2021-2022学年浙江省金华第一中学高二下学期期中数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 17 页 2021-2022 学年浙江省金华第一中学高二下学期期中数学试题 一、单选题 1已知函数 f x的定义域为 R，若 011lim12xfxfx，则 1f（）A1 B2 C12 D4【答案】B【分析】利用导数的定义可求得 1f 的值.【详解】解：因为 011lim12xfxfx，所以 0111lim12xfxfx，由导数的定义可得 1112f，所以 12f.故选：B.2已知随机变量24,50.76NP，则3P的值为（）A0.24 B0.26 C0.68 D0.76【答案】A【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性计算作答.【详解】因随机变量24,50.76NP，所以1

2、1 0.760.52345PPP .故选：A 3若等差数列an的前 9 项和等于前 4 项和，a11，则 a4等于（）A 12 B 32 C12 D2【答案】C【分析】利用等差数列an的前 n 项和公式和通项公式求解.【详解】解：因为等差数列an的前 9 项和等于前 4 项和，且 a11，所以1193646adad，解得16d ，所以41132aad，故选：C 4函数21()cos21xxf xx的图象大致是（）第 2 页 共 17 页 A B C D【答案】C【分析】由函数 f x为奇函数可以排除 A，B 选项，再根据当0 x，且0 x 时，0f x，排除 D 选项，可得答案.【详解】由函数

3、 21cos21xxxfx有 2121coscos2112 xxxxfxxxfx，所以函数 f x为奇函数，故排除 A，B 选项.又当0 x，且0 x 时，21021xx，cos0 x，即 0f x，排除 D 选项.故选：C.5已知等差数列 na的前 n项和为nS，若2479324aaaa，则11S（）A44 B88 C99 D121【答案】A【分析】根据等差数列项数的关系可求出6a，再利用11S与6a的关系，即可求出答案.【详解】由于 na为等差数列，2479324aaaa，则11663024544adada 11611=44Sa 故选：A.6甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球

4、队都要比赛一场），每场比赛的计分方法是胜者得 3 分，负者得 0 分，平局两队各得 1 分，全部比赛结束后，四队的得分为：甲 6 分，乙 5 分，丙 4 分，丁 1 分，则（）A甲胜乙 B乙胜丙 C乙平丁 D丙平丁【答案】C 第 3 页 共 17 页【分析】甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次 6 场，总得分为 16 分，由比赛计分规则可得出在 6 场比赛中有 2 场比赛是平局，丁在 3 场比赛中有 1 场是平局，丙在 3 场比赛中有 1 场是平局，乙在 3 场比赛中有 2 局是平局，由此可得答案.【详解】解：甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次 6 场，总得分为 6+5+4+1=16 分，由比赛

5、计分规则：胜者得 3 分，负者得 0 分，平局两队各得 1 分，所以在 6 场比赛中有2 场比赛是平局，即3 4+2 216，丁得 1 分，即 1+0+0=1，所以丁在 3 场比赛中有 1 场是平局，丙得 4 分，即 3+1+0=4，所以丙在 3 场比赛中有 1 场是平局，而乙得分 5 分，即 3+1+1=5，所以乙在 3 场比赛中有 2 局是平局，所以乙可能平丙，乙可能平丁，故选：C.7已知抛物线21:4Cyx，圆222(2):2Cxy，直线:1l yk x与1C交于 A、B两点，与2C交于 M、N 两点，若8AB，则MN()A14 B6 C142 D62【答案】B【分析】联立直线方程和抛物

6、线方程，设11,A x y，22,B xy，根据抛物线焦点弦长公式12xxp和韦达定理可求出 k，根据圆的弦长公式222 rd即可求MN【详解】由241yxyk x得，2222240k xkxk，设11,A x y，22,B xy，0，21222242kkxxkk，:1l yk x过抛物线的焦点(1，0)，故 AB为焦点弦，1228ABxx，126xx，2426k，解得1k ，由圆关于 x 轴对称可知，k1 和 k1 时MN相同，故不妨取 k1，l为 yx1，即 xy10，圆心(2，1)到 l的距离20 1222d，212 22 262MNd 故选：B 8已知函数 fx与 g x满足：22,1

7、1f xfxg xg x，且 fx在区间第 4 页 共 17 页 2,上为减函数，令 h xf x g x，则下列不等式正确的是 A 24hh B 24hh C 04hh D 04hh【答案】B【详解】试题分析：22f xfxf x关于2x 对称，fx在区间2,上为减函数，所以 fx在区间(,2上为增函数，而112g xg xT，所以 2=(2)(2)(6)(4),4(4)(4)(2)hfgfghfgh，04hh，选 B.【解析】函数性质综合应用 二、多选题 9现安排高二年级 A，B，C 三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下

