2022届天津市耀华中学高三下学期一模数学试题(.pdf

《2022届天津市耀华中学高三下学期一模数学试题(.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届天津市耀华中学高三下学期一模数学试题(.pdf（20页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、天津市耀华中学 2022 届高三下学期一模 数学试题 一选择题（本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分）1已知集合22Axx，13Bxx N，则AB（）A 0,1 B1,0,1,2 C1,2 D2,3 2设abR、，则“ab”是“1ab”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3函数32ln|2|()(2)xf xx的图象可能是下面的图象（）A B C D 42021 年 7 月 24 日中共中央办公厅国务院办公厅印发了关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见.自此全国范围内落实“双减”工作要求的步伐在不断迈进中，校内校外教育生

2、态迎来巨大变化与革新.在此背景之下，提出已久的“教师轮岗制”再度进入讨论视野，并在北京上海深圳等城市开始试点，某区教育局为了解教师对轮岗制度的态度，对本区在编 1000 名教师进行问卷调查，将赞成轮岗制度的教师年龄的调查数据整理得到如图所示的样本频率分布直方图，根据此频率分布直方图，用样本估计总体，则下列结论不正确的是（）A该区赞成轮岗制度的教师年龄低于 25 岁的比例约为 24%B该区年龄在 35 到 40 岁的教师对轮岗制度的赞成人数最少 C该区赞成轮岗制度的教师年龄的平均值不超过 40 岁 D该区赞成轮岗制度的教师中有一半以上的人年龄不超过 25 岁或大于 50 岁 5设5log 15a

3、，7log 21b，252c，则（）Abac Bcab Ccba Dacb 6已知圆锥的顶点为点S，高是底面半径的2倍，点A，B是底面圆周上的两点，当SAB是等边三角形时面积为3 3，则圆锥的侧面积为（）A3 B2 3 C3 3 D4 3 7过双曲线22221(0)xybaab的右顶点 A 作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B，C，若 A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双面线的离心率为（）A13 B10 C5 D3 8已知函数 2 sincos3cos2f xxxx，若 fx在0,m上有且仅有 2 个最大值点，则m的取值范围是（）A1113,1212 B1123,66

4、 C2325,1212 D2347,1212 9已知函数 3,1eln34,1xxf xxxxx，若函数 21yf x与 42yaf x的图象恰有 5 个不同公共点，则实数 a的取值范围是（）A9 49,8 24 B491,24 C91,8 D9,8 二填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）10若复数z满足i2022iz（i是虚数单位），则z的虚部是_.11621xx的展开式中2x的系数是_.12已知抛物线C：22yx的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线l与C交于AB两点，则以线段AB为直径的圆被y轴所截得的弦长为_.13端午节即将来临，王老师家锅中煮有红枣馅粽子 5 个，蛋

5、黄馅粽子 3 个，豆沙馅粽子 4 个，这三种粽子的外部特征完全相同.从中任意取出 4 个粽子，则每种粽子都至少取到 1 个的概率为_.14已知正实数 a，b 满足1ab，则121aab的最小值为_.15如图是由两个有一条公共边的边长为 2 的正六边形构成的平面图形.设AGxAByAI，则xy_；P是线段DC上的动点，则AP HP的最小值是_.三解答题（本大题共 5 小题，共 75 分）16在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2 7b，2c，3B.(1)求a的值；(2)求sin A；(3)求sin2BA的值.17如图，在四棱锥EABCD中，平面ABCD 平面ABE，ABDC，AB

6、BC，222ABBCCD，5AEBE，点M为BE的中点.(1)求证：CM 平面ADE；(2)求平面EBD与平面BDC夹角的正弦值；(3)N为线段AD的中点，求直线MN与平面EBD所成的角正弦值.18已知椭圆2222:10 xyEabab的右顶点2,0A，且点31,2在椭圆E上，1F，2F分别是椭圆的左右焦点，过点A作斜率为0k k 的直线交椭圆E于另一点B，直线1BF交椭圆E于点C.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若2ABCF，求k的值.19设数列*nanN是公差不为零的等差数列，满足369aaa，25796aaa.数列*nbnN的前n项和为nS，且满足423nnSb.(1)求数列 na和 n

