2021-2022学年江苏省镇江中学高二下学期期中数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 17 页 2021-2022 学年江苏省镇江中学高二下学期期中数学试题 一、单选题 1设直线l的一个方向向量6,2,3d，平面的一个法向量1,3,0n ，则直线l与平面的位置关系是.A垂直 B平行 C直线l在平面内 D直线l在平面内或平行【答案】D【详解】直线l的一个方向向量6,2,3d，平面的一个法向量1,3,0n 6(1)2 33 00d n 直线l在平面内或平行 故选 D.2已知 X 的分布列为：X-1 0 1 P 12 16 a 设 Y=2X+1，则 Y 的数学期望 E(Y)的值是()A16 B16 C23 D23【答案】C【分析】根据分布列的性质及数学期望的运算公式及

2、性质求解.【详解】由已知得 1111111,21263236aaE XE YE X ，23E Y.故选：C.3北斗导航系统由 55 颗卫星组成，于 2020 年 6 月 23 日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（）第 2 页 共 17 页 A1021 B1121 C1142 D521【答案】B【分析】根据古典概型计算公式，结合组合的定义、对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】因为玉衡和天

3、权都没有被选中的概率为25271021CPC，所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为101112121.故选：B.4将一枚骰子连续抛两次，得到正面朝上的点数分别为x、y，记事件 A 为“xy为偶数”，事件 B 为“7xy”，则(|)P B A的值为（）A13 B12 C59 D79【答案】B【分析】利用条件概率的公式求解即可.【详解】根据题意可知，若事件A为“xy为偶数”发生，则x、y两个数均为奇数或均为偶数，其中基本事件数为 1,1，1,3，1,5，2,2，2,4，2,6，3,1，3,3，3,5，4,2，4,4，4,6，5,1，5,3，5,5，6,2，6,4，6,6，一共18个基本事件，181

4、362P A,而 A、B同时发生，基本事件有当一共有 9 个基本事件，91()364P AB，则在事件 A发生的情况下，B发生的概率为 114122P ABP B AP A,故选:B.5五行是中国古代的一种物质观.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行指代：金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，且“木、土”不相邻排法的种数（）A72 B48 C36 D24【答案】A 第 3 页 共 17 页【分析】根据不相邻问题用插空法可以得到符合题意的共有323472A A 种排法【详解】由题意先将“金、水、火”三种不同属性的物质任意排成一列，共有336A 种排法，此时共有四个位置可以插放“木

5、、土”所以“木、土”不能相邻的排法共有323472A A 种排法，故选：A 6曲线()yf x在1x 处的切线如图所示，则(1)(1)ff（）A0 B1 C1 D12【答案】C【解析】由图示求出直线方程，然后求出1(1)=2f，1(1)=2f，即可求解.【详解】由直线经过0-1，2,0，可求出直线方程为：220 xy()yf x在1x 处的切线 21(1)=22xf，1(1)=2f 11(1)(1)122ff 故选：C【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在00(,)P xy出的切线：00(,)P xy为切点，直接写出切线方程：000()()yyfxxx；(2)过00(,)P xy出的切线：

6、00(,)P xy不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标 11,x y，再写出切线方程：111()()yyfxxx.7在2391(1)(1)(1)xxxx的展开式中，2x的系数等于 A280 B300 C210 D120【答案】D 第 4 页 共 17 页【分析】根据二项式定理，把每一项里2x的系数单独写下来，然后相加，再根据组合数性质11mmmnnnCC C，化简求值【详解】解：在239(1)(1)(1)(1)xxxx的展开式中，2x项的系数为22222349C C CC32223349C C CC322449C CC 3239910120C C C故选 D【点睛】本题主要考查二项式定

7、理展开以及利用组合数性质进行化简求值 8已知可导函数 f（x）的导函数为()fx，f（0）=2022，若对任意的xR，都有 f xfx，则不等式 2022exf x 的解集为（）A0,B22022,e C22022,e D,0【答案】D【分析】根据题意，构造函数 xfxg x e，求导可知 g x在xR上单调递增，利用单调性求解即可.【详解】令 ,exf xg x 对任意的xR，都有 ,0exfxfxfxfxgx，g x在xR上单调递增，又 02022,02022,2022e0 xfgf xg xg，0,x 不等式 2022exf x 的解集,0，故选：D.二、多选题 9关于二项式52xx的展

