2022-2023学年北京师范大学附属中学高一上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年北京师范大学附属中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 1设全集RU，集合220Ax xx，lg0Bxx，则AB（）A12xx B12xx C12xx D1x x 【答案】B【分析】利用一元二次不等式的解法和对数不等式的解法求解.【详解】由220 xx解得12x，所以12Axx，由lg0 x 解得1x，所以1Bx x，所以12ABxx，故选:B.2 已知|02Axx，|12Byy，下列图形能表示以 A为定义域，B 为值域的函数的是（）A B C D【答案】B【分析】A.其值域为0,2，故不符合题意；B.符合题意；CD 是函数图象，值域为1,2，

2、故不符合题意.【详解】解：A 是函数图象，其值域为0,2，与已知函数的值域为|12Byy不符，故不符合题意；B 是函数的图象，定义域为0,2，值域为1,2，故符合题意；第 2 页 共 15 页 C 是函数图象，值域为1,2，与已知函数的值域为|12Byy不符，故不符合题意；D 是函数图象，值域为1,2，故不符合题意.故选：B 3单位圆上一点P从0,1出发，逆时针方向运动3弧长到达Q点，则Q的坐标为（）A13,22 B31,22 C13,22 D3,221【答案】D【分析】由题意得5623QOx，从而得到55cos,sin66Q，结合诱导公式求出答案.【详解】点P从0,1出发，沿单位圆逆时针方向

3、运动3弧长到达Q点，所以5623QOx，所以55cos,sin66Q，其中25coscoscos661136 ，25ss1insinin66611，即Q点的坐标为：3,221 故选：D 4不等式21216x的解集为（）A3,2 B53,22 C53,22 D52,【答案】B【分析】根据指数函数单调性解不等式，得到解集.【详解】不等式21216x，21422x，即214x 214x 或214x，解得：52x 或32x，解集是53,22 故选：B 5 九章算术是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长 30 步，直径 16 步，

4、问面积是多少？”在此问题中，扇形第 3 页 共 15 页 的圆心角的弧度数是（）A154 B415 C158 D120【答案】A【分析】根据扇形面积公式得到面积为 120 步，设出扇形圆心角，根据212SR求出扇形圆心角.【详解】因为直径 16 步，故半径为8R 步，30 81202S（平方步），设扇形的圆心角为，则212SR，即1151206424 故选：A 6设33a，0.80.9b，0.9log0.8c，则（）Acab Bacb Cabc Dcba【答案】A【分析】利用幂函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小.【详解】因为33311328a，0.800.90.91b，

5、0.90.9log0.8log0.812c，所以cab 故选：A 7已知函数212()log(45)f xxx，则函数()f x的减区间是（）A(,2)B(2,)C(5,)D(,1)【答案】C【解析】先求得 f x的定义域，然后根据复合函数同增异减确定 f x的减区间.【详解】由245510 xxxx解得1x或5x，所以 f x的定义域为,15,.函数245yxx的开口向上，对称轴为2x，函数12logyx在0,上递减，根据复合函数单调性同增异减可知函数()f x的减区间是5,.故选：C 第 4 页 共 15 页 8已知实数0 xy，且111216xy，则xy的最小值是（）A21 B25 C2

6、9 D33【答案】A【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】0 xy，等式111216xy恒成立，11132 1621xyxyxy，由于0 xy，所以10,20yx 11212 12 12224211212xyxyxyxyyxy x，当且仅当21xy 时，即10,11xy 时取等号 1346xy，21xy，故xy的最小值为 21 故选：A 二、多选题 9下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（）Ax R，0 x B存在xR，使得210 xx C至少有一个无理数x，使得3x是有理数 D有的有理数没有倒数【答案】ACD【分析】根据存在量词可判断存在量词命题，进而根据数与式的性质即可判断真假.【详

