2022-2023学年河南省郑州市第四高级中学高一上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 16 页 2022-2023 学年河南省郑州市第四高级中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 1命题“x R，212xx”的否定是（）Ax R，212xx Bx R，212xx Cx R，212xx Dx R，212xx 【答案】C【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果.【详解】原命题的否定为x R，212xx.故选：C.2函数 021f xxxx的定义域为（）A0,2 B1,2 C 0,11,2 D 0,11,2【答案】C【分析】利用具体函数定义域的求法，结合指数幂的性质求解即可.【详解】因为 021f xxxx，所以2010 xxx，解得021xx，故01x或12x

2、，所以 f x的定义域为：0,11,2.故选：C.3下列命题为假命题的是（）A若ab，则acbc B若0ab，0cd，则0acbd C若0ab，则2aab D若ab，cd，则acbd【答案】D【分析】对于 ABC，利用不等式的性质即可判断其命题为真；对于 D，举反例即可判断其命题为假，由此解答即可.【详解】对于 A，因为ab，所以 acbc ，即acbc，则选项 A 中命题为真，故 A错误；对于 B，因为0ab，0cd，所以由不等式的性质得0acbd，则选项 B 中命题为真，故 B 错误；第 2 页 共 16 页 对于 C，因为0ab，则0a，所以2aab，则选项 C 中命题为真，故 C 错误

3、；对于 D，令1,0,1,0abcd，则ab，cd，但0acbd，故选项 D 中命题为假，故 D正确.故选：D.4已知角的终边经过点1,2P，则cos的值为（）A55 B55 C2 55 D2 55【答案】A【分析】先根据角的终边，可求出cos，再利用诱导公式化简求解出结果.【详解】由角的终边经过点1,2P，利用三角函数的定义求出 2215cos5(1)2 ，所以5coscos5，故选：A 5已知32log 2 2a，0.010.3b，2log2c，则 a，b，c的大小关系为（）Aabc Bbac Ccab Dacb【答案】B【分析】结合指数函数、对数函数性质可大致判断1,2,0,1,ab2c

4、，进而比大小.【详解】因为332log 2 2log 8a，3331log 3 01efe，排除 B 选项.故选：A 7已知0,，0,，3sin4，tan5tan，则（）A16 B116 C76 D56【答案】D【分析】利用正弦函数的和差公式与三角函数的商数关系得到关于sincos,cossin的方程组，进而结合三角函数的正负情况求得的取值范围，再次利用正弦函数的和差公式求得sin第 4 页 共 16 页 的值，由此得到的值.【详解】因为3sin4，所以3sincoscossin4，又因为tan5tan，即tan5tan，则sinsin5coscos ，故sincos5cossin0，联立3s

5、incoscossin4sincos5cossin0，解得5sincos81cossin8，因为0,，0,，所以sin0,sin0，又5sincos08，1cossin08，所以cos0，cos0，所以,2，0,2，则322，因为511sinsincoscossin882，所以56.故选：D.8牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T，则经过一定时间 t分钟后的温度 T 满足012thaaTTTT，h称为半衰期，其中aT是环境温度若25aT，现有一杯 80的热水降至 75大约用时 1 分钟，那么水温从 75降至 45，大约还需要（参考数据：lg20.30，lg111

6、.04）（）A9 分钟 B10 分钟 C11 分钟 D12 分钟【答案】B【分析】根据已知条件代入公式计算可得1110211h，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.【详解】解：由题意，25aT，由一杯 80的热水降至 75大约用时 1 分钟，可得11752580252h，所以11501025511h，第 5 页 共 16 页 又水温从 75降至 45，所以1452575252th，即12022505th，所以11110222115ttthh，所以10112lg22lg2120.3 15log101051lg111 1.04lg11t，所以水温从 75降至 45，大约还需要 10

7、 分钟.故选：B.二、多选题 9当0,1x时，幂函数ayx的图像在直线yx的上方，则a的值可能为（）A13 B2 C2 D3【答案】AB【分析】由题意，转化为当01x时，axx恒成立，解不等式即可【详解】解：由题意，转化为当01x时，axx恒成立，两边取对数得lglgaxx，由01x得lg0 x，1a，故选：AB.10已知0,，1sincos5，则下列结论正确的是（）A12sincos25 B,2 C7sincos5 D4tan3 【答案】ABD【分析】对于 AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求，从而得以判断；对于 B，结合选项 A 中结论，判断得cos0，从而求得的取值范

