2023届江西省萍乡市高三上学期期末考试数学(文)试题(.pdf

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1、 1 准考证号_姓名_ 绝密启用前（在此卷上答题无效）萍乡市 2022-2023 学年度高三期末考试试卷 文科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致。2 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。第卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题

2、卷上作答，答题无效。3考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回。第卷 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合17Axx，2,1,1,4,7B ，则AB（）A 1,1,4 B 1,1,4,7 C 2,1,1 D1,4,7 2已知 i 为虚数单位，则复数11i的实部与虚部之和为（）A1 B0 C1 D2 3浓浓桑梓情，拳拳助疫心为了抗击疫情，各路爱心人士纷纷捐款捐物，某地第一天收到捐赠的口罩共 1000 盒，第二天收到捐赠的口罩共 1500 盒，第三天收到捐赠的口罩共 2000盒，照此规律，募捐共 20000 盒口罩至少需要

3、的天数为（）A6 B7 C8 D9 4在平面直角坐标系中，角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，已知角 终边过点2,1P，则2sin（）A25 B25 C45 D45 5关于某校运动会 5000 米决赛前三名选手甲、乙、丙有如下命题：“甲得第一”为命题 p；“乙得第二”为命题 q；“丙得第三”为命题 r 若pq为真命题，pq为假命题，(?)qr为假命题，则下列说法一定正确的为（）A甲不是第一 B乙不是第二 C丙不是第三 D根据题设能确定甲、乙、丙的顺序 6若实数 a，b，c 满足abc，则下列结论一定成立的是（）A2acb B22abcb 2 C2211abab D11bcac

4、7函数ykx与lnyx的图象有且只有一个公共点，则实数 k 的取值范围为（）A1k B1ek C1ek 或0k D1k 或0k 8函数()sin(0)6f xx的最小正周期为 T，若25T，且 yf x的图象关于直线3x对称，则（）A1 B2 C3 D4 9分形是由混沌方程组成，其最大的特点是自相似性：当我们拿出图形的一部分时，它与整体的形状完全一样，只是大小不同 谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，它的构造方法是：将一个正方形均分为 9 个小正方形，再将中间的正方形去掉，称为一次迭代；然后对余下的 8 个小正方形做同样操作，直到无限次，如右上图进行完二次迭代后的谢尔宾斯基地毯

5、如右下图，从正方形 ABCD 内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为（）A19 B1781 C29 D317 10三棱锥 A-BCD 中，AD 平面 BCD，DCBD，22ADBDDC，则该三棱锥的外接球表面积为（）A32 B92 C9 D36 11点 M 为抛物线28yx上任意一点，点 N 为圆22430 xyx上任意一点，P 为直线10axya 的定点，则|MPMN的最小值为（）A2 B2 C3 D22 12已知函数()lnf xaxa，()elnxg xxx，若关于 x 的不等式 f xg x在区间(0,)内有且只有两个整数解，则实数 a 的取值范围为（）A2e,e B2ee,2 C23

6、e,e D23ee,23 萍乡市 2022-2023 学年度高三期末考试试卷 3 文科数学 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22，23 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知两个平面向量,a b共线且方向相反，若(1,2)a，|5b，则向量b的坐标为_ 14若中心在原点、焦点在 y 轴的双曲线经过点(2,3)M，离心率为3，则该双曲线的标准方程为_ 15已知函数 f x是定义在R上的奇函数，且满足(2)(2)fxfx，11f，则(1)(2)(2022)fff_ 16已知ABC的内角 A

7、，B，C 的对边分别为 a，b，c，若tantan3cosaBCbC，23bac，则A_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分）记nS为数列的前1na项和，知11a，(21)nnaSnn（1）求23,a a的值；（2）求数列 na的通项公式 18（本小题满分 12 分）如图，在五面体 ABCDE 中，ABC为等边三角形，平面ABC 平面 ACDE，且222ACAEED，90DEAEAC，F 为边 BC 的中点 （1）证明：DF 平面 ABE；（2）求 DF 与平面 ABC 所成角的大小 19（本小题满分 12 分）甲、乙两人参加某知识竞赛对战，甲答对每

