2022-2023学年山西省运城市康杰中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 18 页 2022-2023 学年山西省运城市康杰中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1已知直线1:30laxy，2:(2)10laxy 互相平行，则 a等于（）A2 B1 C0 D1【答案】D【分析】利用两直线平行的必要条件1221A BA B求得实数 a的值，进而检验即可.【详解】两直线平行，112aa ，解得1a,此时，两直线方程为1:30lxy，2:10lxy，两直线互相平行，符合题意.故选：D.2已知函数 4sin30 xff xx，则 0f（）A1 B2 C1 D2【答案】B【分析】先求 fx，再求 0f 的值.【详解】解：因为 4sin30 xff xx，所以

2、 4cos30fxxf，所以 0430ff，解得 02f 故选：B.3已知nS是等差数列 na的前n项和，且70a，690aa则（）A数列 na为递增数列 B80a CnS的最大值为8S D140S【答案】B【分析】由70a 且78690aaaa，所以80a，所以公差870daa，所以17n时0na，8n时0na，逐项分析判断即可得解.【详解】由70a 第 2 页 共 18 页 且78690aaaa，所以80a，故 B 正确；所以公差870daa，数列 na为递减数列，A 错误；由0d，70a，80a，所以17n，0na，8n时，0na，nS的最大值为7S，故 C 错误；114147814()

3、7()02aaSaa，故 D 错误.故选：B 4已知空间向量a，b，1a，2b，且ab与a垂直，则a与b的夹角为（）A60 B30 C135 D45【答案】D【分析】根据已知可得0aab，根据数量积的运算律即可求出2cos,2a b，进而求出结果.【详解】因为ab与a垂直，所以0aab，即22cos,12cos,0aa baaba ba b，所以2cos,2a b.又0,180a b，所以,45a b.故选：D.5曲线3()2f xxx在 P0处的切线垂直于直线114yx，则 P0的坐标为（）A1,0 B2,8 C1,0或1,4 D2,8或1,4 【答案】C【分析】求函数的导数，令导数等于 4

4、 解方程，求得0P点的横坐标，进而求得0P点的坐标.第 3 页 共 18 页【详解】曲线3()2f xxx在 P0处的切线垂直于直线114yx，所以切线的斜率为 4，依题意，令2()314fxx，解得1x，(1)1 120,(1)1 124ff ，故0P点的坐标为1,0和1,4，故选：C 6我国古代数学著作九章算术中记载问题：“今有垣厚十六尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是：今有土墙厚16尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠相逢需要的最

5、少天数为（）A3 B4 C5 D6【答案】C【分析】设大鼠第n天打洞na尺，小鼠第n天打洞nb尺，其中Nn，分析可知两数列均为等比数列，确定这两个数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式以及数列的单调性可求得结果.【详解】设大鼠第n天打洞na尺，小鼠第n天打洞nb尺，其中Nn，则数列 na是首项为1，公比为2的等比数列，111 22nnna，数列 nb是首项为12，公比为12的等比数列，1111222nnnb，设数列nnab的前n项和为nS，则1111 2122211 2212nnnnnS，因为11202nnnnab，故数列 nS单调递增，因为45111616321632SS，故两鼠相遇至少需

6、要5天.故选：C.7若直线0kxyk与曲线212yxx 仅有一个公共点，则实数 k的取值范围是（）A 11,03 B 11,03 C141,33 D141,33 【答案】D 第 4 页 共 18 页【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数k的取值范围【详解】曲线212yxx 即22(1)20(1)xyxy，即22(1)(1)1(1)xyy，表示(1,1)M为圆心，1r 为半径的圆的上半部分，直线0kxyk即(1)yk x 恒过定点(1,0)，作出直线与半圆的图象，如图，考查临界情况：当直线过点(0,1)时，直线的斜率1k，此时直线与半圆有两个交点，当直线

