2022-2023学年甘肃省兰州市第五十三中学高三上学期第一次模拟考试数学(文科)试卷.pdf

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1、 答案第 1 页，共 11 页 外装订线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线内装保密启用前 兰州市五十三中 2022-2023 学年度第一次模拟考试 数学试卷（文科）考试时间：120 分钟；总分 150 分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题）一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 A=x|x2-x-2=0,B=xZ|x|2,则 AB=()A.1,2 B.1,-2 C.-1,2 D.-1,-2 2复数

2、21i(i 为虚数单位)的共轭复数是()A1i B1i C1i D1i 3某班有 34 位同学，座位号记为 01，02，34，用下面的随机数表选取 5 组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号 选取方法是从随机数表第一行的第 6 列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 4 个志愿者的座号是()49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 A23 B09 C02 D16 4.sin 101 3ta

3、n 10()A.14 B.12 C.32 D1 5 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()答案第 2 页，共 11 页 外装订线 请不要在装订线内答题 线 A2 B42 2 C44 2 D46 2 6.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1a510，S416，则数列an的公差为()A1 B2 C3 D4 7.已知向量 a(1，m)，b(0，2)，且(ab)b，则实数 m 等于()A2 B1 C1 D2 8.函数 f(x)=xln|x|的大致图象是()9.a,b,c 是两两不同的三条

4、直线,下面四个命题中,真命题是()A.若直线 a,b 异面,b,c 异面,则 a,c 异面 B.若直线 a,b 相交,b,c 相交,则 a,c 相交 C.若 ab,则 a,b 与 c 所成的角相等 D.若 ab,bc,则 ac 10.椭圆225+216=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1的一条直线与椭圆交于 A,B 两点,若ABF2的内切圆面积为,且 A(x1,y1),B(x2,y2),则|y1-y2|=()A.53 B.103 C.203 D.53 11.设f(x)是定义在R上的奇函数且当x0时,f(x)单调递减,若x1+x20,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值 B.恒

5、等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 12.已知关于 x 的不等式 ax2e1-x-xln x-10 恒成立,则实数 a 的取值范围是()A.0,1 B.(-,0 C.(-,1 D.-,12 第 II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中的横线上）13.已知函数 f(x)=log2,0 1,则 f(20192)=.14.已知向量 a=(2,-1),b=(1,t),且|a+b|=|a-b|,则 t=.15.已知双曲线 C:2222=1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,若双曲线的渐近线上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,

6、则双曲线 C 的离心率的取值范围是 .16.已知在正项等比数列an中,存在两项am,an,满足=2a1且a6=a5+2a4,则1+4的最小 答案第 3 页，共 11 页 外装订线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线内装值是 .三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17.（12分）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.若指针恰好停在各区域的分界线上

7、,则这次转动作废,重新转动转盘.设两次记录的数分别为 x,y.奖励规则如下:若 xy3,则奖励玩具一个;若 xy8,则奖励水杯一个;其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.18.(12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,ABCD,AB=3CD=3,PA=PD=BC=2,ABC=90,且PB=PC.(1)求证:平面 PAD平面 ABCD;(2)求点 D 到平面 PBC 的距离.19.(12 分)已知ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 asin

8、(A+B-C)=csin(B+C).(1)求角 C 的值;(2)若 2a+b=6,且ABC 的面积为3,求ABC 的周长.20.(12 分)已知椭圆 C:22+22=1(ab0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且|F1F2|=2,P 在椭圆C 上且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆 C 的方程;(2)过右焦点 F2的直线交椭圆于点 B,C 两点,A 为椭圆的左顶点,若1 =0,求直线 AB 的斜率 k 的值.21.(12 分)已知函数 f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,bR).(1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求 a,b 的值;答案

9、第 4 页，共 11 页 外装订线 请不要在装订线内答题 线(2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围.（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.(10分)在平面直角坐标系中,直线l过点P(3,2),且倾斜角=6,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆 C 的极坐标方程为=4sin.(1)求圆 C 的直角坐标方程;(2)设直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|的值.选修 4-5：不等式 23.（10分）已知函数 f(x)=|x-

10、2|+|2x+a|,aR.(1)当 a=1 时,解不等式 f(x)5;(2)若存在 x0满足 f(x0)+|x0-2|0,则f(x1)+f(x2)的值()答案第 7 页，共 11 页 外装订线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线内装A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 选.A 12.已知关于 x 的不等式 ax2e1-x-xln x-10 恒成立,则实数 a 的取值范围是()A.0,1 B.(-,0 C.(-,1 D.-,12 选.C 13.已知函数 f(x)=log2,0 1,则 f(20192)=.=-1.14.已知向量 a=(2,-1),b=(1,t),且|

11、a+b|=|a-b|,则 t=.2 15.已知双曲线 C:2222=1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,若双曲线的渐近线上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,则双曲线 C 的离心率的取值范围是 .(1,53.16 已知在正项等比数列an中,存在两项 am,an,满足=2a1且 a6=a5+2a4,则1+4的最小值是.94 17.（12分）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.若指针恰好停在各区域的分界线上,则这次转动作废,重新转动转盘.设两次记录的数分别为 x,y.奖励规则如下

12、:若 xy3,则奖励玩具一个;若 xy8,则奖励水杯一个;其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.解(1)用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,则基本事件构成的集合是 S=(x,y)|xN,yN,1x4,1y4.因为 S 中元素的个数是 44=16,所以基本事件总数 n=16.记“xy3”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件共 5 个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),答案第 8 页，共 11 页 外装订线 请不要在装订线内答题

