2022-2023学年浙江省台州市书生中学高二上学期第三次月考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 18 页 2022-2023 学年浙江省台州市书生中学高二上学期第三次月考数学试题 一、单选题 1已知点A是点(2,9,6)A在坐标平面Oxy内的射影，则点A的坐标为（）A(2,0,0)B(0,9,6)C(2,0,6)D(2,9,0)【答案】D【分析】根据空间中射影的定义即可得到答案.【详解】因为点A是点(2,9,6)A在坐标平面Oxy内的射影，所以A的竖坐标为 0，横、纵坐标与 A点的横、纵坐标相同，所以点A的坐标为(2,9,0).故选：D 2设等差数列 na的前 n 项和为nS若1271,6aaa，则7S（）A19 B21 C23 D38【答案】A【分析】由已知及等差数列的

2、通项公式得到公差 d，再利用前 n项和公式计算即可.【详解】设等差数列 na的公差为 d，由已知，得12711276aaaad，解得1147ad，所以77647 11927S.故选：A 3设12,F F分别是椭圆22:12516xyC的左、右焦点，P是 C上的点，则12PFF的周长为（）A13 B16 C20 D102 41【答案】B【分析】利用椭圆的定义及222abc即可得到答案.【详解】由椭圆的定义，12|210PFPFa，焦距22222 25166cab，所以12PFF的周长为2216ac.故选：B 4一个射手进行射击，记事件1A=“脱靶”，2A=“中靶”，3A=“中靶环数大于 4”，则

3、在上述事件中，互斥而不对立的事件是（）第 2 页 共 18 页 A1A与2A B1A与3A C2A与3A D以上都不对【答案】B【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答.【详解】射手进行射击时，事件1A=“脱靶”，2A=“中靶”，3A=“中靶环数大于 4”，事件1A与2A不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件1A与2A是互斥且对立，A 不是；事件1A与3A不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件1A与3A是互斥不对立，B 是；事件2A与3A可以同时发生，即事件2A与3A不互斥不对立，C 不是，显然 D 不正确.故选：B 5在棱长均为 1 的平行六面体1111ABCD

4、ABC D中，1160BADBAADAA ，则1AC（）A3 B3 C6 D6【答案】C【分析】设ABa，ADb，1AAc，利用21()ACabc结合数量积的运算即可得到答案.【详解】设ABa，ADb，1AAc，由已知，得,60a b，,60a c，,60c b，|1abc，所以a ba c12c b，所以22221()2226ACabcabca ba cb c .故选：C 6已知数列 na满足12a，1,231,nnnnnaaaaa当为偶数时当为奇数时则8a（）A164 B1 C2 D4【答案】B【分析】根据递推式以及12a 迭代即可.【详解】由12a，得1212aa，32314aa，342

5、2aa，4512aa，65314aa，6722aa，7812aa.故选：B 7抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线24xy的焦点为 F，一条平行于 y轴的光线从点(1,2)M射出，经过抛物线上的点 A反射后，第 3 页 共 18 页 再经抛物线上的另一点 B射出，则经点 B反射后的反射光线必过点（）A(1,2)B(2,4)C(3,6)D(4,8)【答案】D【分析】求出A、F坐标可得直线AF的方程，与抛物线方程联立求出B，根据选项可得答案,【详解】把1x 代入24xy得14y，所以11,4A，0,1F 所以直线AF的方程为11410 1 yx

6、即314yx，与抛物线方程联立23144 yxxy解得44 yx，所以4,4B，因为反射光线平行于 y轴，根据选项可得 D 正确,故选：D.8 已知点(2,1)C与不重合的点 A，B 共线，若以 A，B为圆心，2 为半径的两圆均过点(1,2)D，则DA AB的取值范围为（）A 2,2 B 2,2 C 8,0)D 8,4【答案】D【分析】由题意可得(,),(,)A a bB c d两点的坐标满足圆22:(1)(2)4Dxy，然后由圆的性质可得当ABCD时，弦长AB最小，当AB过点D时，弦长AB最长，再根据向量数量积的运算律求解即可【详解】设点(,),(,)A a bB c d，则以 A，B为圆心