8、开式，下列选项正确的有（）A总共有 6 项 B存在常数项 C2x项的系数是 40 D各项的系数之和为 243【答案】ACD【分析】由题意利用二项式定理，二项式展开式的通项公式，得出结论【详解】解：关于二项式52()xx，它的展开式共计有 6 项，故 A 正确；由于它的通项公式为535215522rrrrrrrTxCxCx，令3502r，求得310r，无非负整数解，故不存在常数项，故 B 错误；第 5 页 共 17 页 令3522r，即36r，解得2r，可得2x项的系数是225240C，故 C 正确；令1x，可得各项的系数之和为53243，故 D 正确，故选：ACD 10已知函数 31423f

9、xxx，下列说法中正确的有（）A函数 f x的极大值为223，极小值为103 B若函数 f x在2,a上单调递减，则22a C当3,4x时，函数 f x的最大值为223，最小值为103 D若方程 0f xc 有 3 个不同的解，则102233c【答案】ABD【分析】可以通过求导，来分析函数的单调性，及极值，最值，进而得出结论.【详解】f x的定义域为2()4,fxxR 令()=0fx，得2x 或 2，所以 f x在(,2),(2,)单调递增，在(2,2)上单调递减，故 B 正确，()f x极大值3122(2)(2)4(2)2=33f ，()f x极小值3110(2)24 22=33f ，故 A

10、 正确，方程 0f xc 有 3 个不同的解，则102233c，D 正确，331122(3)34 321,(4)44 42333ff ，当3,4x时，函数 f x的最大值为223，最小值为1，故 C 不正确，故选：ABD 11如图，在平行六面体1111ABCDABC D中，以顶点 A 为端点的三条棱长都是 1，且它们彼此的夹角都是 60，M 为11AC与11B D的交点，若1,ABAbcaDAA，则下列正确的是（）第 6 页 共 17 页 A1122BMabc B1ACabc C1AC的长为5 D16cos,3AB AC【答案】BD【分析】AB 选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C 选项

11、，在 B 选项的基础上，平方后计算出216AC，从而求出16AC；D 选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.【详解】根据题意，依次分析选项：对于 A 选项，111111222BMBBB MAABABCbac，A 错误，对于 B 选项，11ACABADCCabc，B 正确：对于 C 选项，1ACabc，则222221()2226ACabcabca ba cb c，则16AC，C 错误：对于212AB ACaabcaa ba c，则1116cos,3AB ACAB ACABAC，D正确.故选：BD.12将 4 个编号分别为 1，2，3，4 的小球放入 4 个编号分别为 1，2，3，4 的盒子中.下

12、列说法正确的是（）A共有44A24种放法 B每个盒子都有球，有44A24种放法 C恰好有一个空盒，有213443C C A144种放法 第 7 页 共 17 页 D每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有1343C A24种放法【答案】BC【分析】根据每个选项的要求不同，分步讨论，结合排列组合的计算方法，即可得出答案.【详解】解：对于 A，将 4 个编号分别为 1，2，3，4 的小球放入 4 个编号分别为1,2,3，4 的盒子中，每个小球有 4 种放法，则 4 个小球有44256种放法，故A错误；对于 B，每个盒子都有球，有44A24种放法，故 B 正确；对于 C，恰好有一

13、个空盒，分 2 步进行分析：在 4 个球中任选 2 个，放入 1 个盒子中，有2144C C24种放法，在剩下的 3 个盒子中，任选 2 个，放入剩下 2 个两个小球，有23A6种放法，则有624144种放法，故 C 正确；对于 D，每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，分 2 步进行分析：在 4 个小球中任选 1 个，放入编号相同的盒子中，有14C4种放法，剩下 3 个小球放入编号不同的盒子中，有 2 种放法，则有4 28 种不同的放法，故 D 错误.故选：BC.三、填空题 13曲线sin xyx在点 M(，0)处的切线方程为_【答案】1()yx 【分析】由题意可得2co

