2021-2022学年黑龙江省伊春市伊美区第二中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 13 页 2021-2022 学年黑龙江省伊春市伊美区第二中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1两平行直线3210 xy 和6430 xy间的距离是（）A5 1326 B4 1313 C2 1313 D3 133【答案】A【分析】将直线6430 xy的对应项系数化为3210 xy 的相同，代入平行线的距离公式中，求出距离【详解】解：将直线6430 xy化为33202xy，所以两平行直线3210 xy 和6430 xy间的距离22315 1322632d，故选：A 2双曲线22136xy的焦点到渐近线的距离为（）A63 B2 C3 D6【答案】D【分析】根据题意，由双曲线的标

2、准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案.【详解】解：根据题意，双曲线的方程为22136xy，其焦点坐标为3,0，其渐近线方程为2yx，即20 xy，则其焦点到渐近线的距离3 2612d；故选 D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.3若某抛物线过点（13，），且关于x轴对称，则该抛物线的标准方程为（）A29yx B213xy C29yx 或213xyD29yx 【答案】A【分析】由于已知抛物线的对称性，则可设抛物线22ypx 然后把(1,3)代入求出p即可 第 2 页 共 13 页【详解】解：依题意设抛物线解析式为22ypx

3、，把(1,3)代入得92p，解得92p，所以抛物线标准方程为29yx，故选：A 4设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若53aa59，则95SS等于（）A1 B1 C2 D12【答案】A【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】95SS19159()25()2aaaa5395aa1.故选：A.5在正项等比数列na中，若657,3,aa a依次成等差数列，则na的公比为 A2 B12 C3 D13【答案】A【分析】由等差中项的性质可得5676aaa，又na为等比数列，所以4561116a qa qa q，化简整理可求出 q 的值【详解】由题意知5672 3aaa，又 na为正项等比数列，

4、所以4561116a qa qa q，且0q，所以260qq，所以2q或3q （舍），故选 A【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题 6已知函数2()(1)2f xfxx，则 1f等于（）A3 B2 C1 D1【答案】C【分析】对函数求导得到()2(1)1fxfx，将1x 代入等式求解即可.【详解】由2()(1)2f xfxx 第 3 页 共 13 页 得()2(1)1fxfx，令1x，得(1)2(1)1 1ff，解得(1)1f ，故选：C 7函数 lnf xxx的单调递减区间为（）A1(0,)e B(1,)e C(,e

5、)D1(,)e【答案】A【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于 0 求出 x的范围，写出区间形式即得到函数 lnf xxx的单调递减区间【详解】函数的定义域为(0,)，ln1fxx，令 100efxx，函数 lnf xxx的单调递减区间是1(0,)e，故选：A 8若函数 32f xxaxx（xR）不存在极值点，则实数 a的取值范围是（）A,33,B,33,C3,3 D3,3【答案】D【分析】根据函数无极值可知导数 23210 xxfxa 有两个相等的实数根或没有实数根，利用判别式求解即可.【详解】32f xxaxx在定义域 R 内不存在极值，23210 xxfxa 有两个相等

6、的实数根或没有实数根，24120a，33a 故选：D 第 4 页 共 13 页 二、多选题 9已知数列na的前n项和为nS，下列说法正确的（）A若21nSn，则na是等差数列 B若31nnS，则na是等比数列 C若na是等差数列，则959Sa D若na是等比数列，且10,0aq，则2132SSS【答案】BC【分析】对于 A，求出1a，2a,3a即可判断；对于 B，利用1nnnaSS求出通项公式，再验证是否满足1a 2，即可判断；对于 C，根据等差数列的求和公式即可判断；对于 D，当1q 时，可得2213210SSSa，即可判断【详解】解：对于 A，若21nSn，则112aS，2213aSS，3

7、325aSS，则na不是等差数列，A 错误；对于 B，若31nnS，则112aS，当2n时，11131(31)2 3nnnnnnaSS，满足1a 2，所以12 3nna，则na是等比数列，B 正确；对于 C，na是等差数列，则19959()92aaSa，C 正确；对于 D，若na是等比数列，当1q 时，则2222132111340SSSaaa，D 错误.故选：BC 10设等差数列 na的前n项和为nS若30S，46a，则（）A23nSnn B2392nnnS C36nan D2nan【答案】BC【解析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n项和公式【详解】解：设等差数列

8、na的公差为d，第 5 页 共 13 页 因为30S，46a，所以113 230236adad，解得133ad，所以1(1)33(1)36naandnn ，21(1)3(1)393222nn nn nnnSnadn，故选：BC 11若方程22131xytt所表示的曲线为C，则下列命题正确的是（）A若C为椭圆，则13t B若C为双曲线，则3t 或1t C曲线C可能是圆 D若C为焦点在y轴上的椭圆，则12t 【答案】BC【解析】根据方程22131xytt所表示的曲线为C的形状求出t的取值范围，进而可判断各选项的正误.【详解】对于 A 选项，若C为椭圆，则301031tttt ，解得132tt，A

