吉林省长春市第二实验中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题含答案.pdf

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1、1长春市第二实验中学 2022-2023 学年高三上学期期末考试数学试题数学试题注意事项：1.全卷共 8 页，22 道小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答案拍照在规定时间内上传，要求保证好照片的清晰度。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合1,3,5,7A，250Bx xx，则AB（）A1,3B3,5C5,7D1,72设0.33ea，0.6eb，1.6c，则（）AabcBcbaCbacDbca3若存在实数02，使得函数sin(0)6yx的图象的一个对称中心为0，则的取值范围为（）A13，B1

2、13，C13，D413，4已知正三棱柱的侧棱长为l，底面边长为a，若该正三棱柱的外接球体积为323，当la最大时，该正三棱柱的体积为（）A108 749B72 2149C108 77D72 2175在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，()(sinsin)sinsinacACbBaB，24ba，32CACDCB ，则线段 CD 长度的最小值为（）A2B2 23C3D2 336如图，棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，P为线段1AB的中点，M、N分别为体对角线1AC和棱11BC上任意一点，则22PMMN的最小值为（）A22B2C3D27已知直线:340lxy与圆2

3、2)(2)1:(Cxay（a为整数）相切，当圆C的圆心到直线:320lmxym的距离最大时，m（）2A34B43C1D18我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何

4、体与半球体积相等，即2311122323VRRRRR球.现将椭圆22149xy绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）A32B24C18D16二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知等差数列na的前 n 项和为nS，11a，23a，22nanb，nb的前 n 项和为nT则下列说法正确的是（）A数列na的公差为 2B2nsnC数列 nb是公比为 4 的等比数列D4(1 16)1 4nnT10已知 AB 两点的坐

5、标分别是1,0，1,0，直线 APBP 相交于点 P，且两直线的斜率之积为 m，则下列结论正确的是（）A当1m时，点 P 的所在的曲线是焦点在 x 轴上的双曲线B当01m时，点 P 的所在的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线C当10m 时，点 P 的所在的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆D当1m 时，点 P 的所在的曲线是圆311如图，在平行四边形ABCD中，1,2,60ABADA，,E F分别为,AB AD的中点，沿EF将AEF折起到AEF的位置（A不在平面ABCD上），在折起过程中，下列说法不正确的是（）A若M是AD的中点，则/BM平面AEFB存在某位置，使BDA CC当二面角AEFB为直二面角时

6、，三棱锥ABDE外接球的表面积为72D直线A C和平面ABCD所成的角的最大值为612已知函数()elnlnxf xaxa，若 0f x 恒成立，则实数a的可能的值为（）A12eB21eC1eD2e三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13复数34i和1 i在复平面上所对应的两个向量的夹角的余弦值为_.14若6102100121011xxaa xa xa x，则3a _15在分层抽样时，如果将总体分为 k 层，第 j 层抽取的样本量为jn，第 j 层的样本平均数为jx，样本方差为2js，1,2,jkL.记1kjjnn，所有数据的样本平均值为x，则所有数据的样本方差2s _

7、16已知0，在函数3sinyx与3cosyx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为3 3，则的值为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题（本小题 10 分）分）已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos3 sincBbCa.(1)求角C的大小;(2)若2,3cAC CB ，求22ab的值.418（本小题（本小题 12 分）分）函数 2f xaxbxc满足 00f，1f xfx，且与直线22yx 相切.(1)求实数a，b，c的值；(2)已知各项均为正数的数列 na的前n项和为nS，且点,4nnaS在函数 f x的

8、图象上，若不等式8(1)nnnSa 对于任意*Nn恒成立，求实数的取值范围.519（本小题（本小题 12 分）分）已知双曲线 C 过点6,12P,(2,2)Q.(1)求双曲线 C 的标准方程;(2)已知(3,4)A,过点1,03的直线 l 与双曲线 C 交于不同两点 M、N,设直线 AM、AN 的斜率分别为1k、2k,求证:12kk为定值.620（本本小小题题 12 分分）如图，在四棱台1111ABCDABC D中，底面ABCD是边长为 2 的菱形，3DAB，平面11BDD B 平面ABCD，点1,O O分别为11,B D BD的中点，1111,O BA ABO BO均为锐角.(1)求证：1A

