2022-2023学年北京市通州区高二上学期期末质量检测数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 14 页 2022-2023 学年北京市通州区高二上学期期末质量检测数学试题 一、单选题 1已知椭圆22142xy的焦点分别为1F，2F，点 P 为椭圆上一点，则12PFPF（）A2 B4 C6 D8【答案】B【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】解：因为椭圆方程为22142xy，所以 2a=4，又因为椭圆22142xy的焦点分别为1F，2F，点 P 为椭圆上一点，所以由椭圆的定义得12PFPF2a=4，故选：B 2已知双曲线2212yx，则其渐近线方程为（）A12yx B22yx C2yx D2yx 【答案】C【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可【详解】由于双曲线为221

2、2yx，所以其渐近线方程为2yx.故选：C.3已知数列 na的前 5 项为 1，12，13，14，15，则数列 na的一个通项公式为（）A1nan B11nan C121nan D12nan【答案】A【分析】观察数列的规律，找出合适的通项公式即可；或可将数列的各项代入选项中的通项公式进行验证排除.【详解】观察数列的各项，容易发现，分子均为 1，分母均与项数相同，则数列 na的一个通项公式可以为1nan.第 2 页 共 14 页 经验证，其他选项均不能满足.故选：A.4已知等差数列 na的通项公式21nan，则数列 na的首项1a和公差 d 分别为（）A11a ，2d B11a ，2d C11a

3、，2d D11a，2d 【答案】D【分析】直接计算首项1a，根据等差数列的定义计算公差 d.【详解】因为等差数列 na的通项公式21nan，所以首项12 1 11a ，公差121 2(1)12nndaann.故选：D.5在等比数列 na中，23a，13nnaa，则数列 na的前 5 项和为（）A40 B80 C121 D242【答案】C【分析】先计算等比数列的首项和公比，再代入前 n 项和公式计算即可.【详解】因为23a，13nnaa 所以公比13nnaqa，首项21313aaq.则前 n 项和1(1)1(1 3)3111 32nnnnaqSq,所以数列 na的前 5 项和为55311212S

4、.故选：C.6已知圆222(0)23xyrr与 y轴相切，则r（）A2 B3 C2 D3【答案】C【分析】利用圆心23（，）到直线0 x 的距离等于半径求解即可.【详解】因为圆22223xyr与 y 轴相切，所以圆心23（，）到直线0 x 的距离等于半径,r 第 3 页 共 14 页 即2r，故选：C.7如图，在圆224xy上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D为垂足，当点 P在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹方程为（）A2214xy B22142xy C22143xy D2212xy【答案】A【分析】设(,)M x y，(PP x,)Py，利用M为线段PD的中点，得

5、到P点坐标与动点M坐标之间的关系，将P点坐标用M点坐标表示，然后代入圆的方程即可得到动点M的轨迹方程；【详解】设(,)M x y，(PP x,)Py，则(PD x,0)M为线段PD的中点，02PPxxyy，即Pxx，2Pyy 又点P在圆22:4O xy上，22(2)4xy，即2214xy 故点M的轨迹方程为2214xy 故选：A 8如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD为正方形，PA平面 ABCD，2ABAP，点 E，F分别是 PC，PD的中点，则点 C到平面 AEF 的距离为（）第 4 页 共 14 页 A22 B2 C32 D2【答案】B【分析】易证PD 平面 AEF，得到 PF

6、 为点 P 到平面 AEF 的距离，再根据 E 是 PC的中点，得到点C与点 P到平面 AEF 的距离相等求解.【详解】解：在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，所以CDAD，CDPA，又ADPAA，所以CD 平面 PAD，又PD 平面 PAD，所以CDPD，因为点 E，F 分别是 PC，PD 的中点，所以/CDEF，所以PDEF，又PAAD，则AFPD，且EFAFF，所以PD 平面 AEF，所以 PF 为点 P 到平面 AEF 的距离，又因为 E 是 PC 的中点，所以点 C 与点 P 到平面 AEF 的距离相等，即2PF，所以点 C 到平面 AEF的距离

