2021-2022学年浙江省北斗联盟高二下学期期中联考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 18 页 2021-2022 学年浙江省北斗联盟高二下学期期中联考数学试题 一、单选题 1已知集合lg1,2AxxBx x，则AB（）A(,2)B(0,1)C(0,2)D(1,10)【答案】C【分析】求出集合 A，再根据交集的运算即可得出答案.【详解】解：lg1010Axxxx，所以AB(0,2).故选：C.2已知函数 122,0,log,0,xxf xx x则2ff（）A-2 B-1 C1 D2【答案】D【分析】先根据分段函数求出 2f，再根据分段函数，即可求出结果.【详解】因为21224f，所以12112log244fff.故选：D.3在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时

2、惊艳了世界从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为 18.5 尺，立春的日影长为 15.5 尺，则春分的日影长为（）A9.5 尺 B10.5 尺 C11.5 尺 D12.5 尺【答案】D【分析】由等差数列相关运算得到公差，进而求出春分的日影长.【详解】由题意得：na为等差数列，公差为 d，则118.5a，415.5a，则4133aad，解得：1d，则71618.5612.5aad，故春分的日影长为 12.5尺.故选：D 第 2 页 共 18 页 4如图，已知椭圆22221(0)xyabab，F1、F2分别

3、为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B，若F1AB90，则此椭圆的离心率为（）A14 B32 C22 D12【答案】C【分析】由F1AB90，得F1AF2为等腰直角三角形，从而得bc，易得离心率【详解】若F1AB90，则F1AF2为等腰直角三角形，所以有|OA|OF2|，即 bc 所以2ac，22cea 故选：C 5下列图象中，函数 sinxxfxeex，,x 图象的是（）A B C D【答案】D【解析】由条件，分析可得 f x为偶函数且在区间0，上 0f x 恒成立，由此可以用排除法得到答案.【详解】根据题意，sin=sinxxxxfxeexeexf x.所以

4、 f x为偶函数，其图像关于y轴对称，所以可以排除选项,B C.在0，上xxyee单调递增，所以0 xxee，且sin0 x.则在0，上 0f x，排除选项A.故选：D 第 3 页 共 18 页【点睛】本题考查根据函数解析式选择函数图像，注意分析函数的奇偶性、单调性、定义域、值域和一些特殊点处的函数值，属于中档题.6已知非零向量a，b满足|4|ab，且(2)abb，则a与b的夹角为（）A6 B3 C23 D56【答案】C【分析】设向量a与b的夹角为，由(2)abb，得220a bb，结合已知条件化简可得答案【详解】设向量a与b的夹角为，因为(2)abb，所以220a bb，即224|cos2|

5、0bb，又|0b，所以1cos2，因为0,所以23.故选：C 7阿波罗尼斯(约公元前262 190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0k k 且1)k 的点的轨迹是圆 后人将这个圆称为阿氏圆 若平面内两定点 A，B 间的距离为 2，动点 P与 A，B 距离之比满足：|PA|3|PB，当 P、A、B 三点不共线时，PAB面积的最大值是（）A2 2 B2 C3 D2【答案】C【分析】根据给定条件建立平面直角坐标系，求出点 P 的轨迹方程，探求点 P 与直线AB 的最大距离即可计算作答.【详解】依题意，以线段 AB 的中点为原点，直线 AB为 x轴建立平面直角坐标系，如图，则1,

6、0A，10B,，设,P x y，第 4 页 共 18 页 因|PA|3|PB，则2222(1)3(1)xyxy，化简整理得：22(2)3xy，因此，点 P的轨迹是以点(2,0)为圆心，3为半径的圆，点 P 不在 x 轴上时，与点 A，B可构成三角形，当点 P到直线AB(x轴)的距离最大时，PAB的面积最大，显然，点 P到x轴的最大距离为3，此时，max1()2332PABS，所以PAB面积的最大值是3 故选：C 8已知定义在 R上的函数()f x的导函数为()fx，且满足()()0fxf x，2021(2021)fe，则不等式31(ln)3fxx的解集为（）A6063(,)e B2021(0,