9、CBB；(2)若异面直线CD与1AA所成角正弦值为217，四棱锥1AABCD的体积为 1，求二面角1BAAC的平面角的余弦值.721（本小题（本小题 12 分）分）已知2()(ln1)f xxx(1)求()f x的单调递增区间；(2)若124()()ef xf x，且12xx，证明12ln()ln2 1xx822（本小题（本小题 12 分）分）在合理分配团队合作所得时，我们往往会引入 Shapley 值来评判一个人在团队中的贡献值.首先，对员工编号（1，2，k）.我们假定个人单独工作时带来的贡献是，1,2,vvv kL，考虑到在个人工作的基础上如果分出小组可能会得到更高的效率，记集合S的元素为

10、一个小组中成员的编号，例如：集合1,2,3,4S=表示编号为 1，2，3，4 的员工结为一个小组，并记这个组为S.再记iv S为小组iS合力工作可产生的总贡献，并对编号为i的员工引入边界贡献 iSv Siv S，表示如果员工i加入小组S中可以为小组带来的贡献值.那么一个员工的 Shapley 值为 1iinSSSh inL其中1,2,iS in为其他组员（可以不是所有的其他组员）的一种成组方式，一个员工的 Shapley 值越大意味着它在整个团队中贡献越大，最后我们将依靠它来评定团队合作下（相当于所有人是一个组）一个人的贡献值.现在有三名淘宝带货主播A，B，C在一次三人联动带货活动（一种直播方

11、式，要求三个人中一个人先直播，然后加入一个人两个人联动，最后再加入一个人三个人联动）中共有 50000 份订单任务要完成，A单独直播能完成 10000 份，B单独直播能完成 12500 份，C单独直播能完成 5000 份，如果A，B联动带货可以完成 27000 份，A，C联动带货能完成 37500 份，B，C联动带货能完成 35000 份，A，B，C联动带货能完成 50000 份.现在你作为这次任务的策划，你需要考虑A，B，C三人最终的奖金分配.请回答以下问题：（1）请你通过语言表述以及适当的数学语言解释 Shapley 值的合理性；（2）根据A，B，C三人 Shapley 值的大小合理地给出

12、奖金分配方案（用百分数表示，精确到小数点后一位）.长春市第二实验中学 2022-2023 学年高三上学期期末考试数学答案及评分标准数学答案及评分标准1B2B3C4B5D【详解】解：由()(sinsin)sinsinacACbBaB及正弦定理，得2()()ac acbab，即222abcab，由余弦定理得，2221cos22abcCab，0,C，3C由32CACDCB ，1233CDCACB ，两边平方，得22144999CDCACA CBCB 即222144cos999CDbaabC 22142999baab212299baab221122992baba21212ba，当且仅当224baba，

13、即12ab时取等号，即2214(2)123CDba，线段 CD 长度的最小值为2 33故选：D6 D【详解】如图,连接11,AC AC,取AC中点E,过M作MF 面11AC，垂足为F,在正方体1111ABCDABC D中,1AA 平面1111DCBA,且1AA 平面11ACC A,平面11ACC A 平面1111DCBA,平面11ACC A 平面111111ABC DAC,且MF 平面11ACC A，MF平面1111DCBA,P为1AB的中点,111,APAEB ACCAC AMAM APMAEM,故PMEM,而对固定点M,当11MNBC时,MN最小,此时由MF 面1111DCBA，11BC

14、Q面1111DCBA，11MFBC，又11MNBC,MFNFF，且,MF NF 面MNF，故11BC 面MNF，又11BC 面11AB A,则面/MNF面11AB A，根据三棱锥特点，可知11MNFAB A，而易知11AB A为等腰直角三角形，可知MFN为等腰直角三角形,122,2222()2222MFMNPMMNPMMNEMMFAA.故选：D.7D【详解】由题意，圆 C：,2C a，半径1r，C 点到直线 l 的距离22342134adr ，a 为整数，1a；C 到直线l的距离2222324111mmmdmm，考察 22216 11mdm，令221mpm，则有2212,20p mm pmmp