9、选项错误；对于 B 选项，若C为双曲线，则310tt，即130tt，解得1t 或3t，B 选项正确；对于 C 选项，若曲线C为圆，则301031tttt ，解得2t，C 选项正确；对于 D 选项，若C为焦点在y轴上的椭圆，则301013tttt ，解得23t，D 选项错误.故选：BC.12已知函数 lnf xxax的图象在1x 处的切线方程为0 xyb，则（）A2a B1b C f x的极小值为ln2 1 D f x的极大值为ln2 1【答案】ABD 第 6 页 共 13 页【分析】求出导数，表示出切线方程，即可求出 a、b，利用单调性求出极大值.【详解】因为 lnf xxax，所以 1fxa

10、x.又因为函数 f x的图象在1x 处的切线方程为0 xyb，所以 11fab ，111fa ，解得2a，1b.所以 AB 正确；由 11 22xfxxx，令0fx，得 f x在10,2单增，令 0fx，得 f x在1,2单减，知 f x在12x 处取得极大值，11ln1ln2 122f .无极小值.故选 ABD.三、填空题 13圆222280 xyxy被直线20 xy所截得的弦长为_【答案】4 2【分析】首先将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理及勾股定理计算可得；【详解】解：圆222280 xyxy，即221110 xy，圆心

11、为1,1，半径10r，圆心1,1到直线20 xy的距离221 12211d ，所以弦长为 2221024 2；故答案为：4 2 14已知等比数列 na的前n项和为nS，且1352aa，2454aa，则nnSa_.【答案】21n【分析】根据已知条件求出数列 na的首项和公比，利用等比数列的通项公式与求和公式可求得结果.【详解】设等比数列 na的公比为q，由题意可得21312241512514aaaqaaa qq，解得1212aq，所以，114222nnna，12124 2114 112212nnnnnS，因此，4 2122124nnnnnnSa.故答案为：21n.第 7 页 共 13 页 15若

12、函数2()f xxax 在区间1,0上恰有一个极值点，则a的取值范围是_.【答案】2,0【分析】根据二次函数的对称性进行求解即可.【详解】二次函数2()f xxax 的对称轴为：22aaxx，要想函数2()f xxax 在区间1,0上恰有一个极值点，只需10202aa ，故答案为：2,0 16若函数 31f xxax在区间1,内是增函数，则实数 a 的取值范围是_【答案】3a【分析】等价于23ax在1,上恒成立，再求函数的最值得解.【详解】因为函数 31f xxax在区间1,内是增函数，所以 230fxxa在1,上恒成立，故23ax在1,上恒成立，则3a 故答案为：,3 四、解答题 17(1)

13、若双曲线和椭圆2215xy共焦点，且一条渐近线方程是30 xy，求此双曲线的标准方程；(2)过点0,1M的直线l交曲线24xy于 A，B两点，若8AB，求直线l的方程【答案】(1)2213yx；(2)10 xy 或10 xy.【分析】（1）求得椭圆的焦点，可设双曲线的标准方程为2222221xyab22,0a b，22c，进而由渐近线可求得22,a b的关系，即可求双曲线的标准方程；（2）设出直线 l的方程，与抛物线的方程联立，然后利用抛物线的定义求出焦点弦，即可列出关于第 8 页 共 13 页 k 的方程，求解即可得到答案【详解】（1）记椭圆方程为2222111xyab110ab，则215a

14、，211b，所以2221114cab，所以12c，所以椭圆的焦点坐标为2,0，2,0.由已知可设双曲线的标准方程为2222221xyab22,0a b，且22c，双曲线的渐近线方程为22byxa，又双曲线的一条渐近线方程为30 xy，所以223ba，则223ba，又222222abc，即2244a，所以221a，222233ba，所以双曲线的标准方程为2213yx.（2）由已知可得，曲线轨迹为抛物线，2p，且0,1M是抛物线的焦点，设11,A x y，22,B xy，则由抛物线的定义可知，11AMy，21BMy.当直线l斜率不存在时，直线方程为0 x，直线l与抛物线只有一个交点0,0，与已知矛

15、盾，不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为 k，则直线l的方程为1ykx，设11,A x y，22,B xy，联立直线与抛物线的方程241xyykx，可得224210yky，22224241610kkk，当0k 时，可得121yy，设12x ，则22x，此时AB4不满足，所以0k，则0 恒成立.由韦达定理可得，21242yyk，又11AMy，21BMy，所以1228ABAMBMyy，所以126yy，即2426k，解得1k .当1k 时，直线l的方程为1yx，即10 xy；当1k 时，直线l的方程为1yx ，即10 xy.第 9 页 共 13 页 综上所述，直线l的方程为10 xy 或