8、道题的概率均为12，乙答对每道题的概率均为01pp，两人答每道题都相互独立答题规则：第一轮每人三道必答题，答对得 10 4 分，答错不加分也不扣分；第二轮为一道抢答题，每人抢到的概率都为12，若抢到，答对得 10 分，对方得 0 分，答错得 0 分，对方得 5 分（1）若乙在第一轮答题中，恰好答对两道必答题的概率为 fp，求 fp的最大值和此时乙答对每道题的概率0p；（2）以（1）中确定的0p作为 p 的值，求乙在两轮对战后得到 25 分的概率 20（本小题满分 12 分）已知函数2()2 ln1()f xxxaxaR（1）若()fx为 f x的导函数，讨论()fx的单调性与极值；（2）若 0

9、f x 在1,)上恒成立，求实数 a 的取值范围 21（本小题满分 12 分）已知椭圆 E 的中心在原点，周长为 8 的ABC的顶点(3,0)A 为椭圆 E 的左焦点，顶点B，C 在 E 上，且边 BC 过 E 的右焦点（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）椭圆 E 的上、下顶点分别为 M，N，点(,2)(R,0)P mmm，若直线 PM，PN 与椭圆 E 的另一个交点分别为点 S，T，求证：直线 ST 过定点，并求该定点坐标 请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题记分做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑 22（本小题满分 10

10、分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线100:(0,),0C 与曲线22:4sin30C相交于 P，Q 两点（1）写出曲线2C的直角坐标方程，并求出0的取值范围；（2）求11|OPOQ的取值范围 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数()|1|(0,0)f xa xb ab 的图象与 x 轴围成的封闭图形的面积为 1（1）求实数 a，b 满足的关系式；（2）若对任意xR，不等式()2f xxab恒成立，求实数 b 的取值范围 5 萍乡市 2022-2023 学年度高三期末考试 文科数学参

11、考答案及评分标准 一、选择题（125=60 分）：ABCDC；DCDBC；AD 二、填空题（45=20 分）：13(5,2 5)；1422124yx；15 1；1623 三、解答题（共 70 分）：17（1）依题意：2n 时，212112 3aaa，又11a，代入得：25a，（2分）3n 时，31231113 5aaaa，又121,5aa，代得：3353a；（5分）（2）由(21)nna Snn得，(21)nnnnSa，当2n，11(1)(23)nnnnSa，（6 分）两式相减得：11(21)(1)(23)nnnnnnnaaa，化简得：12123nnanan （8 分）212342112332

12、121 21 239 7 541123 25 275 3 13nnnnnnnaaaaaannnnaaaaaaaannn，（10 分）当1n 时，214 1113a，符合上式，（11 分）故2413nna （12 分）18（1）证明：取 AB 的中点为 M，连接 ME，MF，（1 分）因为 F 为边 BC 的中点，所以MFAC，12MFAC，（2 分）又DEAC，12DEAC，所以MFDE，且MFDE，即四边形 EDFM 为平行四边形，所以DFEM，（4 分）又EM 平面 ABE，DF 平面 ABE，所以DF 平面 ABE；（6 分）【用面面平行性质得到线面平行同样给分】（2）平面ABC 平面

13、ACDE，平面ABC平面ACDEAC，EAAC，EA 平面 ACDE，则EA 平面 ABC，（8 分）DFME，DF 与平面 ABC 所成角即为 EM 与平面 ABC 所成角，即EMA，（10 分）6 在直角AEM，1tan11EAEMAAM，即45EMA，故 DF 与平面 ABC 所成角的大小为45 （12 分）19（1）依题意，设“乙在第一轮答题中的第 i 次答题答对”设为事件iA，则乙在第一轮答题中恰好答对两道必答题有三种情况：123123123,A A AA A AA A A，（1 分）则概率23()(1)(1)(1)3f ppp ppppp pppp，（3分）2()693(23)fp