8、列说法正确的是（）A所有可能的方法有53种 B若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有 61 种 C若同学 A 必须去工厂甲，则不同的安排方法有 20 种 D若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有 60 种【答案】BD【分析】由分步计数乘法原理，结合特殊元素优先考虑原则逐项分析，计算作答.【详解】对于 A，每名同学有 5 种选择方法，则所有可能的方法有35种，A 不正确；对于 B，由选项 A 知，所有可能的方法有35种，工厂甲没有同学去的方法有34种，所以工厂甲必须有同学去的不同的安排方法有335461种，B 正确；对于 C，同学 A必须去工厂甲，则同学 B，C的安排方法有2525种，

9、C 不正确；对于 D，三名同学所选工厂各不相同的安排方法有35A60种，D 正确.故选：BD 10圆 C：224630 xyxy，直线:3470lxy，点 P在圆 C上，点 Q 在直线 l上，则下列结论正确的是（）A直线 l与圆 C 相交 B|PQ的最小值是 1 C若 P 到直线 l的距离为 2，则点 P有 2 个 D从 Q点向圆 C 引切线，则切线段的最小值是 3【答案】BCD【分析】对于 A:求出圆心C到直线l的距离54d，即可判断直线与圆相离；第 5 页 共 17 页 对于 B:利用几何法求出|PQ的最小值，即可判断；对于 C:设直线 m与 l平行，且 m到 l的距离为 2.求出 m 的

10、方程，判断出直线 m与圆 C相交，有两个交点，即可判断；对于 D:根据图形知,过 Q作 QR与圆 C相切于 R，连结 CR.要使切线长最小，只需CQ最小.利用几何法求出切线段的最小值，即可判断.【详解】对于 A:由圆 C：224630 xyxy，得圆 C 的标准方程为222316xy+，圆心2,3C 到直线:3470lxy的距离226 1275434d ，所以直线与圆相离.故 A 错误；对于 B:圆心2,3C 到直线:3470lxy的距离5d,所以|PQ的最小值为541.故 B 正确;对于 C:设直线 m与 l平行，且 m到 l的距离为 2.则可设:340mxyn.由227234n，解得：3n

11、或17n .当3n时，直线:3430mxy，圆心2,3C 到直线:3430mxy的距离第 6 页 共 17 页 226 1233434 ,所以直线 m与圆 C 相交，有两个交点，且这两个点到直线 l的距离为 1.当17n 时，直线:34170mxy，圆心2,3C 到直线:34170mxy的距离226 12 177434 ,所以直线 m与圆 C 相离，不合题意.综上所述，圆上到直线 l的距离为 1 的点有且只有 2 个.故 C 正确.对于 D:根据图形知,过 Q作 QR与圆 C相切于 R，连结 CR.则切线长22224QRCQCRCQ.要使切线长最小，只需CQ最小.点 Q 到圆心 C的最小值为圆

12、心到直线的距离 d=5,由勾股定理得切线长的最小值为22543,故 D 正确.故选：BCD 11已知函数 xaf xax（0 x，0a 且1a），则（）A当ea 时，0f x 恒成立 B若 f x有且仅有一个零点，则01a C当ea 时，f x有两个零点 D存在1a，使得 f x有三个极值点【答案】AC【分析】对于 A，将不等式变形，构造函数根据函数的单调性以及最值得出结论；对于 B、C，都是在 A 的构造函数的基础之上，由其图象的性质得到的相关结论；对于 D，构造函数，判断新函数的性质进一步推断原函数的性质.【详解】对于 A，0f x 即eexx，两边取对数，elnelnxx，ln1exx

13、令 ln0 xg xxx，21 ln xgxx，0,e0,xgxg x,单调递增；e,0,xgxg x,单调递减；第 7 页 共 17 页 g x的最大值为 1eeg，ln1exx，A 正确；对于 B，若 f x有且仅有一个零点，则xaax，两边取对数，有：lnlnxaxa，由 A 选项知，ln1eaa即ea 时此时也有一个零点，B 错误.对于 C，0f x，xaax，两边取对数，有：lnlnxaxa，由 A 选项知：ea，lnlne10eeaa，C 正确；对于 D，1lnxafxaaax，令 0fx得：11lnxaaax，两边取对数可得：1 lnln ln1 lnxaaax，设 1 lnln

