2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期中数学(文)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 17 页 2021-2022 学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期中数学（文）试题 一、单选题 1 已知全集 U=0，1，2，3，4，5，集合 M=0，1，2，集合 N=3，4，则UMN（）A5 B1，2 C3，4 D1，2，3，4【答案】A【分析】利用集合的并补运算求UMN.【详解】由题设，0,1,2,3,4MN，而 U=0，1，2，3，4，5，所以UMN.故选：A 2设i34iz，则 z=（）A-4-3i B-4+3i C4-3i D4+3i【答案】C【分析】利用复数的除法及2i1 求复数即可.【详解】由24i3i43iiz.故选：C 3设命题:0,1px，12xx；

2、命题 q：若210 xax，对任意Rx恒成立，则02a下列命题中为真命题的是（）Apq Bpq Cpq Dpq【答案】C【分析】根据零点存在性定理判断命题 p 真假，由210axax 恒成立求出 a的取值范围判断 q,再由复合命题的真值表判断即可求解.【详解】令 12xf xx，则 f x在0,1为连续函数，且 110f，12202f，故 f x在1,12上存在零点，故方程12xx在0,1上有解，故命题 p 为真命题，210 xax 对任意Rx恒成立，则240a，解得22a，第 2 页 共 17 页 故命题 q为假命题，所以pq 为真命题，pq，pq，pq为假命题 故选：C 4函数 2sinc

3、os33xxfx 最小正周期和最大值分别是（）A3和5 B3和 5 C6和5 D6和 5【答案】C【分析】利用辅助角公式化简()f x，根据正弦函数性质求最小正周期和最大值.【详解】()5sin()3xf x且1tan2，所以最小正周期2613T和最大值为5.故选：C 5若 x、y 满足约束条件423xyxyy，则 z=2x+y的最小值为（）A4 B5 C6 D7【答案】B【分析】画出可行域，根据目标式的几何意义，应用数形结合法判断z取最小所过的点，进而求出最小值.【详解】由约束条件可得可行域如下图：而目标式为2yx 在平移过程中与可行域有交点情况下，在 y轴上的截距，由图知：当2zxy过3y

4、 与4xy的交点(1,3)时，min2 135z.故选：B 第 3 页 共 17 页 621cos122（）A12 B33 C22 D34【答案】D【分析】利用二倍角余弦公式化简求值即可.【详解】221113cos(2cos1)cos122212264.故选：D 7在区间0,1随机取一个数x，则满足的概率为1sin2x的概率为（）A34 B23 C13 D16【答案】B【分析】根据正弦函数的性质求出不等式1sin2x的解集，再根据长度型几何概型的概率公式计算可得；【详解】解：由1sin2x，所以52266kxk，kZ，解得152266kxk，kZ，所以原不等式的解集为152,266kk，kZ，

5、故在区间0,1上满足1sin2x的x的取值范围为1 5,6 6，所以满足的概率为1sin2x的概率512661 03P；故选：B 8六氟化硫，化学式为6SF，在常压下是一种无色、无身、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（）A4 23 B8 327 C83 D163【答案】C【分析】先确定正八面体内切球的球心，再求出球心到其中一个面的距离即为内切球半径，第 4 页 共 17 页 利用等体积法求出距离即可.【详解】设正八面体内切球半径R，给正八

6、面体标出字母如下图所示，连接AC和BD交于点O，因为EAEC，EDEB，所以EOAC，EOBD，又AC和BD交于点O，所以EO 平面ABCD，所以O为正八面体的中心，所以O到八个面的距离相等，距离即为内切球半径，设内切球与平面EBC切于点H，所以OH 平面EBC，所以OH即为正八面体内切球半径，所以ROH，因为正八面体的棱长为2，所以2EBECBC，2OBOC，222EOEBOB，所以3EBCS，1OBCS，因为E OBCO EBCVV，11=33OBCEBCSEOSOH，所以63OH，即63R，所以正八面体内切球的表面积为：2843R.故选：C.9设函数 222sin2f xxxx，则下列函

7、数中为偶函数的是（）A2f x B2f x C1f x D1f x【答案】D【分析】根据偶函数的定义判断即可；【详解】解：因为 2222sin12sin122f xxxxxx，对于 A：22232sin2132sin122fxxxxx，为非奇非偶函数，第 5 页 共 17 页 故 A 错误；对于 B：22212sin2112sin122fxxxxx，为非奇非偶函数，故 B 错误；对于 C：22122sin1122cos122fxxxxx，为非奇非偶函数，故 C 错误；对于 D：2212sin112cos122f xxxxx，令 1h xf x，则 222cos12cos122xhxxxxxh

