2021-2022学年河北省唐山市十县一中联盟高二下学期期中数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 14 页 2021-2022 学年河北省唐山市十县一中联盟高二下学期期中数学试题 一、单选题 1 一个物体做直线运动，其位移h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为 23h ttt，该物体在3ts时的瞬时速度是（）A-3m/s B3m/s C2m/s D6m/s【答案】A【分析】先求 h t的导函数，然后将3t 代入导数式，可得出该物体在3ts时的瞬时速度【详解】32h tt，则 332 33h 所以该物体在3ts时的瞬时速度是3/m s 故选：A 2下列求导运算正确的是（）A2331xxx B21logln2xx C 333 logxxe D2cos2 sinxxxx

2、【答案】B【详解】A，23331xxxxx，故错误；B，21log2xxln，正确；C，33?3xxln，故错误；D，222x cosxxcosxx sinx，故错误.故选 B.点睛：常用求导公式：11(),log,nnxxaxnxaa lnaxcosxsinxxlna.33 名志愿者，每人从 4 个不同的岗位中选择 1 个，则不同的选择方法共有（）A12 种 B64 种 C81 种 D24 种【答案】B【分析】利用分步乘法计数原理进行求解.【详解】每个人都有 4 种选择，故不同的选择方法共有3464种.故选：B 第 2 页 共 14 页 4某大学开设 A类选修课 3 门，B 类选修课 4 门

3、，一位同学从中选 3 门课若要求两类选修课至少各选一门，则不同的选法有（）A30 种 B60 种 C12 种 D7 种【答案】A【分析】先求出从这 7 门课程中选 3 门课程的选法数，减去所选 3 门课程全是 A 类选修课或全是 B类选修课的选法数可得答案.【详解】从这 7 门课程中选 3 门课程有37C35种不同取法 所选 3 门课程全是 A类选修课或全是 B 类选修课有3334CC5 所以两类选修课至少各选一门不同的选法有35 530 故选：A 5512xxx的展开式中3x的系数为（）A90 B90 C70 D70【答案】D【分析】本题首先可以写出二项式52x展开式的通项，然后根据通项即可

4、求出含3x项的系数.【详解】因为二项式52x展开式的通项为5152kkkkTCx，所以含3x的项为2423435512270 x CxCxxx ，故选：D【点睛】本题考查展开式中特定项的系数之和，考查二项式展开式的通项的灵活应用，二项式nab展开式的通项为1Ckn kkknTab，考查计算能力，是简单题.6已知函数 2lnf xxaxxx，aR，若 fx在1,单调递增，a的取值范围是（）A,1 B,1 C1,D1,【答案】B【分析】根据函数的单调性，则导数在对应区间恒成立，分离参数，构造函数，利用导数求其最值，即可求得参数的范围.【详解】因为 2lnf xxaxxx在1,单调递增，故()fx2

5、ln10 xax 在区间1,恒成立，第 3 页 共 14 页 即2ln1axx，令 2ln1,1h xxxx 则()h x12120 xxx，故 h x在1,单调递增，则 min11h xh，故1a，a的取值范围为,1.故选：B.7函数 212exf xxx的图象大致是（）A B C D【答案】D【分析】先求解函数零点，排除 AC，再用导函数求解单调区间，排除 B.【详解】令 212e0 xf xxx，解得：0 x 或2x，排除 AC；1212122 e2e2 exxxfxxxxx，当2x 或2x 时，0fx，当22x时，0fx，故 f x在,2，2,上单调递增，在2,2上单调递减，故选：D

6、8已知函数2ln,0,()=2,0.xxf xxxx x，若 g xf xa有 3 个零点，则 a的取值范围为（）A1,0 B11,e C10,e D 10,1e 【答案】B 第 4 页 共 14 页【分析】设ln()(0),xh xxx求出函数()h x的单调区间和最小值，再利用数形结合分析得解.【详解】解：设2ln1 ln()(0),()xxh xxh xxx，令()0,0eh xx，令()0,eh xx，所以函数()h x在(0,e)单调递增，在(e,)单调递减.所以max1()eh x.令 0,()g xf xaf xa有三个零点.作出函数()yf x和ya的图象如图所示，所以 a 的

