2023届四川省凉山州高三第一次诊断性检测数学(文)试题(解析版).pdf

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1、试卷第 1 页，共 6 页 凉山州 2023 届高中毕业班第一次诊断性检测 数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分第卷（选择题），第卷（非选择题），共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确 2 选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿低，试题卷上答题无效 3考试结束后，将答题卡收回 第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每题

2、 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 设全集3,2,1,0,1,2,3U ，集合3,2,2A ，3,2,1B ，则UAB（）A2,1,1,2,3 B2,1,0,3 C1,0,3 D1,0 2已知复数z满足1 3i1 iz，z是z的共轭复数，则zz等于（）A2i B2 C4i D1 3从某中学甲、乙两班各随机抽取 10 名同学的数学成绩，所得数据用茎叶图表示如下由此可估计甲，乙两班同学的数学成绩情况，则下列结论正确的是（）A甲班数学成绩的中位数比乙班大 B甲班数学成绩的平均值比乙班小 C甲乙两班数学成绩的极差相等 D甲班数学成绩的方差比乙班大 试卷第 2

3、页，共 6 页 4双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为 2，则双曲线C的渐近线的斜率为（）A1 B33 C2 D3 5设xR，向量,1ax，1,1b，且ab，则ab（）A1 B2 C3 D2 6已知F为抛物线2:2(0)Typx p的焦点，过F作垂直x轴的直线交抛物线于M、N两点，以MN为直径的圆交y轴于C，D两点，若2 3CD，则T的方程为（）A22yx B24yx C22 3yx D26yx 7一元二次方程20 xbxc的两根12,x x满足1212xxbx xc，这个结论我们可以推广到一元三次方程中设123,x xx为函数 326116f xxxx的三个零点，则下列结论正

4、确的是（）A1236xxx B12132311x xx xx x C1 236x x x D123111116xxx 8 我国古代数学家刘徽在其撰写的 海岛算经 中给出了著名的望海岛问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，今前表与后表三相直从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合从后表却行一百二十七步，亦与表末三合问岛高及去表各几何这一方法领先印度 500 多年，领先欧洲 1300 多年其大意为：测量望海岛AB的高度及海岛离海岸的距离，在海岸边立两等高标杆DE，FG（AB，DE，FG共面，均垂直于地面），使目测点H与B，D共线，目测点C与B，F共线，测出EH，GC，EG，

5、即可求出岛高AB和AE的距离（如图）若3DEFG，7EH，12HC，9GC，则海岛的高AB（）A18 B16 C12 D21 试卷第 3 页，共 6 页 9如图，在正方体1111ABCDABC D中，O是底面正方形ABCD的中心，点M为1DD的中点，点N在11AB上，则直线ON与AM所成的角为（）A6 B4 C3 D2 10 定义abadbccd，已知数列 na为等比数列，且32a，68808aa，则5a（）A2 2 B22 C4 D4 11 已知函数 223sincos(0)22f xxx，关于函数 f x有如下四个命题：f x的最小正周期是；若 f x在2x 处取得极值，则1；把 f x的

6、图象向右平行移动4个单位长度，所得的图象关于坐标原点对称；f x在区间0,a上单调递减，则22aa的最小值为52 其中真命题的个数为（）A1 B2 C3 D4 12已知 exf xax有两个零点1212,x xxx，22122xxg xx，则（）Aea B 120g xg x C 120g xg x D 12220g xg xg x 第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 设变量x，y满足约束条件2020220 xyxyxy，则目标函数zxy的最小值为_ 试卷第 4 页，共 6 页 14若3cos5，tan0，则sin_ 15把正整数按如下规

7、律排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，构成数列 na，则91a_ 16如图，已知椭圆22122:1xyCab，22222:(0,01)xyCt abtab 若由椭圆1C长轴一端点P和短轴一端点Q分别向椭圆2C引切线PR和QT，若两切线斜率之积等于12，则椭圆2C的离心率e _ 三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤共 70 分）17 2022 年卡塔尔世界杯（英语：FIFA World Gup Qatar 2022）是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继 2002 年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡

8、塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行，第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛 为了解某校学生对足球运动的兴趣，随机从该校学生中抽取了 100 人进行调查，其中女生中对足球运动没兴趣的占女生人数的14，男生有 5 人表示对足球运动没有兴趣(1)完成22列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣 没兴趣 合计 男 60 女 合计 (2)从样本中对足球没有兴趣的学生按性别分层抽样的方法抽取出 6 名学生，若从这 6 人中试卷第 5 页，共 6 页 随机抽取 4 人，求抽取到 3 女 1 男的概率 20P Kk 0.10 0.05 0.0

