2021-2022学年上海市进才中学高一上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 13 页 2021-2022 学年上海市进才中学高一上学期期末数学试题 一、填空题 1若集合2,Axx，则实数x可取的值的全体所构成的集合为 _【答案】,00,11,【分析】根据集合元素的互异性求解即可.【详解】解：2xx，0 x 且1x ；所以，实数x可取的值的全体所构成的集合为 ,00,11,；故答案为：,00,11,2已知1x，则41xx的取值范围是_.【答案】5,)【分析】化成积为定值的形式后,利用基本不等式可得.【详解】因为1x,所以10 x,所以41xx44112(1)1511xxxx ,当且仅当411xx,即3x 时取等号.故答案为:5,).【点睛】本题考查了基本

2、不等式求最小值,属于基础题.3已知函数 yf x为定义在R上的奇函数，写出函数12yf x的图象的一个对称中心_.【答案】1,2【分析】由奇函数的定义可得 f x的 1 个对称中心为0,0，由函数图象的变换规律分析可得答案.【详解】根据题意，函数 yf x为定义在R上的奇函数，其对称中心为0,0，将 yf x的图象向右平移 1 个单位得1yf x，再向下平移 2 个单位可得12yf x的图象，所以函数12yf x的图象的一个对称中心为1,2；故答案为：1,2.4已知函数1ykx的零点在区间1,1内，常数k的取值范围为_.第 2 页 共 13 页【答案】,11,【分析】利用函数零点存在性定理即可

3、解决问题.【详解】函数1ykx恰有一个零点在区间1,1内，110kk，,11,k ，故答案为：,11,.5已知2log90a，实数a的取值范围为_.【答案】10,2【分析】利用对数的性质得到22log9log1aa，从而判断得2logayx的单调性，由此即可求得a的范围.【详解】因为22log90log1aa，91，所以2logayx在0,上单调递减，则021a，得102a，即10,2a.故答案为：10,2.6 已知集合11,0,2,32A ，,kByf xf xxkA且 yf x为奇函数，则集合B的子集个数为_.【答案】4【分析】根据题意，由幂函数的性质可得集合B，进而分析可得答案.【详解】

4、根据题意，集合11,0,2,32A ，,kByf xf xxkA且 yf x为奇函数，则 13,Bf xxf xx，则集合B有 2 个元素，所以集合B的子集有224个，故答案为：4.7函数22yxx，2,1x 的反函数为_.【答案】11yx，1,8x 第 3 页 共 13 页【分析】先由二次函数的性质求得1,8y，即为反函数的定义域，再由220 xxy，解得11xy，从而求出反函数.【详解】解：函数22yxx的对称轴为1x，当2,1x 时，22yxx单调递减，1,8y，由22yxx可得220 xxy，解得11xy，又2,1x，11xy，函数22yxx，2,1x 的反函数为11yx，1,8x.故

5、答案为：11yx，1,8x 8函数2lg 82yxx的单词递增区间是_.【答案】2,1【分析】先求2lg 82yxx的定义域，再通过282yxx的单调增区间求函数2lg 82yxx的单词递增区间【详解】解：函数2lg 82yxx的定义域为2,4，在区间2,4内，由复合函数的单调性得函数2lg 82yxx的单词递增区间即为函数282yxx的单调增区间，即为2,1，故答案为：2,1【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，注意函数的定义域，是基础题 9要建造一个高为 3 米，容积为 48 立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米 1500米，池壁的造价为每平方米 1000 元.该蓄水池的总

6、造价y（元）关于池底一边的长度x（米）的函数关系为：_.【答案】1660001500 16yxx，0 x 【分析】根据条件便可得到池底面积为 4 平方米，底面的另一边长16x，从而便可得到总造价y与x的解析式.【详解】根据条件，该蓄水池的总造价y元，池底一边的长度x米，底面另一边长为16x米,第 4 页 共 13 页 长方体的底面积为 16，侧面积为163 2 xx，由题意得：1660001500 16yxx，0 x,故答案为：1660001500 16yxx，0 x.10若函数3141112xaxa xyax是R上的严格减函数，则实数a的取值范围为_.【答案】1 1,12 3【分析】根据分段