7、为2，故选：B 9已知抛物线24yx与直线22yx相交于 A，B 两点，则线段 AB的长为（）A5 B10 C2 5 D5【答案】D【分析】将直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式即可求解.【详解】设11(,)A x y，22(,)B xy，联立方程组2422yxyx整理可得：2310 xx，则有12123,1xxx x，由弦长公式可得：2212114345ABkxx，故选：D.第 5 页 共 14 页 10已知数列 na满足121nan n，数列 na的前 n 项和为nT，若2419nnTnnR对任意*nN恒成立，则的取值范围是（）A,4 B,2 5 C,5 D,6【答案】C【分析】利用裂项

8、相消法求出2(1)nnTn，将不等式进行等价转化，然后利用基本不等式即可求解.【详解】因为11 11()2(1)21nan nnn，所以1231nnnTaaaaa 1111111111(1)22233411nnnn 2(1)nn，因为2419nnTnnR对任意*nN恒成立，也即24192(1)nnn对任意*nN恒成立，因为2419116116(1)2(2(1)2)52(1)2121nnnnnnn（当且仅当16(1)1nn，也即3n时等号成立）所以5，故选：C.二、填空题 11点1,2到直线3450 xy的距离为_【答案】2【分析】代入点到直线的距离公式即可求解.【详解】设点1,2到直线3450

9、 xy的距离为d，由点到直线的距离公式可得：223 85234d，故答案为：2.第 6 页 共 14 页 12 如图，点 M为四面体 OABC 的棱 BC 的中点，用OA，OB，OC表示AM，则AM _ 【答案】1122OAOBOC【分析】由向量的减法可得：AMOMOA，再利用OM为OBC的中线即可求解.【详解】连接OM，所以AMOMOA，又因为M为BC的中点，所以1()2OMOBOC，所以1122AMOAOBOC，故答案为：1122OAOBOC.13已知曲线 E的方程为214x xy，给出下列四个结论：若点,M x y是曲线 E上的点，则2x，yR；曲线 E 关于 x轴对称，且关于原点对称；

10、曲线 E 与 x 轴，y轴共有 4 个交点；曲线 E 与直线12yx只有 1 个交点 其中所有正确结论的序号是_【答案】【分析】由214x xy，分别得到214x xy ，214x xy 求解判断；设点,M x y是曲线E 上的点，分别得到点,M x y关于 x轴对称和原点对称的对称点，代入方程验证判断；由214x xy，分别令0 x，0y 求解判断；分0 x 和0 x，曲线方程与直线方程联立求解判断.【详解】若点,M x y是曲线 E上的点，由214x xy，得2104x xy ，即4x x，第 7 页 共 14 页 当0 x 时，02x，当0 x 时，成立，综上2x，而21R4x xy，则

11、Ry，故正确；设点,M x y是曲线 E上的点，点,M x y关于 x轴对称的对称点为,Mxy，因为214x xy，所以曲线 E 关于 x 轴对称，点,M x y关于原点对称的对称点为,Mxy，因为214x xy，所以曲线 E 不关于原点对称，故错误；由214x xy，令0 x，得21y，解得1y ，曲线 E 与 y 轴的交点为 0,1,0,1，令0y，得 4x x，解得 2x，曲线 E与 x轴的交点为 2,0，所以曲线 E与 x轴，y 轴共有 3 个交点，故错误；当0 x 时，由221412xyyx，解得222xy，所以曲线 E与直线曲线 E 与直线12yx的交点为22,2；当0 x 时，方

12、程组221412xyyx无解，则曲线 E 与直线12yx无交点，所以曲线 E与直线12yx只有 1 个交点，故正确，故答案为：三、双空题 14已知抛物线220 xpy p经过点2,2，则该抛物线的方程为_；准线方程为_【答案】22xy 12y 【分析】根据抛物线220 xpy p经过点2,2，代入求得 p 即可.【详解】解：因为抛物线220 xpy p经过点2,2，所以2222p，解得1p，所以该抛物线的方程为22xy；准线方程为12y ，故答案为：22xy，12y 第 8 页 共 14 页 15已知有穷数列 na的各项均不相等，将数列 na的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列 np，称

