2022-2023学年河北省定州市高二上学期期末数学试题(解析版).pdf
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1、第 1 页 共 22 页 2022-2023 学年河北省定州市高二上学期期末数学试题 一、单选题 1抛物线24yx的焦点坐标为()A(1,0)B(1,0)C1(0,)16 D1(0,)16【答案】D【分析】先将抛物线方程化为标准方程,从而可求出其焦点坐标【详解】解:由24yx,得214xy,所以抛物线的焦点在y轴的正半轴上,且124p,所以18p,1216p,所以焦点坐标为1(0,)16,故选:D 2“1a”是“直线0 xy和直线20 xa y垂直”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据两直线垂直与斜率之间的关系求解即可.【详解】当1
2、a 时,两条直线的方程为0 xy和0 xy,斜率分别为1,1,则1 11 ,所以两直线垂直,当直线0 xy和直线20 xa y垂直时,2111a ,解得1a,所以“1a”是“直线0 xy和直线20 xa y垂直”的充要条件,故选:C.3数列 na满足111()nnanNa,且12a,则2022a的值为()A2 B1 C12 D-1【答案】D【分析】根据数列的递推关系式,求得数列的周期性,结合周期性得到20223aa,即可求解.第 2 页 共 22 页【详解】解:由题意,数列 na满足111()nnanNa,且12a,可得234511,1,2,22aaaa,可得数列 na是以12,12三项为周期
3、的周期数列,所以2022673 3 331aaa .故选:D.4圆222124xy关于直线40 xy对称的圆的方程为()A22644xy B22824xy C22824xy D22644xy【答案】C【分析】求圆心关于直线对称得到的圆心,列方程组可求解,从而可确定对称圆的方程.【详解】设圆222124xy的圆心(2,12)关于直线40 xy对称的点为(,)a b,则有12122124022baab 整理得106abab解得82ab,因为关于直线对称的两个圆半径相等,所以所求圆的半径为 2,所以所求圆方程为22824xy,故选:C.52022 北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时,尽显中国
4、人之浪漫倒计时依次为:大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春,已知从冬至到夏至的日影长等量减少,若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为 31.5 寸,问大雪、寒露的日影长之和为()A21 寸 B20.5 寸 C20 寸 D19.5 寸【答案】A【分析】由题意可得日影长可构成等差数列 na,且14731.5aaa可求出4a,从而可求出大雪、寒露的日影长之和为2642aaa.【详解】因为从冬至到夏至的日影长等量减少,第 3 页 共 22 页 所以日影长可构成等差数列 na,因为冬至、立冬、秋分
5、三个节气的日影长之和为 31.5,所以14731.5aaa,则4331.5a,得410.5a,所以大雪、寒露的日影长之和为26422 10.521aaa(寸),故选:A 6在以下命题中:三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面;若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线;对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若222OPOAOBOC,则P,A,B,C四点共面 若a,b是两个不共线的向量,且,0cabR ,则,a b c构成空间的一个基底 若,a b c为空间的一个基底,则,2,ab bca ca 构成空间的另一个基底;其中真命题的个数是(
6、)A0 B1 C2 D3【答案】D【分析】直接利用空间基底,共面向量,共线向量的基础知识的应用求出结果【详解】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.根据空间基底的定义,三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面;故命题正确 由空间基底的定义,若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线,若a,b不共线,则a,b共面,一定有向量与a,b不共面;故命题正确 对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,当222OPOAOBOC时,若P,A,B,C四点共面,则APABAC,OPOAOBOAOCOA,1OPOAOBOC,1222 ,方程组无解,故
