2022-2023学年湖北省襄阳市老河口市第一中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 20 页 2022-2023 学年湖北省襄阳市老河口市第一中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1等差数列 na，nb前 n项和分别为nS与nT，且(32)(21)nnnTnS，则537bba（）A3041 B3043 C1823 D1846【答案】A【分析】根据等差数列前n项和的特点，由已知设出,nnST，分别求出其通项公式,nnab，代入537bba计算可得答案.【详解】设等差数列 na，nb的首项和公差分别为1112,adbd，则120,0dd，因为(32)(21)nnnTnS，由等差数列前n项和的特点，故可设(32),(21)nnSAnnTAnn，其中A为非零常数，由

2、2(32)32nSAnnAnAn，当1n 时，115aSA，当2n时，2213231216nnnaSSAnAnA nA nAnA，当1n 时上式仍旧适合，故6naAnA，同理可得，当(21)nTAnn时，4nbAnA，所以53720123030424141bbAAAAAaAAA.故选：A.2已知 O 为坐标原点，设 F1，F2分别是双曲线 x2y21 的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点 F1作F1PF2的平分线的垂线，垂足为 H，则|OH|（）A1 B2 C4 D12【答案】A【分析】利用几何关系结合双曲线定义，以及中位线性质可得.【详解】如图所示，第 2 页 共 20 页 延长 F

3、1H 交 PF2于点 Q，由 PH为F1PF2的平分线及 PHF1Q，易知1PHFPHQ，所以|PF1|PQ|.根据双曲线的定义，得|PF2|PF1|2，即|PF2|PQ|2，从而|QF2|2.在F1QF2中，易知 OH为中位线，则|OH|1.故选：A.3已知数列 na满足111nnaa，若502a，则1a（）A1 B12 C32 D2【答案】B【分析】根据递推公式逐项求值发现周期性，结合周期性求值.【详解】由50111,2nnaaa得 494847505049481111111,1121,11 1222aaaaaaa ，所以数列 na的周期为 3，所以14912aa 故选：B 4已知数列 n

4、a满足：对任意的 m，*nN，都有mnm na aa，且23a，则20a（）A203 B203 C103 D103【答案】C【分析】通过赋值分析可得数列 na是以首项为1a，公比为1a的等比数列，根据题意结合等比数列通项公式运算求解.【详解】对于mnm na aa，令1m，则11nnaa a，再令1n，则2213aa，可知10a，第 3 页 共 20 页 故数列 na是以首项为1a，公比为1a的等比数列，则1111nnnaaaa，102021020113aaa.故选：C.5 在棱长为 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E、F 分别在棱 AA1和 AB 上，且 C1EEF，则|AF|

5、的最大值为（）A12 B1 C32 D2【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求出1,C E F坐标，利用 C1EEF，求出|AF|满足的关系式，然后求出最大值即可【详解】以 AB，AD，AA1所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则 C1（4，4，4），设 E（0，0，z），z0，4，F（x，0，0），x0，4，则|AF|x1EC（4，4，4z），EF（x，0，z）因为 C1EEF，所以10ECEF，即：z2+4x4z0，xz214z 当 z2 时，x 取得最大值为 1|AF|的最大值为 1 故选 B 【点睛】本题考查直线与直线的垂直关系的应用，利用向量法得到|AF|的关系

6、式是解题的关键，属于中档题 6已知各项都不相等的数列1nan，2，3，2015，圆221:440Cxyxy，圆第 4 页 共 20 页 2222016:220nnCxya xay，若圆2C平分圆1C的周长，则na的所有项的和为（）A2014 B2015 C4028 D4030【答案】D【分析】根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆1C的圆心，得到20164nnaa，利用倒序相加法即可求得结果.【详解】根据题意知，圆1C与圆2C相交，设交点为A，B，圆221:440Cxyxy，圆2222016:220nnCxya xay，相减可得直线AB的方程为：2016(2)(2)0nnaxay 圆2C平分圆