7、解】对于 A.命题是存在量词命题，所以0 x，使0 x，所以 A 是真命题，故 A 正确；对于 B对应方程210 xx，30 ，方程无解，故 B 错误；对于 C命题是存在量词命题，33x，使得 3333是有理数，所以 C 是真命题；对于 D有理数 0 没有倒数，故 D 正确；故选:ACD 10下列说法正确的是（）A若sincos0，则为第一象限角 B将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是30 第 5 页 共 15 页 C终边经过点,0a aa 的角的集合是,Z4kk D在一个半径为3cm的圆上画一个圆心角为30的扇形，则该扇形面积为23cm2【答案】BC【分析】A 选项，根据sin,co

8、s同号，确定角所在象限；B 选项，顺时针转动了 30，故 B 正确；C 选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合；D 选项，由扇形面积公式进行求解.【详解】A 选项，若sincos0，则为第一象限角或第三象限角，故 A 错误；B 选项，将表的分针拨快 5 分钟，顺时针转动 30，故分针转过的角度是30，故 B 正确；C 选项，终边经过点,0a aa 的角的终边在直线yx上，故角的集合是,Z4kk，C正确；D 选项，扇形面积为2221133cm2264SR，故 D 错误 故选：BC 11已知函数 12f xx，则下列结论中正确的是（）A f x是偶函数 B f x在,2 上单调递增

9、 C f x的值域为 R D当2,2x 时，f x有最大值【答案】ABD【分析】A 选项，根据分母不为 0 得到定义域，再由奇偶性的定义判断 A 正确；B 选项，先求出 12f xx在2,上均单调递减，结合奇偶性得到 B 正确；C 选项，由 12f xx在0,2和2,上的单调性结合奇偶性得到 f x的值域，C 错误；D 选项，根据 f x在2,2x 上的单调性得到最大值.【详解】对于 A，由20 x 得函数 f x定义域为2x x ，所以 122f xxx 由 1122fxfxxx，可得函数 f x为偶函数，其图象关于y轴对称，故 A 正确；对于 B，当0 x 且2x 时，函数 12f xx，

10、第 6 页 共 15 页 该函数图象可由函数1yx图象向右平移 2 个单位得到，所以函数 12f xx在0,2和2,上均单调递减，由偶函数性质，可知 f x在,2 上单调递增，故 B 正确；对于 C，由 B 可得，当0 x 且2x 时，函数 12f xx在0,2和2,上均单调递减，所以该函数在 0,22,的值域为1,0,2；又因为函数 f x为偶函数，且 102f，所以 f x在其定义域上的值域为1,0,2，故 C 错误；对于 D，当2,2x 时，函数 f x在2,0上单调递增，在0,2上单调递减，所以 f x有最大值为 102f，故 D 正确 故选：ABD 12如图所示，边长为 2 的正方形

11、 ABCD中，O为 AD 的中点，点 P沿着ABCD的方向运动，设AOP为 x，射线OP扫过的阴影部分的面积为 f x，则下列说法中正确的是（）A f x在,2上为减函数 B142f C 4f xfx D f x图象的对称轴是2x 【答案】BC【分析】当点P在AB的中点时，此时4AOP，即可判断 B，根据阴影部分的面积变化可知 f x的单调性，进而可判断 A，根据面积的之和为 4，可判断对称性，进而可判断 CD.【详解】对于 A 选项，取BC的中点为G，当,2x时,点P在GCD之间运动时，阴影部分的面积增加，所以 f x在,2上单调递增，A 选项错误；对于 B 选项，当点P在AB的中点时，此时

12、4AOP，所以，1111 1222f xOAAP ，故B 正确，第 7 页 共 15 页 对于 C 选项，取 BC 的中点 G，连接 OG，作点 P关于直线 OG的对称点 F，则FODx，所以AOFx，OF 绕 O点按顺时针方向旋转扫过正方形 ABCD的面积为 S，由对称性可知 Sf x，因为4Sfx，即 4f xfx，C 选项正确；对于 D 选项，由 C 选项可知，4f xfx，则3+=444ff，所以，3744424fff，所以，函数 f x的图象不关于直线2x 对称，D 选项错误 故选：BC 三、填空题 13求值：2617sincos()34_【答案】322【分析】利用终边相同的角同名三