9、25 0.010 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 22()n adbcKabcdacbd，nabcd 18如图，底面为等边三角形的直三棱柱111ABCA BC中，12ABAA，1AEAA，D为BC的中点 (1)当12时，求证：AD平面1BC E；(2)求三棱锥1DECC的体积 19在锐角ABC中，角 A，B，C所对的边分别为,sincosa b c bcAaC(1)求 A；(2)若2b，求ABC面积的取值范围 20已知A，B分别是椭圆2222:1(0)xyCabab的上下顶点，2AB，点21,2在椭圆C上，O为坐标原点(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l与椭圆C交于x轴

10、上方两点M，N若1OM ON，试判断直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，说明理由 21已知函数 ln1f xxx(1)求 f x的最小值；试卷第 6 页，共 6 页(2)已知*Nn，证明：1111ln123nn；(3)若ln210 xxx xa x 恒成立，求a的取值范围 请考生在第 22、23 两题中选一题作答 注意：只能做所选定的题目 如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为coscos2xy（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐

11、标系，直线l的极坐标方程为cos24(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)P是曲线C上的点，求P到l距离的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 228f xxx(1)求不等式 9f x 的解集；(2)若 2f xaa恒成立，求实数a的取值范围 答案第 1 页，共 18 页 1C【分析】根据集合基本运算法则计算即可得出结果.【详解】由3,2,2A ，3,2,1B 得，1,2,2,3AB，而3,2,1,0,1,2,3U 所以 U1,0,3AB 故选：C 2B【分析】化简等式得到z，计算得到共轭复数z，即可得到zz的值.【详解】解：由题意 在1 3i1 iz 中，221 3

12、i1 i1 3i3i4i14i21 2i1 i1 i 1 i1 i2z 1 2iz 1 2i12i2zz 故选：B.3A【分析】A 选项，根据中位数的定义计算出甲乙两班的中位数，比较大小；B 选项，根据平均数的定义计算出甲乙两班的平均数，比较出大小；C 选项，根据极差的定义计算出甲乙两班的极差，两者不相等；D 选项，由茎叶图分析可得到甲班数学成绩更集中在平均数的周围，故方差小.【详解】甲班的数学成绩中位数为7373732，乙班的数学成绩中位数为677269.52，甲班数学成绩的中位数比乙班大，A 正确；答案第 2 页，共 18 页 甲班的数学成绩的平均数为5160626373737681 82

13、9371.410，乙班的数学成绩的平均数为51526363677281 82839270.610，故甲班数学成绩的平均值比乙班大，B 错误；甲班的数学成绩的极差为93 5142，乙班的数学成绩的极差为92 5141，故甲乙两班数学成绩的极差不相等，C 错误；从茎叶图中可以看出甲班的成绩更加的集中在平均数 71.4 的附近，而乙班的成绩更分散，没有集中到平均数 70.6 的附近，故甲班数学成绩的方差比乙班小，D 错误.故选：A 4D【分析】由双曲线的离心率公式，结合标准方程的三个参数之间的关系，可得渐近线的斜率.【详解】双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为 2，2ca，即224c

14、a，222cab，223ba，即3ba，双曲线2222:1(0,0)xyCabab的渐近线方程为byxa，双曲线2222:1(0,0)xyCabab的渐近线方程为3yx，所以双曲线C的渐近线的斜率为3.故选：D 5D【分析】由向量垂直的坐标表示求x，再由向量减法的坐标表示和模的坐标表示求ab.【详解】因为,1ax，1,1b，且ab，所以10a bx，所以1x，则(0,2)ab，可得22|022ab 故选：D 答案第 3 页，共 18 页 6B【分析】由题意可知圆是以焦点为圆心，p为半径的圆，根据弦长公式即得.【详解】由题可知,02pF，由2px，可得22yp，所以2MNp，所以以MN为直径的圆

15、的半径是p，圆心为,02pF，所以2222 322pp，0p，解得2p，所以抛物线方程24yx.故选：B.7D【分析】设320axbxcxd（0a 且0d）的三个实根分别为123,x xx，依题意可得123()()()0a xxxxxx，再根据整式的乘法展开，再根据系数相等即可判断.【详解】设320axbxcxd（0a 且0d）的三个实根分别为123,x xx，所以123()()()0a xxxxxx，所以212123()()0a xxxxx xxx，所以3212312231 3123()()0axa xxx xa x xx xx x xax x x，所以123()a xxxb，122313(