7、1C的周长，直线AB经过圆1C的圆心(2,2)，20162(2)2(2)0nnaa，20164nnaa 1201522014201514aaaaaa na的所有项的和为20152015440302S 故选：D【点睛】方法点睛：求数列和常用的方法：（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）11nnnba a（数列 na为等差数列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法.7已知 F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF1|PF2|，线段 PF1的垂直平分线经过点 F2，若椭圆的离心率为 e1，双曲线的离心率为 e2，则2122ee的最小值为（）A2

8、B2 C6 D6【答案】B【分析】设12,PFm PFn，不妨设点P在第二象限，椭圆和曲线的焦点在x轴上，且它们的长半轴为1a，实半轴为2a，半焦距为c，运用椭圆和双曲线的定义，以及垂直平分线的性质，结合离心率和基本不等式，即可求解.【详解】设12,PFm PFn，不妨设点P在第二象限，椭圆和曲线的焦点在x轴上，且它们的长半轴为1a，实半轴为2a，半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可得122,2mna nma，第 5 页 共 20 页 由线段1PF的垂直平分线过点2F，可得2nc 又由点P在第二象限，所以12PFPF，即mn，所以2mc，且2mc，即1222,22mcacma，又由椭圆和双曲线的

9、离心率，可得1212,cceeaa，则21122221242222eacccmmmeaccmccc 12(2)422mmcc，当且仅当122mmcc，即mc时，上式取得最小值2.故选：B.【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义和几何性质的应用，以及基本不等式的应用，其中解答熟练应用椭圆和双曲线的定义和几何性质，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了化简运算能力和变形能力，属于中档试题.8设1F，2F是双曲线2222:10,0 xyCabab的左右焦点，过1F作 C 的一条渐近线的垂线 l，垂足为 H，且 l与双曲线右支相交于点 P，若12FHHP，且25PF，则下列说法正确的是（）A2F

10、到直线 l的距离为 a B双曲线的离心率为132 C12PF F的外接圆半径为5 132 D12PFF的面积为 9【答案】B【分析】根据题意可知，H是1FQ的中点，因此可得，OH为12QFF的中位线，可求2F到直线l的距离判断 A 选项；利用双曲线的定义，即可求得a，b和c的值，求得双曲线的离心率，可判断 B选项；求得12sinPFF，利用正弦定理即可求得12PFF的外接圆半径，可判断 C 选项；利用三角形第 6 页 共 20 页 的面积公式，即可求得12PFF的面积，可判断 D 选项【详解】由题意，1,0Fc到准线0bxay的距离122bcbcFHbcba，又1FOc，OHa，如图过2F向1

11、FP作垂线，垂足为Q，由2/OH F Q，O为12FF中点，则OH为12QFF的中位线，所以1F HHQ，即H是1FQ的中点，因为12FHHP，2|2F Qa，|HQb，|PQb，1|3PFb，因此2F到直线l的距离为2a，故 A 错误；在2QPF中，2222425baPF，又12|2PFPFa，得到352ba，解得3b，2a，13c，所以双曲线的离心率132cea，故 B 正确；121sinsinaPFFHFOc，设12PFF的外接圆半径R，因此212|55 1322sin213PFRPFF，所以5 134R，故 C 错误；12PFF的面积1121211|sin3231822aSFPFFPF

12、 Fbcabc故 D 错误.故选：B 二、多选题 9已知数列 na是等比数列，则下列结论中正确的是（）A若公比为 q，则21nnnSqS B若372,32aa，则58a C若数列 na的前n项和13nnSr，则1r D“,mnpq m n p qN”是“mnpqaaaa”的充分而不必要条件【答案】AD【分析】根据等比数列的前n项和公式计算 A 后可判断其正误，利用基本量法计算 BD 后可判断其第 7 页 共 20 页 正误，利用前n项和和通项的关系可判断 C 的正误.【详解】设等比数列的公比为 q.对于 A，123122nnnnSaaaaaa，而11222,nnnnnnnaa qaa qaa