7、b的通项公式；(2)在1b和2b之间插入 1 个数11x，使1b，11x，2b成等差数列；在2b和3b之间插入 2 个数21x，22x，使2b，21x，22x，3b成等差数列；在nb和1nb之间插入n个数1nx，2nx，nnx，使nb，1nx，2nx，nnx，1nb成等差数列.（i）求 11212231323312nnnnnTxxxxxxxxx；（ii）是否存在正整数m，n，使12mnmaTa成立？若存在，求出所有的正整数对,m n；若不存在，请说明理由.20已知函数 eRxf xax a，ln1g xx.(1)当1a 时，求函数 f x在点0,1处的切线；(2)若 1f xg x 对任意的0

8、,x恒成立，求实数a的取值范围；(3)求证：0 x 时，2e1xg xx.1页 参考答案：1A【解析】【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】130,1,2BxNx ，所以 0,1AB 故选：A 2D【解析】【分析】通过举特例结合充分、必要条件的概念，即可得到结果.【详解】若0,0ab，满足ab，但0ab，即“ab”不是“1ab”的充分条件；若5,4ab ，满足1ab，但ab，即“ab”不是“1ab”的必要条件；所以“ab”是“1ab”的既不充分也不必要条件.故选：D.3A【解析】【分析】由233ln22ln|2|()(2)(2)xxf xxx，利用其对称性排除部分选项，再由0 x 时，函数

9、值的正负判断.【详解】解：233ln22ln|2|()(2)(2)xxf xxx，因为 233ln 22ln|2|(4)(2)(2)xxfxf xxx，所以 f x关于点2,0对称，排除 BC，当0 x 时，0f x，故排除 D，2页 故选：A 4D【解析】【分析】根据频率直方图，结合频率的求法判断 A、B、D，求平均值判断 C，即可确定错误选项.【详解】由频率分布直方图得，该区赞成轮岗制度的教师年龄低于 25 岁的约为0.048524%，年龄在 35 到 40 岁的教师赞成轮岗制度所对应的频率最小，故 A，B 正确；该区赞成轮岗制度的教师年龄的平均值为0.0485 22.50.0365 27

10、.50.0205 32.50.0125 37.50.0165 42.50.0245 47.5 0.0285 52.50.0165 57.537 ，故 C 正确；该区赞成轮岗制度的教师中年龄不超过 25 岁或大于 50 岁的约为0.240.140.0846%，所以 D 错误.故选：D 5C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【详解】55553log 15log3 51 log 31 log52a ，77773log 21log7 31 log 31 log72b ，215232222c，因为lg7lg5lg30，所以，11lg5lg7，则lg3l

11、g3lg5lg7，即57log 3log 3，因此，cba.故选：C.6D【解析】【分析】根据SAB是等边三角形时面积为3 3求得母线，再由高是底面半径的2倍，求得底面半径，然后由圆锥的侧面积公式求解.【详解】解：设圆锥的高为 h，母线为 l，底面半径为 r，3页 则由题意得 h=2r，21sin60332l，所以2 3l，又222lhr，则2r，所以圆锥的侧面积为43Srl，故选；D 7B【解析】【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程，再判断直线l与渐近线交点所在象限，从而求出交点坐标，再根据等比中项的性质得到方程，整理可得3ba，即可求出离心率.【详解】解：因为双曲线22221xyab，所以

12、渐近线为0bxay，因为0ba，即1ba，则1ba，则直线l与渐近线0bxay的交点位于第二象限，直线l与渐近线0bxay的交点位于第一象限，又A、B、C三点的横坐标成等比数列，所以直线:l yxa 与渐近线1:0lbxay，即0bxayyxa ，解得2axababyab，即2,aabCab ab，同理可得l与渐近线2:0lbxay交于2,aabBab ab，因为(,0)A a，且A、B、C三点的横坐标成等比数列，所以222aaaabab，化简整理，解得3ba，因为2210caba，所以双曲线的离心率10cea 故选：B 8C【解析】【分析】4页 讨论0,x、,2x时，()f x取最大值时x的