8、围，由此判断即可；对于 D，利用选项 C 中的结论求得sin,cos，进而求得tan，据此解答即可.【详解】对于 A，因为1sincos5，第 6 页 共 16 页 所以2221sincossin2sincoscos12sincos25，所以12sincos25，故 A 正确；对于 B，由选项 A 知12sincos025，因为0,，所以sin0，故cos0，所以2，即,2，故 B 正确；对于 C，由选项 B 可知，sin0，cos0，所以sincos0，因为2221249sincossin2sincoscos122525 ，所以7sincos5，故 C 错误；对于 D，因为1sincos5，

9、7sincos5，所以43sin,cos55，故sin4tancos3，故 D 正确.故选：ABD.11已知 yf x是定义域为 R 的奇函数，且1yf x为偶函数当 0,1x时，22log22xf xax，下列结论正确的是（）A1a B1322ff C 30f D 12320231ffff【答案】BC【分析】对于 A，利用 f x的奇偶性得到 00f，代入 f x即可求得1a，由此判断即可；对于 BC，利用1f x的奇偶性与换元法得到 2ftf t，进而得到 2f tf t，从而利用赋值法即可得解；对于 D，由选项 BC 中的结论可推得 f x是周期函数，进而推得 0f n，从而得以判断.【

10、详解】对于 A，因为 yf x是定义域为 R 的奇函数，所以 00f，又因为当 0,1x时，22log22xf xax，所以022log2 020a，解得1a，所以1a，22log22xf xx，故 A 错误；第 7 页 共 16 页 对于 B，因为1yf x为偶函数，所以11fxf x，令1xt ，则1xt，所以 2ftf t，令12t ，则1132222fff，故 B 正确；对于 C，因为 ftf t，所以 2f tf t，令1t，则 12log2 1 2220312ff ，故 C 正确；对于 D，因为 2f tf t，所以 42f tf tf t，所以 f x是4T 的周期函数，则 40

11、0ff，令0t，则由 2f tf t 得 200ff，故 12340ffff，所以由 f x的周期性可知 0f n，Zn，所以 12320230ffff，故 D 错误.故选：BC.12已知函数 2ln11f xxxx.则下列说法正确的是（）A1lg3lg23ff B函数 f x的图象关于点0,1对称 C函数 f x在定义域上单调递减 D若实数 a，b满足 2f af b，则0ab【答案】ABD【分析】利用函数解析式，求解可得1lg3lg23ff，即可判断 A，利用 2fxf x可判断 B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断 C，根据函数的单调性和对称中心可判断 D.【详解】对于 A 选项

12、，对任意的xR，210 xxxx，所以函数 2ln11f xxxx 的定义域为R，又因为22()()ln(1)()1ln(1)1fxf xxxxxxx 22ln(1)22xx，所以1lg3lglg3lg323ffff，故 A 正确；第 8 页 共 16 页 对于 B 选项，因为函数 f x满足 2fxf x，故函数 f x的图象关于点0,1对称，故 B 正确；对于 C 选项，对于函数 2ln1h xxx，该函数的定义域为R，2222ln1ln1ln10hxh xxxxxxx ，即 hxh x，所以函数 h x为奇函数，当0 x 时，内层函数21uxx 为增函数，外层函数lnyu为增函数，所以函

13、数 h x在0,上为增函数，故函数 h x在,0上也为增函数，因为函数 h x在R上连续，故函数 h x在R上为增函数，又因为函数1yx在R上为增函数，故函数 f x在R上为增函数，故 C 不正确；对于 D 选项，因为实数 a，b满足 2f af b，则 2f af bfb，可得ab，即0ab，故 D 正确.故选：ABD.三、填空题 13已知扇形的圆心角为150，半径为 3，则扇形的面积是_【答案】154【分析】根据扇形的面积公式求解即可【详解】由题意得扇形圆心角的弧度数为56，所以扇形的面积为215153264S 故答案为154【点睛】利用公式212Sr求扇形的面积时，要注意式中的圆心角的单

14、位是弧度，这是解题中容易出现错误的地方，属于简单题 14已知 elg5xfx，则 1eff_.【答案】lg5【分析】分别令e1x和 e，求出对应的x，然后代入求 1ffe即可.【详解】令e1x，则0 x，令eex，则1x，所以 1e0 lg5 1 lg5lg5ff .第 9 页 共 16 页 故答案为：lg5.15已知2:8150p xx，:250qxmxm，其中0m.若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_.【答案】312m【分析】解出,p q的范围，并设|Ax xp、|Bx xq，根据q是p的必要不充分条件，得出AB，根据集合包含关系即可得出.【详解】解28150 xx可得35x，