13、q，故21nnnnnnSS qSqS，故 A 正确.对于 B，因为253aa q，而30a，故50a，故 B 错误.对于 C，因为13nnSr，故21,12 3,2nnr nan，因为 na是等比数列，故32123aaaa即231r，故13r ，故 C 错误.对于 D，因为222211,m np qmnpqaaa qaaa q ，若mnpq，则mnpqaaaa，取1na，则12341a aaa，但mnpq，故“,mnpq m n p qN”是“mnpqaaaa”的充分而不必要条件，故 D 正确.故选：AD 10如图，在平行六面体1111ABCDABC D中，以顶点A为端点的三条棱长都为 1，且

14、1160,DABDAABAA则下列说法中正确的有（）A1ACBD B16BD CBD平面1ACC D直线1BD与AC所成角的余弦值为66【答案】ACD【分析】根据空间向量的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】以1,AB AD AA为空间一组基底，第 8 页 共 20 页 11,ACABADAA BDADAB，11ACBDABADAAADAB 11AB ADAD ADAA ADAB ABAD ABAA AB 2211111 111 111 11 102222 ，所以1ACBD，A 选项正确.111ABDDABADAAAB，所以2211BDADAAAB 222111222ADAAABAD

15、 AAAA ABAD AB 2221111112 1 12 1 12 1 12222 ，所以12BD，B 选项错误.依题意可知，四边形ABCD是菱形，所以BDAC，由于1ACACA，1,AC AC 平面1ACC，所以1BD 平面1ACC，C 选项正确.设直线1BD与AC所成角为,02，ACABAD，11BDADAAAB，22221212 1 113,32ACABADABAB ADADAC ，11AC BDABADADAAAB 11AB ADAB AAAB ABAD ADAD AAAD AB 2211111 11 1111 11 112222 ，所以1116cos632AC BDACBD，D 选

16、项正确.故选：ACD 11已知椭圆22:14xCy的左右焦点分别为1F，2F，椭圆的上顶点和右顶点分别为 A，B，若 P，Q两点都在椭圆 C上，且 P，Q关于坐标原点对称，则（）第 9 页 共 20 页 A11PFQF为定值 4 B1AFB的面积为13 C直线 PB，QB 的斜率之积为定值 D四边形12PFQF不可能是矩形【答案】AC【分析】A.先判断四边形12PFQF是平行四边形，再根据椭圆的定义求解即可；B.先求出1BF，0,1A，然后利用三角形的面积公式求解；C.设出点 P的坐标，利用斜率计算公式求直线 PB，QB 的斜率之积即可；D.利用椭圆的对称性求12FPF的最大值，结合 A 选项

17、即可得到结果.【详解】A 选项：根据对称性，连接 OP，OQ；则21OFOF，OPOQ，易知四边形12PFQF是平行四边形，则21PFQF，所以11124PFQFPFPF，故 A 正确；B 选项：由题意知123BFac，0,1A，所以1AF B的面积为13231122 ，故 B 不正确；C 选项：由题意得2,0B，设,P x y，则,Qxy，所以222214122444PBQBxyyykkxxxx，故 C 正确；D 选项：因为1tan3cF AOb，所以13F AO，则1223F AF，故椭圆上存在点 P，使得122FPF，（点拨：根据椭圆的对称性知，当点 P 位于椭圆的上顶点或下顶点处时，1

18、2FPF最大，找到此特殊位置，判断最大角的情况，即可判断满足题意的点 P是否存在）又四边形12PFQF是平行四边形，所以四边形12PFQF可能是矩形，故 D 不正确.故选：AC 第 10 页 共 20 页 12如图1，在长度为1的线段AB上取两个点C、D，使得14ACDBAB，以CD为边在线段AB的上方做一个正方形，然后擦掉CD，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段EF作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，图n，各图中的线段长度和为na，数列 na的前n项和为nS，则（）A数列 na是等比数列 B5898S C存在正数m，使得nSm恒成立 D3na

19、 恒成立【答案】BD【分析】设图n中新构造出的线段的长度为2nbn，则112nnbb，而1122nnnaabn，故根据这两个递推关系可求2132nna，再求出nS，逐项判断后可得正确的选项.【详解】设图n中新构造出的线段的长度为2nbn，则112nnbb，其中212b，故1122nnnaabn.而1122nnbn，所以2112nnnaa，故121321nnnaaaaaaaa 2221111111232222nnna ，而11a 也符合该式，故2132nna，此时12351,2,2aaa，3212aaaa，故 na不是等比数列，故 A 错误.而21332nna，故 D 正确.而212 12133