14、pppp，则 fp在20,3单调递增，在2,13单调递减，（4 分）故 fp的最大值为2439f，此时，023p；（6 分）【322333224()(1)(22)2239pppf pCppp pp，故 fp的最大值为49，当且仅当22pp，即023p 时取等号；同样给分】（2）若乙在两轮对战后得 25 分，则乙在第一轮必答环节中恰好答对两道，且第二轮抢答环节中甲抢到并答错，（9 分）以（1）中确定的0p作为 p 的值，则乙在第一轮答题中恰好答对两道必答题的概率为49，（10 分）故乙在两轮对战后得 25 分的概率为411119229P （12 分）20（1）令()()2ln22,(0,)g x

15、fxxax x，（1 分）则222()2axg xaxx，（2 分）当0a 时，()0g x恒成立，g x在(0,)单调递增，无极值；（3 分）当0a 时，10,xa，()0g x，g x单调递增，1,xa，()0g x，g x单调递减，极大值为112lngaa，无极小值，（5 分）综上所述：当0a 时，()fx在(0,)单调递增，无极值；当0a 时，()fx在10,a单调递增，在1,a单调递减，极大值为12lna，无极小值；（6 分）7（2）【法一】由题知，22 ln1xxax在1,)x恒成立，（7 分）令22 ln1()xxg xx，则32 ln22()xxxg xx，（8 分）令()2

16、ln22h xxxx，则()2lnh xx，（9 分）因为1,)x，所以()2ln0h xx，max()(1)0h xh，即 0h x，（10分）即()0g x，max()(1)1g xg，所以1a （12 分）【法二】由题知，需满足 0f l，即1a，（7 分）下证当1a 时，0f x 在1,)上恒成立，即12ln0 xaxx在1,)恒成立，（8 分）令2()21t xaxx，1a，440a，令2()21t xaxx，1a，440a，故 0t x 在1,)恒成立，即()0h x在1,)恒成立，则 h x在1,)单调递减，()(1)10h xha，（11 分）故 0f x 在1,)上恒成立，综

17、上所述，1a （12 分）21（1）根据椭圆定义可知48a，2a，（2 分）3c，221bac，（3 分）故椭圆 E 的标准方程为2214xy；（4 分）（2）由题知，0,1M，0,1N，（5 分）直线:1xPMym，与椭圆方程联立、化简得：22480mxmx，则284Smxm，2244Smym，（7 分）同理得22436Tmxm，223636Tmym，（8 分）22423212121441216192161612TSSTTSmmyymmkxxmmmm m，（9 分）直线222221284121:1644162mmmmSTyxxmmmm，（11 分）故直线 ST 过定点10,2 （12 分）2

18、2（1）曲线2C的直角坐标方程为2243xyy，即22(2)1xy，（2分）8 当02时，曲线1:0Cx 与曲线2C有两个交点，符合题意，（3 分）当02时，曲线1C的直角坐标方程为：0tanyx，设2(0,2)C到曲线1C的距离为 d，则20|2|1tan1dr，得0tan3或0tan3，（4 分）又0(0,)，02,33；（5 分）（2）将0代入2C的极坐标方程得：204sin30，（6 分）设 P，Q 两点对应的极径分别为12,，则120124sin,3 ，（7分）由（1）知02,33，则04sin112 3 4,|333OPOQ （10 分）23（1）,1()|1|,1axab xf xa xbaxab x ，（1 分）yf x与 x 轴交点坐标分别为1,0,1,0bbaa ，顶点坐标为(1,)b，（3分）21212bbSbaa，即2ba；（5 分）（2）对于x R，不等式左边222()|1|12|1|f xbxbxxbbbb 恒成立，（6 分）即对于x R，12|1|xxbb恒成立 （7 分）222|1|11xxxxbbb （8 分）121bb，即211bb或211bb，（9 分）又0b，(0,1)(3,)b （10 分