7、P,A,B,C四点不共面;故命题错误 若a,b是两个不共线的向量,且(,0)cabR ,则向量c与a,b构成共面向量,第 4 页 共 22 页 ,a b c不能构成空间的一个基底;故命题错误 利用反证法:若,ab bc ca不能构成空间的一个基底,则这三个向量共面,设()()(,R)abx bcy ca x y,当0 xy,a与b共线,当0 xy,得11yxcabxyxy,都有,a b c共面,由于,a b c为空间的一个基底,得出矛盾,所以,ab bc ca能够成空间的一个基底,故命题正确 真命题有 3 个.故选:D 7足球起源于中国古代的蹴鞠游戏“蹴”有用脚蹴、踢的含义,“鞠”最早系外包皮
8、革、内饰米糠的球,因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动,已知某“鞠”的表面上有四个点,P A B C,满足2PA,PA 面 ABC,ACBC,若23P ABCV,则该“鞠”的体积的最小值为()A4 23 B8 23 C92 D98【答案】B【分析】作出辅助线,找到球心的位置,得到 PB为球的直径,推导出要想该“鞠”的体积最小,只需AB 最小,由23P ABCV得到2AC BC,结合基本不等式,求出AB最小值,从而得到直径最小值,求出体积最小值.【详解】因为2PA,PA 面 ABC,ACBC,故 AB为三角形 ABC所在小圆的直径,取 AB 中点O,过O作/POOA,交 BP于点 O,则
9、O即为球心,PB 为球的直径,要想该“鞠”的体积最小,只需 PB 最小,由于2224PBPAABAB,故只需 AB最小,其中22ABACBC,故111223323P ABCABCVSPAAC BC,解得:2AC BC,由基本不等式得:2224ACBCAC BC,当且仅当2ACBC时,等号成立,故AB最小值为 2,此时直径最小值为2422 2PB,所以该“鞠”的体积最小值为 348 2233.第 5 页 共 22 页 故选:B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时,解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题,注意球心到各个顶点的距
10、离相等,解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半径.8 如图,1F,2F分别是双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点,点P是双曲线与圆2222xyab在第二象限的一个交点,点Q在双曲线上,且1212FPF Q,则双曲线的离心率为()A102 B2 C3 D173【答案】D【分析】连接21,PF QF,设12PFF,设1PFn,由题意推得12PFPF,可得2222nban,根据1212FPF Q,可得2|2F Qn,在在12F F Q中,由余弦定理推得222bann,从而求得32an,2bn,可得721cn,进而求得双曲线离心率.
11、【详解】由题意知22122,FFc cab,连接21,PF QF,设12PFF,设1PFn,第 6 页 共 22 页 由双曲线的定义可得22PFan,点P是双曲线与圆2222xyab在第二象限的一个交点,可得12PFPF,则222(2)4nanc,即2222nban,在12Rt FPF 中,12coscos2nPFFc,由 1212FPF Q,则2|2F Qn,由双曲线的定义可得122FQan,因为1212FPF Q,故1FP2F Q,所以21QF F,在12F F Q中,21coscos2nQF Fc ,由余弦定理可得:222121221221|2|cosQQFFFFFFFQF FQ,即22
12、2(2+2)(2)(2)2 22()2nanncncc,所以222bann,结合2222nban,可得 32an,2bn,所以2222174acbn,故721cn 所以双曲线的离心率为e,则31732172ncean,故选;D【点睛】方法点睛:求解双曲线的离心率问题,一般是要推出,a b c之间的关系式,即可求得离心率,本题中,结合题意连接21,PF QF,设12PFF,设1PFn,利用图形的几何性质,结合余弦定理,逐步求得32an,2bn,则问题得解.9如果0AB,0BC,那么直线0AxByC经过()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B 第 7 页 共 22 页【分析】分
13、0,0,0ABC,0,0,0ABC两种情况,得到直线所过象限,得到答案.【详解】0AB,0BC,若0,0,0ABC,则0AxByC经过第一、二、三象限;若0,0,0ABC,则0AxByC经过第二、三、四象限,综上:直线0AxByC一定经过第二象限.故选:B 二、多选题 10等差数列 na的前n项和为nS,若10a,公差0d,则()A若48SS,则120S B若48SS,则6S是nS中最大的项 C若56SS,则45SS D若34SS,则45SS【答案】ABD【分析】根据48SS可推得670aa,利用等差数列的性质以及前 n项和公式,可判断 A;由48SS可推出670aa,进而判断6700aa,则