14、 ln1 lnh xxaaax 则 1lnah xax，令 0h x得：1lnaxa，h x在10lnaa，上单调递减，在1lnaa，+上单调递增；h x最多有两个零点，f x最多有两个极值点，D 错误.故选：AC.【点睛】本题考查函数零点、方程的根与图象交点的等价，考查函数的单调性、极值与最值的应用，本题的难点在于对式子的变形以及构造函数，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，属于难题.12设 na为等比数列，设nS和nT分别为 na的前 n项和与前 n项积，则下列选项正确的是（）A若20232022SS，则 nS不一定是递增数列 B若20242023TT，则 nT不一定是递增数列 C若

15、nS为递增数列，则可能存在20222021aa D若 nT是递增数列，则20222021aa一定成立【答案】ABC【分析】通过举特例，根据数列的单调性的定义判断各选项的对错.【详解】对于选项 A，当 na为：1,1,1,1,1,1,1,1,时，20231S，20220S，20211S，满足20232022SS，但20212022SS，所以 nS不是递增数列，故选项 A 正确；对于选项 B，当 na为：1,1,1,1,1,1,1,1,时，20231T，20241T，20261T，满足20242023TT，但 nT不是递增数列，故选项 B 正确；第 8 页 共 17 页 对于选项 C，当 na为：

16、1 1 11,2 4 8，时，11122(1)1212nnnS，满足 nS为递增数列，此时20222021202120201122aa，故选项 C 正确；对于选项 D，当 na为：2,2,2,，时，2nnT，满足 nT是递增数列，但是202220212aa，故选项 D 不正确.故选：ABC 三、填空题 1325()xxy的展开式中，52x y的系数为_.【答案】30【分析】25()xxy 表示 5 个因式2xxy的乘积，在这 5 个因式中，有 2 个因式选y，其余的 3 个因式中有一个选x，剩下的两个因式选2x，即可得到含52x y 的项，即可算出答案.【详解】25()xxy 表示 5 个因式

17、2xxy的乘积，在这 5 个因式中，有 2 个因式选y，其余的 3 个因式中有一个选x，剩下的两个因式选2x，即可得到含52x y 的项，故含52x y的项系数是21253230CCC 故答案为：30【点睛】本题考查的是利用分步计数原理处理多项式相乘的问题，较简单.14已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有_种 【答案】20【分析】由题意，根据乙的支付方式进行分类，根据分类与分步计数原理即可求出【详解】当乙选择支付宝时，丙

18、丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有 1+C21C215，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有 1+C21C215，此时共有5+5=10 种，当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有 1+C21C215，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人第 9 页 共 17 页 选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有 1+C21C215，此时共有 5+5=10 种，综上故有 10+1020 种，故答案为 20.【点睛】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，

19、考查了转化思想，属于难题.15函数 sinln 23f xxx的所有零点之和为_【答案】9【分析】根据给定条件，构造函数sinyx，ln 23yx，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.【详解】由 0sinln|23|xxf x，令sinyx，ln 23yx，显然sinyx与ln 23yx的图象都关于直线32x 对称，在同一坐标系内作出函数sinyx，ln 23yx的图象，如图，观察图象知，函数sinyx，ln 23yx的图象有 6 个公共点，其横坐标依次为123456,x xx xx x，这 6 个点两两关于直线32x 对称，有1625343xxxxxx，则1

20、234569xxxxxx，所以函数 sinln 23f xxx的所有零点之和为 9.故答案为：9 16 设yR，x表示不超过 x 的最大整数，设正项数列na满足284nnnSaanN（），设数列bn的前 n 项和为nT，且1nnba，则35T=_.【答案】5【分析】由,nnaS的关系可推出na为等差数列，求出通项公式代入nb，利用放缩法及第 10 页 共 17 页 裂项相消法可求出35T的范围，即可得解.【详解】由284nnnSaa可得2111842)(nnnSaan，两式相减得：2211844nnnnnaaaaa(2)n，化简得1114()()()nnnnnnaaaaaa，又由正项数列na可

21、知，10nnaa，所以14nnaa(2)n，又211184Saa，解得14a 所以na是以 4 为首项，4 为公差的等差数列，故44(1)4nann，1111121nnbnnannnnn，3512351213243353435Tbbb ，又1111121nnbnnannnnn，35123521324336353615Tbbb ，35535T,355T.故答案为：5 四、解答题 17（1）求函数 2212lnf xxx在1x 处的导数 1f；（2）已知函数 f x的导函数为 fx，且 232lnf xxxfx，求 2f 【答案】（1）10；（2）94.【分析】（1）求出函数 f x的导数 fx，