15、，22240p，21,11pp ，即221mm 的取值范围是1,1，当2211mm 时，1m ，2d最大；故选：D.8D【详解】解：构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为03hh时，小圆锥底面半径为r，则32hr，23rh，故截面面积为：2449h，把yh代入22149xy，即22149xh，解得：2293xh，橄榄球形几何体的截面面积为22449xh，由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：2VV圆柱V圆锥1)24343163.故选：D.9AB10AD11ABD【详解】取FD中点Q，连接MQBQ、.若 A 正确，/BM平面A EF

16、，且MQ为三角形A FD中位线，则/MQA F，A F面A FE，则/MQ面A FE，因为,BMMQM BM MQ平面,MQB所以平面/MQB平面A FE，因为面MQB平面,ABCDQB面A FE平面,ABCDEF所以/BQFE，显然，EF为三角形ABD中位线，/EFBD，矛盾，故假设不成立，A 错误；以 A 为坐标原点，AD 为 y 轴正半轴，在平面ABCD中作与 AD 垂直方向为 x 轴正半轴，z 轴垂直平面ABCD，建立空间坐标系.因为60A，1,12AEAF，所以2221cos22AEAFEFAAE AF，所以32EF，所以222AEEFAF，所以AEEF，即A EEF，又因为/EFB

17、D，则A EBD，若 B 正确，则有BDA C，因为,AAEAEA CA C平面AEC，所以BD平面AEC，因为EC 平面AEC，则BDEC必定成立.则根据题意，可得3 1,044E、3 1,022B、3 5,022C、0,2,0D.3 3,022BD ，3 9,044EC，则327388BD EC ，即BDEC不成立，故矛盾，所以 B 不成立；当二面角AEFB为直二面角时，即平面A EF平面EBD.根据上面可知A EEF，所以A EBD，又BDEB，因为A EEBE，,A E EB平面A EB，所以BD平面A EB，因为A B平面A EB，所以BDA B，故四面体ABDE为所有面都是直角三角

18、形的四面体，根据外接球性质可知，球心必为A D中点K，即KB为外接球半径.12A EEB，3BD，由勾股定理可知22142A DA BBD，则144KB，外接球面积为2147442，故 C 正确.当平面A EF平面ABCD时，直线A C和平面ABCD所成的角的最大，记此时角为.由上图可知，在EBC中，1120,22EBCEBBC，由余弦定理222122cos1201222EC 可解得212EC.此时1212tan21212A EEC.此时6，故 D 错.故选：ABD12CD【详解】因为()elnln0,0 xf xaxa xa，且 0f x 恒成立，所以elnln0 xaxa，则elnlnln

19、xxaxaa，故1elnxxaa，则elnxxxxaa，当0 xa时，e0 x，01xa，则ln0 xa，故ln0 xxaa，则elnxxxxaa恒成立，当0ax时，1xa，ln0 xa，则ln0 xxaa，对elnxxxxaa两边取对数，得lnlnln lnxxxxaa，令 ln0g xxx x，则 lnxg xga，又 110gxx，所以 g x在0,上单调递增，故lnxxa，即exxa 在0,上恒成立，令 0exxh xx，则 ah x在0,上恒成立，即 maxah x，又 1exxhx，令 0h x，得01x；0h x，得1x；所以 h x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，则 ma

20、x11eh xh，故1ea，对于 AB，易得112ee，211ee，故AB 错误；对于 CD，易得11ee，21ee，故 CD 正确.故选：CD.1310214100152211kjjjjnsxxn【详解】解：111,jjnnjjjjjjjjxxxn xn.样本均值11111()()knkjjjjjjxxn xnn.又2222111(),()jjnnjjjjjjjjjjxxxsxn sn.计算总体22221111()()()2()()()jjjjnnnnjjjjjjjjjjjjjjjxxxxxxxxxxxxn xx又11()0jjnnjjjjjjjjjjjxxxn xn xn x.2221()