7、过点(2,1)时，直线的斜率13k，此时直线与半圆有 1 个交点，当直线与半圆相切时，圆心(1,1)M到直线0kxyk的距离为 1，且0k，即2|1|11kkk，解得：43k ，(0k 舍去）据此可得，实数k的取值范围是14(1,33 故选：D 8 已知曲线C的抛物线22yx及抛物线22yx 组成，1,2A，1,2B，,M N是曲线C上关于y轴对称的两点（,A B M N四点不共线，且点M在第一象限），则四边形ABNM周长的最小值为（）A217 B117 C3 D4【答案】B【分析】根据1,2A，1,2B，,M N是曲线C上关于y轴对称的两点，结合抛物线的对称性建立四边形ABNM周长模型22M

8、lABAMx，再由抛物线的定义得到221MxMF，然后由直线段最短求解.【详解】设抛物线22yx的焦点为F，则四边形ABNM的周长:222221 1 2117MlABAMxAMMFAF ，第 5 页 共 18 页 当,A M F共线时取等号，故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质以及四边形周长最值问题，属于中档题.二、多选题 9已知空间中三点0,1,0A，2,2,0B，1,3,1C，则下列结论正确的有（）AABAC B与AB共线的单位向量是1,1,0 CAB与BC夹角的余弦值是5511 D平面ABC的一个法向量是1,2,5【答案】AD【分析】A 选项，数量积为 0，则两向量垂直；

9、B 选项，判断出1,1,0不是单位向量，且与AB不共线；C 选项，利用向量夹角坐标公式进行求解；D 选项，利用数量积为 0，证明出,mAB mBC，从而得到结论.【详解】2,1,01,2,1220AB AC ，故ABAC，A 正确；1,1,0不是单位向量，且1,1,0与2,1,0AB 不共线，B 错误；2,1,03,1,1555cos,1151155AB BCAB BCABBC ，C 错误；设1,2,5m，则 1,2,52,1,0220m AB，1,2,53,1,13250m BC ，所以,mAB mBC，又ABBCB，所以平面ABC的一个法向量是1,2,5，D 正确.故选：AD 10设等比数

10、列 na的公比为 q，其前 n项和为nS，前 n 项积为nT，且满足条件11a，202220231aa，20222023110aa，则下列选项正确的是（）A01q B202220231SS C2023T是数列 nT中的最大项 D40431T【答案】ABD 第 6 页 共 18 页【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，则202220231010aa 或202220231010aa ，11a，202220231aa，所以20221a，20231a，推得公比01q，即可依次求解【详解】20222023(1)(1)0aa，则202220231010aa 或202220231010aa ，11a，2

11、02220231aa，2022a和2023a同号，且同为正，且一个大于 1，一个小于 1，11a，20221a，20231a，即数列na的前 2022 项大于 1，而从第 2023 项开始都小于 1，对于 A，公比2023202201aqa，故 A 正确，对于 B，20231a，2023202320221aSS，即202220231SS，故 B 正确，对于 C，等比数列na的前n项积为nT，且数列na的前 2022 项大于 1，而从第 2023 项开始都小于 1，故2022T是数列 nT中的最大项，故 C 错误，对于 D，4043404312340432022Ta a aaa，20221a，4

12、04320221a，即40431T，故 D 正确 故选：ABD 11已知双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，且122FF，点P是双曲线第一象限内的动点，12FPF的平分线交x轴于点M，2F E垂直于PM交PM于E，则以下结论正确的是（）第 7 页 共 18 页 A当点2F到渐近线的距离为12时，该双曲线的离心率为2 33 B当13PFa时，点M的坐标为1,02 C当12PFPF时，三角形12FPF的面积1S D若12OE，则双曲线的渐近线方程为33yx 【答案】AB【分析】利用点到直线的距离公式求出b的值，可求得双曲线的离心率，可判断 A 选项；利用角平分线的性质

13、求出点M的坐标，可判断 B 选项；利用双曲线的定义、勾股定理以及三角形的面积公式可判断 C 选项；利用双曲线的定义求出a的值，进而可求得b的值，可得出双曲线的渐近线方程，可判断 D 选项.【详解】对于 A 选项，双曲线的渐近线方程为byxa，即0bxay，点2F到渐近线的距离为2212bcbba，且1222FFc，故1c，所以，2232acb，此时，双曲线的离心率为2 33cea，A 对；对于 B 选项，若13PFa，由双曲线的定义可得212PFPFaa，12111122221sin231sin2PF MPF MPF PMFPMSFMPFF MSPFPFPMF PM，则123FMF M，设点,

