2022届吉林省洮南市第一中学高三上学期第二次月考数学试题(理)(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 14 页 2022 届吉林省洮南市第一中学高三上学期第二次月考数学试题（理）一、单选题 1已知集合2log1Axx，集合2By yx，则AB（）A0,B0,2 C0,2 D0,【答案】D【分析】先求出集合,A B，再根据并集运算的定义求解即可【详解】解：2log1Axx02xx，2By yx0y y，0,)AB，故选：D【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于基础题 2若复数z满足1 i3 iz（其中i是虚数单位），则z的虚部是（）A1 B2 C3 D4【答案】B【分析】由题意知3i1 iz,利用复数的除法运算化简得到12zi，根据虚部的定义即得.【详解】由题意知3 i(3 i

2、)(1 i)24i1 2i1 i(1 i)(1 i)2z，虚部为 2.故选：B.3若变量,x y满足约束条件00340 xyxyxy，则32xy的最大值是 A0 B2 C5 D6【答案】C【分析】由题意作出不等式组所表示的平面区域，将32zxy化为322zyx，2z相当于直线322zyx 的纵截距，由几何意义可得结果【详解】由题意作出其平面区域，第 2 页 共 14 页 令32zxy，化为322zyx，2z相当于直线322zyx 的纵截距，由图可知，340yxxy，解得1x，1y，则32xy的最大值是3 25，故选 C【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函

3、数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log1SCWN.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从 1000 提升至 4000，则

4、C大约增加了（）附：lg20.3010 A10%B20%C50%D100%【答案】B【分析】根据题意，计算出22log 4000log 1000的值即可；【详解】当1000SN时，2log 1000CW，当4000SN时，2log0004CW，第 3 页 共 14 页 因为22log 4000lg400032lg23.60201.2log 1000lg100033 所以将信噪比SN从 1000 提升至 4000，则C大约增加了 20%，故选：B.【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.5如图，在正四面体PABC中，D 为 AB 的中点，则异面直线 AC 与

5、PD 所成角的余弦值为（）A14 B24 C36 D12【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义，运用几何法，结合余弦定理求解即可【详解】如图，取BC的中点E，连结PEDE、，则由题意知/DE AC，则PDE为 直线 AC 与 PD 所成角，设正四面体PABC的棱长为2，则1312PDPEDEAC，则由余弦定理得 2222223133cos2?623 1PDDEPEPDEPD DE 故选：C 6 已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为,a b c，满足cosabC，则ABC的形状一定是（）A等腰直角三角形 B等边三角形 C等腰三角形 D直角三角形【答案】D 第 4 页 共 14 页【分析】

6、利用余弦定理将cosabC化为2222abcabab，然后化简可得答案.【详解】cosabC，由余弦定理可得2222abcabab，则22222aabc，则222acb，所以ABC为直角三角形.故选：D 7若命题“0 xR，200220 xmxm”为假命题，则m的取值范围是（）A12m B12m C1m 或2m D1m 或m2【答案】A【分析】先转化为命题的否定，再由一元二次不等式的性质求解即可.【详解】命题“0 xR，200220 xmxm”的否定为“x R，2220 xmxm”，该命题为真命题，即24420mm，解得1,2m.故选：A 8已知函数,0()2,0 xea xf xxa x()

7、aR，若函数()f x在R上有两个零点，则实数a的取值范围是 A(0,1 B1,)C(0,1)D(,1【答案】A【详解】由题意可得：1002aa 解得01a 故选A 9ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2b，6A，若该三角形有两个解，则a的取值范围是（）A3,2 B1,C2,D1,2【答案】D【分析】利用正弦定理列出关系式，将absinA，的值代入表示出sinB，根据B的度数确定出B的范围，要使三角形有两解确定出B的具体范围，利用正弦函数的值域求出a的范围即可【详解】解：在ABC中,2,6bA，第 5 页 共 14 页 由正弦定理得12sin12sinbABaaa，6A，506

8、B，要使三角形有两解，得到：566B，且2B，即1sin12B 1112a 解得：12a，故选：D 10设 m，n 为两个不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法中不正确的是（）A若/m n，n，m，则 B当 m 与平行时，若 m 与 n不平行，则 n 与不平行 C若，点P，点Pa，a，则a D若m，/，则/m【答案】B【分析】由线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可判断 A；由面面平行的性质定理可判断 B；由面面垂直的性质定理可判断 C；由面面平行的性质定理可判断 D【详解】对于 A，由/m n，n，可得m，又m，则，故 A 正确；对于 B，过,m n作平面，使得/，则内的任一条直线都与平

9、行，故 B 错误；对于 C，若，点点P，点Pa，a，由面面垂直的性质定理可得a，故 C 正确；对于 D，若m，/，由面面平行的性质定理可得/m，故 D 正确 故选：B 11某三棱锥的三视图如图，是三个边长为 2 的正方形，则该三棱锥的外接球的体积为（）第 6 页 共 14 页 A8 23 B133 C4 3 D6【答案】C【分析】先根据三视图判定该三棱锥是一个正四面体，再将该四面体补成正方体，利用正方体的外接球的和正方体的关系求其半径，再利用球的体积公式进行求解.【详解】根据三视图知：三棱锥是一个正四面体ABCD（如图所示），它的外接球与它所在的正方体的外接球是同一个，正方体外接球的直径等于正