8、，故 1h xf x为偶函数，故 D 正确；故选：D 10在长方体1111ABCDABC D中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为 A15 B56 C55 D22【答案】C【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以 D 为坐标原点，DA,DC,DD1为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,3),(0,0,3)DABD,所以11(1,0,3),(1,1,3)ADDB,因为1111111 35cos,525AD DBAD DBAD DB，所

9、以异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为55，选 C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.11设 P 是椭圆 C:2213xy上的点，则点 P到动点(,4)B m m距离的最小值为（）A1 B2 C3 D2【答案】B【分析】将P点转化为参数方程形式，结合点到直线的距离公式与三角函数性质求解【详解】由题意可设(3cos,sin)P，动点B在直线40 xy上，第 6 页 共 17 页 故|3cossin4|24|222d 故选：B

10、 12设0a，若xa为函数 2fxa xaxb的极小值点，则（）Aab Bab C2aba D2aba【答案】C【分析】先对函数求导，令()0fx，则xa或23abx，然后分23aba和23aba结合a的正负讨论判断函数的极值点即可【详解】由 2fxa xaxb，得2()2()()()()(32)fxa xa xba xaa xaxab，令()0fx，则xa或23abx，当23aba，即ab时，若0a 时，则()f x在(,)a，2,3ab上单调递增，在2,3aba上单调递减，所以xa是函数的极大值点，不合题意，若0a 时，则()f x在(,)a，2,3ab上单调递减，在2,3aba上单调递增

11、，所以xa是函数的极小值点，满足题意，此时由ab，0a，可得2aab，当23aba时，ab，若0a 时，()f x在2,3ab，(,)a 上单调递减，在2,3aba上单调递增，所以xa是函数的极大值点，不合题意，若0a 时，()f x在2,3ab，(,)a 上单调递增，在2,3aba上单调递减，所以xa是函数的极小值点，满足题意，此时由ab，0a 得2aab，综上，2aab一定成立，所以 C 正确，ABD 错误，故选：C 二、填空题 13已知抛物线24yx 的准线经过椭圆2221(0)4xybb的焦点，则b _【答案】3【分析】先根据抛物线的方程求得准线方程，根据椭圆的方程求得焦点，代入抛物线

12、的第 7 页 共 17 页 准线方程求得 b【详解】解：依题意可得抛物线24yx 的准线为1x，又因为椭圆焦点为240b，所以有241b即 b23 故 b3 故答案为3【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质，椭圆的标准方程考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握 14已知向量1,2a，1,0b，4,3c，且()abc，则实数_【答案】2【分析】两向量垂直，则两向量的数量积为 0，进行计算，得出结果.【详解】由abc得=0a cb c ，即240，得=2 故答案为：2 15某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是_ 【答案】30+6【分析】根据三视图,可得该三棱锥为如图的三棱锥 ABCD,其

13、中底面BCD 中,CDBC,且侧面 ABC 与底面 ABC互相垂直,由此结合题中的数据结合和正余弦定理,不难算出该三棱锥的表面积【详解】解：根据题意,还原出如图的三棱锥 ABCD：第 8 页 共 17 页 底面 RtBCD中,BCCD,且 BC=5,CD=4，侧面ABC 中,高 AEBC于 E,且 AE=4,BE=2,CE=3，侧面ACD中,AC=5，平面 ABC平面 BCD,平面 ABC平面 BCD=BC,AEBC，AE平面 BCD,结合 CD平面 BCD,得 AECD，BCCD,AEBC=E，CD平面 ABC,结合 AC平面 ABC,得 CDAC，因此,ADB中,AB=2,BD=,AD=,

14、cosADB=,得 sinADB=，由三角形面积公式,得 SADB=6，又SACB=54=10,SADC=SCBD=45=10，三棱锥的表面积是 S表=SADB+SADC+SCBD+SACB=30+6，故答案为 30+6【点睛】本题给出三棱锥的三视图,求该三棱锥的表面积,着重考查了三视图的理解、线面垂直与面面垂直的判定与性质和利用正余弦定理解三角形等知识,属于中档题 16平面四边形ABCD中，1AB，2BC，ADCD，120ADC，则BCD面积的最大值为_.【答案】2 33【分析】由题意结合正弦定理和余弦定理得到关于三角形面积的解析式，结合三角函数的性质即可确定BCD面积的最大值.第 9 页