13、数列 np为数列 na的“序数列”例如，数列1a，2a，3a满足132aaa，则其“序数列”为 1，3，2设各项均不相等的数列 2，3 t，1t，5（tR）为数列 若0t，则数列 的“序数列”为_；若数列 的“序数列”为 3，4，1，2，则 t的取值范围为_【答案】4，2，1，3.(4,)【分析】根据“序数列”定义直接求解即可.【详解】因为0t，所以数列 为：2,3,1,5，由“序数列”定义可得：0t时，数列 的“序数列”为4，2，1，3.因为数列 的“序数列”为 3，4，1，2，而数列 为 2，3 t，1t，5，由“序数列”定义可得：1523tt ，解得：4t，所以t的取值范围为(4,)，故

14、答案为：4，2，1，3；(4,).四、解答题 16已知两点1,1A，1,1B，直线 l：10 xy (1)若直线1l经过点 A，且1ll，求直线1l的方程；(2)若圆心为 C的圆经过 A，B两点，且圆心 C 在直线 l上，求该圆的标准方程【答案】(1)0 xy(2)22(1)5xy 【分析】(1)根据直线1ll，设直线1l的方程为：0 xym，再利用直线过点，将点的坐标代入即可求出结果；(2)根据圆的性质可知：圆心必在弦的垂直平分线上，又因为圆心 C在直线 l上，联立两直线方程求出圆心坐标，再利用圆心到圆上一点的距离等于半径即可求出半径长，进而求得圆的标准方程.【详解】（1）因为直线1ll，直

15、线 l：10 xy，设直线1l的方程为：0 xym，因为直线1l经过点(1,1)A，所以1 10 m，解得：0m，第 9 页 共 14 页 所以直线1l的方程为：0 xy.（2）因为1,1A，1,1B，所以AB的中点(0,1)D，则AB的中垂线方程为：0 x，由圆的性质可得：圆心C在AB的中垂线上，又因为圆心 C在直线 l上，所以联立方程组：010 xxy，解得：(0,1)C，圆的半径1 45rCA，所以所求圆的标准方程为：22(1)5xy.17已知双曲线的顶点在 x 轴上，两顶点间的距离是 2，离心率2e(1)求双曲线的标准方程；(2)若抛物线220ypx p的焦点F与该双曲线的一个焦点相同

16、，点M为抛物线上一点，且3MF，求点 M 的坐标【答案】(1)2213yx (2)(1,2 2)或(1,2 2)【分析】(1)根据题意可知：1a，结合离心率得到2c，进而求出b即可求解；(2)结合（1）的结论，求出抛物线方程，利用抛物线的定义即可求解点 M 的坐标.【详解】（1）由题意可知：22a，则1a，又离心率2e，所以2c，则223bca，因为双曲线的顶点在 x轴上，也即焦点在 x轴上，所以双曲线方程为2213yx.（2）因为抛物线220ypx p的焦点(,0)2pF，且抛物线220ypx p的焦点 F 与该双曲线的一个焦点相同，所以22pc，则4p，所以抛物线方程为28yx，设点00(

17、,)M xy，由抛物线的定义可知：00232pMFxx，所以01x，又因为2008yx，所以02 2y ，第 10 页 共 14 页 故点M的坐标为(1,2 2)或(1,2 2).18在等比数列 na中，11a，公比2q，设32nnbna(1)求3a的值；(2)若 m 是3a和4b的等差中项，求 m 的值；(3)求数列 nb的前 n项和nS【答案】(1)4(2)11(3)23222nnn 【分析】（1）先求通项公式，再求3a的值；（2）先求nb的通项公式，可得3a和4b的值，从而可求 m 的值；（3）利用分租求和的方法，结合等差数列等比数列的求和公式求解即可.【详解】（1）因为等比数列 na中

18、，11a，公比2q，所以111331 2224nnnaa；（2）因为132322nnnbnan，所以4 1423 4128b，又因为34a，所以3a和4b的等差中项4 18112m；（3）因为1322nnbn，所以11 47321 224nnSn 22111 32332222212122nnnnnnnnn 19如图，在长方体1111ABCDABC D中，11ABAA，2AD，点 E 为11BC的中点 第 11 页 共 14 页 (1)求证：AE平面1CD E；(2)求平面1CD E与平面1111DCBA的夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)33 【分析】（1）证明一条直线垂直于平面只需证