7、取值范围为11,e.故选：B 二、多选题 9A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（）A若 A，B 不相邻，有 72 种排法 B若 A 在正中间，有 24 种排法 C若 A 在 B左边，有 24 种排法 D若 A，B 相邻，有 24 种排法【答案】AB【分析】A.利用插空法求得选项 A 正确；B.直接利用分步原理和排列求得选项 B 正确；C.利用缩倍法求得选项 C 不正确；D.利用捆绑法求得选项 D 不正确.【详解】A.若 A、B 不相邻，利用插空法得共有3234AA72种方法，故 A 正确；B.若 A站在最中间，有2242A A24种方法，故 B 正确；C.若 A 在 B左边

8、，利用缩倍法共有5522A60A种方法，故 C 不正确；D.若 A、B 两人相邻站在一起，利用捆绑法共有4242A A48，故 D 不正确.故选：AB 10函数 yf x的导函数 yfx的图象如图所示，则（）第 5 页 共 14 页 A4x 是函数 yf x的极值点 B0 x 是函数 yf x的极值点 C yf x在区间4,1上单调递增 D yf x在1x 处切线的斜率大于零【答案】ACD【分析】根据函数 yfx的图象的图像得出函数 yf x的单调区间，从而可判断选项 A，B，C，由函数 yfx的图象的图像得出 001ff，根据导数的几何意义可判断选项 D.【详解】根据函数 yfx的图象的图像

9、可得：当4x时，0fx，当4x 时，0fx（仅在0 x 处有 0fx），故函数 yf x在,4 上单调递减，在4,上单调递增.所以4x 是函数 yf x的极小值点，故选项 A 正确.0 x 不是函数 yf x的极值点，故选项 B 正确.yf x在区间4,1上单调递增,故选项 C 正确.由函数 yfx的图象的图像可得可得 001ff 所以 yf x在1x 处切线的斜率大于零，故选项 D 正确.故选：ACD 11对任意实数x，有9230123(23)(1)(1)(1)xaa xaxax 99(1)ax，则（）A2144a B01a C01291aaaa D901293aaaa【答案】AC【分析】9

10、(23)x 9 12(1)x ，利用二项展开式的通项即可求得2a，即可判断 A；第 6 页 共 14 页 令1x，可得0a，即可判断 B；令2x，可得0129aaaa，即可判断 C，令0 x，可得0129aaaa，即可判断 D.【详解】解：对任意实数x，有923901239(23)(1)(1)(1)(1)xaa xaxaxax 9 12(1)x ，所以2229C2144a ，故 A 正确；令1x，可得01a ，故 B 错误；令2x，可得01291aaaa，故C 正确；令0 x，可得901293aaaa，故D 错误.故选：AC.12已知 sinln 1f xxx，fx为 f x的导函数，下列说法

11、正确的是（）A f x在1,0上存在增区间 B fx在区间1,2上有 2 个零点 C 00f D f x有且仅有 2 个零点【答案】BCD【分析】A.因为1,0 x，所以 0fx，所以 f x在1,0上不存在增区间，所以该选项不正确；B.令10,cos1fxxx，作出函数cosyx和11yx在区间1,2的图象，如图所示，fx在区间1,2上有 2 个零点，所以该选项正确；C.计算得该选项正确；D.利用导数分四种情况讨论得解.【详解】解：由题得 1cos1fxxx，A.因为1,0 x，所以10cos1,11xx，所以 0fx，所以 f x在1,0上不存在增区间，所以该选项不正确；B.作出函数cos

12、yx和11yx在区间1,2的图象，得该选项正确；第 7 页 共 14 页 C.10cos000 1f，所以该选项正确；D.由题知：1cos1fxxx，1,x 当1,0 x 时，可知 fx在1,0上单调递增 00fxf f x在1,0上单调递减，又 00f 0 x为 f x在1,0上的唯一零点.当0,2x时，fx在00,x上单调递增，在0,2x上单调递减,又 00f 00fx,f x在00,x上单调递增，此时 00f xf，不存在零点,又22cos02222f,10,2xx，使得 10fx,f x在01,x x上单调递增，在1,2x上单调递减,又 000f xf，2esinln 1lnln102