7、函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可.【详解】3141112xaxa xyax是R上的严格减函数，310011712aaaa ，解得11123a，实数a的取值范围是1 1,12 3.故答案为：1 1,12 3.11商品批发市场中，某商品的定价每天随市场波动，甲乙两名采购员在每月的同一天去该市场购买同一种商品，甲每次购买a公斤，乙每次购买b元（a，b互不相等），该方案实施 2 次后_的购买方案平均价格更低.（填“甲”或“乙”）【答案】乙【分析】设每次购买时商品的价格分别为x元/公斤、y元/公斤,0 x y，可将甲乙 2 次购买的平均价格用x，y表示出来，再用基本不等式比较即可得答案.【详解

8、】设每次购买时商品的价格分别为x元/公斤、y元/公斤,0 x y，则甲的平均价格为：22axayxya；乙的平均价格为：22bxybbxyxy，因为,0 x y，所以222xyxyxy；222xyxyxyxyxy,（当且仅当xy时取“=”号），所以22xyxyxy（当且仅当xy时取“=”号），故乙的平均价格更低，故答案为：乙.12已知函数 yf x为 22faxxbx，其中ab，若 0f x 对任意xR的恒成立，且函数第 5 页 共 13 页 存在零点，则22abab的最小值为_.【答案】2 2【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得1ab，由此可得22222ababababababab，结

9、合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】根据题意，函数 22faxxbx 满足 0f x 对任意xR的恒成立，且函数存在零点，必有440ab，则有1ab，则22222ababababababab，又由ab，则2222 2abababab，当且仅当2ab时等号成立，即22abab的最小值为2 2；故答案为：2 2.二、单选题 13已知函数 yf x的定义域为R，则命题“yf x是偶函数”是命题“fxf x对一切实数x都成立”的（）条件 A充分非必要 B必要非充分 C充分必要 D既不充分也不必要【答案】C【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析两个命题的关系，结合充分必要条件的定义可得答案 【详解

10、】解：根据题意，若 yf x是偶函数，即 fxf x，必有 fxf x成立，反之，若 fxf x，当0 x 时，有 fxf x，则函数 f x为偶函数，故题“yf x是偶函数”是命题“fxf x对一切实数x都成立”的充分必要条件，故选：C 14“对于任意Rx的实数，不等式|2|3|xxa恒成立”的一个充分必要条件是（）A,23,a B2,3a 第 6 页 共 13 页 C,5a D,5a 【答案】D【分析】将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，因此利用分类讨论法求得|2|3|xx的最小值，即可求得答案.【详解】对于任意Rx的实数，不等式|2|3|xxa恒成立，min|2|3|axx，由20

11、 x，得2x，由30 x，得3x，当2x时，|2|3|235xxxx ；当23x 时，|2|3|2321 5xxxxx ，5；当3x 时，|2|3|235xxxx,综上，|2|3|5xx，5.min|2|3|5axx，“对于任意Rx的实数，不等式|2|3|xxa恒成立”的一个充分必要条件是(，5.故选：D.15已知 lga，lgb是方程 2x24x10 的两个根，则2(lg)ab的值是()A4 B3 C2 D1【答案】C【分析】运用二次方程的韦达定理和对数的运算性质，结合配方法，计算即可得到所求值【详解】lgalgb，是方程22410 xx 的两个根，由韦达定理可得，可得122lgalgblg

12、algb，则22221lg?4244222algalgblgalgblgalgbb（）（）故选 C【点睛】本题考查对数的运算性质，以及二次方程根的韦达定理的运用，考查配方法，属于基础题 16已知函数 yf x，xD，若存在实数m，使得对于任意的xD，都有 f xm，则称函数 yf x，xD有下界，m为其一个下界.类似的，若存在实数M，使得对于任意的xD，都有 f xM，则称函数 yf x，xD有上界，M为其一个上界.若函数 yf x，xD既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.对于下列 4 个命题：若函数 yf x有下界，则函数 yf x有最小值；第 7 页 共 13 页 若定义在R上的奇函

13、数 yf x有上界，则该函数是有界函数；对于函数 yf x，若函数 yf x有最大值，则该函数是有界函数；若函数 yf x的定义域为闭区间,a b，则该函数是有界函数.其中真命题的序号为（）A B C D【答案】B【分析】举特例说明、不正确；由奇函数的性质结合已知，可判断；根据已知推导出 Mf xM，即可判断；【详解】根据函数上界，下界，有界的定义分别进行判断即可.对于，设 1f xx0 x，则 0f x 恒成立，即函数 yf x有下界，但函数 yf x没有最小值，故错误；对于，若定义在R上的奇函数 yf x有上界，设上界为M，则0M，根据题意有，x R，有 f xM成立.所以当0 x，f x