21、()jnjjjjjjxxn sn xx.222211111()()jnkkjjjjjjjjxxn sn xxnns.故答案为：2211kjjjjnsxxn163【详解】根据题意，为使两交点距离最小，只需两交点在同一周期内；由题意，令3sin3cosxx，可得sincos0 xx，则sin04x，所以4xk，Zk，即14xk；当0k，14x，13 22y，当1k，254x，23 22y ，如图所示，由勾股定理得22221213 3yyxx，即22253 23 344，即29，解得：3.故答案为：317.（1）已知cos3 sincBbCa，根据正弦定理可得：sincos3sinsinsinCBB

22、CA，在ABC中，ABC，sinsinsinABCBC，所以sincos3sinsinsinsincoscossinCBBCBCBCBC，得3sinsinsincosBCBC，sin0B，3sincosCC即3tan3C，得6C.（2）由3AC CB ，得3coscos32CA CBCACBCabCab ，即2 3ab.根据余弦定理得2222243cos224 3abcabCab，解得2210ab.18（1）因为，0fc，2111fxaxbxc 22axab xabc，又 00f，1f xfx，所以有02cabbabcc，解得0abc，所以 2f xaxax，2fxaxa.因为函数 2f xa

23、xax与直线22yx 相切，设切点为00,x y，则02fx，0022f xx，即020002222axaaxaxx ，解得021ax，所以，2a，2b，0c=，所以 222f xxx.（2）由（1）知，2422nnnSaa，即22nnnSaa.当1n 时，2111122Saaa，解得11a 或10a（舍去）；当2n时，有22nnnSaa，21112nnnSaa，所以有221112nnnnnnSSaaaa，整理可得1110nnnnaaaa，因为10nnaa，所以110nnaa，即11nnaa.所以，na是以11a 为首项，1 为公差的等差数列.所以，111naann，1122nnn aan n

24、S.则不等式8(1)nnnSa 对于任意*Nn恒成立，可转化为1812nn nn，即18812122nn nnnn对于任意*Nn恒成立.当n为偶数时，即有8122nn恒成立，因为81819222222nnnn，当且仅当82nn，即4n时等号成立，此时有92；当n为奇数时，即有8122nn恒成立，令 8122xh xx，22441822xxh xxx，当04x时，0h x，8122xh xx单调递减；当4x 时，0h x，8122xh xx单调递增.又 3811432323h，5812314525253h，所以当n为奇数时，8122xh xx最小值为 2355h.所以，235，即有235.综上所

25、述，23952.19（1）设双曲线 C 的方程为221(0)mxnymn,将6,12P,(2,2)Q代入上式得:312221mnmn,解得112mn,双曲线 C 的方程为2212yx.（2）设11,M x y,22,N xy,由题意易得直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为13yk x,代入2212yx 整理得,22221896180kxk xk,21226189kxxk,212218189kx xk,21890k且0,则1212124433yykkxx121211443333k xk xxx1281124333kkxx1212126824339xxkkx xxx2222266 18982

26、4318 189 189kkkkkkk8324334kk ,故123kk为定值.20（1）底面ABCD是菱形，ACBD，又平面11BDD B 平面ABCD，且平面11BDD B 平面ABCDBD，AC平面ABCD，AC平面11BDD B，又1BB 平面11BDD B，1ACBB.（2）解法一：由（1）知AC 面11BDD B，又AC平面11ACC A，平面11ACC A 平面11BDD B，作BE 交线1OO，垂足为E，因为平面11ACC A 平面11BDD B=1OO，BE 平面11BDD B，则BE 面11ACC A，又1AA 平面11ACC A，所以1AABE.再作1BFAA，垂足为F，