7、)e C2021(,)e D6063(0,)e【答案】D【分析】由题设()()xf xF xe，由已知得函数()F x在 R上单调递增，且1(ln)(2021)3FxF，根据函数的单调性建立不等式可得选项.【详解】由题可设()()xf xF xe，又()()0fxf x，则2()()()()()0 xxxxfx ef x efxf xF xee，所以函数()F x在 R 上单调递增，2021(2021)(2021)1fFe，将不等式31(ln)3fxx转化为1ln33311lnln3311(ln)(ln)133(ln)3xxxfxfxfxexxee，所以1(ln)13Fx，即1(ln)(202

8、1)3FxF，有1ln20213x，故得60630 xe，所以不等式31(ln)3fxx的解集为6063(0,)e，故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的问题关键在于构造函数，并且得出函数的单调性，根据函数的单调性得出不等式，解之得选项.二、多选题 9甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是（）A2个球颜色相同的概率为12 B2个球不都是红球的概率为13 第 5 页 共 18 页 C至少有1个红球的概率为23 D2个球中恰有1个红球的概率为12【答案】ACD【分析】分别计算出从甲袋和乙袋中任取1个球，该球

9、为白球或红球的概率，然后利用独立事件、互斥事件以及对立事件的概率公式可判断各选项.【详解】从甲袋中任取1个球，该球为白球的概率为23，该球为红球的概率为13，从乙袋中任取1个球，该球为白球的概率为12，该球为红球的概率为12.对于 A 选项，2个球颜色相同的概率为2111132322，A 对；对于 B 选项，2个球不都是红球的概率为1151326，B 错；对于 C 选项，至少有1个红球的概率为2121323，C 对；对于 D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为2111132322，D 对.故选：ACD.10若数列 na的前 n项和为nS，且*1nnSan N，则（）A112a B398S C数

10、列 na是等比数列 D112nnSS【答案】AC【分析】先代入1n 求出1a，再根据1nnnaSS即可得出数列为等比数列，再求和判断 BD 即可.【详解】将1n 代入1nnSa 得112a，A 对；因为*1nnSan N，则111nnSa，2n 11nnnnnaSSaa，即112nnaa 所以数列 na是首项为12，公比为12的等比数列，C 对；111()1221()1212nnnS，11111()22nnnSS，BD 错误.故选：AC 第 6 页 共 18 页 11已知函数()2tanf xxx，其导函数为()fx，设()()cosg xfxx，则（）A()f x在R上单调递增 B()f x

11、的图象关于原点对称 C()g x在0,2上的最小值为2 2 D2是()g x的一个周期【答案】BD【分析】对于 A，根据导函数的正负与函数单调性的关系即可求解；对于 B，利用函数的奇偶性的定义即可判断；对于 C，通过换元及三角函数的性质即可判断；对于 D，根据三角函数周期性的性质即可判断.【详解】对于 A，由()2tanf xxx，得22()10cosfxx 恒成立，所以()f x在,Z22kkk上单调递增，并不是在R上单调递增，故 A 不正确；对于 B，因为()2tanf xxx的定义域为,Z2x xkk，其关于坐标原点对称，()2tan2tan2tan()fxxxxxxxf x ，所以()

12、2tanf xxx是奇函数，即()f x的图象关于原点对称，故 B 正确；对于 C，由22()1cosfxx，得222()()cos1coscoscoscosg xfxxxxxx，令cos,0,2tx x，则01t，2()g ttt，22222()1ttg ttt 01,20,20ttt ，()0g t，所以()g t在0,1上单调递减，当1t 即cos1x，0 x 时，()g x取最小值，显然0 x，所以函数()g x无最小值，故 C 不正确；对于 D，22(2)cos(2)coscos(2)cosg xxxg xxx，所以2是()g x的一个周期，故 D 正确.故选：BD.12如图，在长方

13、体1111ABCDABC D中，1222ABADAA，点 P满足111111xADyA AzBPAA，0,1x，0,1y，0,1z，则下列结论正确的有（）第 7 页 共 18 页 A当xyz时，1APBD B当1xyz时，1/D P平面1BDC C当12x，yz时，三棱锥1CDPD的体积为定值 D当1xy，yz时，1D P与平面11AD DA所成角的正切值为2【答案】BCD【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，当xyzt时，得13AP BDt，知 A 错误；当1xyz时，知11,A B D P四点共面，由面面平行的性质可得1/D P平面1BDC，知B 正确；当12x，yzm时，利用点到面的