14、0d ,即可判断 B;由56SS可得60a,0d,56aad,无法判断5a的正负,可判断 C;由34SS推出40a,0d,则540aad,由此判断 D.【详解】由48SS,得845678672(0)SSaaaaaa,所以670aa,则112126712()602aaSaa,A 正确;因为48SS,所以845678672(0)SSaaaaaa,即670aa,因为10a,0d,所以6700aa,则0d ,等差数列 na为递减数列,则则6S是nS中最大的项,B 正确;若56SS,则650SS,即60a ,因为10a,0d,则0d,故56aad,无法判断5a的正负,第 8 页 共 22 页 故554S
15、aS,不能判断45SS,C 错误;因为34SS,所以4340SSa,因为10a,0d,所以0d,则540aad,则5454SSaS,D 正确,故选:ABD 11如图,正方体1111ABCDABC D的棱长为 1,则下列四个命题正确的是()A两条异面直线1DC和1BC所成的角为3 B直线BC与平面11ABC D所成的角等于4 C点 D 到面1ACD的距离为3 D三棱柱1111AA DBBC外接球半径为32【答案】ABD【分析】证明11/BCAD,求出1AD C即可判断 A 项;可证1B C 平面11ABC D,则直线BC与平面11ABC D所成的角为1CBC,即可判断 B 项;根据等体积转换11
16、DACDDACDVV,即可求点 D到面1ACD的距离,进而判断 C 项;三棱柱1111AA DBBC的外接球即为正方体1111ABCDABC D的外接球,直接求正方体外接球的半径即可判断 D 项【详解】对于 A 项,如图 1,连接AC、1CD 因为AB11C D且AB11C D,则四边形11ABC D为平行四边形,11/BCAD,所以异面直线1DC和1BC所成的角的大小即等于直线1DC和1AD所成的角1AD C的大小.又112ACADDC,则1ACD为正三角形,即13ADC,故 A 正确;第 9 页 共 22 页 对于 B 项,如图 2,连接1BC.在正方形11BBC C中,11BCBC.因为
17、AB平面11BB C C,1B C 平面11BB C C,所以AB1BC.又1ABBCB,AB平面11ABC D,1BC 平面11ABC D,所以1B C 平面11ABC D.所以,直线BC与平面11ABC D所成的角为14CBC,故 B 正确;对于 C 项,如图 1,设点 D 到面1ACD的距离为h.因为1ACD为正三角形,所以1113sin232ACDSACAD.又.1122ACDSADCD.根据等体积转换可知:11DACDDACDVV,即111133ACDACDShSDD,即111133232h ,所以33h,故 C 项错误;对于 D 项,三棱柱1111AA DBBC的外接球即为正方体1
18、111ABCDABC D的外接球,则外接球的半径即为正方体1111ABCDABC D体对角线的一半,即32R,故 D 项正确.故选:ABD 121970 年 4 月 24 日,我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”,从此我国开始了人造卫星的新篇章,人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c,下列结论正确的()第 10 页 共 22 页 A卫星向径的取值范围是,ac ac B卫星在左半椭圆弧的运行时
19、间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小 D卫星向径的最小值与最大值的比值越小,椭圆轨道越圆【答案】ABC【分析】根据椭圆的定义以及几何性质,结合题意依次判断每个选项,可得答案.【详解】A 选项:根据椭圆的定义可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离,所以最小值为ac,最大值为ac,所以 A 正确;B 选项:因为运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,所以卫星运行速度在近地点时向径越小,在远地点时向径越大,卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间,内扫过的面积相等,则向径越大,速度越小,卫星在左半椭圆弧运动时向径大于在右半椭圆弧运动时的向径,所以卫星
20、在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间,故 B 正确;C 选项因为卫星运行速度是变化的,所以卫星运行速度在近地点时向径越小,在远地点时向径越大,卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等,根据面积守恒规律,卫星在近地点时向径最小,故速度最大,在远地点时向径最大,故速度最小,故 C 正确;D 选项:设 e 为椭圆得离心率,卫星向径的最小值与最大值的比值越小,即12111aceacee 越小,则 e越大,椭圆越扁,故 D 不正确,故选:ABC 三、填空题 13在三棱锥OABC中,,OA OB OC两两垂直,3OA,4OB,5OC,D 是AB的中点,E为OC的中点,则DE
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- 2022 2023 学年 河北省 定州市 高二上 学期 期末 数学试题 解析
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