20、41212nnnSnn，故518915488S，故 B 正确.第 11 页 共 20 页 对任意给定的正数m，当43mn时，必有434343nmSnm，故 C 错误.故选：BD.三、填空题 13已知直线1:1(R)lkxyk与直线2:340lxkyk相交于点 M，点 N是圆22:(3)(10)9Cxy上的动点，则|MN的最大值为 _.【答案】165#516【分析】根据题设易知1l过定点(0,1)A，2l过定点(4,3)B且12ll，则M在以AB为直径的圆O上，写出圆O的方程，并求出与圆C的圆心距，根据动点分别在两圆上知|MN最大值为圆心距与两个半径的和.【详解】由题设，1:1(R)lkxyk恒

21、过定点(0,1)A，2:340lxkyk恒过定点(4,3)B，又1 1()0kk ，即12ll，垂足为M，所以M在以AB为直径的圆上，圆心为(2,2)O，半径为52AB，故M轨迹方程为22:225Oxy，而22:(3)(10)9Cxy的圆心为3,10C ，半径为 3，所以|13OC，而M、N分别在圆O、圆C上，故|MN的最大值为165.故答案为：165 14已知等比数列 na的公比0,1q，且257aa，则使1212111nnaaaaaa成立的正整数n的最大值为_.【答案】4【分析】根据等比数列通项代入等式化简得21aq，再分别求出数列 na和1na的前n项的和，代入不等式即可求出n的范围，则

22、得到其最大值.【详解】由等比数列 na的公比72501,qaa，可得62411a qa q，可得:211a q，则10a，且21aq，第 12 页 共 20 页 由 na为等比数列，可得1na是以11a为首项，公比为1q的等比数列，则原不等式等价为:111111111nnaqaqqq，因为2241101,qaqaq，代入整理得:4111nnnqqqq，0,1,10nqq，则41 nqq，则41 n ，即5n，由nN，所以正整数n的最大值为 4，故答案为：4.15如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABC D中，E是棱1CC的中点，F是侧面11BCC B内的动点（包括边界），且11/AFD

23、AE平面，则11FA FB的最小值为_ 【答案】12【分析】根据题意1111ABCDABC D，可知2211111111111()|FA FBFBB AFBFBB A FBFB，即求21|FB的最小值.在侧面11BCC B内找到满足1/AF平面1D AE且21|FB最小的点即可.【详解】由题得21111111()|FA FBFBB AFBFB，取1BB中点 H，11BC中点 G，连结1AG，1AH，GH，11/AHD E，1/AH平面1D AE，1/GHAD，/GH平面1D AE，平面1/GA H平面1D AE，1/AF平面1D AE，故F 平面1GA H，又F 平面11BCC B，则点 F

24、在两平面交线直线 GH第 13 页 共 20 页 上，那么1FB的最小值是1FBGH时，11=1BGB H，则211|=2FB为最小值.【点睛】本题考查空间向量以及平面之间的位置关系，有一定的综合性.16已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，一条渐近线为l，过点2F且与l平行的直线交双曲线C于点M，若122MFMF，则双曲线C的离心率为_.【答案】5【分析】首先根据定义求出1MF、2MF，再利用余弦定理求出21cosMF F，最后利用所给直线斜率，即可求解离心率.【详解】由题意可知，122MFMFa，且122MFMF，所以22MFa，14MFa，所以由余弦定

25、理得222211644222cosaacacMF F，设l斜率为ba，则21tanbMF Fa，所以21cosaMF Fc，所以22216448aaacacc，可得225ac，所以双曲线离心率5cea.故答案为：5 四、解答题 17解答下列问题：(1)已知向量2,1,3,1,2,2ABAC，求AB在AC上的投影向量的模.(2)已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为F，以F为圆心，a为半径作圆F，圆F与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若60MFN，求双曲线C的离心率的取值范围.【答案】(1)23；(2)7(1,2.【分析】(1)设AB与AC的夹角为，则cos|AB ACABA