14、0M m，由123FMF M可得13 1mm，解得12m，即点1,02M，B 对；对于 C 选项，当12PFPF时，由题意可得122221224PFPFaPFPFc，所以，22221212122424PFPFPFPFcPFPFa，可得2122PFPFb，此时，1 2212112PF FSPFPFb，C 错；对于 D 选项，设直线2F E交直线1PF于点N，如下图所示：第 8 页 共 18 页 由已知，2EPNEPF，2PENF，所以，2PNF为等腰三角形，且2PNPF，E为2NF的中点，又因为O为12FF的中点，则121FNOE，且111221FNPFPNPFPFa，故12a，则2232bca

15、，此时，双曲线的渐近线方程为3byxxa ，D 错.故选：AB.12已知函数 f x，fx是其导函数，0,2x，cossinlnfxxfxxx恒成立，则（）A 3cos13163fff B5312312ff C2364ff D231124ff【答案】ABD【分析】构造函数 0cos2f xg xxx，利用导数判断函数的单调性，依次判断各个选项，进而得解.【详解】设 0cos2f xg xxx，则 22cossinlncoscosfxxf xxxgxxx，当01x时，0g x，当12x时，0gx，所以 g x在0,1上单调递减，在1,2上单调递增，所以 16gg，13gg，所以 2163ggg，

16、即 221623cos13fff，所以 3cos13163fff，故 A 正确；因为513122，所以5312gg，又562coscos12644，第 9 页 共 18 页 所以5312312ff，故 B 正确；因为011264，所以64gg，124gg，即coscos6446ff，coscos124412ff，因为26cos124，所以2364ff，231124ff，故 C 错误，D 正确 故选：ABD 三、填空题 13已知空间三点2,0,2A，1,1,2B，3,0,4C，设aAB，bAC，3c，且/cba，则c _.【答案】2,1,2或2,1,2【分析】先求得ba，然后根据向量共线以及向量

17、的模求得c.【详解】2,1,2baACABBC，由于/cba，所以 2,1,22,2cxxxx，所以2224433,1cxxxxx，所以c为2,1,2或2,1,2.故答案为：2,1,2或2,1,2 14已知数列 na的前 n 项和nS满足22nnnS，则数列11nna a的前 2022 项的和为_【答案】20222023【分析】利用nS求得na，再结合裂项求和法，即可求得结果.【详解】当2n 时，2211122nnnnnnnaSSn，又111aS满足nan，故*,Nnan n，则数列11nna a的前 2022 项的和122320222023111Sa aa aaa 1111111112022

18、111 22 3202220232232022202320232023 .第 10 页 共 18 页 故答案为：20222023.15已知椭圆2222:10 xyCabab的左右焦点分别为1F，2F，过1F作倾斜角为30的直线，与以坐标轴原点O为圆心，椭圆半焦距为半径的圆交于点A（不同于点1F），与椭圆C在第一象限交于点B，若221212F AF FF B，则椭圆C的离心率为_【答案】312【分析】由221212F AF FF B与12F AF为直径所对的圆周角得出2F A为线段1FB的垂直平分线，再结合已知条件中的角与椭圆的定义得出122F Fc且222 3F Bac，列式即可得出答案.【详

19、解】221212F AF FF B，点 A 是线段1FB的中点，12F AF为直径所对的圆周角，21F AFB，2F A为线段1FB的垂直平分线，122FFF B，112FBF A，过1F的直线的倾斜角为30，1230AFF，2122F AFF，1F，2F为椭圆 C的焦点，122FFc，22F Bc且2F Ac，22123F Accc，12 3FBc，点 B 在椭圆 C上，122FBF Ba，222 3F Bac，第 11 页 共 18 页 222 3cac，即312cea，故答案为：312.16 设函数 sinee2xxf xxx，则满足 224f xf x的x的取值范围是_.【答案】2,1