14、距离的向量求法可求得点P到平面1CDD的距离，利用体积桥可得1116C DPDP CDDVV，知 C 正确；当1xy，yz时，利用线面角的向量求法可求得sin，进而得到tan，知 D 正确.【详解】以D为坐标原点，1,DA DC DD为,x y z轴可建立如图所示空间直角坐标系，则1,0,0A，1,2,0B，0,2,0C，0,0,0D，11,0,1A，11,2,1B，10,2,1C，10,0,1D，则111,0,0AD ，10,0,1A A，110,2,0AB；对于 A，设xyzt，则111111,2,ADtA AtAtBAPttt，第 8 页 共 18 页 又1,2,0BD ，143AP B

15、Dttt ，1APBD不恒成立，A 错误；对于 B，当1xyz时，11,A B D P四点共面，即1D P 平面11AB D；11/B DBD，BD 平面1BDC，11B D 平面1BDC，11/B D平面1BDC，同理可得：1/AD平面1BDC，又1111ADB DD，111,AD B D 平面11AB D，平面11/AB D平面1BDC，1/D P平面1BDC，B 正确；对于 C，设yzm，则11111111,2,22ADmA AmA BAPmm，设,P a b c，则11,1APab c，12a，2bm，1cm，1,2,12Pmm，11,2,2PDm m；DA 平面1CDD，平面1CDD

16、的一个法向量为1,0,0DA，点P到平面1CDD的距离112PD DAdDA，又112 112CDDS ，1111136C DPDP CDDCDDVVSd，即三棱锥1CDPD的体积为定值16，C 正确；对于 D，当1xy，yz时，1111111,2,1y ADAPyyyyyA AAB，设,P a b c，则11,1APab c，ay，2by，1cy，,2,1P yyy，1,2,D Pyyy，CD 平面11AD DA，平面11AD DA的一个法向量0,1,0n，设1D P与平面11AD DA所成角为，则1222126sin34D P nyD Pnyyy，tan2，即1D P与平面11AD DA所

17、成角的正切值为2，D 正确.故选：BCD.三、填空题 13已知复数 z 满足(2)1i zi，i为虚数单位，则复数z _【答案】1355i【分析】根据复数的除法运算计算即可得解.【详解】(2)1i zi，1(1)(2)(1)(2)1 3132(2)(2)5555iiiiiiziiii.第 9 页 共 18 页 故答案为：1355i【点睛】本题主要考查了复数除法运算，解题关键是掌握复数除法的运算方法，考查了分析计算能力，属于基础题 14 已知双曲线2222:10,0 xyCabab的右焦点到它的一条渐近线的距离为 4，且焦距为 10，则该双曲线的渐近线方程为_.【答案】43yx 【分析】由标准方

18、程可得渐近线方程，利用点到直线的距离构造方程，求得ba的值，从而得到渐近线方程.【详解】22221xyab渐近线方程为：byxa，由双曲线对称性可知，两焦点到两渐近线的距离均相等，取渐近线byxa，又因为焦距为 10，故右焦点为5,0，2254bab43ba，渐近线方程为：43yx.故答案为：43yx 15已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_【答案】23【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BCABAC，且点 M 为 BC 边上的中点

19、，设内切圆的圆心为O，第 10 页 共 18 页 由于22312 2AM，故12 2 22 22S ABC，设内切圆半径为r，则：ABCAOBBOCAOCSSSS111222ABrBCrACr 13322 22r，解得：22r，其体积：34233Vr.故答案为：23.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16 已知函数 ln11f xx，若ab且 f

20、af b，则ab的取值范围是_ 【答案】22,e【分析】由题设 ln11g xx，结合对数函数的单调性即可得211abe，再根据基本不等式即可求得答案.【详解】解：由对数复合函数的单调性得函数 ln11g xx在1,上单调递增，因为10g e，所以函数 ln11g xx在1,1e上 0g x，在1,e上 0g x，因为ab且 f af b，所以 g ag b，即ln11ln11ab ，所以211abe，第 11 页 共 18 页 所以 112211222abababe，当且仅当 11ab，即ab时等号成立，由于ab，所以等号不能取到，所以22abe，所以ab的取值范围是22,e 故答案为：22

