2022-2023学年广东省广州市第三中学高一上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 14 页 2022-2023 学年广东省广州市第三中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 1全集3,2,1,0,1,2,3,4,5U ，集合2|5,ZAx xx，则UA（）A 3,2,2,3,4,5UA B 3,3,4,5UA C3,4,5UA D 2,1,0,1,2UA 【答案】B【分析】先求出集合 A,再根据补集定义求得答案.【详解】由题意，|55,Z2,1,0,1,2Axxx，则 3,3,4,5UA .故选：B.2已知命题1:(0,),2paaa，则p是（）A1(0,),2aaa B1(0,),2aaa C1(0,),2aaa D1(0,),2aaa 【答案】C【分析】根

2、据全称量词命题的否定是存在性量词命题即可选出答案.【详解】解：由题意得：全称量词命题的否定是存在性量词命题：故1:(0,),2paaa，则1:(0,),2paaa 故选：C 3在直角坐标系中，3cos5，4sin5，则角的终边与单位圆的交点坐标为（）A34(,)55 B4 3(,)5 5 C3 4(,)5 5 D43(,)55 【答案】A【分析】根据三角函数定义，即可求得答案.【详解】在直角坐标系中，3cos5，4sin5，设角的终边与单位圆的交点坐标为(,)x y，第 2 页 共 14 页 则34cos1,1 sin55yx ，即角的终边与单位圆的交点坐标为34(,)55，故选：A 4设函数

3、241,0()log,0 xxf xx x，则(1)f f等于（）A0 B1 C2 D3【答案】A【解析】根据函数241,0()log,0 xxf xx x，先求(1)f，再求(1)f f.【详解】因为函数241,0()log,0 xxf xx x，所以2(1)log 10f，所以0(1)(0)410f ff，故选：A 5已知实数x，y满足，2224xy，则xy的最大值为（）A2 2 B1 C2 D2【答案】C【分析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值进行求解【详解】由2224xy，得22142xy，令2cos2sinxy，则 2 2sincos2sin 2xy，因为1si

4、n21，所以22sin22，即22xy，所以xy的最大值为2，故选：C 6函数1()31f xxx的定义域为（）A1|x x 第 3 页 共 14 页 B|3x x 且1x C3|x x 且1x D|3x x 【答案】C【分析】根据给定函数有意义直接列出不等式组，解不等式组作答.【详解】依题意，3010 xx，解得3x 且1x ，所以1()31f xxx的定义域为3|x x 且1x.故选：C 7已知cos28a，则cos(602)（）Aa Ba C21 a D21 a【答案】B【分析】利用诱导公式将cos(602)化简，求值即可得答案.【详解】cos(602)cos(2360602)cos11

5、8 cos(9028)sin 28a ,故选：B 8函数 1lnf xxx的零点所在的区间为（）A0,1 B1,2 C2,3 D3,4【答案】B【分析】先求得函数的单调性，利用函数零点存在性定理，即可得解.【详解】由1x为减函数，而ln x也为减函数，所以 1lnf xxx为减函数，由11(1)10,(2)ln2ln022ffe，所以零点在区间1,2上，故选：B 9设ln3a，133b，1lg3c，则a，b，c的大小关系为（）Aabc Bbca Ccab Dcba 第 4 页 共 14 页【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，再结合 0,1 两个中间量即可求得答案.【详解】因为ln

6、3lne1a，1030331b，1lglg103c，所以cba.故选：D.10甲：“x 是第一象限的角”，乙：“sinx是增函数”，则甲是乙的（）A充分但不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】D【分析】由正弦函数的单调性结合充分必要条件的定义判定得解【详解】由 x是第一象限的角，不能得到sinx是增函数；反之，由sinx是增函数，x也不一定是第一象限角 故甲是乙的既不充分又不必要条件 故选 D【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查正弦函数的单调性，是基础题 11已知1cos3，3cos3，且0，则cos A5 39 B33 C2 39 D5 39【答案】D【