14、ssinx xxyx，据此可得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.【详解】由函数的解析式可得：2cossinx xxyx，所求切线的斜率为：2cossin1xky，由于切点坐标为,0，故切线方程为：1yx.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式由外向内逐层求导，其导数为两层导第 8 页 共 17 页 数之积.14中国传

15、统文化博大精深，民间高人更是不计其数，为推动湘西体育武术事业发展，加强全名搏击健身热度，让搏击这项运动融入人们的生活，“2021年中国湘西边城全国拳王争霸赛”于5月2 3日在花垣县体育馆举行，某武术协会通过考核的方式从小郑、小汤、小王三人通过考核的概率分别为23、34、45，且三人是否通过考核相互独立，那么这三人中仅有两人通过考核的概率为_.【答案】1330【分析】利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设小郑、小汤、小王三人通过考核分别为事件A、B、C，设这三人中仅有两人通过考核为事件Q，依题意 23P A，34P B，45P C，所以 13P A，14P B，15P

16、C，所以，2312141341334534534530P QP ABCP ABCP ABC.故答案为：1330.15设aZ，且013a，若200251a能被 13 整除，则 a=_.【答案】12【分析】直接利用二项式定理求解即可.【详解】由已知得202251a 1202202022020211020222022202220222022(52 1)C52(1)C52(1)C52(1)aa 020221201112202020212022202220222022C52C52(1)52C521Ca 即202251a被 13 整除的余数为1 a，而aZ，且013a，若202251a能被 13 整除，则

17、113a，即12a，故答案为：12.四、双空题 16定义方程 f xfx的实数根0 x叫做函数 f x的“新驻点”（1）设 sinf xx，则 f x在0,上的“新驻点”为_（2）如果函数 ln1g xx与 xh xxe的“新驻点”分别为、，那么和的大小关系是_ 第 9 页 共 17 页【答案】4 【解析】（1）求得方程 f xfx在0,x上的根即可得解；（2）利用零点存在定理可求得所在区间，并求出的值，进而可得出与的大小关系.【详解】（1）sinf xx，cosfxx，令 f xfx，即sincosxx，得tan1x，0,x，解得4x，所以，函数 yf x在0,上的“新驻点”为4；（2）ln

18、1g xx，xh xxe，则 11gxx，1xh xe，令 1ln11xxx，则 211011xxx对任意的1,x 恒成立，所以，函数 1ln11xxx在定义域1,上为增函数，010 ，11ln2ln2ln02e，由零点存在可得0,1，令 h xh x，可得1x，即1，所以，.故答案为：（1）4；（2）.【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查了零点存在定理的应用，属于中等题.五、解答题 17已知12nxnNx的展开式的二项式系数和为 64.(1)求 n的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项.【答案】(1)6(2)32160 x【分析】（1）利用二项式系数的性质求解即可；（2）由（1）求出6n

19、，根据展开式中间项的二项式系数最大，即可知道二项式系数最大的项为4T，即可求解.【详解】(1)由题意*12nxnNx的展开式的二项式系数和为 64，即264n，解得6n；(2)因为6n，根据展开式中间项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为4T，第 10 页 共 17 页 即33332461C(2)160Txxx.18某传统文化学习小组有 10 名同学，其中男生 5 名，女生 5 名，现要从中选取 4 人参加学校举行的汇报展示活动(1)如果 4 人中男生、女生各 2 人，有多少种选法？(2)如果男生甲与女生乙至少有 1 人参加，有多少种选法？(3)如果 4 人中既有男生又有女生，有多少种选

20、法？【答案】(1)100(2)140(3)200【分析】（1）由组合知识结合分步乘法计数原理求解即可；（2）先计算 10 人中选取 4 人的选法，从中除去男生甲与女生乙都不参加的选法即可；（3）先计算 10 人中选取 4 人的选法，从中除去 4 人全是男生和 4 人全是女生的选法即可.【详解】(1)第一步，从 5 名男生中选 2 人，有25C种选法；第二步，从 5 名女生中选 2人，有25C种选法 根据分步乘法计数原理，共有2255C C100种选法(2)从 10 人中选取 4 人，有410C种选法；男生甲与女生乙都不参加，有48C种选法所以男生甲与女生乙至少有 1 人参加，共有44108CC

