2021-2022学年广东省深圳市龙华中学高二上学期期中数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 17 页 2021-2022 学年广东省深圳市龙华中学高二上学期期中数学试题 一、单选题 1若向量1,1,aa，2,1,1b 互相垂直，则a（）A2 B3 C2 D3【答案】B【分析】根据空间垂直向量的坐标表示求得1a，结合空间向量的集合意义即可求出a的模.【详解】因为向量1,1,aa，2,1,1b 互相垂直，所以0a b，即1 2 1 1 10a ，解得1a，故1,1,1a 所以22211(1)3a 故选：B 2双曲线2213yx 的渐近线方程是（）A30 xy B30 xy C30 xy D30 xy【答案】A【分析】双曲线2213yx 的渐近线方程是2203yx，即可得到

2、答案.【详解】双曲线2213yx 的渐近线方程是2203yx，即30 xy 故选：A【点睛】本题考查的是由双曲线的方程得其渐近线方程，简单题.3将直线330 xy绕着原点逆时针旋转90，得到新直线的斜率是（）A33 B33 C22 D22【答案】A【分析】先将直线化为斜截式，写出直线的斜率和倾斜角，再求得新直线的倾斜角和斜率.【详解】将330 xy化为3yx，则该直线的斜率为3、倾斜角为60，所以旋转后新直线的倾斜角为150，第 2 页 共 17 页 则新直线的斜率为3tan1503 k.故选：A.4已知直线1:1210laxy 与直线2:310lxay 平行，则a等于（）A3 或 2 B2

3、C3 D2【答案】C【分析】根据两直线平行的条件求解，注意检验【详解】由题意(1)2 30a a ，解得3a 或2a，3a 时，两直线方程分别为2210 xy，3310 xy，平行，2a 时，两直线方程分别为3210 xy，3210 xy，两直线重合，舍去 所以3a 故选：C 5已知点 P为圆1O：221xy上任一点，点 Q 为圆2O：226160 xyx上任一点，则PQ的最小值为（）A1 B2 C2 D4【答案】A【分析】根据题意得两圆的位置关系为内含，进而得PQ的最小值为21121rrOO.【详解】解：由题知，圆1O半径为11r，圆心坐标为0,0，圆2O半径为25r，圆心坐标为3,0，所以

4、两圆的位置关系为内含，所以123OO，214rr，所以PQ的最小值为21121rrOO 故选：A 6已知椭圆：22142xy，过点 1,1M的直线与椭圆相交于,A B两点，且弦AB被点M平分，则直线AB的方程为 A230 xy B230 xy C20 xy D210 xy 【答案】B【详解】设11A xy，22B xy，第 3 页 共 17 页 则22112222142142xyxy 12121212042xxxxyyyy 则121212122142xxyyxxyy 即直线AB的斜率为12 则直线AB的方程为1112yx 即230 xy 故选B 7在正方体1111ABCDABC D中,棱11,

5、BC AB的中点分别为,E F,则直线EF与1AB所成角的余弦值为（）A36 B336 C33 D63【答案】A【分析】取1,AA AB中点为,G H,连接,EG FG AE EH FH,令正方体棱长为 2,根据中位线可得1FGAB,直线EF与1AB所成角即直线EF与FG所成角,在正方体中求出各个长度,再在FGE中用余弦定理即可求得结果.【详解】解:由题正方体1111ABCDABC D,分别取1,AA AB中点为,G H,连接,EG FG AE EH FH,如图所示:不妨记正方体棱长为 2,F G分别为111,AB AA中点,第 4 页 共 17 页 1FGAB,1122FGAB,2,2FHH

6、E,即6FE,1,2,1,AGABBE 5,6,AEGE 故2,6,6FGFEGE,在FGE中,由余弦定理得:2222663cos26226FGFEGEGFEFGFE,所以直线EF与1AB所成角的余弦值为36.故选:A 8 已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab，过E的右焦点F作其渐近线的垂线，垂足为P，若OPF的面积为34ac，则E的离心率为（）A3 B2 33 C2 D2【答案】C【分析】先求出焦点F到渐进线的距离为b，由勾股定理求出RT OFP的边长OPa，再由面积得到,a c的关系，从而求出离心率.【详解】双曲线2222:1(0,0)xyEabab的渐近线方程为：byxa 过E

7、的右焦点F作其渐近线的垂线，垂足为P，则22bcPFbab 所以在RT OFP中，,2OPFFPb OFc，所以OPa 则1324OPFacSab，即23bc 所以2243bc，即22243cac，所以224ac，故2cea 故选：C 第 5 页 共 17 页 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，属于基础题.二、多选题 9到直线210 xy 的距离等于55的直线方程可能为（）A210 xy B220 xy C20 xy D220 xy【答案】CD【分析】易知所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为201xycc，利用平行线间的距离求解.【详解】因为所求直线与直线210 xy 的距离为55，所以所