14、M成立，则当0 x 时，有0 x，则fxM，即 f xM，则 f xM；当0 x 时，f xM成立，则当0 x 时，0 x，则fxM，即 f xM，则 f xM；当0 x 时，由奇函数性质可得 00ff，所以 00f.所以，当0 x 时，Mf xM成立；当0 x 时，Mf xM成立；当0 x 时，00f，显然满足 0MfM.所以x R，都有 Mf xM成立，所以函数是有界函数，故正确；对于，对于函数 yf x，若函数 yf x有最大值，设 f xM，则 Mf xM，该函数是有界函数，故正确；对于，令 1,01,01xf xxx，则函数 yf x的定义域为闭区间 0,1，则函数 f x的值域为1

15、,，则 f x只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数.故错误；所以真命题的序号为.故选：B.第 8 页 共 13 页 三、解答题 17设全集U R，设函数2lg(1)yax的定义域为集合A，函数1yxx的值域为集合B(1)当1a 时，求A；(2)若RAB，求实数a的取值范围【答案】(1)1,1A (2)1,4 【分析】（1）当1a 时解不等式210 x ，再求A即可；（2）先求函数1yxx的值域得到集B，根据RAB 可转化为当(2,2)x 时，210ax 恒成立，从而分类讨论即可【详解】（1）当1a 时，由对数函数的定义域可得210 x ，解得1x 或1x，故 1,1A .（2）由对勾函数的

16、值域可得(,22,)B ，又因为RAB，所以(2,2)A，即当(2,2)x 时，210ax 恒成立，当0 x 时，10 恒成立，符合题意，当0 x 时，210ax 即21ax，因为2114x，所以14a；综上所述，实数a的取值范围为1,4.18已知关于x的不等式lg37xxa.(1)当1a 时，解该不等式；(2)若该不等式的解集为，求常数a的取值范围.【答案】(1)3,7；(2),1 第 9 页 共 13 页 【分析】（1）利用对数函数单调性，原不等式等价为3710 xx，分类讨论求解或由绝对值几何意义求解均可；（2）不等式的解集为，则minlg37axx恒成立，求37xx最小值即可.【详解】

17、（1）24,73710,3724,3xxyxxxxx，则10y 当1a 时，关于x的不等式lg371lg10 xx，3710 xx，解集为3,7；（2）若该不等式的解集为，则lg37axx恒成立，即minlg37axx，lg101a，则常数a的取值范围为,1.19某条货运线路总长 2000 千米，交通法规定，在该线路上货车最低限速 50 千米/时（含），最高限速 100 千米/时（含）.汽油的价格是每升 8 元，汽车在该路段行驶时，速度为x千米/时，每小时油耗为24240 x升.（假设汽车保持匀速行驶）(1)求该线路行车油费y（元）关于行车速度x（千米/时）的函数关系；(2)车速为何值时，行车

18、油费达到最低？并求出最低的行车油费；(3)运营该条线路的刘师傅接到某公司的货运派单，要求在 24 小时内送达，否则将少支付 50 元费用作为超时补偿.请写出此时刘师傅驾驶的最优车速.【答案】(1)640002003xyx，50,100 x(2)50 x，138403元(3)50 千米/时 【分析】（1）行车所用时间为2000 x，汽车每小时油耗24240 x升，然后求解行车总费用.（2）当50,100 x时，函数严格增，然后求解函数的最小值.（3）求出行车总费用6400200250,50,33()6400020025050,(,10033xxxyf xxxx，通过分段函数，求解函数的最小值即可

19、.第 10 页 共 13 页【详解】（1）行车所用时间为2000 x，根据汽油的价格是每升 8 元，而汽车每小时油耗24240 x升，则行车总费用为2200064000200842403xxyxx，50,100 x.（2）由（1）知640002003xyx，50,100 x 令64000200()3xg xx，50,100 x 设2150 xx，则2112212121122002009606400064000()()200333xxx xg xg xxxxxx x 因为2150 xx，故129600 x x，所以21()()g xg x 所以当50,100 x时，函数640002003xyx严

20、格增，则当50 x 时，行车油费最低，最低为138403元.（3）在 24 小时内送达行驶速度为1000250243，由题意知行车总费用 6400200250,50,33()6400020025050,(,10033xxxyf xxxx，当25050,3x时，函数640002003xyx严格增，yf x的最小值为 13840503f，当250,1003x时，函数64000200503xxy严格增，f x 2505646213840393f，所以综上所述，最优车速为 50 千米/时.20已知函数 yf x满足 1log0,11amxfxaax且 yf x为奇函数.(1)求m的值；(2)判断 yf