15、共 17 页【详解】设ABC，BCA，依题意得30ACD，3ACCD则 12BCDSCB CDsin63sincos2 3ACAC ABC中由余弦定理得：24 1 2 2 1 cos54cosAC ABC中正弦定理得：sinsinACAB，即sinsinAC 则222cosACAC22sin54cosAC22sin(2cos)，即cos2cosAC，所以 3sincos2 3BCDACACS2sin23sincos262 32 323，当且仅当23取等号.综上可得：BCD面积的最大值为2 33.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、余弦定理的应用，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力

16、和计算求解能力.三、解答题 17某中学对学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了 100 名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成列联表如下：良好以下 良好及以上 合计 男 25 女 10 合计 70 100 (1)将列联表补充完整；计算并判断是否有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；(2)事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了 9 人若从这 9 人中随机抽取 3 人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的 3 人全是男生的概率 附：22n adbcKabcdacbd，nabcd 第 10 页 共 17 页 20P Kk

17、 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；良好以下 良好及以上 合计 男 25 20 45 女 45 10 55 合计 70 30 100 (2)521【分析】（1）根据题意补全表格，代入公式求解即可；（2）先求出样本中男生和女生人数，再计算概率即可.(1)良好以下 良好及以上 合计 男 25 20 45 女 45 10 55 合计 70 30 100 所以22210025 1020 458.1296.63545 55 70 30n adbcKabc

18、dacbd，所以有 99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系.(2)根据题意，抽取了 9 人中男生有 6 人，女生有 3 人；设事件A表示 9 人中随机抽取 3人对其体测指标进行进一步研究，抽到的 3 人全是男生，所以 3639521CP AC，故从这 9 人中随机抽取 3 人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的 3 人全是男生的概率为：521.18已知等差数列 na的公差为 2，前n项和为nS，且124,S SS成等比数列 第 11 页 共 17 页（1）求数列 na的通项公式；（2）令 1141nnnnnba a，求数列 nb的前n项和nT【答案】（1）21nan；（2）2,2122,

19、21nnnnTnnn为偶数为奇数【分析】（1）根据等差数列的性质得出2111122412,1aaaa运用通项公式求解即可（2）由（1）可得 11112121nnbnn.对 n 分类讨论“裂项相消求和”即可得出.【详解】（1）等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1、S2、S4成等比数列 Snna1+n（n1）（2a1+2）2a1（4a1+12），a11，an2n1；（2）由（1）可得 111411112121nnnnnnba ann ，当 n为偶数时，Tn11111111113355723212121nnnn 1212121nnn 当 n为奇数时，111111111133557

20、23212121nTnnnn 12212121nnn 2,2122,21nnnnTnnn为偶数为奇数【点睛】本题考查了等差数列等比数列的定义，性质，公式，分类讨论思想，裂项相消求和，属于中档题 19 如图，在平行四边形ABCM中，3ABAC，90ACM，以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA（1）证明：平面ACD 平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且23BPDQDA，求三棱锥QABP的体积 第 12 页 共 17 页 【答案】(1)见解析.(2)1.【详解】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到BAC=90，即BAAC，再结合已知条件 BAAD，利用

21、线面垂直的判定定理证得 AB平面 ACD，又因为 AB平面 ABC，根据面面垂直的判定定理，证得平面 ACD平面 ABC；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.详解：（1）由已知可得，BAC=90，BAAC 又 BAAD，且ACADA，所以 AB平面 ACD 又 AB平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC （2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=3 2 又23BPDQDA，所以2 2BP 作 QEAC，垂足为 E，则QE 13DC 由已知及（1）可得 DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC，

22、QE=1 因此，三棱锥QABP的体积为 11113 2 2sin451332Q ABPABPVQES 点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面第 13 页 共 17 页 垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.20在平面直角坐标系xOy中，已知2,0F，2,3M，动点P满足12OF MPPF （1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点1,0D作直线AB交C于A，B两

23、点，若AFD的面积是BFD的面积的 2倍，求AB【答案】（1）28yx；（2）3 172.【分析】（1）设,P x y，求得,MP OF PF的坐标，结合12OF MPPF，化简、整理，即可求得抛物线的方程；（2）设 1122,A x yB x y，不妨设120,0yy，由2AFDBFDSS，求得122yy，设直线AB的方程为1xmy，联立方程组，结合根与系数的关系，求得128yym，128y y ，进而求得12,y y m，利用弦长公式，即可求解.【详解】（1）设,P x y，因为2,0F，2,3M，则2,3MPxy，2,0OF，2,PFxy 由12OF MPPF，可得2222xxy，化简得