13、角函数值相等和诱导公式即可求解【详解】26223sinsin(8)sin3332，172coscos4coscos44442，所以22617sincos()3432 故答案为：322.14已知幂函数 257mf xmmx是 R上的增函数，则 m 的值为_【答案】3【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出m的值【详解】由题意 257mf xmmx是幂函数，2571mm，解得2m 或3m，第 8 页 共 15 页 又 f x是 R上的增函数,则 3m.故答案为：3.【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于m的方程和不等式，是基础题 15若“13x”的必要不充分条件是“2

14、2axa”，则实数 a的取值范围是_【答案】1,3【分析】将必要不充分条件转化为集合之间在关系，即可列不等式求解.【详解】由于“13x”的必要不充分条件是“22axa”，所以13xx22x axa则2123aa且两个等号不同时取得，解得13a，经检验1a 和3a 均符合要求，故 a的取值范围是 1,3 故答案为：1,3 16已知函数 25,2lg2,2xxf xxxx ，若方程 1f x 的实根在区间,1Zk kk上，则 k的所有可能值是_【答案】3，2 或 1【分析】先由2512xx 求出6x ，确定3k，再变形得到1lg2(2)xxx，画出两函数图象，数形结合得到两个根，结合零点存在性定理

15、得到两根分别在2,1与1,2内，从而确定 k的所有可能值.【详解】由方程2512xx，解得：6x ，因为63,2，故3k；由于方程lg21(2)xxx 即方程1lg2(2)xxx，分别作出左右两边函数的图象，第 9 页 共 15 页 从图象上可得出：方程1lg2xx在区间2,1内有一个实根 故方程lg21xx在区间2,1内有且仅有一个实根此时2k，下面证明：方程lg21xx在区间1,2内有一个实根，函数 lg21f xxx，在区间2,1和1,2内各有一个零点，因为1,2x时，lg20 x，故函数 lg21f xxx在区间1,2是增函数，又 1lg3 10f，22lg4 10f，即 120ff，

16、由零点存在性定理知，函数 lg21f xxx在区间1,2内仅有一个零点，即方程lg21xx在区间1,2内有且仅有一个实根，此时1k.故答案为：3，2 或 1 四、解答题 17（1）计算240.530364812()222716；（2）计算3log 46622713log 832log3log 81 log232【答案】（1）0；（2）3.【分析】（1）利用分数指数幂运算法则进行计算；（2）利用对数运算法则及性质进行计算.【详解】（1）2040.53364812()()2()()22716 第 10 页 共 15 页 232323464819499992()2()2220327161634816

17、4 ；（2）3log 46622713log 832log3log 81 log232 234662311log 24log3log 3log 232 662323log 24log2log 3 log 66log 2log234 6log 6421423.18已知集合22Axaxa，|1Bx x或4x （1）当3a 时，求AB；（2）“xA”是“RxB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围【答案】（1）|11ABxx 或45x；（2）|1a a 【分析】（1）先求出集合15Axx，再求AB；（2）先求出|14RBxx，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数a的取值范围.【详解】（1）当3a

18、 时，15Axx.因为|1Bx x或4x，所以|11ABxx 或45x；（2）因为|1Bx x或4x，所以|14RBxx.因为“xA”是“RxB”的充分不必要条件，所以 ABR.当A时，符合题意，此时有22aa，解得：a0.当A 时，要使 ABR，只需222421aaaa，解得：01a 综上：a1.即实数a的取值范围|1a a.19已知是第四象限角 第 11 页 共 15 页(1)若5cos5，求3cossin222sincos 2的值；(2)若25sin5sincos10，求tan的值【答案】(1)15(2)12或13 【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再结合诱导公式，化弦为切，代入求值即

19、可；（2）变形得到22222sinsincostantan1sincostan15，求出tan的值.【详解】（1）是第四象限角，25cos1 sin5，所以2 5sin5，sintan2cos，3cossinsincostan11222sincos 22sincos2tan15 （2）21sinsincos5，22222sinsincostantan1sincostan15，1tan2或1tan3 20已知函数 3131xxf x(1)证明函数 f x为奇函数；(2)解关于 t的不等式：3120ftft【答案】(1)证明见解析(2)12t t 【分析】（1）根据奇偶性的定义即可证明，（2）根据