16、)a x xx xx xc，123ax x xd，即123bxxxa，122313cx xx xx xa，123dx x xa，所以231 312123123111cx xx xx xcadxxxx x xda，所以函数 326116f xxxx中1236bxxxa，121 32311cx xx xx xa，答案第 4 页，共 18 页 1236dx x xa，123111116xxx，故选：D 8A【分析】由题可得DEEHABAH，FGGCABAC，结合条件即得.【详解】由题可知/DEAB，/FGAB，所以DEEHABAH，FGGCABAC，又3DEFG，7EH，12HC，9GC，所以377

17、ABAE，39712ABAE，解得35AE，18AB.故选：A.9D【分析】建系，利用空间向量可证0AM ON，即可得结果.【详解】如图，以 D为坐标原点建立空间直角坐标系，设12,ADA Na，则2,0,0,0,0,1,1,1,0,2,2AMONa，2,0,1,1,1,2AMONa，则21 011 20AM ONa ，ONAM，即直线ON与AM所成的角为2.故选：D.答案第 5 页，共 18 页 10C【分析】根据新定义及等比数列的性质运算即得.【详解】因为68808aa，所以68640a a，即2764a，又 na为等比数列，32a，所以357,a a a同号，78a，又2537aa a，

18、所以54a 故选：C.11C【分析】由题可得 cos 2f xx，根据余弦函数的图象和性质可判断，根据图象变换规律及三角函数的性质可判断，根据函数的单调性可得12a，然后根据对勾函数的性质可判断.【详解】因为 22223sincoscossin cos 222f xxxxxx，所以 f x的最小正周期是22，故正确；若 f x在2x 处取得极值，则,Zkk，即,Zk k，又0，故*,Nk k，故错误；答案第 6 页，共 18 页 把 f x的图象向右平行移动4个单位长度，可得cos 2cos 2sin 242yxxx，因为sin2sin 2xx，故函数为奇函数，图象关于坐标原点对称，故正确；由

19、0,xa，可得2 20,xa，又 f x在区间0,a上单调递减，则2 a，即102a，根据对勾函数的性质可知2252aaaa，故正确；所以真命题的个数为 3.故选：C.12B【分析】对于选项 A，通过令 0f x，构建新函数 exh xx，求导解出 exh xx的单调性，再结合有两个不同零点即可得出a与e的大小关系；对于选项 C，通过对 g x求导得出单调性，再由对称定义得出 g x关于1,0对称，得出 10g x，且 20g x，即可判断；对于选项 D，通过对 f x零点的分析结合选项 A 中的证明，得出1201xx，结合选项 C中的证明利用单调性得出 1102g xg 即可判断；对于选项

20、B，结合选项 C，D 中的证明，构造新函数 2i xh xhx，求导再构造得出 i x的单调性即可由1201xx于单调性得出122xx，即可证明2x比1x离1x远，再结合对称性得出 21g xg x，即可判断.【详解】对于选项 A：令 e0 xf xax，则exax，即exax，令 exh xx，答案第 7 页，共 18 页 则 22e1eexxxxxh xxx，则当1x时 0h x，当1x时 0h x，则 exh xx在1x时单调递增，在1x时单调递减，则 n1mie1e1h xh，则当 exf xax有两个不同零点时，ea，故选项 A 错误；对于选项 B：22122xxg xx，则 111

21、12ln22ln2 1ln2 221xxxxgx，由基本不等式可得11222xx，则11ln2 222ln21xx，则 0g x，则 g x再定义域上单调递增，111122221 11 10222121xxxxxg xgxx ，则 g x关于1,0对称，令 e0 xf xax，则exax，0 xe，且由选项 A 得知ea，当 e0 xf xax时，解得的0 x，即120 xx、，由选项 A 中可知 exh xx在1x时单调递增，在1x时单调递减，当 exf xax有两个零点1212,x xxx时，则1201xx，则 10g x，且 20g x，令 2i xh xhx，且01x，则 22212x

22、xeeixxxx，答案第 8 页，共 18 页 令 201xeI xxx，则 320 xexIxx，即 I x在0,1上单调递减，0,1x，2xx，22202xxeexx，则 0ix，即 i x在0,1上单调递减，10i xi，即 2h xhx，101x，112h xhx，12h xh x，212h xhx，21x，121x，h x在1,上单调递增，212xx，即122xx，则2x比1x离1x远，则 21g xg x，则 120g xg x，故选项 B 正确；对于选项 C：由选项 B 中可知 10g x，且 20g x，则 120g xg x，答案第 9 页，共 18 页 故选项 C 错误；对