21、140种选法(3)从 10 人中选取 4 人，有410C种选法；4 人全是男生，有45C种选法；4 人全是女生，有45C种选法 所以 4 人中既有男生又有女生，共有4441055CCC200种选法 19如图，四棱锥 P-ABCD中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，12ABBCAD，BAD=ABC=90，E是 PD 的中点.第 11 页 共 17 页 (1)证明：直线 CE平面 PAB；(2)点 M在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45，求二面角 M-AB-D的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)105【分析】（1）取 PA的中点为 F，连接 EF，BF

22、，证得 CE/BF，进而线面平行得判定定理即可得出结论；（2）法一：取 AD 的中点 O连接 PO，CO，证得PCO为直线PC与平面ABCD所成角，解三角形求出3PCO，作NQAB于Q，连接MQ证得MQN为二面角MABD的平面角，求出 MQN的余弦值即可.法二：建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,6,2)m，0,0,1n，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角MABD的余弦值为105【详解】(1)证明：取PA的中点F，连结,EF BFE是PD的中点，/EFAD，11,90,/,/,22EFADABBCADBADABCBCAD EFBC EFBC四边形BCEF是平行四边形，/,CEBF

23、BF平面,PAB CE 平面PAB，直线CE/平面PAB.(2)法一：四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，1,90,2ABBCADBADABCE是PD的中点.取AD的中点,O M在底面ABCD上的射影N在OC上，设2AD，则1,3,60ABBCOPPCO，直线BM与底面ABCD所成角为45，可得：3,13BNMN CNMN BC，可得：22113BNBN，66,22BNMN，作NQAB于Q，连接,MQ ABMN，第 12 页 共 17 页 所以MQN就是二面角MABD的平面角，22610122MQ，二面角MABD的余弦值为：110.5102 法二：由已知得BAAD,

24、以A为坐标原点，AB的方向为 x 轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则 则0 0 0A，1 0 0B，11 0C，0 13P，103PC，,10 0AB，则 1,13BMxyzPMxyz，因为 BM与底面 ABCD 所成的角为 45，而0 01n，是底面 ABCD的法向量，所以 cos,sin45BM n，222z221xyz 即22210 xyz 第 13 页 共 17 页 又M在棱PC上,设,PMPC则 x,1,33yz 由，得2=1+2=162xyz（舍去）或2=12=162xyz 所以261,1,22M，从而261,1,22AM 设000,mxy z是平面

25、ABM 的法向量，则 000022260000 xyzm AMm ABx即 所以可取(0,6,2)m.于是10cos,5mnm nm n 因此二面角 M-AB-D 的余弦值为105.20已知23nnCC，且230123(12)nnxaa xa xa xa.(1)求 0102030naaaaaaaa；(2)求122222nnaaa的值；(3)求12323naaana的值.【答案】(1)3(2)1(3)10【分析】（1）由23nnCC，可得5n，得到52345012345(12)xaa xa xa xa xa x，再分别令0 x，1x，即可求出答案.（2）令12x，即可得出答案.（3）两边对523

26、45012345(12)xaa xa xa xa xa x中关于x的函数求导可得 4234123455(1 2)22345xaa xa xa xa x，再令1x，即可求出答案.【详解】(1)因为235nnCCn，则52345012345(12)xaa xa xa xa xa x 令001xa，令01234511xaaaaaa 第 14 页 共 17 页 则 01020303naaaaaaaa.(2)令12x，则5512120252501222222aaaaaaa.(3)两边对52345012345(12)xaa xa xa xa xa x中关于x的函数求导 4234123455(1 2)223

