2022届百师联盟高三练习题(一)数学题开卷有益.pdf

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1、 选择题 集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】先 化 简 集 合，为，再 根 据求解.因为，所以.故选：B 选择题 若、满足约束条件，则的最大值为（）A.2 B.C.D.【答案】A【解析】根据、满足约束条件，画出可行域，将目标函数，转化为，平移直线，找到直线在 y 轴上截距最小时的最优点，此时目标函数取得最大值.由、满足约束条件，画出可行域如图所示阴影部分，将目标函数，转化为，平移直线，当直线在 y 轴上截距最小时，经过点，此时目标函数取得最大值，所以 的最大值为 2.故选：A 选择题 已知，则的值等于（）A.B.C.2 D.4 【答案】D【解析】先 利 用 商 数 关 系 和 平

2、方 关 系，将，转 化 为，再由求解.因为，所以.故选：D 选择题 若均为正数，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意，设，根据指对数互化，求得的值，根据对数运算得出 与 之间的关系式.解：由题可知，均为正数，设，则，则，所以，即：.故选：D 选择题 等差数列中，若，则的值是（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】利用等差数列的性质，由，得到，再将，转化为，再通过等差数列的性质求解.因为，所以，所以 .故选：A 选择题 已知圆，设；：圆上至多有 2个点到直线的距离为，则 是 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C

3、【解析】由圆的圆心为，得到其到直线的距离为，利用“”法，分析当，时，圆上的点到直线的距离为的个数，再根据逻辑条件的定义求解.圆的圆心为，其到直线的距离为 当时，圆上没有点到直线的距离为；当时，圆上恰有一个点到直线的距离为；当时，圆上有 2 个点到直线的距离为；当时，圆上有 3 个点到直线的距离为；当，圆上有 4 个点到直线的距离为 若圆上至多有 2 个点到直线的距离为 2，则 所以 是 的充要条件 故选：C 选择题 已知定点，点 在圆上运动，为圆心，线段的垂直平分线交于点，则动点 的轨迹方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据题意，利用椭圆的定义判断点 的轨迹是以原点为中心，为焦点的椭

4、圆，求出的值，求出椭圆的标准方程，即可得出动点 的轨迹方程.解：由题可知，圆，圆心，所以点 的轨迹是以原点为中心，为焦点的椭圆，所以，所以动点 的轨迹方程为，故选：A 选择题 已知定义在上的函数满足：，当时，则，的大小顺序为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根据，得到是上的偶函数，再根据，得到在上是增函数再根据，利用单调性求解.由知，是上的偶函数，又，得在上是增函数，在上是减函数 因为，所以，因为，所以，即.故选：B 选择题 斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例 作图规则是在以斐波那契数为边

5、的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为 90的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线如图 1它来源于斐波那契数列（），又称为黄金分割数列根据该作图规则有程序如图 2，此时若输入数值，输出 为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】先验证，再根据，依次进行验证，直至终止时对应的值即为所求.已知，此时，此时，此时，此时，此时，所以当时，.故选：D 选择题 为了支持山区教育，某中学安排 6 位教师到、四个山区支教，要求、两个山区各安排一位教师，、两个山区各安排两位教师，其中甲、乙两位教师不在一起，不同的安排方案共有（）A.180 种 B.172 种 C.168 种 D.156 种【答案】D【

6、解析】根据题意，分三种情况讨论，利用排列组合的性质，结合特殊元素和部分平均分配问题，最后利用分类加法原理，即可求出结果.解：由题可知，分三种情况讨论：（1）甲，乙两位教师均没有去山区，共有种；（2）甲，乙 两 位 教 师 只 有 一 人 去或山 区，共 有种；（3）甲，乙两位教师分别去或山区，共有种，故共有：种安排方案 故选：D 选择题 已知函数若关于的方程有 8 个不相等的实数根，则实数 的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】设，将方程有 8 个不相等的实数根，转化 为的 方 程有 两 个 不 等 实 根，设，根 据 二 次 函 数 图 像 的 性 质，得 出，即可求出实数 的取