23、于选项 D：12221221g xg xg xg xg x 由选项 B 中可知 g x再定义域上单调递增，且 20g x，101x，则 1102g xg，则 1210g x ，则 12220g xg xg x 故选项 D 错误；故选：B.【点睛】导函数中常见的解题转化方法：（1）利用导数研究含参函数的单调性，常转化不等式恒成立问题，需要注意分类讨论与数形结合思想的应用；（2）函数零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极值问题处理.难题通常需要多段求导或构造函数，这时需多注意函数前后联系.1323【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合直线在y轴上的截距，确定目标函数的最优解，代入即可求解.【

24、详解】画出约束条件2020220 xyxyxy所表示的平面区域，如图所示，目标函数zxy，可化为直线yxz ，当直线yxz 过点C时在y上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由22020 xyxy，解得2 4,3 3C，答案第 10 页，共 18 页 所以目标函数zxy的最小值为min242333z.故答案为：23.1445#0.8【分析】利用同角三角函数之间的基本关系即可求得结果.【详解】由3cos5 可得2216sin1 cos25 所以4sin5，又3tan0,cos05，所以位于第三象限，因此sin0，即4sin5 故答案为：45 1513【分析】根据正整数排列规律结合等差数列求和公

25、式即得.【详解】由题可知正整数按 1 个 1,2 个 2,3 个 3，进行排列，因为1122k kk，当13k 时，1912k k，所以9113a.故答案为：13.1622【分析】答案第 11 页，共 18 页 设切线1:PR ykxa，2:QTyk xb，联立椭圆方程根据判别式为零结合条件可得2212ba，然后根据离心率公式即得.【详解】由题可知,0Pa，0,Qb，设切线1:PR ykxa，2:QTyk xb，由12222ykxaxytab，可得222322214221120k abxaabkxkta，所以2322422211221240aabaa bkkkt，整理可得22121tkbt a

26、，由22222yk xbxytab，可得2222222222220kkbxtabxaa ba b，所以22222222222240aakbka babbt，整理可得22221 tkba t，又两切线斜率之积等于12，所以221222221141t bbt atkkta，即2212ba，所以22222222112tcabbetaaa，又0,1e，所以e 22.故答案为：22.17(1)填表见解析；有97.5%的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”(2)815 【分析】（1）根据题意完成列联表，结合公式求2K，分析理解；（2）根据题意可得抽取男生 2 人，答案第 12 页，共 18 页

27、女生 4 人，结合古典概型运算求解.【详解】（1）根据所给数据完成列联表：有兴趣 没兴趣 合计 男 55 5 60 女 30 10 40 合计 85 15 100 22100(55 105 30)8005.2295.02485 15 40 60153K 所以有97.5%的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”（2）按照分层抽样的方法可得：抽取男生 2 人，设为,a b，女生 4 人，设为,A B C D，从这 6 人中随机抽取 4 人，未被抽取的 2 人有：,a ba Aa Ba Ca Db Ab Bb Cb DA BA CA DB CB DC D，共有 15 种不同的基本结果 其中抽

28、取到 3 女 1 男的情况，即抽取的 2 人是 1 男 1 女，则有：,a Aa Ba Ca Db Ab Bb Cb D，共有 8 种不同的基本结果，所以抽取到 3 女 1 男的概率为815 18(1)证明见解析(2)33 【分析】（1）取1BC中点O，连接OD，OE，通过证明四边形ADOE为平行四边形来证明线线平行，进而证得线面平行.（2）通过证明线面平行，进而通过等体积法求得结果.【详解】答案第 13 页，共 18 页（1）证明：，取1BC中点O，连接OD，OE，如图所示，D为BC的中点，112ODCC且112ODCC，又当12时，则E为1AA的中点，又11AACC，且11AACC，112

29、AECC，且112AECC，ODAE，且ODAE，四边形ADOE为平行四边形，ADOE，又AD 平面1BC E，OE 平面1BC E，AD平面1BC E（2）由题意知，在等边ABC中，D 为 BC 中点，则ADBC，1DC，又2AC，3AD，11AACC，1AA 平面1DCC，1CC 平面1DCC，1AA 平面1DCC，又1EAA，1111111131323323D ECCE DCCA DCCCADCADCVVVVSCC，即三棱锥1DECC的体积为33 19(1)4A(2)1,2 答案第 14 页，共 18 页 【分析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式及两角和的正弦公式变形，然后结合同角