27、45xaa xa xa xa x再令1x 可得1232310naaana.21“学习强国”学习平台软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块，还有“四人赛”“双人对战”两个比赛模块.“四人赛”积分规则为首局第一名积 3 分，第二、三名积 2 分，第四名积 1 分；第二局第一名积 2 分，其余名次积 1 分；每日仅前两局得分.“双人对战”积分规则为第一局获胜积 2 分，失败积 1 分，每日仅第一局得分.某人在一天的学习过程中，完成“四人赛”和“双人对战”.已知该人参与“四人赛”获得每种名次的概率均为14，参与“双人对战”获胜的概

28、率为23，且每次答题相互独立.(1)求该人在一天的“四人赛”中积 4 分的概率；(2)设该人在一天的“四人赛”和“双人对战”中累计积分为，求的分布列和 E.【答案】(1)516(2)分布列见解析，5912【分析】（1）根据已知条件，将原事件分为第一局拿 3 分，第二局拿 1 分和第一局拿 2分，第二局拿 2 分，分别求出两个事件的概率，并对两个概率相加，即可求解（2）由题意可得取值可能为 3，4，5，6，7，分别求出对应的概率，即可得分布列，再结合期望公式，即可求解【详解】(1)解：依题意可知，若该人积分为 4 分，则在“四人赛”中首局积 3 分，第二局积 1 分，或者首局积 2 分，第二局积

29、 2 分，所以13115442416P.(2)解：由题意知，的可能取值为 3，4，5，6，7，1311344316P，132131111344432444348P，1311113112195442432444348P，111131121164434424348P，第 15 页 共 17 页 1121744324P.故的分布列为：3 4 5 6 7 P 116 1348 1948 1148 124 所以 113191115934567164848482412E.22设函数 1,xf xaexaR.（1）当1a 时，求 f x的单调区间；（2）当0,x时，0f x 恒成立，求a的取值范围；（3）求

30、证：当0,x时，1ln2xexx.【答案】（1）f x的单调递减区间为,0；f x的单调递增区间为0,；（2）1,；（3）见解析【详解】试题分析：（1）直接对函数 1xf xex 求导得 1xfxe，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；（2）先将不等式 0f x 中参数分离分离出来可得：1exxa，再构造函数 1xxg xe，0,x，求导得 xxgxe，借助0 x，推得 0 xxgxe，从而 g x在0,上单调递减，01g xg，进而求得1a；（3）先将不等式1ln2xexx等价转化为210 xxexe，再构造函数 21,0,xxh xexex，求导可得 2212xxxhx

31、ee，由（2）知0,x时，10 xex 恒成立，所以2102xxe ，即 22102xxxhxee恒成立，故 h x在0,上单调递增，所以 00h xh，因此0,x时，有1ln2xexx：试题解析：（1）当1a 时，则 1xf xe，令 0fx 得0 x，所以有 第 16 页 共 17 页 即1a 时，f x的单调递减区间为,0；f x的单调递增区间为0,.（2）由 0f x，分离参数可得：1exxa，设 1xxg xe，0,x，xxgxe，又0 x，0 xxgxe，则 g x在0,上单调递减，01g xg，1a 即a的取值范围为1,.（3）证明：1ln2xexx等价于210 xxexe 设

32、21,0,xxh xexex，2212xxxhxee，由（2）知0,x时，10 xex 恒成立，所以2102xxe ，22102xxxhxee恒成立 h x在0,上单调递增，00h xh，因此0,x时，有1ln2xexx.点睛：解答本题的第一问时，先对函数 1xf xex 求导得 1xfxe，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；求解第二问时，先将不等式 0f x 中参数分离出来可得1exxa，再构造函数 1xxg xe，0,x，求导得 xxgxe，借助0 x，推得 0 xxgxe，从而 g x在0,上单调递减，01g xg，进而求得1a；第三问的证明过程中，先将不等式1ln2xexx等价转化为210 xxexe，再构造函数 21,0,xxh xexex，求导可得第 17 页 共 17 页 2212xxxhxee，由（2）知0,x时，10 xex 恒成立，所以2102xxe ，即 22102xxxhxee恒成立，故 h x在0,上单调递增，所以 00h xh，因此证得当0,x时，不等式1ln2xexx成立