22、再求导函数 fx在1x 处的函数值即可.（2）对于给定等式两边求导，解方程求出 2f 作答.【详解】（1）函数 2212lnf xxx，求导得：函数 241fxxx，所以 101f；（2）因 232lnf xxxfx，两边求导得：1232fxxfx，第 11 页 共 17 页 当2x 时，124322ff，解得9(2)4f ，所以 924f .18 已知 na是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为nS，满足312a，_ 是否存在正整数k，使得2020kS 若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由 从2q，12q，2q 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答【答案】见解析【解析】选择或或，

23、求出1a的值，然后利用等比数列的求和公式可得出关于k的不等式，判断不等式是否存在符合条件的正整数解k，在有解的情况下，解出不等式，进而可得出结论.【详解】选择：因为312a，所以3123aaq，所以3 1 23 211 2nnnS 令2020kS，即202323k，9102023223，所以使得2020kS 的正整数k的最小值为10；选择：因为312a，所以31248aaq，14811296 11212nnnS 因为962020nS，所以不存在满足条件的正整数k；选择：因为312a，所以3123aaq，所以 3121212nnnS 令2020kS，即122020k，整理得22019k 当k为偶

24、数时，原不等式无解；当k为奇数时，原不等式等价于22019k，所以使得2020kS 的正整数k的最小值为11【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19某学校组织的“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，规定每位参赛选手共需回答 3 道问题.现有两种方案供参赛选手任意选择.方案一：只选A类问题：方案二：第一次A类问题，以后按如下规则选题，若本次回答正确，则下一次选A类问题，回答错误则下一次选B类问题.A类问题中的每个问题回答正确得 50 分，否则得 0 分：B类问题第 12 页 共 17 页 中的每个问题回答正确得 30 分，否则得 0 分.已知

25、小明能正确回答A类问题的概率为13，能正确回答B类问题的概率为23，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）求小明采用方案一答题，得分不低于 100 分的概率：（2）试问：小明选择何种方案参加比赛更加合理？并说明理由.【答案】（1）727；（2）小明选择方案二参加比赛更加合理，理由见解析.【分析】（1）由题知得分不低于 100 分的情况为至少答对两道试题，进而根据二项分布的概率公式求解即可；（2）分别求解两种方案得分的概率分布列，求得分的期望，期望高的更合理.【详解】解：（1）小明采用方案一答题，得分不低于 100 分的情况为至少答对两道试题，所以其概率为2323121733327PC.（

26、2）小明选择方案二参加比赛更加合理.理由如下：若采用方案一，则其得分X的可能为取值为0,50,100,150，3280327P X，213211245033279P XC，223126210033279P XC，311150327P X.所以X的概率分布列为 X 0 50 100 150 P 827 49 29 127 所以X的数学期望为 42120020050501001505099279E X；若采用方案二，则其得分Y的可能为取值为0,30,50,80,100,150，所以2112033327P Y，22221212430333333279P Y，12125033327P Y，122221

27、88033333327P Y，112210033327P Y，111115033327P Y.所以Y的概率分布列为 第 13 页 共 17 页 Y 0 30 50 80 100 150 P 227 49 227 827 227 127 所以Y的数学期望为 122821145030508010015053.7272727272727E Y，因为 E YE X，所以小明选择方案二参加比赛更加合理.20已知数列 na的前 n 项和为nS，且满足114,224nnaSannN.(1)求数列 na的通项公式.(2)若22331111log1log1nnnbaa，数列 nb的前 n 项和为nT，证明：31

28、2nTn.【答案】(1)31nna；(2)证明见解析.【分析】（1）根据nS与na的关系式可得出1na 是以113a 为首项，3 为公比的等比数列，从而可求出数列 na的通项公式.（2）根据31nna，可求出(1)1(1)nn nbn n，然后利用裂项法即可求出nT.根据nT的单调性，可证明132nTT；根据111nTnn，可证明1nTn.【详解】(1)因为114,224nnaSan，所以令1n，得210a，所以12311aa.又1224nnSannN，所以1226(2)nnSann，两式相减可得122(2)nnnaaan，即1131(2)nnaan，所以1na 是以113a 为首项，3 为公

29、比的等比数列，所以113 3nna，即31nna.(2)因为0nb，所以 nT为递增数列，则132nTT.由（1）知31nna，第 14 页 共 17 页 所以2222331111111(1)log1log1nnnbnnaa 222222(1)(1)(1)n nnnn n222(1)1(1)1111(1)(1)1n nn nn nn nnn，所以1111111 111122311nTnnnn ，从而1nTn.综上可得312nTn.21 如图，已知椭圆222210 xyabab的左顶点为2,0A，焦距为2 3，过点2,2B的直线交椭于点 M，N，直线 BO 与线段 AM、线段 AN分别交于点 P