7、值范围.解：由于关于 的方程有 8 个不相等的实数根，设，则，作出的图像，由图 1 知，关于 的方程有两个不等实根，设，则由图 2 知，所以，所以，解得：，即：实数 的取值范围为.故选：B 图 1 图 2 选择题 已 知 函 数，若，使 得，则实数 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】直接对和进行求导，通过导数研究函数的单调性，得出在区间上是单调减函数和在区间上是单调增函数，由于，使得，则，即可求出实数 的取值范围.解：因为函数，在区间上是单调减函数，所以，在区间上是单调增函数，所以，由于使得，所以，当时，得或，所以或，所以，得 故选：B 填空题 已知是偶函数，当时，则曲线在点处

8、的切线方程为_【答案】【解析】先利用是偶函数，当时，求得时的解析式，再利用导数的几何意义求函数切线方程.设，则，因为，所以，又，所以切线方程为，即 故答案为：填空题 某居民小区要把如图所示的凸四边形用来修一个健身运动场所，经过测量，得到如图所示的数据，则健身运动场所的面积大约为_（保留到小数点后一位）【答案】68.3【解析】根据题意，连结，在中，根据余弦定理求得，由图中角的关系，得出为等腰直角三角形，设，利用勾股定理，求得，最后根据，即可求出四边形的面积，即可得出健身运动场所的面积.解：如图，连结，在中，由余弦定理得：，所以，所以为等腰三角形，因为，所以，所以，所以为等腰直角三角形，设，则，所

9、以，所以=，所以四边形的面积大约为，即健身运动场所的面积大约为.故答案为：.填空题 中，为的重心，为的外心，则_【答案】【解析】根据三角形的外心的性质，得出，由三角形的重心的性质，得出，通过向量的数量积运算，即可求出的值.解：因为为的重心，为的外心，所以，所以，即.故答案为:填空题 定 义 在上 的 函 数满 足，当时，则函数在区间上的零点个数是_【答案】502【解析】根 据 函 数 周 期 性，得 出是 周 期 为 4 的 周 期 函 数，令，得，则函数在区间上的零点个数转化为与在 上的交点个数，根据周期性，即可得出结果.解：因为，所以，所以是周期为 4 的周期函数 令，得，在同一坐标系下画

10、出与的图像，由图知，当时，函数有 3 个零点 又因为，即在区间上有 167 个完整的周期，零点个数为，所以函数在区间共有 502 个零点.故答案为：502 解答题 为认真贯彻落实党中央国务院决策部署，坚持“房子是用来住的，不是用来炒的”定位，坚持调控政策的连续性和稳定性，进一步稳定某省市商品住房市场，该市人民政府办公厅出台了相关文件来控制房价，并取得了一定效果，下表是 2019 年 2 月至 6 月以来该市某城区的房价均值数据：（月份）2 3 4 5 6（房价均价：千元/平方米）9.80 9.70 9.30 9.20 已知：（1）若变量、具有线性相关关系，求房价均价（千元/平方米）关于月份 的

11、线性回归方程；（2）根据线性回归方程预测该市某城区 7 月份的房价（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式）【答案】（1）（2）9.02 千元/平方米【解析】（1）根据表格中的数据，可求得，进而求得，写出回归方程.（2）利用（1）所求得的线性回归方程，将，代入求解.（1）由表格中的数据，可得，因为，所以，所以，所以线性回归方程为（2）利用（1）所求得的线性回归方程，可预测 7 月份的房价（千元/平方米）所以该市某城区 7 月份的房价为 9.02 千元/平方米 解答题 设为实数，给出命题，；命题：函数的值域为 （1）若为真命题，求实数 的取值范围；（2）若为真，为假，求实数 的取值范围【

12、答案】（1）（2）【解析】先化简命题：，则，有解，设，求其最小值即可.命题：函数的值域为则只需真数取遍一切正实数，则由求解.（1）若为真，则都为真求解.（2）若为真，为假，则、一真一假，分 真 假和 假 真，两种情况分类求解.设，则在上时增函数，故当时，的最小值为，若 为真，则；因为函数的值域为，则只需真数取遍一切正实数，所以，所以或 若 命题为真命题，则（1）若为真，则实数 满足，即实数 的取值范围为；（2）若为真，为假，则、一真一假 若 真 假，则实数 满足；若 假 真，则实数 满足；综上所述，实数 的取值范围为 解答题 如图所示，四棱锥中，点分别为的中点 （1）证明：平面平面；（2）若，