16、10 xy.18已知数列 na中，12a ，na的前n项和为nS，且数列2nSn是公差为3的等差数列(1)求nS；(2)求na【答案】(1)23nSnn(2)24nan 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求得nS；（2）利用na与nS的关系式即可得解【详解】（1）由题意，数列2nSn是公差为3的等差数列，又因为12a ，所以211113Sa ，故23313nSnnn ，则23nSnn.（2）已知12a ，当2n时，2213(1)3(1)24nnnaSSnnnnn，经检验：12a 满足24nan，所以24nan 19已知函数 lnf xxaxa(1)若1a，求函数 f x的极值；(2)求函

17、数 f x的单调区间【答案】(1)极大值为0，无极小值(2)答案见解析 【分析】（1）先对 f x求导，利用导数与函数性质的关系得到 f x的单调性，从而求得 f x的极值；（2）求出 f x的导数，分类讨论a的范围，即可求出 f x的单调区间 第 10 页 共 13 页【详解】（1）当1a 时，ln10f xxxx，则 111xfxxx，令0fx，得01x；令 0fx，得1x，所以 f x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，故 f x在1x 处取得极大值 10f，无极小值.（2）因为 lnf xxaxa0 x，则 11axfxaxx，当0a 时，0fx恒成立，所以 f x在0,上单调递增，

18、当0a 时，令0fx，得10 xa；令 0fx，得1xa；所以 f x在10,a上单调递增，在1,a上单调递减，综上：当0a 时，f x的单调递增区间为0,；当0a 时，f x的单调递增区间为10,a，单调递减区间为1,a.20已知 na为等差数列，前 n 项和为*N()nSn，nb是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，2312bb，3412baa，11411Sb(1)求 na和 nb的通项公式；(2)求数列2nna b的前 n项和*(N)n【答案】(1)32nan，2nnb (2)2(34)216nn 【分析】（1）设等差数列 na的公差为 d，等比数列 nb的公比为 q通过2312bb

19、，求出 q，得到2nnb，然后求出公差 d，推出32nan（2）设数列2nna b的前 n项和为nT，利用错位相减法，转化求解数列2nna b的前 n 项和即可【详解】（1）设等差数列 na的公差为 d，等比数列 nb的公比为 q 第 11 页 共 13 页 由已知2312bb，得21()12b aq，而12b，所以260qq 又因为0q，解得2q 所以，2nnb 由3412baa，可得138da，由11411Sb，可得1516ad，联立，解得11a，3d，由此可得32nan 所以，na的通项公式为32nan，nb的通项公式为2nnb （2）设数列2nna b的前 n项和为nT，由262nan

20、，有2342102162(62)2nnTn，234124210 216 2(68)2(62)2nnnTnn，上述两式相减，得 2314 26 26 26 2(62)2nnnTn 1212(12)4(62)2(34)21612nnnnn 得2(34)216nnTn 所以，数列2nna b的前 n项和为2(34)216nn 21已知公比大于 1 的等比数列 na满足2420aa，38a (1)求 na的通项公式；(2)求 1122311nnna aa aa a.【答案】(1)2nna (2)2382(1)55nn 【分析】（1）根据题意，列方程组32411231208aaa qa qaa q，解得

21、1a和q，即可得到答案.第 12 页 共 13 页（2）根据条件，可知 1122311nnna aa aa a，是以8为首项，4为公比的等比数列前n项和，再由等比数列求和公式求解即可.【详解】（1）设等比数列 na的公比为q1q，32411231208aaa qa qaa q，解得122aq.所以12 22nnna.（2）令 111nnnnba a，则1128ba a，所以12111(1)224(1)22nnnnnnnnbb，所以数列 nb是等比数列，公比为4，首项为8，231122318 1482111455nnnnnna aa aa a .22已知 ln1f xxax.(1)讨论 f x的

22、单调性；(2)当 f x有最大值，且最大值大于22a时，求a的取值范围.【答案】(1)0a 时 0fx,f x在0,是单调递增；0a 时,f x在10,a单调递增，在1,a单调递减.（2）0,1.【详解】试题分析：（）由 1fxax,可分0a,0a 两种情况来讨论；（II）由（I）知当0a 时 f x在0,无最大值,当0a 时 f x最大值为1ln1.faaa 因此122ln10faaaa.令 ln1g aaa,则 g a在0,是增函数,当01a时,0g a,当1a 时 0g a,因此 a 的取值范围是0,1.试题解析：（）f x的定义域为0,1fxax,若0a,则0fx,f x在0,是单调递增；若0a,则当10,xa时0fx,当1,xa时 0fx,所以 f x在10,a单调递增,在1,a单调递减.第 13 页 共 13 页（）由（）知当0a 时 f x在0,无最大值,当0a 时 f x在1xa取得最大值,最大值为111ln1ln1.faaaaaa 因此122ln10faaaa.令 ln1g aaa,则 g a在0,是增函数,10g,于是,当01a时,0g a,当1a 时 0g a,因此 a 的取值范围是0,1.【解析】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.