26、C，m为AB在AC上的投影向量，根据|cos|mAB计算即可；(2)由题意可得点F到直线0bxay的距离db，由60MFN，可得|MNa，即可得222 aba，从而得2234ba，即有2274ca，再根据离心率的计算公式即可得答案.【详解】（1）解：设AB与AC的夹角为，第 14 页 共 20 页 则cos|AB ACABAC，设m为AB在AC上的投影向量，则有|cos|mAB|AB|AB ACABAC=|23|AB ACAC（2）解：由题意可知(c,0)F，取双曲线的渐近线byxa，即0bxay，则点F到直线0bxay的距离22|bcdbab，当60MFN时，MFN为边长为a的正三角形，又因

27、为60MFN，所以2222221|2cos222MNaaa aMFNaaa，即|MNa，即222 ada，所以222 aba，整理得：2234ba，即有22234caa，所以2274ca，所以222227744aceaa，所以72e，又因为1e，所以712e，所以双曲线的离心率的范围为7(1,2.18如图，PD 垂直正方形 ABCD 所在平面，AB2，E 是 PB 的中点，cosDP，AE33 第 15 页 共 20 页 （1）建立适当的空间坐标系，求出点 E 的坐标；（2）在平面 PAD 内求一点 F，使 EF平面 PCB【答案】（1）点 E 坐标是（1，1，1）（2）点 F 的坐标是（1，

28、0，0）【详解】试题分析：(1)由题意，分别以 DA、DC、DP 所在直线分别为 x轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系，结合空间中点的坐标，设 P（0，0，2m），则E（1，1，m），结合平面向量夹角公式得到关于 m 的方程，解方程可得点 E 坐标是（1，1，1）；(2)由题意，设 F（x，0，z），结合平面向量的法向量和直线的方向向量得到关于坐标的方程组，求解方程组可得即点 F是 AD 的中点 试题解析：（1）分别以 DA、DC、DP 所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，如图，则 A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），设 P（0，0，2m），则E（1，1，m），AE

29、（-1，1，m），DP（0，0，2m）cosDP，2223,131 12mAEmmm 解得 点 E 坐标是（1，1，1）；（2）F 平面 PAD，可设 F（x，0，z）EF（x-1，-1，z-1），又 EF平面 PCB，第 16 页 共 20 页 EFCB(1x，-1，1)z (2，0，0)=0，解得,1x；又EFPC (1x，-1，1)(z 0，2，-2)00z 点 F 的坐标是（1，0，0），即点 F 是 AD 的中点 19设nS为数列 na的前 n 项和，已知0na，且na，nS，2na成等差数列(1)求数列 na的通项公式；(2)设2,1,nnnna nbna a为奇数为偶数，求数列

30、nb的前20项和20T【答案】(1)nan；(2)220522.【分析】（1）根据等差数列定义可得22nnnSaa，利用na与nS之间关系可证得数列 na为等差数列，由等差数列通项公式可求得na；（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果.【详解】（1）由题意得：22nnnSaa；当1n 时，2111122aSaa，又0na，11a；当2n且nN时，22111222nnnnnnnaSSaaaa，整理可得：221111nnnnnnnnaaaaaaaa，10nnaa，11nnaa，数列 na是以1为首项，1为公差的等差数列，nan.（2）由（1）得：

31、2111 11222nna an nnn，2013517192461820Tbbbbbbbbbb1 111111111113517 192 24466818202022101 1911152205100222222222.第 17 页 共 20 页 20如图，四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，PAPD，四边形ABCD是正方形.（1）直线AC与平面PBD是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（2）若二面角PCDB的平面角为 60，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）直线AC与平面PBD不垂直，证明过程见解析；（2）直线PB与平面PCD所成角的正弦值为64【分

32、析】（1）分别取AD、AB的中点M、N，连接PM，PN，MN，证明PM 平面ABCD，可得ACPM，再证明ACMN，由直线与平面垂直的判定可得AC 平面PMN，即得直线AC与平面PBD不垂直；（2）由已知可得CD 平面PAD，得到CDPD，CDAD，即二面角PCDB的平面角为60PDA，设ABa，分别求出PDC与BCD的面积，由等体积法求得点B到平面PCD的距离为h，可得直线PB与平面PCD所成角的正弦值为64hPB【详解】（1）直线AC与平面PBD不垂直.证明如下：分别取AD、AB的中点M、N，连接PM，PN，MN，PAPD，PMAD，又平面PAD 平面ABCD，平面PAD 平面ABCDAD