20、函数的单调性以及奇偶性即可转化成自变量的大小关系，解不等式即可.【详解】（1）因为函数 f x的定义域为R，关于原点对称，且 11311 331311 313xxxxxxfxf x，第 12 页 共 15 页 所以函数 f x是奇函数；（2）由 3131221313131xxxxxfx ，由于31xy 为定义域内的单调递增函数且310 xy ，所以131xy 单调递减，因此函数 f x是定义域为R的增函数，而不等式3120ftft可化为312ftft，再由 fxf x 可得312ftf t，所以312tt ，解得21t ，故不等式的解集为12t t 21某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新

21、冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为 24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为 36pmk，治愈效果的普姆克系数 y（单位：pmk）与月份 x（单位：月）的关系有两个函数模型(0,1)xykaka与12(0,0)ypxk pk可供选择(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数 10 倍以上的最小月份（参考数据：lg20.3010，lg30.4711）【答案】(1)选择模型(0,1

22、)xykaka符合要求；该函数模型的解析式为32332xy，112x，*Nx；(2)六月份.【分析】（1）根据两函数特征选择模型(0,1)xykaka，并用待定系数法求解出解析式；（2）先求出元旦治愈效果的普姆克系数，从而列出不等式，结合*Nx，解出6x，得到答案.【详解】（1）函数(0,1)xykaka与12(0,0)ypxk pk在0,上都是增函数，随着x的增加，函数(0,1)xykaka的值增加的越来越快，而函数12ypxk的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，因此选择模型(0,1)xykaka符合要求 根据题意可知2x 时，24y；3x 时，36y，第 13 页 共

23、15 页 232436kaka，解得32332ka 故该函数模型的解析式为323()32xy，112x，*Nx；（2）当0 x 时，323y，元旦治愈效果的普姆克系数是32pmk3，由32332()10323x，得3()102x，32lg1011log 105.93lg3lg20.47110.3010lg2x，*Nx，6x，即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数 10 倍以上的最小月份是六月份 22 已知函数 f x对任意实数 m、n都满足等式2f mnf mnfm，当0 x 时，0f x，且 24f (1)判断 f x的奇偶性；(2)判断 f x的单调性，求 f x在区间3,5上的

24、最大值；(3)是否存在实数 a，对于任意的1,1x，1,1b，使得不等式 222f xaab恒成立若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】(1)奇函数；(2)f x为R上的减函数；f x在3,5上的最大值为 6；(3)存在，实数 a的取值范围为,22,【分析】（1）赋值法得到 00f，fxf x，得到函数的奇偶性；（2）先由0 x 时，0f x 利用赋值法得到函数单调递减，再用赋值法和奇偶性得到 36f，从而得到 f x在区间3,5上的最大值；（3）先根据单调性得到 112f xff，问题转化为220aab，1,1b 恒成立，令 22g baba，为一次函数，得到不等式组，求

25、出实数 a的取值范围.【详解】（1）取0mn，则 020ff，第 14 页 共 15 页 00f，取0m，nx，则 00f xfxf，fxf x 对任意xR恒成立，f x为奇函数；（2）任取12,x x 且21xx，则120 xx，因为2f mnf mnfm，故2fmf mnf mn，令112,22xxmnx，则有 11111222222xxxxfxfxfx，即 1212f xf xf xx，0 x 时，0f x，故120 xx时，120f xx，120f xf x，12f xf x 故 f x为R上的减函数 3,5x，3f xf，2f mnf mnfm，24f，令1,0mn，则 1124fff，故12f，因为 令1,2mn，则 1 21 22fff，即 1324fff，由（1）知：f x为奇函数，故 112ff，故 234f，解得：36f，故 336ff，故 f x在3,5上的最大值为 6；（3）f x在1,1上是减函数，第 15 页 共 15 页 112f xff，222f xaab，对所有1,1x，1,1b 恒成立 2222aab，1,1b 恒成立；即220aab，1,1b 恒成立，令 22g baba，则 1010gg，即222020aaaa，解得：2a 或2a 实数 a的取值范围为,22,