13、求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由题可知，结合为正三角形，进而证得，利用面面平行的判定定理，即可证明：平面平面；（2）取中点，连结，通过线面垂直的性质和判定定理，即可证出平面，建立空间直角坐标系，通过空间向量法求出空间异面直线的夹角的余弦值.（1）如图，因为分别为的中点，所以，平面，平面；又，所以为正三角形，又，所以，又，所以，平面 因为，所以平面平面（2）如图，取中点，连结，因为，所以为正三角形，所以，又因为为等腰三角形，所以，所以三点共线，所以，因为，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，所以平面 以为坐标原点，分别为 轴，轴，轴建立如图所示的空间直

14、角坐标系，设异面直线与所成角为，所以 所以异面直线与所成角的余弦值为 解答题 临近开学季，某大学城附近的一款“网红”书包销售火爆，其成本是每件 15 元经多数商家销售经验，这款书包在未来 1 个月（按 30 天计算）的日销售量（个）与时间（天）的关系如下表所示：时间（/天）1 4 7 11 28 日销售量（/个）196 184 172 156 88 未来 1 个月内，前 15 天每天的价格（元/个）与时间（天）的函数关系式为（且 为整数），后 15 天每天的价格（元/个）与时间（天）的函数关系式为（且 为整数）（1）认真分析表格中的数据，用所学过的一次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据

15、（个）与（天）的关系式；（2）试预测未来 1 个月中哪一天的日销售利润最大，最大利润是多少？（3）在实际销售的第 1 周（7 天），商家决定每销售 1 件商品就捐赠元利润给该城区养老院 商家通过销售记录发现，这周中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围【答案】（1）（2）第 5 天时的销售利润最大，最大值 2025 元（3）【解析】（1）若选一次函数，则设为，代，求解，再代入其他点验证是否符合题意，若选反比例函数，则设为，代，求解，再代入其他点验证是否符合题意.（2）设日销售利润为元，根据（1）的结果，分当，时，讨论求解.（3）建立函数模型，根据每天扣除捐赠后的日销

16、售利润随时间（天）的增大而增大，因为，则由二次函数的性质，对称轴应求解.（1）若选一次函数，则设为，代，得，解得 所以，代入中，符合题意；若选反比例函数，则设为，代，得，解得，不合题意 所以，与 的函数关系式为（2）设日销售利润为元，当时，所以当时，有最大值 2025 元 当时，因当时，随 的增大而减小，故当时，有最大值 952元 综上所述，第 5 天时的销售利润最大，最大值 2025 元（3），对称轴为，因为，且 为整数，随 的增大而增大，开口向下，所以，所以，故所以 解答题 设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点 设函数，（1）若，求函

17、数的不动点；（2）若函数在上不存在不动点，求实数 的取值范围【答案】（1）0；（2）【解析】（1）根据新定义，当时，求出，即可得出函数的不动点；（2）由于函数在上不存在不动点，则在区间上无解，即在上无解，利用换元法，令，转化为在区间上无解，构造新函数并求出单调区间，结合函数的恒成立问题，即可求出实数 的取值范围 解：（1）根据题目给出的“不动点”的定义，可知：当时，得，所以，所以，所以函数的不动点为 0（2）根据已知，得在区间上无解，所以在上无解，令，所以，即在区间上无解，所以在区间上无解，设，所以在区间上单调递增，故，所以或，所以或，又因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，设，所以在区间上

18、单调递增，故，所以，所以 综上，实数 的取值范围是 解答题 已知函数，（1）当时，设函数在区间上的最小值为，求；（2）设，若函数有两个极值点，且，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）当时，则，通过分类讨论参数，利用导数研究函数在区间上的单调性和最值，即可求得.（2）要证，即证，当时，则，构造函数，利用导数求出在单调递增，得出，即可证明出.解：（1）当时，函数，则，当时，在上单调递增，所以 当时，令，解得，（i）当时，即时，在上单调递增，由上知，此时；（ii）当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；（iii）当时，即时，在上单调递减，此时 综上得：，即当时，属于一次函数，由于，则在区间上单调递增，所以在区间上，；当时，则，所以在区间上单调递增，所以在区间上，；当时，综合上述得出：（2）原式转化为求证，当时，所以是方程的两根，所以，因为且，所以，所以，令，则，所以在单调递增，所以，即