33、，PM平面ABCD，又AC 平面ABCD，ACPM，又正方形ABCD中，ACBD，且/MNBD，ACMN，又MNPMM，AC平面PMN，过同一点P只能作唯一平面PMN垂直于AC，直线AC与平面PBD不垂直（2）平面PAD 平面ABCD，CDAD，平面PAD 平面ABCDAD，CD平面PAD，又AD、PD 平面PAD，CDPD，CDAD，第 18 页 共 20 页 二面角PCDB的平面角为60PDA，设ABa，Rt PDC的面积为2122aSPDCD，RtBCD的面积为2122aBCCD，取AD的中点M，连接PM，PAPD，PMAD，由（1）知，PM 平面ABCD，设点B到平面PCD的距离为h，

34、P BCDB PCDVV，即1133BCDPCDSPMSh，得32hPMa，2PBa，直线PB与平面PCD所成角的正弦值为64hPB 21 已知数列 na满足12a，且11220nnnnaaaa，数列 nb满足nb 1nnaa，设 nb的前n项和为nS(1)求数列 na的通项公式；求数列 nb的前n项和nS；(2)设2nnnnaCb，记数列 nC的前n项和为2,21nnT T对*nN恒成立，求的取值范围【答案】(1)2nan，41nnSn(2)1,3 【分析】（1）对11220nnnnaaaa变形得到11112nnaa，得到1na是等差数列，求出通项公式，利用裂项相消法求和；（2）得到11 2

35、nnCn，利用错位相减法求出2nnTn，判断出nT在nN上单调递增，求出12nTT，得到不等式，求出的取值范围.第 19 页 共 20 页【详解】（1）因为11220nnnnaaaa，所以12210nnaa，所以11112nnaa（常数），故数列1na是以12为公差的等差数列，且首项为1112a，所以1111222nnna，故2nan 因为1224114111nnnbaan nn nnn，所以1111111144 14 12231111nnSnnnnnn（2）111222121 22nnnnnnnnnnnnaanCnba aa 所以23211 22 32425221nnnTnn ，所以2341

36、122 223242521221nnnnTnnn ，两式相减得，231222222221221212nnnnnnTnnn ，所以2nnTn 由111 22220nnnnnTTnnn，知nT在nN上单调递增，所以12nTT，所以2212，解得1,3.22 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，其右顶点为A，下顶点为B，定点(0,2)C，ABC的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于,P Q两点，直线,BP BQ分别与x轴交于,M N两点.（1）求椭圆C的方程；（2）试探究,M N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x

37、y；（2）是定值，43.第 20 页 共 20 页【分析】（1）根据ABC的面积为3和离心率为32，列等式可解得2,1ab，从而可得椭圆C的方程；（2）设,P Q的坐标分别为1122,P x yQ x y，通过直线方程得点,M N的横坐标，设直线PQ的方程为2ykx，与椭圆方程联立，根据韦达定理可得点,M N的横坐标的乘积为定值.【详解】（1）由已知，,A B的坐标分别是(,0),(0,)A aBb，由于ABC的面积为3，1(2)32b a，又由2312cbeaa，化简得2ab，两式联立解得：1b 或3b（舍去），2,1ab，椭圆方程为2214xy；（2）设直线PQ的方程为2ykx，,P Q的

38、坐标分别为1122,P x yQ x y 则直线BP的方程为1111yyxx，令0y，得点M的横坐标111Mxxy，直线BQ的方程为2211yyxx，令0y，得点N的横坐标221Nxxy，121212121133MNx xx xxxyykxkx122121239x xk x xk xx，把直线2ykx代入椭圆2214xy得221416120kxkx，由韦达定理得1221214x xk，1221614kxxk 222221214124891414MNkx xkkkk22212412489363kkk，是定值【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.