8、求直线与已知直线平行，设所求直线方程为201xycc，所以2215521cd，解得0c或2c，故所求直线方程为20 xy或220 xy 故选：CD 10已知曲线 C的方程为221()123xymmmR，则（）A曲线 C可以表示圆 B曲线 C可以表示焦点在 x轴上的椭圆 C曲线 C可以表示焦点在 y轴上的椭圆 D曲线 C可以表示焦点在 y轴上的双曲线【答案】CD【分析】根据圆，椭圆，双曲线的相关知识，对每个选项逐一分析即可.【详解】若曲线 C表示圆，则123mm，解得2m ，则曲线 C的方程为221xy，无意义，A 不正确；若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则1230mm，不等式无解，B

9、不正确；第 6 页 共 17 页 若曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则2310mm，解得1m ，C 正确；若曲线 C 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则230,10,mm 解得312m，D 正确.故选：CD 11直线:(1)2(1)40lmxmym与圆22:20C xyxy的交点个数可能为（）A0 B1 C2 D3【答案】BC【分析】求出已知直线过的定点，且判断出定点在圆上可得答案.【详解】(1)2(1)4(24)20mxmymxymxy令240,20,xyxy解得2,1,xy故直线 l经过点(2,1)又22212120，所以点(2,1)在圆 C上，故直线 l与圆 C 的交点个数可能为 1

10、或 2 故选：BC.12卡西尼卵形线是由下列条件所定义的:曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数已知:曲线C是平面内与两个定点11,0F 和21,0F的距离的积等于常数21aa 的点的轨迹,则下列命题中正确的是（）A曲线C过坐标原点 B曲线C关于坐标原点对称 C曲线C关于坐标轴对称 D若点P在曲线C上,则12FPF的面积不大于212a【答案】BCD【分析】根据曲线C的定义,求出曲线C的方程,将0,0代入即可判断选项 A 的正误,将,xy代入,即可判断选项 B 的正误,分别将,xy,x y代入即可得选项 C 的正误,根据点P在曲线C上,即有212PFPFa成立,122122sinF PFa

11、SFPF,根据12sinFPF的范围,即可得选项 D 的正误.【详解】解:不妨设曲线上任意点,Q x y,由曲线C定义可知:221QFQFa,即曲线C的方程为:2222211xyxya,将0,0代入可得:21 1a,即1a 与1a 矛盾,故选项 A 错误;第 7 页 共 17 页 若,x y在曲线C上,则有2222211xyxya成立,将,xy代入曲线C的方程,即2222222221111xyxyxyxya ,所以,xy在曲线C上,即曲线C关于坐标原点对称,故选项 B 正确;若,x y在曲线C上,则有2222211xyxya成立,将,xy代入有:2222222221111xyxyxyxya ,

12、故曲线C关于x轴对称,再将,x y代入有:2222222221111xyxyxyxya ,故曲线C关于y轴对称,综上:曲线C关于坐标轴对称,故选项 C 正确;若P在曲线C上,则212PFPFa,121212sin12F PFFP F PFPFS 212sin12aFPF 212a,当且仅当12sin90F PF时取等,所以12FPF的面积不大于212a,故选项 D 正确.第 8 页 共 17 页 故选:BCD 三、填空题 13抛物线22yx的准线方程是_.【答案】18y 【解析】先将抛物线方程化为标准形式，求出p的值，即可求解.【详解】由22yx得抛物线方程为212xy，所以14p，所以抛物线

13、22yx的准线方程是128py ，故答案为：18y .14正四面体SABC的棱长为2,则SABC的体积为_【答案】13【分析】由正四面体SABC的棱长为2,可将其放到棱长为 1 的正方体中,正四面体体积为正方体体积减去 4 个全等的小三棱锥的体积,计算出结果即可.【详解】解:由题知正四面体SABC,故可将正四面体SABC放到正方体中如图所示:由正四面体的棱长为2,可得正方体棱长为 1,由图可知正四面体体积为正方体体积减去 4 个全等的小三棱锥的体积,即1 1 14SABCSACEVV 11141 1 132 13.故答案为:13 第 9 页 共 17 页 15圆22230 xyy关于直线10

