2022-2023学年湖北省重点高中智学联盟高二上学期12月联考数学试题(解析版).pdf
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1、第 1 页 共 26 页 2022-2023 学年湖北省重点高中智学联盟高二上学期 12 月联考数学试题 一、单选题 1已知直线斜率为33,则直线的倾斜角为()A56 B23 C3 D6【答案】A【分析】根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案.【详解】设倾斜角为,依题意3tan3,由于0,所以56.故选:A 2设抛物线2:8C xy的焦点为F,点P在C上,0,6Q,若PFQF,则PQ()A4 2 B4 C4 3 D6【答案】A【分析】根据题意,结合焦半径公式得4,2P,再计算PQ即可.【详解】解:由题知抛物线2:8C xy的焦点为0,2F,因为0,6Q,所以4PFQF,因为点P在C上,所以,由焦半
2、径公式得42PPFQFy,解得2Py,所以,4,2P,4 2PQ.故选:A 3如图,正方体1111ABCDABC D中,,M N P分别是所在棱的中点,设经过,M N P的平面与平面11ADD A的交线为l,则l与直线1BC所成的角为()第 2 页 共 26 页 A30 B45 C60 D90【答案】D【分析】通过线面之间的关系,在面上延长一部分线,题目条件中实实在在的线,补全立体图形,找到平面MNP与平面11ADD A的交线l,再将1BC平移到1A D,在同一个平面中,去求直线l与直线1BC所成的角.【详解】如图,延长MN交CD于E,连接PE交1DD于H,取DC的中点F,连接FM与FP,由三
3、角形相似知H是1DD的中点,连接NH,NH即为所求的 l,由正方体可知11lADBC,又正方形11BCC B中11BCBC,第 3 页 共 26 页 1lBC,l与直线1BC所成的角为90,故选:D.【点睛】本题为立体几何线线角关系问题,当两个平面的交线没有直接画出时,需要我们利用题目所给条件来补出图形,将两条直线通过平移变换等手段,在同一个平面中处理其角度问题,对学生的空间想象力要求较高,学会几何中线线基本关系来处理线线角,为中档题.4如图,在棱长为1的正四面体OABC中,点M、N分别在线段OA、BC上,且2OMMA,2CNNB,则MN等于()A63 B23 C53 D2 39【答案】C【分
4、析】由题知121333MNabc,再求向量的模即可.【详解】解:设OA a,OB b,OCc,点M在OA上,且2OMMA,2CNNB,1133OMOAa,121333ONOBBNOBOCOBbc,121333MNONOMabc,又空间四面体OABC的棱长均为1,1abc,,3a bb ca c 22222121141442333999999MNabcabca bb ca c 14141412159999292929 所以,53MN 故选:C 5设mR,过定点A的动直线0 xmy和过定点B的动直线30mxym交于点(,)P x y,则第 4 页 共 26 页 PAPB的最大值是()A4 B10
5、C5 D10【答案】C【分析】由题意可知两条动直线经过定点(0,0)A、()1,3B,且始终垂直,有PAPB,利用勾股定理求出|AB,再利用基本不等式求得答案.【详解】由题意可知,动直线0 xmy经过定点(0,0)A,动直线30mxym即(1)30m xy,经过定点()1,3B,因为110 mm,所以动直线0 xmy和动直线30mxym始终垂直,P又是两条直线的交点,则有PAPB,222|10PAPBAB,故22|52PAPBPAPB(当且仅当|5PAPB时取“”),故选:C 6瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉
6、线”若ABC满足ACBC,顶点1,0A,1,2B,且其“欧拉线”与圆 M:2223xyr相切,则下列结论正确的是()A圆 M上的点到原点的最大距离为32 B圆 M上不存在三个点到直线10 xy 的距离为2 C若点,x y在圆 M 上,则1yx的最小值是2 D若圆 M 与圆222xya有公共点,则3,3a 【答案】D【分析】由题意求出AB的垂直平分线可得ABC的欧拉线,再由圆心到直线的距离求得r,得到圆的方程,求出圆心到原点的距离,加上半径判断 A;求出圆心到直线10 xy 的距离判断 B;再由1yx的几何意义,即圆上的点与定点(1,0)P 连线的斜率判断 C;由两个圆有公共点可得圆心距与两个半
7、径之间的关系,求得a的取值范围可判断 D.【详解】对于 A,由题意可得ABC的欧拉线即为AB的垂直平分线,因为1,0A,1,2B,所以AB的中点坐标为(0,1),2011 1ABk ,所以线段AB的垂直平分线方程为1yx,即10 xy,第 5 页 共 26 页 因为“欧拉线”与圆 M:2223xyr相切,所以3 12 22r,所以圆 M:2238xy,所以圆 M上的点到原点的最大距离为32 2,所以 A 错误;对于 B,因为圆心(3,0)M到直线10 xy 的距离为3 122d,而圆的半径为2 2,所以圆 M上存在三个点到直线10 xy 的距离为2,所以 B 错误;对于 C,1yx表示圆上的点
8、(,)x y与定点(1,0)P 连线的斜率,设过(1,0)P 与圆相切的直线方程为(1)yk x,即0kxyk,则 232 21kkk,解得1k ,所以1yx的最小值为1,所以 C 错误,对于 D,圆222xya的圆心为(0,)a,半径为2,因为圆 M:2238xy的圆心为(3,0)M,半径为2 2,所以要使圆 M与圆222xya有公共点,则只要圆心距的范围为 2,3 2,所以22233 2a,解得33a,所以 D 正确,故选:D.7已知点 P在圆225516xy上,点4,0A,0,2B,则错误的是()A点 P 到直线 AB 的距离小于 10 B点 P 到直线 AB 的距离大于 2 C当PBA