13、值，由其周期性找到第三个最大值对应x的值，由此确定m的取值范围.【详解】当0,x时，sin 23cos22sin 23f xxxx，当12x时，fx第 1 次取到最大值，当,2x时，sin23cos22cos 26f xxxx，当2312x时，fx第 2 次取到最大值，由 2f xf x知：当2512x时，fx第 3 次取到最大值 23251212m 故选：C【点睛】关键点点睛：讨论x的范围，通过确定()f x第二、三个最大值对应x的值，进而得到m的取值范围.9A【解析】【分析】利用导数分段画出函数 3,1eln34,1xxf xxxxx的大致图象，将函数 21yf x与 42yaf x的图象

14、恰有 5 个不同公共点的问题转化为方程 24021f xaf x 有 5 个不同的根的问题，然后采用换元法将问题变为讨论24210tta 在给定区间上有解的问题.【详解】当1x 时，()elnxf xx，2ln1()elnxfxx，当1ex时，()0fx，当ex时，()0fx，故ex时，min()(e)1f xf；当1x 时，32()34,()33f xxxfxx，当1x 时，()f x有极大值(1)6f，当1x 时，(1)2f，5页 作出 3,1eln34,1xxf xxxxx的大致图象如图：函数 21yf x与 42yaf x的图象恰有 5 个不同公共点，即方程 24021f xaf x

15、有 5 个不同的根，令()f xt，根据其图象，讨论21)40(2 tta 有解情况如下：令2()421tg tta,(1 当()在(,1)和2,6)上各有一个解时，即(1)440(2)980(6)49240gagaga，解得949824a，（2）当()在(1,2)和(6,)上各有一个解时，(1)440(2)980(6)49240fafafa，解得a，（3）当()有一个根为 6 时，解得4924a，此时另一个根为16，不合题意；（4）当()有一个根为 1 时，解得1a，此时另一个根也为 1，不合题意，综上可知：949824a，故选：A 102022【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z，即可

16、得到复数z的虚部.6页【详解】由已知可得22022ii2022i12022iiiz ，所以复数z的虚部为2022.故答案为：2022.1115【解析】【分析】求出展开式的通项，然后可得答案.【详解】展开式的通项为 5126221661rrrrrrTCxC xx，令51222r可得4r，所以621xx的展开式中2x的系数是4615C，故答案为：15 123【解析】【分析】根据题意求得线段AB的长度，从而求得圆半径，再利用弦长公式即可求得结果.【详解】对抛物线C：22yx，其焦点为F1,02，令12x，可得1y ，故2AB，则所求圆的半径1r，又圆心F到y轴的距离为12，故以线段AB为直径的圆被y

17、轴所截得的弦长为22122 134rd.故答案为：3.13611【解析】【分析】根据要取出的四个粽子要每个品种都要有，可将取出红枣馅粽子，蛋黄馅粽子，豆沙馅粽子的个数可为 2，1，1；1，2，1；，1，1，2，分类用组合计算，然后用分类加法计数原理即可求解.【详解】7页 取出的 4 个粽子这样三种情况：红枣馅粽子 2 个，蛋黄馅粽子 1 个，豆沙馅粽子 1 个，共有211534C C C;红枣馅粽子 1 个，蛋黄馅粽子 2 个，豆沙馅粽子 1 个，共有121534C C C;红枣馅粽子 1 个，蛋黄馅粽子 1 个，豆沙馅粽子 2 个，共有112534C C C,从 10 个粽子中任取 4 个全

18、部的取法有412C，故每种粽子都至少取到 1 个的概率为211121112534534534412C C CC C CC C C6C11P 故答案为：611 1452#2.5【解析】【分析】将目标式转化为1421ab，应用柯西不等式求141ab的取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，1ab，则12122142111abababab，又21412(1)()1911abababab，14912ab，当且仅当12ba时等号成立，12952122aab，当且仅当1223ba时等号成立.121aab的最小值为52.故答案为：52.15 1 634#3154【解析】【分析】根

19、据,G B I三点共线可得1xy，建立如图所示的平面直角坐标系后可求AP HP的最小值.【详解】如图，连接,GI BI，则,G B I三点共线，且GIIB，8页 故12AIAGAB，故2AGAIAB，所以2,1xy，所以1xy.建立如图所示的平面直角坐标系，则 3,1,3,1,3,3,2 3,2HADC，故323:334332 3CD yxx，其中32 3x.设3,43P aa，32 3a 则33,53APaa，33,53HPaa，故2223410 33522333AP HPaaaa 245 363344a，故答案为：1，634.【点睛】思路点睛：规则图形下的平面向量的数量积的计算，可以建立合