20、【分析】设函数 2g xf x，判断 g x的单调性与奇偶性，把不等式 224f xf x变形为 2222f xfx 转化为 g x的不等式解决.【详解】设 2sineexxg xf xxx,因为 g x的定义域为R关于原点对称.又因为2sineesineexxxxgxxfxxxx sineexxxxg x ，即 gxg x 所以 g x是定义在R上的奇函数.又 cosee1+xxgxfxx 又因为ee2 ee2xxxx当且仅当0 x 时取等号 所以 0+cosee1 1 cosxxgxfxxx 所以 g x在R上单调递增.又 224f xf x 2222f xfx 即 22g xg x，又因

21、为 g x是定义在R上的奇函数，所以222g xgxgx 所以 22g xgx 又因为 g x在R上单调递增 所以22xx，即220 xx 所以210 xx 所以2 1x 第 12 页 共 18 页 所以满足 224f xf x的x的取值范围是2,1 故答案为：2,1 四、解答题 17等比数列na的各项均为正数，且1310aa，23264aaa.（1）求数列na的通项公式；（2）求数列nn a的前n项和nT.【答案】（1）2nna；（2）1(1)22nnTn.【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可.【详解】解：（1）设数列na

22、的公比为q，则0q，由2232644aaaa 得：24q，所以2q.由131114510aaaaa，得到12a 所以数列na的通项公式为2nna.（2）由条件知，231 2223 22nnTn 又234121 2223 22nnTn 将以上两式相减得 23111222222(21)2(1)22nnnnnnTnnn 所以1(1)22nnTn.18已知函数 lnf xxxx (1)求 f x的极值；(2)若函数 yfxm在1,e上有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围【答案】(1)极小值为1，无极大值 第 13 页 共 18 页(2)21em 【分析】（1）求出 fx，分别令0fx、0fx，解不

23、等式可得答案；（2）可转化为 yf x与ym的图象有两个不同的交点，结合图象可得答案.【详解】（1）lnf xxxx ，lnfxx，令0fx，解得1x；令 0fx，解得01x，f x的单调递增区间为1,，单调递减区间为0,1，f x在 x1 处取得极小值 11f，无极大值；（2）yfxm在1,e上有两个不同的零点，可转化为 yf x与ym的图象有两个不同的交点，由（1）易知，min11f xf，又12eef，当x 时，显然 f x，21em 19已知O为坐标原点，过点1,0F的圆M与直线l：=1x相切，设圆心M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点1,0F的直线交曲线C于A、B两点，

24、线段AB的垂直平分线交x轴于点4,0P，求AOB的面积S.【答案】(1)24yx(2)6S 【分析】（1）设点,M x y为曲线C上任意一点，依题意可得MF与点M到直线l的距离相等，即第 14 页 共 18 页 2211xyx，整理即可；（2）首先分析直线的斜率存在且不为0，设直线AB方程为1yk x，11,A x y，22,B xy，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，求出线段AB的中点00,N x y的坐标，依题意可得直线AB与直线NP垂直，即可求出k，再由弦长公式求出AB，求出原点到直线的距离，即可得解.【详解】（1）解：设点,M x y为曲线C上任意一点，因为圆M过点1,0F且与直

25、线l：=1x相切，所以MF与点M到直线l的距离相等，故2211xyx，整理得24yx，所以曲线C的方程为24yx；（2）解：过点1,0F的斜率为0的直线与抛物线只有 1 个交点，不满足要求，过点1,0F的斜率不存在的直线为1x，直线1x 与抛物线24yx的交点为1,2，1,2，此时线段AB的垂直平分线为0y，不满足要求，所以直线斜率存在且不为0，设直线AB方程为1yk x，0k，由214yk xyx得2440kyyk，方程2440kyyk的判别式216 160k，设11,A x y，22,B xy，则124yyk，124y y 设线段AB中点00,N x y，12022yyyk，0021211

26、xykk，因为线段AB的垂直平分线交x轴于点4,0P，所以直线AB与直线NP垂直，故002222122433NPykk kkkxkk，解得22k.又因为21212122211114AByyyyy ykk 221161166kk，原点O到直线AB的距离 22631kdk，第 15 页 共 18 页 故AOB的面积11666223SAB d.20如图，在圆柱1OO中，CE是圆柱的一条母线，ABCD 是圆 O的内接四边形，AB 是圆 O的直径，/CD AB.(1)若2ABCD，求证：/AD平面 CEO；(2)若112CDCEAB，求直线 BE与平面 ADE所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2