9、最小时,3 2PB D当PBA最大时,3 2PB 【答案】B【分析】求出过AB的直线方程,再求出圆心到直线AB的距离,得到圆上的点P到直线AB的距离范围,判断选项 A 与 B;画出图形,由图可知,当过B的直线与圆相切时,满足PBA最小或最大,求出圆心与B点间的距离,再由勾股定理求得PB判断选项 C 与 D【详解】圆22(5)(5)16xy的圆心为(5,5)C,半径为 4,直线AB的方程为142xy,即240 xy,圆心C到直线AB的距离为22|5254|1111 545512,第 6 页 共 26 页 则点P到直线AB的距离的最小值为11 5425,最大值为11 54105,所以点P到直线AB
10、的距离小于 10,但不一定大于 2,故选项 A 正确,B 错误;如图所示,当ABP最大或最小时,PB与圆相切,(P点位于1P时PBA最小,位于2P时PBA最大),连接CP,BC,可知PCPB,22|(05)(25)34BC,|4CP,由勾股定理可得22|3 2BPBCCP,故选项 CD 正确 故选:B 8 用平面截圆柱面,当圆柱的轴与所成角为锐角时,圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家 Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示,将两个大小相同的球嵌入圆柱内,使它们分别位于的上方和下方,并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论:两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点;椭圆的短轴长与嵌入圆柱
11、的球的直径相等;当圆柱的轴与所成的角由小变大时,所得椭圆的离心率也由小变大.其中,所有正确结论的序号是()A B C D 第 7 页 共 26 页【答案】C【分析】根据切线长定理可以证明椭圆上任意一点到12,F F 的距离之和为定值,即12,F F是焦点再运用勾股定理证明短轴长,最后构造三角形,运用三角函数表示离心率即可.【详解】如图:在椭圆上任意一点 P作平行于12OO 的直线,与球1O 交于 F 点,与球2O 交于 E点,则PE,2PF 是过点 P作球2O 的两条公切线,2PEPF,同理1PFPF,1212PFPFPEPFOO,是定值,所以12,F F 是椭圆的焦点;正确;由以上的推导可知
12、:121122,OOOOa OOa ,1OFc,11O F 平面,11111,O FOFOOF 是直角三角形,2221111O FOFOO,即22211O Fca,11O Fb,正确;11FOO 就是平面 与轴线12OO的夹角,在11Rt OOF 中,椭圆的离心率11cosOFceaOO,由余弦函数的性质可知当锐角 变大时,e 变小,错误;故选:C.二、多选题 9下列说法错误的是()A若一条直线的斜率为tan,则此直线的倾斜角为 B过不同两点 1122,A x yB x y的直线方程为112121yyxxyyxx 第 8 页 共 26 页 C线段AB的两个端点11,A x y和22,B xy,
13、则以AB为直径的圆的方程为 12120 xxxxyyyy D经过点2,1且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为30 xy【答案】ABD【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系,直线两点式方程、直线方程的对称及圆的方程逐项判断即可.【详解】若一条直线的斜率为tan,此时可以为负值,而直线的倾斜角的范围为0,,所以 A 不正确.由直线的两点式方程可知过不同两点 1122,A x yB x y 的直线方程为112121yyxxyyxx,但是两点所在直线不能与坐标轴垂直或平行,故 B 错误.根据221212AyBxxy与 2221212224ABxxyyxy 易得圆的方程为:12120 xxxxyyyy,
14、故C 正确.当截距为0时直线方程为12yx,故 D 错误.故选:ABD.10 圆O的半径为定长,r P是圆O上任意一点,A是圆O所在平面上与P不重合的一个定点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点M,当点P在圆上运动时,点M的轨迹可能是()A一个点 B椭圆 C抛物线 D双曲线【答案】ABD【分析】由题设条件线段的垂直平分线的性质,结合圆锥曲线的定义,分类讨论,即可求解.【详解】(1)因为A为圆O内的一定点,P为O上的一动点,线段AP的垂直平分线交半径OP于点M,可得,MAMPMAMOMPMOOPrOA,即动点M到两定点,O A的距离之和为定值,当,O A不重合时,根据椭圆的定义,可知点M的
15、轨迹是:以,O A为焦点的椭圆;当,O A重合时,点M的轨迹是圆;(2)当A为圆O外的一定点,P为O上的一动点,第 9 页 共 26 页 线段AP的垂直平分线交直线OP于点M,可得,MAMPMAMOMPMOOPrOA,即动点M到两定点,O A的距离之差绝对值为定值,根据双曲线的定义,可得点M的轨迹是:以,O A为焦点的双曲线;(3)当A为圆O上的一定点,P为O上的一动点,此时点M的轨迹是圆心O.综上可得:点M的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线.故选:ABD 11已知12F F是双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点,过2F作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为点A,交另一条渐近线于点B,且2
