解得1x 或2.x 故 x的取值范围是1x x 或2x .(方法二)由2(2)()0f xf x且(0)0f，得2(2)(0)f xxf，

25、又()yf x在 R 上是减函数，220 xx，解得1x 或2.x 故 x的取值范围是 1x x 或2x .21已知函数 2f xxbxc，满足 1f xfx，其一个零点为1(1)当0m 时，解关于 x 的不等式 21mfxxm；(2)设 313f xxh x，若对于任意的实数1x，22,2x ，都有 12h xh xM，求 M的最小值 【答案】(1)答案见解析(2)242 【分析】（1）根据条件求出,b c，再分类讨论解不等式即可；（2）将问题转化为 maxminMh xh x，再通过换无求最值即可.【详解】（1）因为 1f xfx，则2211xbxcxbxc，得1b 又其一个零点为1，则

26、11 10fc ，得2c ，则函数的解析式为 22f xxx 则2221m xxxm，即222210mxmxmxx 当0m 时，解得：1x 当0m时，2m 时，解集为 R 02m时，解得：1x或2xm，m2时，解得：2xm或1x，综上，当0m 时，不等式的解集为1x x；第 14 页 共 15 页 当2m 时，解集为 R；当02m时，不等式的解集为1x x 或2xm；当m2时，不等式的解集为2x xm或1x.（2）对于任意的1x，22,2x ，都有 12h xh xM，即 maxminMh xh x 令222314txxx，则 3th t 因为2,2x，则min0t，max5t 可得 5max

27、3h t，0min31h t 则 max min 243 1242h xh x，即242M，即 M的最小值为 242 22某同学用“五点法”画函数 cos0,2f xAx在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x 0 2 32 2 x 3 56 cosAx 2 0 0 2 (1)请根据上表数据，求函数 f x的解析式；(2)关于x的方程 f xt区间0,2上有解，求t的取值范围；(3)求满足不等式 52043f xff xf 的最小正整数解【答案】(1)2cos 26f xx；(2)3,2；(3)2.第 15 页 共 15 页 【分析】（1）由表格中的数据可得出A的值，根据表格中

28、的数据可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出函数 f x的解析式；（2）利用余弦型函数的基本性质求出函数 f x在0,2上的值域，即可得出实数t的取值范围；（3）分析可得 0f x 或 1f x，分别解这两个不等式，得解集，令0k，得解集的一部分，由此可得出解集中的最小正整数解.【详解】（1）解：由表格数据知，2A，由325362，解得26，所以 2cos 26f xx.（2）解：当2,0 x时，52,666x，则3cos 2,162x，所以 2cos 26f xx在0,2上的值域为3,2，因为方程 f xt区间0,2上有解，所以t的取值范围为3,2.（3）解：因为552cos2sin14266f，2432cos2cos03362f，所以不等式即：10f xf x，解得 0f x 或 1f x，由 0f x 得cos 206x，所以3222Z262kxkk，所以5,36xkk，Zk；由 1f x 得1cos 262x，所以222Z363kxkk，所以,124xkk，Zk.令0k 可得不等式解集的一部分为5,12 436，因此，解集中最小的正整数为2