21、 x在区间1,上的单调性；(3)当12a 时，若对于任意的3,4x，总有 12xf xb成立，求实数b的取值范围.【答案】(1)1m (2)答案见解析 第 11 页 共 13 页(3)9,8 【分析】（1）先由 yf x是奇函数得到 fxf x，从而由x不恒为0求得m即可；（2）利用复合函数的单调性的性质，先判断得12111xtxx 在1,上单调递减，再通过讨论a的范围即判断函数 yf x的单调性；（3）构造函数 12xg xf x，将问题转化为 minbg x，再结合（2）中结论判断得 g x的单调性，从而得解.【详解】（1）因为 yf x是奇函数，所以 fxf x，即111logloglo

22、g111aaamxmxxxxmx ，则11011mxxxmx，得22211m xx，则2210mx，由于x不恒为0，故21m，即1m ，当1m 时，111011mxxxx ，不满足题意，舍去；当1m 时，1log1axf xx，由101xx得1x或1x，所以 f x的定义域关于原点对称，又有 fxf x，故 f x是奇函数，满足题意；综上：1m .（2）由（1）知 1log1axf xx，令12111xtxx，易知其在1,上单调递减，且2111tx，所以当1a 时，logayt在1,上单调递增，则 yf x在1,上单调递减；当01a时，logayt在1,上单调递减，则 yf x在1,上单调递增

23、；综上：当1a 时，yf x在1,上单调递减；当01a时，yf x在1,上单调递增.（3）对于任意的3,4x，总有 12xf xb成立，即 12xbf x恒成立，第 12 页 共 13 页 令 12xg xf x，则 minbg x，因为当12a 时，由（2）知 121log1xfxx在区间1,上单调递增，又易知12xy 在3,4上单调递增，所以 12xg xf x在3,4上单调递增，故 311min221 31193loglog 23 1288g xg，所以98b ，即9,8b .21对于函数 yf x,xD,设区间I是D上的一个子集,对于区间I上任意的1x,2x,3x,当123xxx时,如

24、果总有 21322132f xf xf xf xxxxx,则称函数 yf x是区间I上的T函数.(1)判断下列函数是否是定义域上的T函数:2yx,21yx;(2)已知定义域上的严格增函数 yf x也是定义域上的T函数,试问:1yfx是否是定义域上的T函数?若是,请给出证明;若不是,请说明理由;(3)若函数 yf x为区间I上的T函数,证明:对于任意的1x,2xI和任意的0,1,总有 121211fxxf xf x.【答案】(1)是;不是(2)不是,理由见解析(3)证明见解析 【分析】(1)利用作差法,结合T函数的定义即可逐个判定;(2)1yfx不是定义域上的T函数,由反函数的性质及T函数的定义

25、即可证明;(3)假设12xx,则11221xxxx,利用T函数的定义化简即可得证.【详解】（1）当123xxx时,222221323221213213213221320f xf xf xf xxxxxxxxxxxxxxxxxxx，所以是定义域上的T函数;第 13 页 共 13 页 当123xxx时,21322132f xf xf xf xxxxx 2132213221212121220 xxxxxxxx,所以不是定义域上的T函数.（2）1yfx不是定义域上的T函数,理由如下:因为 yf x是定义域上的严格增函数,所以当123xxx时,231f xf xf x,即123yyy,若原函数为增函数,

26、则反函数也是增函数,即若123xxx,则 111123fxfxfx,又因为 yf x是定义域上的T函数,即当123xxx时,总有 213221320f xf xf xf xxxxx,所以 32212132xxxxf xf xf xf x,即当123xxx时,111121322132fyfyfyfyyyyy,综上所述,1yfx不是定义域上的T函数.（3）证明:若对于任意的1x,2xI和任意的0,1,假设12xx,则11221xxxx,因为函数 yf x为区间I上的T函数,所以 1212121212121111fxxfxfxfxxxxxxxx,化简得 1212122121111fxxf xf xfxxxxxx,21xx,210 xx,121212111fxxf xf xfxx,1212121111fxxf xf xfxx,121211fxxf xf x.【点睛】本题主要考查函数恒成立问题，解题的关键是对新函数定义的理解与应用，考查逻辑推理能力，属于难题.