16、212AFF B,则该双曲线的离心率为()A2 33 B3 C2 D2 3【答案】AC【分析】由题意可知:分2212AFF B和2212F AF B两种情况,分别求解,设2a,根据双曲线的几何性质,即可求得b的值,代入离心率公式,即可求解.【详解】如图,当2212AFF B时,设2F OA,则2BOA,设2a,双曲线的渐近线方程为byxa,所以tanba,在2Rt OAF中,2tanAFbOAa,设2,(0)AFbt OAat t,因为22222AFOAOF,所以222()()btatc,又因为222cab,所以1t,则2OAata,22,OFc AFbtb,所以22BFb,则3ABb,33t
17、an,tan 222bbbbaa,第 10 页 共 26 页 所以2222tan4tan2=1tan414bbbb,即23424bbb,则243b,所以222 313cbeaa.如图,当 2212F AF B时,设2F OA,BOA,设2a,2F OB,1()FOB,在2Rt OAF中,2tanAFbOAa,设2,(0)AFbt OAat t,因为22222AFOAOF,所以222()()btatc,又因为222cab,所以1t,则2OAata,22,OFc AFbtb,所以22BFb,则ABb,tan,tan22bbbbaa,所以1tantan()tan()tanFOB,则tantantan
18、()tan1tantan,即222122bbbbb,解得:212b,所以2212cbeaa.故选:AC.12 在直四棱柱中1111ABCDABC D中,底面ABCD为菱形,160,2,BADABADAAP为1CC中点,点Q满足1,0,1,0,1DQDCDD.下列结论正确的是()第 11 页 共 26 页 A若12,则四面体1ABPQ的体积为定值 B若AQ平面1A BP,则1AQC Q的最小值为103 10 C若1ABQ的外心为O,则11AB AO为定值 2 D若17AQ,则点Q的轨迹长度为23【答案】ABD【分析】对于 A,取1,DD DC的中点分别为,M N,由条件确定Q的轨迹,结合锥体体积
19、公式判断 A,对于 B,由条件确定Q的轨迹为MN,将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解;对于 C,由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断,对于 D,由条件确定点Q的轨迹为圆弧23A A,利用弧长公式求轨迹长度即可判断.【详解】对于 A,取1,DD DC的中点分别为,M N,连接,MN DQAM AN,则12DDDM,2DCDN,1/MN DC,因为1,0,1,0,1DQDCDD,12,所以22DQDNDM,221,所以,Q M N三点共线,所以点Q在MN,因为11/DC AB,1/MN DC,所以1/MN AB,MN平面1A BP,1AB 平面1A BP,所以MN平面1A BP,所
20、以点Q到平面1A BP的距离为定值,因为1A BP的面积为定值,所以四面体1ABPQ的体积为定值,所以 A 正确,第 12 页 共 26 页 对于 B,因为/AMBP,因为AM 平面1A BP,BP 平面1A BP,所以AM平面1A BP,又AQ平面1A BP,AQAMM,,AQ AM 平面AMQ,所以平面/AMQ平面1A BP,取11DC的中点E,连接PE,则1/PE DC,11/DC AB,所以1/PE A B,所以1,A B P E四点共面,所以平面/AMQ平面1ABPE,平面1ABPE平面11DCC DPE,平面1AMQ平面11DCC DMQ,所以/MQ PE,又1/PE DC,所以1
21、/MQ DC,所以点Q的轨迹为线段MN,翻折平面AMN,使其与五边形11MNCC D 在同一平面,如图,则11AQC QAC,当且仅当1,A Q C三点共线时等号成立,所以1AQC Q的最小值为1AC,因为160,2BADABADAA,所以5,2AMMN,2212cos1204 1 2 2 172ANADDNAD DN ,所以222AMMNAN,在1C MN中,115C MC N,2MN,所以222111152510cos210252MCMNNCC MNMCMN,所以2113 10sin1 cos10C MNC MN,所以1113 10coscossin210AMCC MFC MF ,在1AM
22、C中,5AM,15MC,13 10cos10AMC,所以2211113 102cos5525510ACMAMCMA MCAMC ,所以1103 10AC,即1AQC Q的最小值为103 10,所以 B 正确,第 13 页 共 26 页 对于 C,若1ABQ的外心为O,过O作1OHAB于H,因为221222 2AB,所以21111111142AB AOABAHHOAB AHAB,所以 C 错误,对于 D,过1A作111AKC D,垂足为K,因为1DD 平面1111DCBA,1AK 平面1111DCBA,所以11DDAK,因为1111C DDDD,111,C D DD 平面11DDC C,所以1A
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