7、，2 为半径的两圆方程分别为 22()()4xayb和22()()4xcyd，因为两圆过(1,2)，所以22(1)(2)4ab和22(1)(2)4cd，第 4 页 共 18 页 所以(,),(,)A a bB c d两点的坐标满足圆22:(1)(2)4Dxy，因为点(2,1)C与不重合的点 A，B共线，所以AB为圆D的一条弦，所以当弦长AB最小时，ABCD，因为2CD，半径为 2，所以弦长AB的最小值为 222 222 2，当AB过点D时，弦长AB最长为 4，因为21cos2DA ABAD ABAD ABDABAB ，所以当弦长AB最小时，DA AB的最大值为212 242，当弦长AB最大时，

8、DA AB的最小值为21482，所以DA AB的取值范围为 8,4，故选：D 二、多选题 9圆224xy与圆222420 xyxmym的位置关系可能是（）A外离 B外切 C相交 D内含【答案】ABC【分析】由圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系.【详解】222420 xyxmym整理为：2224xym，从而圆心为2,m，半径为 2，而224xy的圆心为0,0，半径为 2，从而两圆的圆心距为24 m，当2422m，即2 3m 或2 3m 时，此时两圆外离；当2422m，此时2 3m ，此时两圆外切；由于242m恒成立，故当22422m，即2 32 3m时，两圆相交；且242m，故两圆不会内含

9、或内切，综上：两圆得位置关系可能是外离，外切或相交.故选：ABC 10如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，设第 n层有na个球，从上往下 n层球的总数为nS，则（）第 5 页 共 18 页 A535a B535S C11nnaan D1232022111120222023aaaa【答案】BC【分析】根据1a，2a，3a的值，可得1nnaan，利用累加法可得na即可判断选项 A、C，再计算前5项的和可判断 B；利用裂项求和可判断 D，进而可得答案.【详解】依题意因为11a，212aa，32

10、3aa，1nnaan，以上n个式子累加可得：(1)123(2)2nn nann，又11a 满足上式，所以(1)2nn na，515a，故 A 错误；因123451,3,6,10,15aaaaa，所以512345136101535Saaaaa，故 B 正确；因为1nnaan，所以11nnaan，故 C 正确；11121nann，122022111111112122320222023aaa 404420233120221，故 D 错误.故选：BC 11已知曲线22:16xyCmm，12,F F分别为 C的左、右焦点，点 P在 C上，且12PFF是直角三角形，下列判断正确的是（）A曲线 C的焦距为2

11、6 B若满足条件的点 P 有且只有 4 个，则 m 的取值范围是6m 且12m C若满足条件的点 P 有且只有 6 个，则12m D若满足条件的点 P 有且只有 8 个，则 m 的取值范围是06m【答案】AC【分析】依次对所给选项利用数形结合的思想进行判断即可.第 6 页 共 18 页【详解】A.当 C 表示椭圆时，因为6mm，所以 C 的焦点在 x轴上，且6m，所以2(6)6cmm，即6c，所以焦距为26；当 C 表示双曲线时，因为(6)0m m，即06m，所以 C 的焦点在 x轴上，所以2(6)6cmm，即6c，所以焦距为26；故 A 正确；B.若满足条件的点 P有且只有 4 个，则 C表

12、示椭圆，如图 1，以12FF为直径的圆 O 与 C 没有公共点，所以bc，即66m，所以 m 的取值范围是12m，故 B 错误；C.若满足条件的点 P有且只有 6 个，则 C表示椭圆，如图 2，以12FF为直径的圆 O 与 C有 2 个公共点，所以bc，即66m，所以 m 的取值范围是12m，故 C 正确；D.若满足条件的点 P有且只有 8 个，则当 C 表示椭圆时，如图 3，以12FF为直径的圆 O与 C有 4 个公共点，所以bc，即66m，所以 m 的取值范围是612m；当 C 表示双曲线时，如图 4，以12FF为直径的圆 O与 C恒有 8 个公共点，所以06m，综上 m 的取值范围是61