24、28yx，即动点P的轨迹C的方程为28yx（2）设11,A x y，22,B xy，由题意知112AFDSFDy，212BFDSFD y，易知120y y，不妨设120,0yy，因为2AFDBFDSS，所以122yy，所以122yy 设直线AB的方程为1xmy，联立281yxxmy消去x，得2880ymy，则264320m，可得128yym，128y y 由联立，解得1214,2,4yym，第 14 页 共 17 页 所以21213 17114(2)162ABmyy 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方

25、程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等 21已知函数 2lnf xaxxx，0a （1）试讨论函数 f x的单调性；（2）若函数 f x有两个零点，求实数a的取值范围【答案】（1）当0a 时，函数 f x在0,上单调递减；当0a 时，f x在11 80,4aa上单调递减，在11 8,4aa上单调递增（2）0,1.【分析】（1）求出导函数 212121axxfxaxxx，设 221g xaxx，对 a分类讨论：当0a 时，函数 f x在0,上单调递减；当0a

26、时，f x在11 80,4aa上单调递减，在11 8,4aa上单调递增（2）把 f x有两个零点，转化为2ln xxax有两个解，令 2ln xxh xx，二次求导后得到函数 h x的单调性和极值，即可求出实数a的取值范围.【详解】函数 2lnf xaxxx的定义域为0，.（1）212121axxfxaxxx，设 221g xaxx 当0a 时，因为函数 g x图象的对称轴为104xa，01g 所以当0 x 时，0g x，0fx，函数 f x在0,上单调递减；当0a 时，令 0g x 得111 84axa，211 84axa 当20 xx时，()0g x，0fx，当2xx时，()0g x，0f

27、x 第 15 页 共 17 页 所以函数 f x在11 80,4aa上单调递减，在11 8,4aa上单调递增（2）若 f x有两个零点，即2ln0axxx有两个解，2ln xxax 设 2ln xxh xx，31 2ln xh xxx，设 1 2lnF xxx，因为函数 F x在0,上单调递减，且 10F，所以当01x时，0F x，0h x，当1x 时，0F x，0h x 以函数 h x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，且 x 时，0h x，11h，所以01a 即实数a的取值范围为0,1.22在直角坐标系xOy中，圆C的方程为2211xy，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系

28、，直线l的极坐标方程为cos16 （1）求圆C的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与圆C相交于A，B两点，求圆C在A，B处两条切线的交点坐标【答案】（1）圆C的极坐标方程为2sin，直线l的直角坐标方程为320 xy；（2）3,2.【分析】（1）由题意结合直角坐标方程与极坐标方程的转化公式可得圆C的极坐标方程；转化直线l的极坐标方程为31cossin122，再利用直角坐标方程与极坐标方程的转化公式即可得直线l的直角坐标方程；（2）由题意联立方程组可得A，B的坐标，结合直线与圆相切的性质、直线方程的求解即可得两切线方程，联立方程即可得解.【详解】（1）圆C的方程2211xy可变为2

29、220 xyy，所以圆C的极坐标方程为22 sin0即2sin；直线l的极坐标方程cos16 可变为31cossin122，所以直线l的直角坐标方程为31122xy 即320 xy；第 16 页 共 17 页（2）由题意联立方程组2220320 xyyxy，解得02xy或3212xy，不妨设点0,2A，3 1,22B，设过A，B处的切线分别为1l，2l，圆22:11C xy的圆心为0,1C，半径为1，易得1:2ly，由直线CB的斜率1132332CBk可得直线2l的斜率23lk ，所以直线2l的方程为13322yx 即31yx，由231yyx 可得32xy，所以圆C在A，B处两条切线的交点坐标

30、为3,2.【点睛】本题考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了直线与圆相切性质的应用及直线方程的求解，属于中档题.23设函数 1132fxxx.（1）求不等式 2f x 的解集；（2）若不等式 12fxa x的解集非空，求实数a的取值范围.【答案】（1）1,3,3；（2）34,27.【分析】（1）利用零点分段法分类讨论去绝对值，然后解不等式即可；（2）作出 f x的图象，结合图象可得出a的取值范围.【详解】解：（1）35,12211113,1322235,322xxf xxxxxxx，所以原不等式等价于352221xx或122213xx或352223xx，第 17 页 共 17 页 解得不等式的解集为1,3,3；（2）f x图象如图所示，其中 1,1A，3,2，直线12ya x过点1,02C，由图可得，当不等式 12fxa x的解集非空时，则直线12ya x的位置在直线CB和过C且与3522yx 平行的直线之间，又2041732CBk，所以a的取值范围为34,27.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及应用，考查学生对分类讨论思想、数形结合思想的应用能力，难度一般，属于高考常考题型.