13、线 所以 P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy8”为事件 B,“3xy516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.18.(12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,ABCD,AB=3CD=3,PA=PD=BC=2,ABC=90,且PB=PC.(1)求证:平面 PAD平面 ABCD;(2)求点 D 到平面 PBC 的距离.解.(1)证明取 AD,BC 的中点分别为 M,E,连接 PM,PE,ME,因为 ABCD,AB=3CD=3,所以四边形 ABCD 为梯形,又 M,E 为 AD,BC 的中点,所以 ME 为梯形的中位线,所以 MEAB,又ABC=90,所以 ME

14、BC,因为 PB=PC,E 为 BC 的中点,所以 PEBC,又 PEME=E,PE平面 PME,ME平面 PME,所以 BC平面 PME,又 PM平面 PME,故 PMBC,因为 PA=PD,M 为 AD 中点,所以 PMAD,又 AD,BC 不平行,必相交于某一点,且 AD,BC 都在平面 ABCD 上,所以 PM平面 ABCD,又 PM平面 PAD,则平面 PAD平面 ABCD.(2)解由题知,PM 为三棱锥 P-BCD 的高,AD=22,ME=2,PM=2,故 PE=6,SPBC=12BCPE=1226=6,而 SBCD=12BCCD=1221=1,设点 D 到平面 PBC 的距离为

15、h,则 VP-BCD=VD-BCP,则13SBCDPM=13SPBCh,即1312=13 6h,答案第 9 页，共 11 页 外装订线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线内装解得 h=33,所以点 D 到平面 PBC 的距离为33.19.(12 分)已知ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 asin(A+B-C)=csin(B+C).(1)求角 C 的值;(2)若 2a+b=6,且ABC 的面积为3,求ABC 的周长.解(1)因为 asin(A+B-C)=csin(B+C),由正弦定理得 sinAsin(-2C)=sinCsin(-A)=sinCsinA,因为

16、sinA0,所以 sin(-2C)=sinC,即 sin2C=2sinCcosC=sinC.因为 sinC0,所以 cosC=12.因为 0Cb0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且|F1F2|=2,P 在椭圆C 上且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆 C 的方程;(2)过右焦点 F2的直线交椭圆于点 B,C 两点,A 为椭圆的左顶点,若1 =0,求直线 AB 的斜率 k 的值.解(1)因为|F1F2|=2,所以 2c=2,c=1.根据椭圆的定义及|PF1|+|PF2|=4,可得 2a=4,a=2.所以 b=2-2=3,所以椭圆 C 的方程为24+23=1.(2)设直线 AB 的方程

17、 lAB:y=k(x+2),B(xB,yB).由(1)知,A(-2,0).由=(+2),24+23=1,消去 y,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,-2xB=162-123+42,xB=-82+63+42,yB=k(xB+2)=123+42,B(-82+63+42,123+42).若 k=12,则 B(1,32),C1,-32,=(3,32).F1(-1,0),1=(2,-32).1 =0 不成立.答案第 10 页，共 11 页 外装订线 请不要在装订线内答题 线 同理,k=-12也不成立.k12.F2(1,0),2=41-42,1=-1,直线 BF2的方程2:y=41-4

18、2(x-1),直线 CF1的方程1:y=-1(x+1).由=41-42(-1),=-1(+1),得=82-1,=-8.C(8k2-1,-8k).又点 C 在椭圆上,得(82-1)24+(-8)23=1,即(24k2-1)(8k2+9)=0,即 k2=124,k=612.21.(12 分)已知函数 f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,bR).(1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求 a,b 的值;(2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围.解(1)f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).由题意得(0)=0,(0

19、)=-(+2)=-3,解得 b=0,a=-3 或 a=1.(2)因为曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,所以关于 x 的方程 f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以=4(1-a)2+12a(a+2)0,即 4a2+4a+10,所以 a-12.所以 a 的取值范围为(-,-12)(-12,+).22.(10 分)在平面直角坐标系中,直线 l 过点 P(3,2),且倾斜角=6,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆 C 的极坐标方程为=4sin.(1)求圆 C 的直角坐标方程;(2)设直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点

20、,求|PA|+|PB|的值.解(1)由=4sin 得 2=4sin,从而有 x2+y2=4y,即 x2+(y-2)2=4.(2)由题意设直线 l 的参数方程为=3+cos6,=2+sin6,即=3+32,=2+12(t 为参数),代入圆的方程得3+32t2+12t2=4,整理得 t2+33t+5=0,t1+t2=-33,t1t2=5,由 t1+t20,可知|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=33.23.（10分）已知函数 f(x)=|x-2|+|2x+a|,aR.(1)当 a=1 时,解不等式 f(x)5;(2)若存在 x0满足 f(x0)+|x0-2|3,求 a 的取值

21、范围.解(1)当 a=1 时,f(x)=|x-2|+|2x+1|,由 f(x)5 得|x-2|+|2x+1|5.答案第 11 页，共 11 页 外装订线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线内装当 x2 时,不等式等价于 x-2+2x+15,解得 x2;当-12x2 时,不等式等价于 2-x+2x+15,即 x2,不等式无解;当 x-12时,不等式等价于 2-x-2x-15,解得 x-43.所以原不等式的解集为(-,-432,+).(2)f(x)+|x-2|=2|x-2|+|2x+a|=|2x-4|+|2x+a|2x+a-(2x-4)|=|a+4|.因为 f(x)+|x-2|3 等价于(f(x)+|x-2|)min3,所以|a+4|3,所以-7a-1.故所求实数 a 的取值范围为(-7,-1).答案第 12 页，共 1 页 外装订线 请不要在装订线内答题 线