15、即:35px，因为0m，所以52mm，解250 xmxm可得25mxm，即:25qmxm.设|35Ax xpxx，|25,0Bx xqxmxm m，因为若q是p的必要不充分条件，所以AB，所以有2355mm，且不能同时取等号，所以312m.故答案为：312m.16设函数 sinf xx，其中0 302f，且2063ff，则的最小值为_【答案】43#113【分析】先由 302f得到12 3k或122 3k，又由2063ff得到 f x关于,04对称，从而得到24k，分类讨论的取值情况，结合12,k k的取值范围即可求得的最小值.【详解】因为 sinf xx，302f，所以3sin2，则12 3k

16、或122 3k，1kZ，因为2063ff，且226324，若要使最小，则结合正弦函数的对称性可知 f x关于,04对称，所以sin04，则24k，2kZ，第 10 页 共 16 页 当12 3k时，122 43kk，则211243kk，其中1kZ，2kZ，因为0，所以211203kk，则21123kk，又212Zkk，所以21min21kk，则21minmin122433kk，故min83；当122 3k时，1222 43kk，则212243kk，其中1kZ，2kZ，因为0，所以212203kk，则21223kk，又212Zkk，所以21min21kk，则21minmin212433kk，故m

17、in43；综上：min43.故答案为：43.【点睛】关键点睛：本题通过3sin2，则12 3k或122 3k，1kZ，再利用2063ff得到函数关于,04对称，从而将点代入函数解析式得sin04，则得到24k，2kZ，最后对12 3k或122 3k，1kZ分类讨论即可.四、解答题 17已知全集U R，集合R5321Axx，集合2R log21Bxx.(1)求AB，AB；(2)求RBA.【答案】(1)01ABxx，12ABxx；(2)R2BAx x或1x 【分析】（1）由对数函数单调性解不等式得集合 B，根据集合的交集、并集运算求解；（2）根据补集运算、并集运算求解即可.【详解】（1）由题意得，

18、11Axx，不等式2log2102202xxx，可得02Bxx，01ABxx，12ABxx；第 11 页 共 16 页（2）由（1）知，R0Bx x或2x R2BAx x或1x.18已知22mn(1)当0m，0n 时，求12mn的最小值；(2)当1m ，0n 时，求121mn的最小值【答案】(1)92(2)3 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】（1）因为0m，0n，22mn，则1212mn，所以21121225121292222252mnnnmnmmnmnmmn，当且仅当22nmmn且22mn，即23mn时，等号成立，所以1922mn，故12mn的最小值为92.（2）因为1m

19、 ，0n，22mn，则11213mn，10m，所以1111 2321125131221mnnmmnmnmn 212521133mnmn，当且仅当2121mnmn且22mn，即0,1mn时，等号成立，所以3121mn，故121mn的最小值为3.19设 log2log4aaf xxx（0a，且1a）.(1)若 23f，求实数a的值及函数 f x的定义域；(2)求函数 f x的值域.【答案】(1)2a，2,4(2)当1a 时，函数 f x的值域为,2log 3a，当01a时，函数 f x的值域为2log 3,a.第 12 页 共 16 页【分析】（1）根据 23f求得a，根据函数定义域的求法求得 f

20、 x的定义域.（2）先求得 f x的定义域，结合二次函数的知识求得 f x的值域.【详解】（1）因为 log2log40,1aaf xxxaa，且 23f，所以 2log 4log 23log 23aaaf，解得2a，所以 22log2log4f xxx的定义域需满足2040 xx，解得24 x，即函数 f x的定义域为2,4.（2）22log2log4log28log19aaaaf xxxxxx，由24 x，根据二次函数的性质可得20199x，当1a 时，logayx在0,上递增，函数 f x的值域为,2log 3a，当01a时，logayx在0,上递减，函数 f x的值域为2log 3,a

21、.20已知221sincossin222(1)求2sin 2cos2的值；(2)已知0,，,2，26tantan10，求的值【答案】(1)1(2)54 【分析】（1）利用正余弦函数的倍角公式与三角函数的商数关系，结合齐次式法即可得解；（2）先解二次方程，结合的取值范围求得tan，再结合（1）中结论求得的取值范围，从而利用正切函数的和差公式即可求得的值【详解】（1）因为221sincossincos222，易知cos0，所以sintan2cos，所以222sin 2cos24sincoscossin22224sincoscossinsincos 22224tan1tan4 2 121tan121