21、,e 四、解答题 17在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c.已知ab，5,6ac，3sin5B.（）求b和sin A的值；（）求sin(2)4A的值.【答案】（）13b.sin A=3 1313.（）7 226.【详解】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2ab，再根据余弦定理求出cos A，进而得到sin A，由2ab转化为sin2sinAB，求出sinB，进而求出cosB，从而求出2B的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（）解：在ABC中，因为ab，故由3sin5B，可得4cos5B.由已知及余弦定理，有2222cos13bacacB，所以13b

22、.由正弦定理sinsinabAB,得sin3 13sin13aBAb.所以，b的值为13，sinA的值为3 1313.（）解：由（）及ac，得2 13cos13A，所以12sin22sin cos13AAA，25cos212sin13AA .故7 2sin 2sin2 coscos2 sin44426AAA.【解析】正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理

23、解题.182021 年 3 月 18 日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公第 12 页 共 18 页 司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业.在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了 100 个，将其质量指标值分成以下六组：40)50，50)60，60)70，90100，得到如下频率分布直方图 (1)

24、求出直方图中 m的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；(3)现规定：质量指标值小于 70 的口罩为二等品，质量指标值不小于 70 的口罩为一等品利用分层抽样的方法从该企业所抽取的 100 个口罩中抽出 5 个口罩，其中一等品的概率是多少【答案】(1)0.030(2)平均数 71，中位数 73.33(3)35【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为 1 列方程求解即可；（2）由频率分布直方图取各组中点值计算均值即可，再由频率分布直方图求中位数的方法求解即可.（3）由分层抽样可知抽取的

25、 5 个口罩中一等品与二等品的件数，再由古典概型计算即可.【详解】(1)由10(0.0100.0150.0150.0250.005)1m，得0.030m，所以直方图中 m的值是 0.030；(2)平均数为45 0.1 55 0.1565 0.1575 0.385 0.2595 0.0571x，第 13 页 共 18 页 因为0.10.150.150.40.5，0.1 0.150.150.30.70.5，所以中位数在第 4 组，设中位数为 n，则0.10.150.150.03(70)0.5n，解得22073.333n，所以可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为 71，中位数为73.33；

26、(3)由频率分布直方图知：100 个口罩中一等品、二等品各有 60 个、40 个，由分层抽样可知，所抽取的 5 个口罩中一等品有：6053100(个)，二等品有：5 32(个)，所以抽取的 5 个口罩中一等品有 3 个，二等品有 2 个.一等品的概率为35.19如图，在三棱柱111ABCABC-中，90BAC，2ABAC，14A A，1A在底面 ABC的射影为BC的中点，D为11BC的中点.（1）证明：1AD 平面1AB C；（2）求二面角1A-BD-1B的平面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）18.【详解】（1）根据条件首先证得AE平面 1A BC，再证明1/ADAE，即可得证；（2

27、）作1AFBD，且，可证明11AFB为二面角 11ABDB的平面角，再由 余弦定理即可求得111cos8AFB，从而求解.试题解析：（1）设E为 BC的中点，由题意得1AE 平面ABC，1AEAE，ABAC，AEBC，故 AE平面1A BC，由 D，E分别 11BC，BC的中点，得 1/DEB B且 第 14 页 共 18 页 1DEB B，从而 1/DEA A，四边形1A AED为平行四边形，故 1/ADAE，又AE 平面11A BC，1AD 平面11A BC；（2）作 1AFBD，且，连结1BF，由2AEEB，1190A EAA EB，得114ABA A，由11ADB D，11ABB B，

28、得 11A DBB DB，由1AFBD，得 1B FBD，因此11AFB为二面角 11ABDB的平面角，由 12AD，14AB，190DA B，得3 2BD，1143AFB F，由余弦定理得，111cos8AFB.【解析】1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解 20 已知抛物线C：22(0)ypx p的焦点为F，过F且斜率为43的直线l与抛物线C交于A，B两点，B在x轴的上方，且点B的横坐标为 4.第 15 页 共 18 页 （1）求抛物线C的标准方程；（2）设点P为抛物线C上异于A，B的点，直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E，G两点，x轴与准线的交点为H，求证：HG HE为定值，并求