13、2m或06m；故 D 错误.故选：AC 第 7 页 共 18 页 12已知边长为2的正三角形ABC中，O为BC中点，动点P在线段OB上（不含端点），以AP为折痕将ABP折起，使点B到达B的位置记APC，异面直线B C与AP所成角为，则对于任意点P，下列成立的是（）A0PA BC B C存在点B，使得 BPCP D存在点B，使得AO 平面BPC【答案】ABC【分析】利用空间向量数量积的运算性质可判断 A 选项；利用空间向量夹角的数量积表示可判断 B选项；利用线面垂直的性质可判断 C 选项；利用反证法可判断 D 选项.【详解】对于 A 选项，因为PAPCPBPA PCPA PBPPA BPAPCC

14、BPA BC，由图可知，,PA BC为锐角，故0PA B CPA BC，A 对；对于 B 选项，因为BCBPPCBC，因为coscos,PA BCPA BCPABC，coscos,PA B CPA BCPA B CPAB CPAB C，所以，coscos，因为、均为锐角且函数cosyx在0,2上单调递减，故，B 对；第 8 页 共 18 页 对于 C 选项，AOPC，过直线AO作平面，使得PC 平面，设B CE，连接OE，因为PC 平面，OE 平面，则OEPC，在翻折的过程中，当/PBOE时，BPPC，故存在点B，使得 BPCP，C 对；对于 D 选项，若AO 平面BPC，OB平面BPC，则A

15、OOB，221OBB AAO，事实上，1BPPOOB，矛盾，故假设不成立，D 错.故选；ABC.三、填空题 13已知(1,2,1),(2,2,)abmm，且ab，则m _【答案】2【分析】由共线向量得22121mm，解方程即可.【详解】因为ab，所以22121mm，解得2m.故答案为：2 14若等比数列 na满足21311,3aaaa，则 na的前 n 项和nS _【答案】21n#12n 【分析】由已知及等比数列的通项公式得到首项和公比，再利用前 n项和公式计算即可.【详解】设等比数列 na的公比为q，由已知，得2112311(1)1(1)3aaa qaaa q，解得112aq，所以1(1)2

16、11nnnaqSq.故答案为：21n 15 已知 P 是椭圆22:14xCy的上顶点，过原点的直线 l交 C于 A，B两点，若PAB的面积为2，则 l的斜率为_【答案】12 第 9 页 共 18 页【分析】设出直线 AB 的方程ykx，联立椭圆方程得到 A点横坐标满足212414xk，再利用11|2|22PABSOPx，解方程即可得到答案.【详解】设直线 AB的方程为：ykx，11(,)A x y，11(,)Bxy 由2214xyykx，得22(14)40kx，所以212414xk，又(0,1)P 所以11|2|2PABSOPx22214k，解得12k .故答案为：12 16设 O 为坐标原点

17、，F为双曲线2222:1(0)xyCabab的焦点，过 F 的直线 l与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若0OA FA，且OAB的内切圆的半径为3a，则 C的离心率为_ 【答案】52#152【分析】01baba，作出渐近线图像，由题可知OAB的内切圆圆心在 x 轴上，过内心作 OA和 AB的垂线，可得几何关系，据此即可求解.【详解】0ab 双曲线渐近线 OA 与 OB如图所示，OA 与 OB关于 x轴对称，设 OAB的内切圆圆心为M，则 M 在AOB的平分线Ox上，过点M分别作MNON于点,N MTAB于T，由FAOA，则四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得FAb，第 1

18、0 页 共 18 页 又OFc，OAa，且3aNAMN，23aNO，1tan2MNbAOFaNO，则22512bea.故答案为：52.四、解答题 17现有两个红球（记为1R，2R），两个白球（记为1W，2W），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球.（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率.【答案】（1）121112212212,R RR WR WR WR WW W；（2）23.【分析】（1）按树形结构写出基本事件得事件空间；（2）事件空间中有 6 个样本点，再观察恰好抽到一个红球一个白球这个事件含有的样本点的个数后可得概率【详解】解：（1）两个红球（记为1R，2R），