19、明该直线垂直于平面内两条相交的直线即可；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积计算夹角的余弦值.【详解】（1）在AEC 中，22222221111113,2,AEAAA BB ECECCC E 2222225,ACABBCACAECEAECE；同理可证1AEED，CE 平面1CED，1ED 平面1CED，1CEEDE，AE 平面1CED；（2）以 A 为原点，AB为 x 轴，AD为 y 轴，1AA 为 z 轴，建立空间直角坐标系如下图：则有1,1,1E，由（1）的结论可知nAE 是平面1CED 的一个法向量 ，1,1,1n，显然0,0,1m 是平面1111DCBA 的一个法向量，设平面1C

20、ED与平面1111DCBA的夹角为，则3cos3n mn m；第 12 页 共 14 页 综上，平面1CED与平面1111DCBA的夹角的余弦值为33.20 已知椭圆 C：222210 xyabab的焦距为2 3，点31,2在椭圆 C上，点 B的坐标为1,0，点 O 为坐标原点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过4,0A 的直线 l交椭圆 C 于11,M x y，2212,N x yxx两点，判断ABM和OBN的大小，并说明理由【答案】(1)2214xy(2)ABMOBN，证明过程见详解 【分析】（1）根据题意，列出关于 a，b，c的方程组求解，即可得到椭圆的方程；（2）显然直线 l的斜率存

21、在，设直线 l的方程，再联立椭圆 C的方程，即可得到关于 x 的一元二次方程，再根据韦达定理求得12xx，12xx，再根据题意将比较ABM和OBN的大小转化为比较1k和2k的大小(1k为直线BM的斜率，2k为直线BN的斜率)，再用作差法得出21+kk与 0 的符号关系即可得出结论【详解】（1）依题意有2222222 31314cababc，解得222341cab，所以椭圆 C的标准方程为2214xy；（2）如图，显然直线 l的斜率存在，则可设直线 l的方程为4yk x，联立22414yk xxy，消 y 整理得222214326440kxk xk，则21223214kxxk，212264414

22、kxxk，设直线BM的斜率为1k，直线BN的斜率为2k，第 13 页 共 14 页 则比较ABM和OBN的大小，比较直线BM的倾斜角的补角和直线BN的倾斜角的大小，比较1k和2k的大小，则 2121142121212121444141+=111111k xk xk xxk xxyykkxxxxxx 2222222121222222121222644322582581288 16083214140644321644321411414kkxxxxkkkkkkkkkkxxxxkkkkk ，所以12kk，即ABMOBN 【点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：设出直线方程，设交点为11,A x

23、y，22,B xy；联立直线与曲线的方程，得到关于 x（或 y）的一元二次方程；写出韦达定理；将所求问题转化为12xx，12xx（或12yy，12yy）的形式；代入韦达定理求解 21 已知等差数列 na的第 2 项为 4，前 6 项的和为 42，数列 nb的前 n 项和为nT，且23nnnTba (1)求数列 na的通项公式；(2)求证：数列1nb 是等比数列，并求数列 nb的通项公式；(3)设1,141,21nnnncnba，求证：12512nccc【答案】(1)2nan(2)证明见解析，=31nnb(3)见解析 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差进行求解，（2）根据前

24、 n 项和为nT与nb的关系即可得1131nnbb，进而可证其为等比数列，即可求解通项，第 14 页 共 14 页（3）2n时，11322=3nnncn，根据等比求和公式即可证明.【详解】（1）设 na的首项和公差分别为1,a d，由题意可知114,61542adad，解得12,2ad，故2122nann（2）由23nnnTba得：当2n时，11123nnnTba，故得 1111223323nnnnnnnnTTbababb，因此1131nnbb 故1131nnbb，因此1nb 是等比数列，且公比为3，在23nnnTba取1n，则12b，所以1nb 的首项为113b ，因此11=3 3=3nnnb，进而=31nnb，（3）由1,141,21nnnncnba得1,141,2322nnncnn，当2n时，11322=3nnncn，所以当1n 时，115412c显然成立，当2n时，2112321111511514334122312311311133nnnnccc，故得证.