29、出定值.【答案】（1）24yx（2）见证明【分析】（1）先由题意得到(,0)2pF，(4,8)Bp，根据AB的斜率为，求出2p，即可得出抛物线方程；（2）先由（1）的结果，得到A点坐标，设点2(,)4nPn，结合题意，求出HG与HE，计算其乘积，即可得出结论成立.【详解】（1）由题意得：(,0)2pF，因为点B的横坐标为 4，且B在x轴的上方，所以(4,8)Bp，因为AB的斜率为43，所以84342pp，整理得：3 280pp，即(2)(4 2)0pp，得2p，抛物线C的方程为：24yx.（2）由（1）得：(4,4)B，(1,0)F，淮线方程1x，直线l的方程：4(1)3yx，由24(1)34

30、yxyx解得14x 或4x，于是得1(,1)4A.设点2(,)4nPn，又题意1n 且4n ,所以直线PA：41114yxn，令1x，得41nyn，即41nHEn，同理可得：444nHGn，444414nnHG HEnn.【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，以及抛物线的应用，熟记抛物线的标准方程与第 16 页 共 18 页 抛物线的简单性质即可，属于常考题型.21已知函数()lnf xa xbx的图象在点(1,3)处的切线方程为21yx.（1）若对任意1,)3x有()f xm恒成立，求实数m的取值范围；（2）若函数2()()2g xf xxk在区间(0,)内有 3 个零点，求实数k的范围.【答

31、案】（1）ln3 1，)；（2）3(ln2,0)4.【分析】（1）()afxbx，(0)x，根据函数()f x的图象在点(1,3)处的切线的方程为21yx 可得f（1）2，f（1）3，解得a，b，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出实数m的取值范围（2）由（1）可得：2()ln32g xxxxk，利用导数研究函数的单调性极值与最值，根据函数2()()2g xf xxk在区间(0,)内有 3 个零点，可得最值满足的条件，进而得出实数k的取值范围【详解】解：（1）()afxbx，(0)x.函数()f x的图象在点(1,3)处的切线的方程为21yx.f（1）2，f（1）3，23abb ，解得3

32、b ，1a.()ln3f xxx.13()13()3xfxxx，1,)3x，()0fx.当13x 时，函数()f x取得最大值，1()ln3 13f.对任意1,)3x有()f xm恒成立，所以()maxm f x，1,)3x.ln3 1m.实数m的取值范围是 ln3 1，).（2）由（1）可得：2()ln32g xxxxk，1(21)(1)()23xxg xxxx，令()0g x，解得12x，1.第 17 页 共 18 页 列表如下：x 1(0,)2 12 1(,1)2 1(1,)()g x 0 0 ()g x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当1x 时，函数()f

33、x取得极小值g（1）k；当12x 时，函数()g x取得极大值13()ln224gk.要满足函数2()()2g xf xxk在区间(0,)内有 3 个零点，3ln2040kk，解得3ln204k，则实数k的取值范围3(ln2,0)4.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、转化方法，考查了推理能力于计算能力，属于难题 22 已知 na为等差数列，nb为等比数列，111ab，5435aaa，5434bbb (1)求 na和 nb的通项公式；(2)记 na的前n项和为nS，求证：2*21nnnS SSnN；(3)对任意的正整数n，设211,11,nnnnnnbnb

34、bcanb为奇数为偶数，求数列 nc的前2n项和【答案】(1)nan，12nnb(2)证明见解析(3)213165183 239 4nnn【分析】（1）根据已知条件求得 na的公差、nb的公式，从而求得 na和 nb的通项公式.（2）利用差比较法证的结论成立.第 18 页 共 18 页（3）结合裂项求和法、错位相减求和法、分组求和法求得正确答案.【详解】(1)设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为q 11a，5435aaa，可得1d nan 11b，5434bbb，且0q，可得2440qq，解得2q，12nnb(2)由题可知1122nn nSn，故211234nnS Sn nnn，

35、22211124nSnn，作差得：221111231212044nnnS SSnnn nnnnn，因此，221nnnS SS.(3)由题可知211,11,nnnnnnbnbbcanb为奇数为偶数，故当n为奇数*21Nkk时，21212121212111111311kkkkkkbcbbbb，故记1321222211111 11321213 221nnnkknkHccc.当n偶数*2Nk k时，记24221321444nnnnTccc，231113232144444nnnnnT，故12311111113122221121512184144444444126 4414nnnnnnnnnnT，因此，11451215653 126 4499 4nnnnnnT；故所求12221 115653 22199 4nnnnnncccTH 213165183 239 4nnn.