10、方体的体对角线，所以3R，则344 33VR.故选：C 12已知奇函数()f x的定义域为,00,22，其导函数是()fx当0,2x时，()sin()cos0fxxf xx，则关于x的不等式()2sin6f xfx的解集为（）A,0,266 B,2 66 2 C,00,66 D,0,662 【答案】D【分析】构造()()sinf xg xx，结合已知条件利用导数判断()g x在0,2上的单调性，结合奇偶性的定义判断()g x的奇偶性，从而求出()g x在,02上的单调性，分0,2x和,02x 两种情况，对()2sin6f xfx进行变形，结合()g x的单调性，从而求出解集.【详解】解：设()

11、()sinf xg xx，2()sin()cos()sinfxxf xxg xx，当0,2x时，()sin()cos0fxxf xx，)(0g x，第 7 页 共 14 页()g x在0,2上单调递减，()f x是定义在,00,22上的奇函数，故()()sinsinfxf xgxg xxx，()g x是定义在,00,22上的偶函数()g x在,02上单调递增当0,2x时，sin0 x，则不等式()2sin6f xfx可转化为()6sinsin6ff xx，即()6g xg，6x，故,6 2x 当,02x 时，sin0 x，则不等式()2sin6f xfx可转化为()6sinsin6ff xx，

12、即()66g xgg，6x，故,06x 不等式()2sin6f xfx的解集为,0,662 故选：D【点睛】关键点睛:本题的关键是构造出()()sinf xg xx，结合奇偶性和已知条件求出所构造函数的单调性；本题第二个关键是对所解不等式进行变形.二、填空题 13已知2sin63，则cos3_.【答案】23【分析】由于632，所以利用诱导公式直接求解即可【详解】因为2sin63，所以2cossinsin32363，故答案为：23 第 8 页 共 14 页 14若0m，0n，且函数 32823f xxmxnx在1x 处有极值，则mn的最大值等于_.【答案】36【分析】根据 10f求得,m n的关

13、系式，结合基本不等式求得mn的最大值.【详解】依题意0m，0n，且函数 32823f xxmxnx在1x 处有极值，22422fxxmxn，124220,12fmnmn.241920mn，f x有两个极值点，符合题意.所以2362mnmn，当且仅当6mn时等号成立.故答案为：36 15已知向量1,2,1,0,3,4abc.若为实数，/abc，则_.【答案】12【分析】由向量平行的坐标表示求解【详解】由已知(1,2)ab，又/abc，所以64(1)0，12 故答案为：12 16已知函数()xf xe，过点(1,0)作曲线()yf x的切线 l，则直线 l 与曲线()yf x及 y 轴围成的图形的

14、面积为_.【答案】2e1【解析】设切点为00,xx e，则切线l的方程为000 xxyeexx，根据条件切线过点(1,0)，则02x，所以直线 l 与曲线()yf x及 y 轴围成的图形的面积为2220 xee xedx，可得答案.【详解】由()xfxe，过点(1,0)作曲线()yf x的切线 l，设切点为00,xx e 则0 xke，所以切线l的方程为000 xxyeexx 由切线过点(1,0)，则0001xxeex，解得：02x 所以切线l的方程为22ye xe 第 9 页 共 14 页 直线 l 与曲线()yf x及 y 轴围成的图形的面积为2222222021102xxee xedxe

15、e xe xe 故答案为：2e1【点睛】关键点睛：本题考查求曲线的切线方程和利用定积分求面积，解答本题的关键是设切点为00,xx e，得出切线l的方程为000 xxyeexx，进一步求出02x，由2220 xee xedx求面积,属于中档题.三、解答题 17在 ABC 中，角 A BC，所对的边分别为 abc，已知 1cos3A (1)求 cos BC；(2)若 2a ，2ABCS，求 b 的值【答案】(1)13(2)3 【分析】（1）根据ABC，BCA，利用诱导公式可求得结果.（2）由三角形正弦定理面积公式，求得bc，再利用余弦定理可求得bc，联立求得b.【详解】（1）ABC，1coscos

16、 cos3BCAA ；（2）sin0A，22 2sin1 cos3AA；12sin223ABCSbcAbc，3bc；由余弦定理得：2222282cos843abcbcAbcbcbc，解得：2 3bc，由 2 33bcbc 得：3bc，3b 18已知函数 2121xxaf x为奇函数.（1）求a的值；第 10 页 共 14 页（2）求函数 f x的值域.【答案】（1）1a；（2）,11,.【分析】（1）由奇函数的定义可得出 0fxf x，由此可求得实数a的值；（2）设21121212xxxy，可得出121xyy，由20 x可得出关于y的不等式，解出y的取值范围，即为函数 f x的值域.【详解】（