14、xy 的对称圆的标准方程为_【答案】22(2)(1)4xy【解析】根据圆的普通方程得到圆心和半径，再求圆心关于直线的对称点，即可得答案；【详解】2222230(41)xyyxy，圆心为(0,1)，半径为2，设圆心关于直线10 xy 的对称点为(,)x y，1(1)1,2,1.110,22yxxyxy 对称圆的标准方程为22(2)(1)4xy.故答案为：22(2)(1)4xy.【点睛】本题考查圆的标准方程、点关于直线对称，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.16 已知抛物线22ypx（0p）和动直线:l ykxb（0k，0b）交于两点11(,)A x y，22(,)B xy，直

15、角坐标系原点为 O，记直线的斜率分别为OAk，OBk，且3OA OBk k恒成立，则当 k 变化时直线 l恒经过的定点为_.【答案】2,03p【分析】AB的方程与抛物线方程联立，消去y，由根与系数的关系，利用3OAOBkk，求出b的值，即可得出直线AB过定点【详解】解：将直线与抛物线联立，消去y，得222(22)0k xkbp xb，12222kbpxxk，2122bx xk；3OAOBkk，12123y yx x，1212()()y ykxb kxb 221212()k x xkb xxb 2bpk；2223bpbkk，解得23pkb，第 10 页 共 17 页 22()33pkpykxk

16、x 令23px ，得0y，直线过定点2,03p 故答案为：2,03p【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合应用问题，考查韦达定理的运用，属于中档题 四、解答题 17求满足下列条件的曲线的方程:(1)离心率为34,长轴长为 8 且焦点在 x轴的椭圆的标准方程;(2)与椭圆2212440 xy有相同焦点,且经过点(1,15)的双曲线的标准方程【答案】(1)221167xy(2)221124yx 【分析】(1)根据椭圆的离心率及长轴长,求出,a b c,根据焦点在 x 轴上,写出椭圆的方程即可;(2)先求出椭圆的焦点坐标即双曲线的焦点坐标,设出双曲线的标准方程,将(1,15)代入得到,a b之间的方程

17、,根据焦点再得到一个,a b之间的方程,联立两个方程即可得双曲线的方程.【详解】（1）解:由题知长轴长为 8,故4a,34cea,故3c,227bac,椭圆焦点在x轴上,椭圆的标准方程为:221167xy;（2）由题椭圆为2212440 xy,所以椭圆焦点坐标为:0,4,0,4,即为双曲线的焦点坐标.第 11 页 共 17 页 设双曲线的实半轴长,虚半轴长,半焦距分别为,a b c,则双曲线的标准方程为22221yxab 4c,2216ab,将(1,15)代入双曲线方程有:221511ab,联立可得:224,12ba,故双曲线方程为:221124yx.18已知ABC的内角A，B，C的对边分别为

18、a，b，c，且sin2sinaCcBC(1)求角C的大小；(2)若28ab，且ABC的面积为2 3，求ABC的周长【答案】(1)3C(2)62 3 【分析】（1）先边角互化，再利用诱导公式和正弦的二倍角公式，可求出cosC得值，进而求得角C的大小；（2）根据ABC的面积可求得ab，联立28ab可求得,a b得值，再根据余弦定理可求c得值，进而求得其周长.【详解】（1）sin2sinaCcBC，sinsin2sinsinACCA，2sinsincossinsinACCCA，sinsin0AC，1cos2C，0C，3C（2）由题意可得，132 322ab，8ab，28ab联立可得，2a，4b，第

19、12 页 共 17 页 由余弦定理可得，212c，2 3c，此时周长为62 3 19如图,在四棱锥PABCD中,已知棱,AB AD AP两两垂直且长度分别为1,1,2,ABCD,12ABCD (1)若PC中点为M,证明:BM平面PAD;(2)求点A到平面PCD的距离【答案】(1)证明见解析(2)2 55 【分析】(1)取PD中点为N,连接,MN AN,通过长度和中位线可证明,MNAB MNAB,即BMAN,根据线面平行判定定理即可证明;(2)用等体积法,先根据长度和垂直关系求得PCD的面积,再根据A PCDP ACDVV,即可求得距离.【详解】（1）证明:取PD中点为N,连接,MN AN,如图

20、所示:,M N分别为,PC PD中点,MNCD,且12MNCD,第 13 页 共 17 页 ABCD,12ABCD,MNAB MNAB,故四边形ABMN为平行四边形,故BMAN,BM不含于平面PAD,AN 平面PAD,故BM平面PAD;（2）连接AC,AB AD AP两两垂直且长度分别为 1,1,2,且ABCD,12ABCD,ADDC,将底面拿出考虑如下:2,5DCAC,3PC,5PD,222PDDCPC,CDPD,152PCDSDCPD,记A到平面PCD的距离为h,则153A PCDP ACDVhV 111 2232 ,解得:2 55h,故A到平面PCD的距离为2 55.20已知焦点在 y轴