19、两个白球（记为1W，2W），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球，则试验的样本空间 121112212212,R RR WR WR WR WW W.（2）试验的样本空间 121112212212,R RR WR WR WR WW W，包含 6 个样本点，其中恰好抽到一个红球一个白球包含 4 个样本点，恰好抽到一个红球一个白球的概率4263P.18公差不为 0 的等差数列 na中，8102aa，且91013,a aa成等比数列(1)求数列 na的通项公式；(2)设2nnba，数列 nb的前 n 项和为nS若nS，求的取值范围 第 11 页 共 18 页【答案】(1)217nan(2)28 【分

20、析】（1）利用等比数列的定义以及等差数列的性质，列出方程即可得到答案；（2）先求出 nb的通项，再利用 nb的单调性即可得到nS的最小值，从而求得的取值范围【详解】（1）依题意，210913aaa，810922aaa，所以91a，设等差数列 na的公差为()d d 0，则2(1)1(14)dd，解得2d，所以9(9)217naandn（2）2417nnban，则数列 nb是递增数列，1234560bbbbbb，所以1234min(1395 128)nSbbbb ，若nS，则28.19某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为 8 米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑

21、物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离 10米在建筑物底面中心 O的东北方向20 2米的点 A处，有一360全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度 （温馨提示：为了降低解决问题难度，以 O 为原点，正东方向为 x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系）第 12 页 共 18 页 (1)在西辅道上距离建筑物 1 米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？请说明理由.(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度【答案】(1)不在，理由见解析(2)17.5 米 【分析】（1）求出直线 AB的方程，再判断直线 AB与圆 O 的位置关系即可得出结论；（2）摄像头监控会被建筑物遮挡，求

22、出过点 A并与圆 O 相切的直线方程，再令其与直线10y 分别联立即可得出答案.【详解】（1）以 O 为原点，正东方向为 x 轴正方向建立如图所示平面直角坐标系，则0,0O，20,20A，观景直道所在直线方程为10y ，由题意可得，游客所在点为5,0B，则直线 AB的方程为2005205yx，即45200 xy，故圆心 O 到直线 AB 的距离22202044145d，第 13 页 共 18 页 故直线 AB与圆 O相交，故游客不在该摄像头监控范围内；（2）由图可得：过点 A的直线 l与圆 O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l过 A 点且与圆 O相切，（1）若直线 l垂直于

23、 x轴，则 l不可能与圆 O相切，（2）若直线 l不垂直于 x轴，设 l：2020yk x，即20200kxyk，故圆心 O 到直线 l的距离2202041kdk，解得34k 或43k，故直线 l的方程为320204yx或420203yx，即34200 xy或43200 xy，设这两条直线与10y 交于 D，E 两点，由1034200yxy 解得20 x ，由1043200yxy 解得2.5x ，故17.5DE，故观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为 17.5 米.20如图，在三棱柱111ABCABC中，点1B在底面ABC内的射影恰好是点C，D是AC的中点，且满足DADB 第 14 页 共

24、 18 页 (1)求证：AB平面11BCC B；(2)已知22ACBC，直线1BB与底面ABC所成角的大小为3，求二面角1CBDC的大小【答案】(1)证明见解析；(2)4.【分析】（1）分别证明出1B C AB和BCAB，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）以 C为原点，1,CA Cy CB为 x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的平面角.【详解】（1）因为点1B在底面ABC内的射影恰好是点C，所以1B C 面ABC.因为AB面ABC,所以1B C AB.因为D是AC的中点，且满足DADB所以DADBDC，所以,DABDBADCBDBC .因为DABDBADCBDBC，所以