27、)427 【分析】（1）由已知得四边形AOCD为平行四边形，得到/AD OC，再由线面平行的判定定理可得答案；（2）以 O 为坐标原点，分别以 CA，CB，CE 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz，求出平面ADE的一个法向量、BE的坐标，由线面角的向量求法可得答案.【详解】（1）因为2ABCD所以AOCD因为/CD AB，所以四边形AOCD为平行四边形，所以/AD OC，又因为OC 平面CEO，AD 平面CEO，所以/AD平面CEO；（2）以 O为坐标原点，分别以 CA，CB，CE所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，第 16 页 共 18 页

28、因为/CD AB，所以1BC，3AC，30BAC，则点3,0,0A，0,1,0B，31,022D，0,0,1E，所以3,0,1AE ，3 1,122DE，0,1,1BE，设平面ADE的法向量为111,mx y z，则00m AEm DE，即111113031022xzxyz，令13x，可得3,3,3m，设直线 BE与平面 ADE所成角为，3342sincos,7212m BEm BEmBE 所以直线 BE 与平面 ADE所成角的正弦值为427.21已知椭圆C：222210 xyabab，长轴是短轴的 2 倍，点2 3,1P在椭圆C上，且 P在x轴上的投影为点 Q.(1)求椭圆C的方程；(2)若

29、过点 Q 且不与 y 轴垂直的直线l与椭圆C交于 M，N两点，在 x轴的正半轴上是否存在点,0T t，使得直线 TM，TN斜率之积为定值?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)221164xy(2)存在，4t 第 17 页 共 18 页【分析】（1）由题意列方程组求解，（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理与斜率公式化简求解，【详解】（1）由题意得2ab，221211ab，解得224,16ba，故椭圆C的方程为221164xy，（2）由题意得(2 3,0)Q，设直线方程为2 3xmy，代入22416xy得22(4)4 340mymy，设1122(,),(,)M x yN

30、 xy，则1221224 3444myymy ym，而121222121212()()(2 3)()(2 3)TMTNy yy ykkxtxtm y yt m yyt 化简得222244(4 324)(4 312)(4)TMTNkkmtmttm2224(16)4(4 312)tmtt 当TMTNkk为定值时，2160t，0t，故4t，存在4t 使得直线 TM，TN斜率之积为定值 22已知函数 1()ln1Rf xxxa xa(1)当0a 时，求 f x的单调区间；(2)若 0f x 对任意1,x恒成立，求实数a的取值范围【答案】(1)f x的递增区间为0,，无递减区间；(2),2 【分析】(1

31、)对()f x求导，得1()ln1fxxx，令1()ln1g xxx，对()g x求导，利用()g x 的正负确定()g x的单调性及最小值，从而确实()fx的正负及()f x的单调区间；(2)由(1)可得()fx()g xa，然后分 a2 和 a2 两种情况讨论()f x的单调性及最值，即可得答案.【详解】（1）解：当0a 时，()(1)ln,(0,)f xxx x，求导1()ln1fxxx，设1()ln1g xxx，第 18 页 共 18 页 则22111()xg xxxx，令()0g x ，解得：1x ；()0g x，01x，()g x 在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，则mi

32、n()(1)2g xg，()20fx 在（0，+）上恒成立，()f x的递增区间为（0，+），无递减区间；（2）解：1()ln1Rf xxxa xa，由（1）知：1()ln1fxxax()g xa，又因为()g x在（1，+）单调递增，则 g（x）g（1）2，当 a2 时，()0fx，()f x在1，+）单调递增，()(1)0f xf，满足题意 当 a2 时，设1()ln1xxax，则()x22111xxxx，当1x时，()x0，()x在1，+）递增，(1)20a，(e)1e0aa，0(1,e)ax，使0()0 x，()x在1，+）单调递增，当0(1,)xx时，()x0，即()fx0，所以()f x在0(1,)xx上单调递减，又(1)0f，当0(1,)xx时，()(1)0f xf，不满足题意 a的取值范围为2a，综上可知：实数a的取值范围（，2