17、1）函数 2121xxaf x为奇函数，则121221211 212xxxxxxaaafx，因为 0fxf x，即21202121xxxxaa，1210 xa对任意的0 x 恒成立，故1a；（2）2121221212121xxxxxf x ，设2121xy ，可得121xyy，由1201xyy，解得1y 或1y.因此，函数 f x的值域为,11,.19已知(1,cos),(sin,3)ax bx（1）若ab，求2sin 2cosxx的值；（2）设 f xa b，将函数 yf x的图像向右平移6个单位长度得到曲线C，保持C上各点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的12倍得到 g x的图像，且关于

18、x的方程 0g xm在0,2上有解，求m的取值范围【答案】（1）1 234；（2）1,2.【分析】(1)根据给定条件求出tan x，再利用正余弦齐次式法即可计算得解；(2)求出函数 f x的解析式并化简，再由给定的图象变换求出函数 g x，最后由给定定义域求出值域即可.【详解】(1)因(1,cos),(sin,3)ax bx，且ab，则有sin3cos0 xx，即tan3x ，第 11 页 共 14 页 于是得2222222sincoscos2tan12(3)11 2 3sin2cossincostan14(3)1xxxxxxxxx，所以2sin 2cosxx的值是1 234；(2)依题意，(

19、)sin3cos2sin()3f xxxx，2sin 26g xx，因0,2x，则72,666x，有1sin(2),162x，于是得()1,2g x ，因方程 0g xm在0,2上有解，即()mg x在0,2上有解，则 1,2m，所以m的取值范围是 1,2.20设函数2()(2)ln()f xxaxax aR.（1）若3x 是()f x的极值点，求()f x的单调区间；（2）若()1f x 恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是(0,1),(3,)，单调递减区间是(1,3)；（2）2a.【分析】（1）先求导，令(3)0f，检验即得解；代入6a，分别令()0fx，()0fx得到单增

20、区间和单减区间；（2）转化()1f x 为min()1f x，分0a，0a 两种情况讨论即可【详解】（1）(2)(1)()2(2)(0)axa xfxxaxxx，2(3)40,63afa，经检验符合条件 2(3)(1)()xxfxx，令()0fx，有01x或3x，令()0fx，有13x，所以()f x的单调递增区间是(0,1),(3,)，单调递减区间是(1,3).（2）由题意min()1()1f xf x 当0a 时，令()0fx，有1x，令()0fx，有01x，所以()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，所以min()(1)1f xfa 1 1a ，即2a 当0a 时，(1)

21、10fa 不成立.综上，2a.21如图，在四棱锥 PABCD 中,PA 平面ABCD，底面ABCD为正方形，2PAAD，EF，分别为PDPC，的中点 第 12 页 共 14 页 (1)求证：CD 平面PAD；(2)求直线AF与底面ABCD所成角的正弦值；(3)求平面AEF与底面ABCD所成的较小角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)33(3)22 【分析】（1）运用线面垂直的判定定理可证明.（2）建立空间直角坐标系，利用直线AF的方向向量与底面ABCD 的法向量，可求得结果.（3）利用两个面的法向量，可求得两个面所成角的余弦值.【详解】（1）因为PA平面ABCD，CD 平面ABCD，则CDP

22、A，又底面ABCD为正方形，则CDAD，因为ADPAA，又ADPA、平面PAD，故CD 平面PAD；（2）以点A为坐标原点，,AB AD AP所在直线为,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则0 0 00110,0,22,2,0111AEPCF,，,，,，所以1,1,1AF，又平面ABCD的一个法向量为0,0,1m，第 13 页 共 14 页 设直线AF与底面ABCD所成角为，则13sincos33 1AF mAFmAF m，所以 直线AF与底面ABCD所成角的正弦值为33；（3）由（2）知011111AEAF,，,，设平面AEF的法向量为nxyz，则00n AEn AF，即 00yz

23、xyz，令1y，则1z ，故0,1,1n，又平面ABCD的一个法向量为0,0,1m ，则12cos21 1 1n mnmn m，所以平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值为22 22已知函数 Rf xelnxax a(1)讨论 f x的单调性；(2)当ea 时，证明 e2e0 xxf xx【答案】(1)当0a，f x在0,上单调递增，当0a 时，f x在e0,a上单调递增，在e,a上单调递减；(2)证明见解析 【分析】（1）首先求导得到 e0fxa xx，再分类讨论求解即可.（2）首先将题意等价于只需证 e2exf xx，令 e2e0 xg xxx，再证 maxminf xg x即可.【详解】（1）e0fxa xx，若0a，则0fx，f x在0,上单调递增；若0a，则当e0 xa时，0fx，当exa 时，0fx，第 14 页 共 14 页 故 f x在e0,a上单调递增，在e,a上单调递减（2）因为0 x，所以只需证 e2exf xx.当ea 时，由（1）知，f x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，所以 max1ef xf.记 e2e0 xg xxx，则 21 exxgxx，所以当01x时，0g x，g x单调递减，当1x 时，0gx，g x单调递增，所以 min1eg xg 综上，当0 x 时，f xg x，即 e2exf xx，即证：e2e0 xxf xx.