7、分析】利用同角三角函数之间的关系求出2 26,33sinsin，再利用coscos求解即可.【详解】1cos3，3cos3，且0，0，12 2161,19333sinsin ，coscos coscossinsin 132 265 333339，故选 D.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转第 5 页 共 14 页 化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使

8、其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角 12已知函数()ln()f xaxb的单调区间是(1,)，那么函数()(1)()ax bxg xa在区间(12)，上（）A当1a 时，有最小值无最大值 B当1a 时，无最小值有最大值 C当01a时，有最小值无最大值 D当01a时，无最小值也无最大值【答案】D【分析】依题意不等式0axb的解集为（1，+），即可得到0a 且0ab，即0ab，再根据二次函数的性质计算()g x在区间（-1，2）上的单调性及取值范围，即可得到函数的最值情况 【详解】因为函数()ln()f xaxb的单调区间是

9、(1,)，即不等式0axb的解集为（1，+），所以0a 且0ab，即0ab，所以2(1)()(1)()a xax bxg xaa,当1a 时，2(1)ya x 在(12)，上满足20(1)9a xa，故2(1)()a xg xa此时为增函数，既无最大值也无最小值，由此 A,B 错误；当01a 时，2(1)ya x 在(12)，上满足20(1)9a xa，此时2(1)()a xg xa为减函数，既无最大值也无最小值，故 C 错误，D 正确，故选：D.二、多选题 13给出下列函数：cos2yx；cosyx；cos 26yx；tan 24yx其中最小正周期为 的有（）A B C D【答案】ABC【分

10、析】根据三角函数的性质求解即可.【详解】解：对于，cos 2cos2yxx，最小正周期为22T，正确；对于，cosyx，由于cosyx的最小正周期为2，故cosyx的最小正周期为，正确；第 6 页 共 14 页 对于，cos 26yx，最小正周期为22T，正确；对于，tan 24yx，最小正周期为2T，错误；故选：ABC 14已知不等式20axbxc的解集为1|22xx，则下列结论正确的是（）A0a B0b C0c D0abc 【答案】BCD【分析】对 A，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对 B，C，利用韦达定理即可判断；对 D，根据韦达定理以及0b，即可求解.【详解】解：对 A

11、，不等式20axbxc的解集为1|22xx，故相应的二次函数2yaxbxc的图象开口向下，即a0，故 A 错误；对 B，C，由题意知：2和12是关于x的方程20axbxc的两个根，则有12()102ca ，132()022ba，又0a，故0,0bc，故 B，C 正确；对 D，1ca，0ac，又0b，0abc ，故 D 正确.故选：BCD.15设函数()4sin 213f xx的图象为 C，则下列结论中正确的是（）A图象 C关于直线512x 对称 B图象 C关于点,06对称 C函数()f x在区间5,12 12 内是增函数 D把函数()4sin16f xx的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐

12、标不变）可以得到图象 C【答案】AC【分析】运用三角函数图象和性质来判断四个选项中函数图象的对称性、单调性及图象平移是否正第 7 页 共 14 页 确.【详解】对于A,函数()4sin 213f xx的对称轴方程为2()32xkkZ,解得()122kxkZ,当1k 时可得512x,所以图象C关于直线512x 对称正确.对于B,函数()4sin 213f xx的对称中心为2()3xkkZ,解得()62kxkZ,当0k 时可得6x,所以图象C关于点,16对称,而不是关于点,06对称,故B选项不正确.对于C,函数()4sin 213f xx的单调增区间为222()232kxkkZ,解得 5()121

13、2kxkkZ当0k 时51212x,所以函数()f x在区间5,12 12 内是增函数正确.对于D,把函数()4sin16f xx的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到函数()4sin 216f xx的图象,不是图象C,故D选项不正确.综上AC正确 故选AC【点睛】本题考查了三角函数图象与性质,求解三角函数图象的轴对称性和中心对称问题以及三角函数的单调性,需要熟练掌握基础知识并运算正确,依据图象的平移能够得到平移后的图象解析式.本题较为综合.16已知01ab，则下列不等式成立的是（）A1122ab Blnlnab C11ab D11lnlnab【答案】AD【分析】根据指数函数