25、2DBADBC，即2ABC,所以BCAB.因为1BCBCC,BC面11BCC B,1B C 面11BCC B,所以AB平面11BCC B.第 15 页 共 18 页（2）1B C 面ABC，直线1BB与底面ABC所成角为1B BC，即13B BC.因为1BC，所以1tan33BCBC 由（1）知，2ABC，因为22ACBC，所以6BAC，3ACB.如图示，以 C 为原点，1,CA Cy CB为 x、y、z 轴正方向建立空间直角坐标系.则0,0,0C,13,022B,1,0,0D,10,0,3B,所以113,322BB，13,022BD 设1,Cx y z，由11CCBB得，13,322x y

26、z，即113,322C.则11,3,3BC .设平面 BDC1的一个法向量为,nx y z，则 1330130022n BCxyzn BDxy ，不妨令3x，则3,1,2n.因为1B C 面ABC，所以面DBC的一个法向量为10,0,3CB 记二面角1CBDC的平面角为，由图知，为锐角.所以111002 32coscos,233 14CB nCB nCBn,即4.所以二面角1CBDC的大小为4.21某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为 A，B两个等级，其中B等设备安全系数低于 A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分B等设备更新成 A等设备.据统计，2020 年

27、底该企业 A 等设备量已占全体设备总量的 30%.从 2021 年开始，企业决定加大更新力度，第 16 页 共 18 页 预计今后每年将 16%的B等设备更新成 A 等设备，与此同时，4%的 A等设备由于设备老化将降级成B等设备.(1)在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的 A等设备占全体设备的比例能否超过 80%？请说明理由；(2)至少在哪一年底，该企业的 A等设备占全体设备的比例超过 60%.（参考数据：340.5125，440.40965，540.327685）【答案】(1)A 等设备量不可能超过生产设备总量的 80%，理由见解析；(2)在 2025 年底实现 A 等设备量超过生产设备

28、总量的 60%.【分析】(1)根据题意表示出 2020 年开始，经过n年后 A 等设备量占总设备量的百分比为na，求出na，根据na的范围进行判断；(2)令na35即可求解.【详解】（1）记该企业全部生产设备总量为“1”，2020 年开始，经过n年后 A等设备量占总设备量的百分比为na，则经过 1 年即 2021 年底该企业 A等设备量1396716210100101005a，14414%16%1525nnnnaaaa，可得1444555nnaa，又142055a 所以数列45na是以25为首项，公比为45的等比数列，可得424555nna，所以41 452 5nna，显然有45na，所以 A

29、等设备量不可能超过生产设备总量的 80%.（2）由41 4352 55nna，得4255n.因为45ny单调递减，又44255，54255，所以在 2025 年底实现 A 等设备量超过生产设备总量的 60%.第 17 页 共 18 页 22已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率是32，且过点2,1P.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与椭圆C交于 A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且2OM，求AOB面积的最大值.【答案】(1)22182xy；(2)2.【分析】(1)根据已知条件列出关于 a、b、c的方程组即可求得椭圆标准方程；(2)直线 l和 x轴垂直时，根据已知条件

30、求出此时 AOB 面积；直线 l和 x轴不垂直时，设直线方程为点斜式 ykxt，代入椭圆方程得二次方程，结合韦达定理和弦长2OM 得 k 和 t的关系，表示出 AOB的面积，结合基本不等式即可求解三角形面积最值.【详解】（1）由题知2241132abca，解得222826abc，椭圆C的标准方程为22182xy.（2）当ABx轴时，M位于x轴上，且OMAB，由2OM 可得6AB，此时123AOBOSMAB；当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为ykxt，与椭圆交于11,A x y，22,B xy，由22182xyykxt，得222148480kxktxt.得122814ktxxk，21224814tx xk，从而224,1414kttMkk 第 18 页 共 18 页 已知2OM，可得22222 141 16ktk.22222212122284814141414kttABkxxx xkkk 2222216 82114ktkk.设O到直线AB的距离为d，则2221tdk，结合22222 141 16ktk化简得 222222124111621 16AOBkkSAB dk22222124121641 16kkk 此时AOB的面积最大，最大值为 2.当且仅当221241kk即218k 时取等号，综上，AOB的面积的最大值为 2.