30、关系可得A角；（2）由（1）及已知得B角范围，利用正弦定理把c表示为B的三角函数，从而得出c的范围，再由三角形面积公式得面积范围【详解】（1）因为sincosbcAaC，由正弦定理得sinsin sinsin cosBCAAC，即sinsin cossin sinA CACCA，所以cos sinsin sinACCA，因为sin0C，所以tan1A，由0,2A得4A（2）因为2b，由正弦定理得3332sin2(sincoscossin)2sin24442sinsinsintanBBBCcBBBB，由342B可得4B，所以,4 2B，则tan1,B，故2,2 2c，所以ABC的面积12sin1

31、,222SbcAc 即ABC面积的取值范围为1,2 20(1)2212xy；(2)是，直线l过定点30,3.【分析】（1）由题可得1b，然后把点21,2代入椭圆方程可得22a，即得；答案第 15 页，共 18 页（2）设直线ykxt，联立椭圆方程，利用韦达定理法结合数量积的坐标表示可得33t，进而即得.【详解】（1）因为2AB，所以1b，又点21,2在图像C上，所以221112ab，所以22a，所以椭圆C的方程为2212xy；（2）由题可设直线l：ykxt，11,M x y、22,N xy，120,0yy，由2212ykxtxy，得222214220kxktxt，则228 210kt，1222

32、1224212221ktxxktx xk，又1OM ON，即12121x xy y，所以11221kxttxkxx，即22121211kx xkt xxt，22222224112121tktkkttkk ，解得213t，又1222021tyyk，即0t，所以33t，33ykx，所以直线l过定点30,3 21(1)0(2)证明见解析(3),2 答案第 16 页，共 18 页【分析】（1）利用导数判断 f x的单调性，即可确定其最小值；（2）根据（1）的结论即可ln1xx，再利用对数运算法则即可证明不等式；（3）将参数a与变量x分开，通过构造函数研究其单调性，求出最值即可得出a的取值范围.【详解】

33、（1）因 ln1,1,f xxxx ，则 11(1)11xfxxxx ，令 0fx，得0 x，又1,0 x 时，0fx，函数 f x在1,0 x 上单调递减；0,x时0fx，函数 f x在0,x上单调递增；即函数 f x在0 x 处取最小值，即 00f xf 所以 f x的最小值为 0（2）由（1）小题结论可知ln1xx，当且仅当0 x 时等号成立，则*Nn时11ln1nn，即11lnnnn 所以1112312 311lnlnlnlnln123121 2nnnnnn 所以不等式成立.（3）由题可知0 x，ln210 xxx xa x 恒成立 等价于不等式ln21xxx xxax恒成立，令 ln

34、21xxx xxh xx，则命题等价于0,x，min()h xa 由（1）知，ln1xx，即有e1xx，当且仅当0 x 时等号成立，所以 lneln21ln1ln212x xx xxx xx xxh xxx 当ln0 x x，即1x时能取等号，所以min()2h x，即2a a的取值范围为,2【点睛】答案第 17 页，共 18 页 方法点睛：求解参数取值范围问题，常用的方法是将参数与自变量分离，再通过构造函数利用导数得出函数单调性求出其最值，即可求得参数的取值范围.22(1)20 xy，221,1,1yxx (2)25 216 【分析】（1）利用三角函数公式和极坐标公式cossinxy，代入参

35、数方程即可得到直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程（2）根据P是曲线C上的点设出点P的坐标，写出点P到直线l的距离的表达式，求出取值范围，即可得到P到l距离的最大值.【详解】（1）由题意 在cos24中，22cossin222，将cossinxy代入上式得：22222xy，即直线l的直角坐标方程为：20 xy，曲线C的参数方程为coscos2xy（为参数），2cos22cos1y，且cos1,1x，则曲线C的普通方程为：221,1,1yxx （2）由题意及（1）得，在2:21,1,1C yxx 中，P是曲线C上的点，设2,211,1P xxx，则点P到直线l的距离221252482322xx

36、xd 答案第 18 页，共 18 页 1,1x，22512520848x，25 2016d，P到l距离的最大值为25 216.23(1)5,1；(2)2,3.【分析】（1）根据题意分类讨论去绝对值解不等式；（2）根据绝对值三角不等式求 f x的最小值，再结合恒成立问题解不等式即得.【详解】（1）由于 36,422810,4236,2xxf xxxxxxx ，当4x时，369x，解得5x，此时54x；当42x 时，109x，解得1x，此时41x；当2x 时，369x，解得1x，此时x 综上：9f x 的解集为5,1；（2）()|2|28|2|4|(2)(4)|6f xxxxxxx，当且仅当4x 时等号成立，26aa，即260aa，解得23a，a的取值范围是2,3