14、以及对数函数的单调性，可判断A,B;根据不等式的性质可判断C,D.【详解】因为01ab，而函数1()2xy 为 R 上的单调减函数，故1122ab，A 正确；函数lnyx为 R 上的单调增函数，故lnlnab，B 错误；因为01ab，故11ab，C 错误；由01ab，可知lnln0ab，故11lnlnab，D 正确，故选:AD 第 8 页 共 14 页 17已知函数 log0,1af xx aa图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A函数为增函数 B函数为偶函数 C若1x，则 0f x D若120 xx，则 121222f xf xxxf.【答案】ACD【分析】由函数 log0,1af

15、xx aa图像经过点(4,2)求得 f x,再根据对数函数的性质逐个选项分析即可.【详解】由题2log 4,2aa,故 2logf xx.对 A,函数为增函数正确.对 B,2logf xx不为偶函数.对 C,当1x 时,2210loglogf xx成立.对 D,因为 2logf xx往上凸,故若120 xx，则 121222f xf xxxf成立.故选：ACD【点睛】本题主要考查了对数函数的图像与性质,属于基础题型.18已知函数222,0()log,0 xx xf xx x，若 x1x2x3x4，且 f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，则下列结论正确的是（）Ax1x21 Bx3x41 C

16、1x42 D0 x1x2x3x41【答案】BCD【解析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122xx，3 41xx，341122xx，即可知正确选项.【详解】由()f x函数解析式可得图象如下：第 9 页 共 14 页 由图知：122xx，121x ，而当1y 时，有2|log|1x，即12x 或 2，341122xx，而34()()f xf x知2324|log|log|xx：2324loglog0 xx，3 41xx，21234121(1)1(0,1)x x x xx xx .故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,x

17、 xx x的范围及关系.三、填空题 19已知1tan2x，则tan2x的值为_.【答案】43#113【分析】根据给定条件结合二倍角的正切公式计算作答.【详解】因1tan2x，则22122tan42tan2131tan1()2xxx，所以tan2x的值为43.故答案为：43 20已知幂函数()f xx过点(2,8)，若0()8f x，则0 x _【答案】2【分析】由题意求得2，可得函数解析式，根据0()8f x 即可求得答案.【详解】因为幂函数()f xx过点(2,8)，故28,3，第 10 页 共 14 页 即3()f xx，由0()8f x，得3008,2xx ，故答案为：2 21已知cos

18、()2cos22sinsin()2，则tan4_【答案】7【解析】首先利用诱导公式对已知条件化简可得cos2sin2cossin再利用化弦为切可得tan的值，再利用两角和的正切公式将tan4展开即可求解.【详解】cos()2coscos2sin22cossinsinsin()2 即12tan21tan，可得4tan3，解得3tan4，所以3tantan144tan7341tantan1144，故答案为：7 22 定义在 R 上的函数 f x满足 13033xf xxf xf x，则2021f_ 【答案】3【解析】先判断函数 f x的周期为3，再利用 20212ff求解即可.【详解】因为 3f

19、xf x，所以函数 f x的周期为3，则 2021673 322fff，又因为 1303xf xx，所以 2 12021233ff，故答案为：3.23已知R上的奇函数()f x是增函数，若()(31)0f afa，则a的取值范围是_【答案】1,4 第 11 页 共 14 页【分析】先通过函数为奇函数将原式变形，进而根据函数为增函数求得答案.【详解】因为函数为奇函数，所以()(31)0()(31)1 3f afaf afafa，而函数在 R上为增函数，则11 3,4aaa .故答案为：1,4.24已知函数1,02,()log(2),2,axxf xxxx且关于x的方程()f xt有四个不等实根，