30、，Q，其中 O为坐标原点记 OMN，APQ的面积分别为1S，2S (1)求椭圆的方程；(2)求12SS的最大值【答案】(1)2214xy(2)4 58【分析】（1）由已知得,a c，然后计算出b可得椭圆方程；（2）设直线 MN：22yk x，其中1k，设11,M x y，22,N xy，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,xxx x，由弦长公式求得弦长MN，求出原点到直线MN的距离，得三角形面积1S，由直线方程求得,P Q坐标，得弦长PQ，计算出A点到直线PQ的距离得面积2S，计算12S S，利用换元法、基本不等式可得最大值【详解】(1)因为左顶点为2,0A，所以2a，又焦距为

31、2 3，所以223ab，所以21b，第 15 页 共 17 页 所以椭圆的方程是2214xy(2)由题意设直线 MN：22yk x，其中1k，设11,M x y，22,N xy，由222214yk xxy，消去 y 整理得222411614 4830kxkk xkk，且22216116 4148316 830kkkkkk，所以12216141k kxxk，21224 48341kkx xk 所以222212121224 18311441kkMNkxxkxxx xk，又点 O到直线 MN的距离12221kdk，所以11241831241kkSMNdk 因为 P，Q在直线 BO 上，所以可设33,

32、P x x，44,Q x x，又因为 A，P，M三点共线，所以111322yxxx，所以131122yxxy，同理242222yxxy，所以 121214112212222222 22 2221212yykxkkxkPQxxxyxyk xkk xk 212212124 2 214 2 83834211kxxkkkkkxxkx x 又点A到直线 BO的距离22d，所以2214 83283kSPQ dk 设10,tk，即1222161161644525414855248ktSSktttt（当且仅当52t，即512k，等号成立）因此，12SS的最大值是4 58 22已知函数()e|1|(R)xf x

33、xa a.(1)判断()0f x 的根的个数；(2)若函数1()(0,1.7)2t xfxx有两个零点1212,()x xxx，证明：21(e 1)eaxx.第 16 页 共 17 页【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）令()e|1|xyxx，利用导数研究其性质，并画出函数图象，应用数形结合讨论()yx与ya的交点个数即可.（2）令123()e|2xt xx，结合()t x在0,1.7x上单调性求参数 a的范围，讨论参数 a，利用()t x单调性确定12,x x范围，应用放缩法证明不等式.【详解】(1)由()0f x 得：e|1|xxa，设 1e,1,e11 e,1.xx

34、xxxxxxx 设1()(1)exxx，2()(1)exxx，则1()exxx，2()exxx，当0 x 时，1()()0 xx，()x单调递增，当01x时，1()()0 xx，()x单调递减，当1x时，2()()0 xx，()x单调递增，又当x趋向，()x趋向于0；(0)1，(1)0，当x趋向，()x趋向于.x 0 1 ()x 0 e ()x 趋向于 0 递增 1 递减 0 递增 趋向于 由上述，作出()yx的草图：()0f x 的根的个数即为()yx与ya的交点个数 所以，当0a 时，()0f x 无根；当0a 时，()0f x 有 1 个根；当01a时，()0f x 有 3 个根；当1a

35、 时，()0f x 有 2 个根；当1a 时，()0f x 有 1 个根.第 17 页 共 17 页(2)由123e2xxa和1()(0,1.7)2m xfxx 设 1212123e,01.523e23e,1.51.72xxxxxt xxxx，则()t x由()x向右平移12个单位可得，由（1）知：00.5x时()t x递增，0.51.5x时()t x递减，1.51.7x时()t x递增，且3(0)2 et，(0.5)1t，65e(1.7)5t.1721015ee2，65e352 e，则(1.7)(0)tt成立，又12xx，易得1a，65e05a 或312 ea.1、当312 ea时，则1200.5xx，而e(1)2t，又e3e3022 e2 e，21x，则21323(e1)(e1)1e2eaxx.2、当65e05a时，120.51.51.7xx，10.51.5x时，11211133e22xt xaxx，则132xa.21.51.7x时，21222233ee22xt xaxx，则23e2ax.2133(e 1)e22eaaxxa.综上可知：21(e 1)eaxx.【点睛】关键点点睛：第二问，根据123()e|2xt xx的区间单调性求参数 a的范围，应用分类讨论、放缩法证明不等式.