21、上的抛物线过 P（2，2）(1)求抛物线的标准方程；第 14 页 共 17 页(2)已知直线:(0)l yxb b与抛物线交于点 A，B，若以 AB 为直径的圆过原点 O，求直线 l的方程 【答案】(1)12y (2)2yx 【分析】（1）根据题意可设抛物线的方程为220 xpy p，代入点2,2P求得参数值，即可得出答案；（2）设 1122,A x yB x y，联立22xyyxb，利用韦达定理求得1212,xxx x，根据以AB为直径的圆过原点O，可得OAOB，则0OA OB，求得参数b，即可得解.【详解】（1）解：根据题意可设抛物线的方程为22xpy，代入点2,2P得44p，解得1p，所

22、以抛物线的标准方程22xy，准线方程为12y ；（2）解：设 1122,A x yB x y，联立22xyyxb，消y得：2220 xxb，4 80b，则12b ，12122,2xxx xb，因为以AB为直径的圆过原点O，所以OAOB，则0OA OB，即12120 x xy y，即21212121220 x xxbxbx xb xxb，所以220,0bbb，解得2b，又12b ，所以2b，所以直线l的方程为2yx.21 如图，ABCD是边长为 3 的正方形，DE平面ABCD，/AF DE，3DEAF，BE与平面ABCD所成角为60.第 15 页 共 17 页 （1）求证：AC 平面BDE；（2

23、）求二面角FBED的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1313.【解析】（1）根据线面垂直的性质，结合正方形的性质，线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：因为DE平面ABCD，AC面ABCD，所以DEAC.因为ABCD是正方形，所以ACBD 又DEBDD，DE面BDE，BD面BDE，故AC 平面BDE（2）因为,DA DC DE两两垂直，建立空间直角坐标系Dxyz如图所示.因为ED 平面ABCD，且EB与平面ABCD所成角为60，即60DBE，所以3EDDB，由已知3AD，可得3 6DE，6AF.则(3,0,0)A

24、，(3,0,6)F，(0,0,3 6)E，(3,3,0)B，(0,3,0)C，所以(0,3,6)BF，(3,0,2 6)EF.设平面BEF的法向量为n(x,y,z)，则00n BFn EF，即36032 60yzxz.第 16 页 共 17 页 令6z，则(4,2,6)n 因为AC 平面BDE，所以CA为平面BDE的法向量，(3,3,0)CA.所以613cos,13263 2|n CAn CAnCA.因为二面角为锐角，所以二面角FBED的余弦值为1313.【点睛】本题考查了线面垂直的证明方法，考查了利用空间向量夹角公式求二面角余弦值问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.22已知椭圆2222:

25、1(0)xyCabab的离心率为22，左，右焦点分别为12,F F，过2F的直线l与C交于,A B两点，若l与x轴垂直时，|2.AB (1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P在椭圆C上，且(OPAB O为坐标原点），求2|ABOP的取值范围.【答案】(1)2212xy(2)2,2 22 【分析】（1）由离心率得出,a c关系，由通径得出,a b关系，结合椭圆关系式即可求解；（2）需分类讨论，分直线l的斜率不存在、直线l的斜率为 0、直线l的斜率存在且不为 0 三种情况，对第三种情况，可联立直线与椭圆方程，结合弦长公式求出AB，利用OPAB求出直线OP方程，并将P代入椭圆方程，代换出OP，化简2|

26、ABOP并结合不等式即可求解.【详解】（1）由题意得，22cea，即2ac，则bc，把xc代入椭圆方程可得22221cyab，2bya，222bABa，即2222cc，1c，2a，1b，椭圆 C的标准方程为2212xy；（2）由（1）知，2F的坐标为1,0，当直线l的斜率不存在时，2AB，22OP，则222ABOP；当直线l的斜率为 0 时，2 2AB，21OP，则22 2ABOP；第 17 页 共 17 页 当直线l的斜率存在且不为 0 时，设直线l的方程为10yk xk，联立22112yk xxy，得2222214220kxk xk，设11,A x y，22,B xy，则2122421kxxk，21222221kx xk，则22121214ABkxxx x，222222222 2142214212121kkkkkkk，设点00,P x y，则001yxk，即00 xky，代入椭圆方程得202012kyy，20222yk，则220222kxk，2222002212kOPxyk，22222222222 2123 221223 22212221212212 212kkkABkkkkkOPk，又2211k ，2ABOP的取值范围是2,2 22，综上所述，2ABOP的取值范围是2,2 22.