22、 .（2）因为26tantan10，第 13 页 共 16 页 所以3tan1 2tan10，解得1tan3 或1tan2，因为,2，所以1tan3，又因为tan20，0,，所以0,2，故 3,22，因为12tantan3tan111tantan1 23 ，所以54.21函数 22sin 22sincos2sin14fxxxxx，xR(1)把 f x的解析式改写为 sinf xAx（0A，0）的形式；(2)求 f x的最小正周期，并求 f x在区间110,24上的最大值和最小值；(3)把 yf x图像上所有的点的横坐标变为原来的 2 倍得到函数 yg x的图像，再把函数 yg x图像上所有的点

23、向右平移4个单位长度，得到函数 yh x的图像，若函数 2yh x在区间0,m上至少有 30 个零点，求 m 的最小值【答案】(1)2 2sin 24fxx(2)最小正周期为，f x的最大值为2 2，最小值为2.(3)893 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式整理即可；（2）根据（1），结合公式求解最小正周期，利用整体代换法求解值域；（3）由题知 22 2cos2yh xx，进而解函数零点得52,Z3xkk或2,Z3xkk，再根据周期性求解即可.【详解】（1）解：22sin 22sincos2sin14fxxxxx 2sin 2sin2cos24xxx2sin 22sin 244xx 2

24、 2sin 24x（2）解：由（1）知 2 2sin 24fxx，第 14 页 共 16 页 所以，f x的最小正周期22T，因为110,24x，所以 22,443x，所以sinsin 2sin442x，即2sin 2124x，所以22 2sin 22 24x 所以，当242x，即38x 时，f x取得最大值2 2；当244x，即0 x 时，f x取得最小值2；（3）解：由题知 2 2sin4yg xx，2 2sin2 2 cos2yh xxx，所以函数 22 2cos2yh xx 所以，令 22 2cos20yh xx，即1cos2x，所以52,Z3xkk或2,Z3xkk，因为函数 2yh

25、x在区间0,m上至少有 30 个零点，且周期为2 所以5892 1433m，即 m的最小值为893.22设aR，已知函数 22xxaf xa为奇函数.(1)求实数a的值；(2)若a0，判断并证明函数 f x的单调性；(3)在（2）的条件下，函数 f x在区间,m nmn上的值域是2,2mnkkkR，求k的取值范围.【答案】(1)1或 1(2)f x在R上单调递增，证明见解析(3)0,32 2 【分析】（1）直接根据奇函数定义 fxf x，代入解析式即可求出参数a的值；（2）由（1）知，当a0时，得1a，代入解析式中，利用单调性的定义即可证明函数的单调性；第 15 页 共 16 页（3）首先根据

26、函数单调性可得 2,2,mnf mkf nk，即212,21212,21mmmnnnkk，令20 xt，将原问题转化为2110ktkt 在0,上有两个不同实根，然后根据二次函数根的分布与系数关系求解参数的取值范围即可.【详解】（1）由函数 f x为奇函数，有 0fxf x，有1220122xxxxaaaa，有1122022xxxxaaaa，有221212022xxxxaaaaaa，有21a，得1a.当1a 时，2121xxfx，定义域为,00,，1112211212xxxxfxfx，符合题意；当1a 时，2121xxf x，定义域为R，1112211212xxxxfxfx，符合题意.由上知1a

27、 或 1；（2）当a0时，有1a，即 f x定义域为R，结论为：f x在R上单调递增.设R上任意两个实数1x，2x，且12xx.1221121212121212212121212 222121212121212121xxxxxxxxxxxxxxfxfx，而21220 xx，1210 x，2210 x，12122202121xxxx，即 12f xf x得证，则 f x在R上单调递增；（3）由mn知22mn，由2,2mnkkkR知22mnkk，所以0k，由（2）知 f x在R上单调递增，结合题意有 2,2,mnf mkf nk 第 16 页 共 16 页 得212,21212,21mmmnnnkk，即 m，n 是21221xxxk的两个不同实根，令20 xt，则2110ktkt 在0,上有两个不同实根，有2121 20,140,10,10,kkkkttkt tk 可得032 2k，故实数k的取值范围为0,32 2.