27、BE 面BEF，BF面BEF，BEBFB所以1AA 面BEF，又面EF BEF则1EFAA，所以BFE为二面角1BAAC的平面角，111111 132 2 31,33 22AABCDABCDAAAVShhh 因为11AC/平面ABCD，所以1O到底面ABCD的距离也为32.作1O HOB，因为平面11BDD B 平面ABCD，平面11BDD B 平面ABCDOB，1OH 平面11BDD B，所以1OH 平面ABCD，所以132O H，又1O BO为锐角，所以11,60,2BHO BO又11OBO B，所以1BOO为等边三角形，故11OO，所以32BE，因为/AB CD，所以11212 21si

28、nsin77BAABFABBAA，所以3732sin,cos442 217BEBFEBFEBF.所以二面角1BAAC的平面角的余弦值为34.解法二：由（1）知AC 面11BDD B，又AC平面ABCD，平面ABCD平面11BDD B，作1O HBD，因为平面11BDD B 平面ABCD，平面11BDD B 平面ABCDBD，1OH 平面11BDD B，所以1OH 平面ABCD，如图，建立直角坐标系：O为原点，,OA OB 为,x y轴方向，z轴/1O H.11111 132 2 31,33 22AABCDABCDAAAVShhh 因为11AC平面ABCD，所以1O到底面ABCD的距离也为32.

29、所以132O H，又1O BO为锐角，所以111,60,22BHOHO BO又11OBO B，所以1BOO为等边三角形，故11OO，在空间直角坐标系中：3,0,0,0,1,0,3,0,0ABC，设113,22A a，则1133,3,1,022AAaDCAB 11211332 732cos,.7213(3)244aDC AADC AAaDC AAa 则13 13,3,1,0,2 3,0,0222AAABAC ，设平面1ABA的法向量为,mx y z，1313022230m AAxyzm ABxy ，取(1,3,0)m 设平面1ACA的法向量为,nx y z，131302222 30n AAxyz

30、n ACx ，取0,3,1n 所以3cos,4m nm nm n ，由题知二面角为锐角，故二面角1BAAC的平面角的余弦值为34.21（1）f x的定义域为0,.221ln12ln(ln1)0fxxxxxx，仅当1ex 时取等号，f x的单调递增区间为0,.（2）由题可得211112lneeeeef，若211xxe，则必有2112fxfxfee，则124efxfx；若2110exx，则必有1212eefxfxf，则124efxfx若124efxfx，则1210exx要证12lnln2 1xx，只需证122exx，只需证212exx，即证212ef xfx，又214efxfx，故只需证 1142

31、eef xfx令 241,0,eeeg xfxfxx则 2222(ln1)ln1eegxfxfxxx22lnlnlnln2eexxxx10ex，21xxee，2lnln0exx，且2222elnln2ln2ln20ee2xxxxxx，22lnlnlnln20eegxxxxx，故 g x在10,e上单调递增10ge，10eg xg，11240fxfxee，1142eef xfx，得证.22(1)由 Shapley 值的评判标准知：利用边界贡献 iSv Siv S计算出员工的 Shapley 值，使员工所得与员工的贡献率相等，相对比较公平，也可以促进员工之间工作的积极性.(2)由题意知：加入的顺序

32、有6种，按ABC的顺序：110000A，111,27000 1000017000BA BA，111,500002700023000CA B CA B；按ACB的顺序：210000A，222,50000 3750012500BA B CA C，222,37500 1000027500CA CA；按BAC的顺序：333,27000 1250014500AA BB，312500B，333,500002700023000CA B CA B；按BCA的顺序：444,50000 3500015000AA B CB C，412500B，444,35000 1250022500CB CB；按CAB的顺序：55

33、5,10000 50005000AA CC，555,50000 3750012500BA B CA C，55000C；按CBA的顺序：666,50000 3500015000AA B CB C，666,35000 500030000BB CC，65000C；A的 Shapley 值为：10000100001450015000325001500016166.76，B的 Shapley 值为：17000125001250012500125003000016166.76,C的 Shapley 值为：230002750023000225005000500017666.76；故A分得奖金的16166.732.3%50000；故B分得奖金的16166.732.3%50000；故C分得奖金的17666.735.4%50000.