20、适的平面直角坐标系，把数量积的计算归结为坐标的运算.16(1)6a (2)3 21sin14A (3)5 3sin214BA 【解析】9页【分析】（1）由余弦定理即可得方程，求解方程即可得6a.（2）根据正弦定理即可求解.（3）根据二倍角公式和和差角公式即可求解.(1)由余弦定理2222cosbacacB可得：221284422402aaaa，解得6a 或4a（舍去），故6a (2)由正弦定理62 7sinsinsinsin3abABA,故3 21sin14A (3)由（2）知：3 21sin14A，则2227cos214bcaAbc，故3 2173 3sin22sincos2141414AA

21、A ,223 2113cos212sin121414AA 所以31313 35 3sin2sincos2cossin221421414BABABA 17(1)证明见解析(2)2 23(3)49【解析】【分析】（1）取AE中点G，连接,GM GD，证明MGDC是平行四边形，得/CMDG，从而得线面平行；（2）取AB中点F，连接,EF CF，CF交BD于点O，连接OE，证明EOC是二面角EBDC的平面角，然后求出此角（或EOF）的正弦值即可得；（3）以F为原点，、FEFBFD所在的直线为、xyy轴的正方向建立空间直角坐标系，求出NM、平面BED的一个法向量坐标，利用线面角的向量求法可得答案.(1)

22、取AE中点G，连接,GM GD，如图，因为M是EB中点，则/MGAB且12MGAB，又/AB CD，2ABCD，10页 所以/MGCD且MGCD，所以MGDC是平行四边形，所以/CMDG，DG 平面ADE，CM 平面ADE，所以/CM平面ADE；(2)取AB中点F，连接,EF CF，CF交BD于点O，连接OE，由已知/ABDC，ABBC，2ABCD，得CDFB是正方形，CFBD，EAEB，则EFAB，因为平面ABCD 平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，EF 平面ABE，所以EF 平面ABCD，又BD 平面ABCD，所以EFBD，又BDFC，EFCFF，所以BD 平面ECF，又OE 平面B

23、CF，所以BDOE，所以EOC是二面角EBDC的平面角，又22OF，22512EF，所以2213 2422OEOFEF，22 2sin33 22EFEOFOE，2 2sinsin sin3EOCEOFEOF，所以平面EBD与平面BDC夹角的正弦值为2 23 11页 (3)以F为原点，、FEFBFD所在的直线为、xyy轴的正方向建立空间直角坐标系，则0,0,0F，2,0,0E，0,1,0B，0,0,1D，11,02M，1 10,2 2N，所以2,0,1DE，0,1,1DB，11,1,2NM，设平面BED的一个法向量为,nx y z，所以00DE nDB n，即200 xzyz，令2z，则1,2x

24、y，所以1,2,2n，设直线MN与平面EBD所成的角为，12 14sincos,9191 14 NM nNM nNM n，所以直线MN与平面EBD所成的角正弦值为49.18(1)22143xy；12页(2)612.【解析】【分析】（1）由题可得2221914aab，即得；（2）设:2AB yk x，利用韦达定理法可得2228612,3434kkBkk，进而可得直线1BF，2CF的方程，可得点C代入椭圆方程，即得.(1)由题可得2221914aab，解得2,3ab，所以椭圆E的标准方程为22143xy；(2)由题可设:2AB yk x，由222143yk xxy，可得2222341616120k

25、xk xk，221612234ABBkx xxk，即228634Bkxk，所以222861223434Bkkykkk，即2228612,3434kkBkk，当1BFx轴时，则31,2BBxy，12k ，121,0,1,0FF，此时31,2C，233224CFk，不合题意，当1BF与x不垂直时，122222124134,8641134BFCFkkkkkkkkk，12241:1,:141kBFyxCFyxkk，由上可得21 8,8Ckk，所以 2221431 88kk，13页 解得2124k，又0k，所以612k ，综上，k的值为612.19(1)nan；11123nnb.(2)（i）nT1233