20、写出一个满足条件的t值_【答案】2.1t（t在2,2.5之间都可以）.【分析】画出函数()f x的图象，结合图象可得答案.【详解】如图，当02x时，1()2f xxx，当且仅当1x 时等号成立，当2x 时，1()2.5f xxx，要使方程()f xt有四个不等实根，只需使22.5t 即可，故答案为：2.1t（t在2,2.5之间都可以）.四、解答题 25已知函数()2sin()(0,)22f xx 的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：条件：()f x的图象关于点(,0)3对称；条件：()f x的图象关于直线12x对称 第 12 页 共 14 页(1)请写出你选择的条件，并求(

21、)f x的解析式；(2)在（1）的条件下，当,3 6x 时，求()f x的最大值和最小值，并指出相应的x取值 注；如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)()2sin(2)3f xx；(2)3x 时，()f x有最小值3，12x时，()f x有最大值 2.【分析】（1）若选，根据周期求出，然后由2Z3kk并结合的范围求出，最后求出答案；若选，根据周期求出，然后由2Z122kk并结合的范围求出，最后求出答案；（2）结合（1），先求出x的范围，然后结合正弦函数的性质求出答案.【详解】（1）若选，由题意，22，因为函数的图象关于点(,0)3对称，所以22ZZ33kkkk，而22，则

22、3，于是()2sin(2)3f xx.若选，由题意，22，因为函数的图象关于直线12x对称，所以2ZZ1223kkkk，而22，则3，于是()2sin(2)3f xx.（2）结合（1），因为,3 6x ，所以22,33 3x，则当2333xx 时，()f x有最小值为()2sin()333f，当23212xx时，()f x有最大值为()2sin2122f.26为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%（1）写出第x年（2021年为第一年）该企业投入的资金

23、数y（万元）与x的函数关系式，并指出函数的定义域；（2）该企业从第几年开始（2021年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元？（参考数据：lg0.110.959，lg1.10.041，lg11 1.041，lg20.301）【答案】（1）100 1.1xy，定义域为10 xNx；（2）从第8年开始.【分析】（1）由每年投入资金比上年增长10%可确定函数关系式，由实际意义得到定义域；（2）令100 1.1200 x，解不等式可求得7.3x，由此可确定结果.【详解】（1）由题意可得：100 1 10%100 1.1xxy，定义域为10 xNx；第 13 页 共 14 页（2）令100 1.1

24、200 x，即1.12x，1.1lg20.301log27.3lg1.10.041x，又xN，从第8年开始（2021年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元.27已知函数()2f xx，2()4g xxmx（mR）(1)当4m 时，求不等式()()g xf x的解集；(2)若对任意xR，不等式()()g xf x恒成立，求m的取值范围；(3)若对任意11,2x，存在24,5x，使得12()()g xf x，求m的取值范围【答案】(1)2|x x 或3x (2)(2 61,2 61)(3)5,2 22 【分析】（1）将4m 代入不等式，解该一元二次不等式即可；（2）转化为一元二次不等式恒成

25、立问题，利用0即可解得参数m的范围；（3）对任意11,2x，存在24,5x，使得12()()g xf x，转化为 1g x的值域包含于 2f x的值域.同时对 1g x值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解.【详解】（1）当4m 时，由2442xxx得2560 xx，即(3)(2)0 xx，解得2x 或3x 所以不等式()()g xf x的解集为2|x x 或3x （2）由()()g xf x得242xmxx，即不等式2(1)60 xmx的解集是R 所以2(1)240m，解得2 612 61m 所以m的取值范围是(2 61,2 61)（3）当24,5x

26、 时，2222,3f xx 又222()4()424mmg xxmxx 当12m，即2m时，对任意11,2x，1()5,82 2,3g xmm 第 14 页 共 14 页 所以252823mmm，此时不等式组无解，当3122m，即23m时，对任意11,2x，21()4,82 2,34mg xm 所以解得52 22m，当3222m，即34m时，对任意11,2x，21()4,52,34mg xm 所以234,42,453,mmm 此时不等式组无解，当22m，即4m时，对任意11,2x，1()82,52,3g xmm 所以482253mmm此时不等式组无解 综上，实数m的取值范围是5,2 22【点睛】关键点点睛，本题中“对任意11,2x，存在24,5x，使得12()()g xf x”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论.