26、43nn；（ii）存在；(9,2)和(3,3).【解析】【分析】（1）设na的公差为d，根据题意列式求出1a和d即可求出na；根据11nnnbSS可求出nb；（2）（i）根据等差中项的性质得到123411357(21)2nnnTbbbbnbnb，再根据错位相减法可求出nT；（ii）根据nT和na的通项公式得到23213nnm，推出211,13m，令233nnnc，推出 nc的单调性，根据单调性可知，只有2c和31,13c，由此可求出结果.(1)设na的公差为d，0d，则111211125846648adadadadadad，解得11ad，所以1(1)11naandnn .由423nnSb得11

27、423bb，得112b，11423nnSb，所以114()2()330nnnnSSbb，所以11422nnnbbb，即113nnbb，所以11123nnb.综上所述：nan；11123nnb.(2)14页（i）依题意得12112bbx，2321222()2bbxx，343132333()2bbxxx，45414243444()2bbxxxx，123nnnnnxxxx1()2nnn bb，所以 11212231323312nnnnnTxxxxxxxxx 2334451122()3()4()()22222nnbbbbbbn bbbb 123411357(21)2nnbbbbnbnb 012311

28、111111111111()3()5()7()(21)()()2 232323232323nnnn 012311111111()3()5()7()(21)()()4333333nnnn 令0123111111()3()5()7()(21)()33333nnRn ，则1234111111()3()5()7()(21)()333333nnRn ，所以13nnRR12311111112()()()()(21)()33333nnn，所以1111()213312(21)()13313nnnRn ，所以113(1)()3nnRn，所以11()43nnnTRn1113433nnnn123343nn，（ii）

29、假设存在正整数m，n，使12mnmaTa，即12313432nnmm，即23213nnm 成立，因为210m，所以2m，所以3m，所以211,13m，令233nnnc，则1125253233(23)3nnnnncnncn2512544nnn，所以数列 nc单调递减，1513c，279c，313c，当4n 时，4111813ncc，所以由27219cm，得9m；由31213cm，得3m，所以存在正整数m，n，使12mnmaTa，且所有的正整数对(,)m n为：(9,2)和(3,3).20(1)210 xy (2)2,(3)证明过程见解析 15页【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出切

30、线斜率，求出切线方程；（2）构造=eln11xh xaxx，注意到 0=0h，二次求导后结合函数单调性对a分类讨论，求出2a 满足要求，2a 不合要求，得到答案；（3）构造函数，对函数进行适当放缩，证明出结论.(1)当1a 时，exf xx，e1xfx，所以 00e12f ，故 f x在点0,1处的切线为12yx，即210 xy (2)1f xg x，即eln110 xaxx 在0,x上恒成立，设=eln11xh xaxx，注意到 0=0h，1=e1xhxax，令 1=e1xxh xax，则 21e1xxx在0,x为增函数，且 00，所以 0 x恒成立，即 1=e1xxh xax单调递增，其中

31、 00=2ha，若2a，则 0 xh x 恒成立，此时 h x单调递增，又 0=0h，所以 0h x 恒成立，即eln110 xaxx 在0,x上恒成立，即结论成立；若2a ，则 00，又ln11lnln=e0ln1ln1aahaaaa，故由零点存在性定理可知，在0,lna内存在0 x，使得 00 x，当00,xx时，0 xh x，所以 h x单调递减，又 0=0h，所以当00,xx时，0h x，即 1f xg x，不合题意，舍去；综上：实数a的取值范围是2,16页(3)构造函数 21e12xt xxx，0 x e1xt xx，令 e1xv xtxx，则 e1xv x，当0 x 时，e10 xv x 恒成立，所以 e1xv xtxx 在0 x 上单调递增，所以 00txt，故 21e12xt xxx 在0 x 单调递增，00t xt，即21e12xxx，构造函数 2ln12xu xxx，0 x，222222101212xxxuxxxxx，所以 u x在0 x 上为单调递增，所以 00u xu，即2ln12xxx 所以2212e1 ln122xxxxxxx，即0 x 时，2e1xg xx，证毕【点睛】证明不等式常用放缩法，常用的放缩有e1xx，1lnxx，21e12xxx，2ln102xxxx，eexx等.