13、222f,0f x在0,2x上恒成立，此时不存在零点,当,2x时，sin x单调递减，ln1x单调递减,f x在,2上单调递减,又02f，sinln1ln10f,即 02ff，又 f x在,2上单调递减,第 8 页 共 14 页 f x在,2上存在唯一零点,当,x时，sin1,1x，ln1ln1lne1x,sinln10 xx,即 f x在,上不存在零点,综上所述：f x有且仅有2个零点.所以该选项正确.故选：BCD 三、填空题 13函数 xxf xe的图像在0 x 处的切线方程为_【答案】yx【分析】本题首先可以根据题意求出导函数 fx以及 0f 的值，然后根据 00f以及直线的点斜式方程即

14、可得出结果.【详解】因为 xxf xe，所以 1xxfxe，0101fe，因为 0000fe，所以函数 f x在0 x 处的切线方程为010yx，即yx，故答案为：yx.【点睛】本题考查函数在某一点处的切线方程的求法，考查导数的几何意义，函数在某一点处的导数即函数在这点处的切线斜率，考查计算能力，是简单题.14由数字 0,1,2,3 可以组成_个没有重复数字的四位偶数【答案】10【详解】解析过程略 15已知12nxx的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为_【答案】160【分析】由已知条件求出n的值，写出展开式通项，令x的指数为零，求出参数值，代入通项即可得解.【详解】由已知可得2

15、64n，解得6n，612xx的展开式通项为 666 21661C2C12kkkkkkkkTxxx ，第 9 页 共 14 页 令620k，可得3k，因此，展开式中的常数项为 3336C12160 .故答案为：160.16直线ya分别与曲线21lnyxyxx，交于,A B，则AB的最小值为 _【答案】32【详解】设 A(x1,a),B(x2,a),则 2(x1+1)=x2+lnx2，x1=12(x2+lnx2)1，|AB|=x2x1=12(x2lnx2)+1，令 y=12(xlnx)+1,则1112yx，函数在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增，x=1 时,函数的最小值为32，故答案为

16、32.四、解答题 17已知函数 32f xxxaxb，若曲线 yf x在 0,0f处的切线方程为1yx (1)求a，b的值；(2)求函数 yf x在2 2,上的最小值【答案】(1)1a；1b (2)9【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）判断函数在2 2,上单调性，进而可得最值.【详解】(1)由已知可得 01fb 又 232fxxxa，所以 01fa (2)由（1）可知 321f xxxx，2321fxxx，令 0fx，解得13x 或1x，第 10 页 共 14 页 所以 f x在12,3和1,2上单调递增，在1,13上单调递减 又 29f ，10f，所以函数 yf x在2 2

17、,上的最小值为9 18已知22nxx的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1(1)求展开式中各项系数的和与二项式系数的和；(2)求展开式中含32x的项【答案】(1)二项式系数之和为256，展开式中各项系数的和为 1(2)3216x【分析】（1）展开式的通项为 52122CC2rnrn rrrrrnnTxxx，由展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1，求出n值，即可得二项式系数和2n，令1x 可得展开式中各项系数的和；（2）利用二项展开式通项公式，令85322r即可求解.【详解】(1)解：因为22nxx的展开式的通项为 52122CC2rnrn rrrrrnnTxxx，所以第

18、五项系数为44C2n，第三项系数为22C2n，则4422C210C2nn，解得8n 或3n （舍），所以令1x 可得展开式中各项系数的和为 1，二项式系数和为82256；(2)解：二项式的通项公式为8 5218C2rrrrTx，令85322r，则1r，所以展开式中含32x的项为32216Tx 19某莲藕种植塘每年固定成本是 1 万元，每年最大种植量是 8 万斤，每种植 1 万斤莲藕，成本增加 0.5 万元用 x表示莲藕种植量（单位：万斤），销售额 f x（单位：万元）为 321918162xaxxf x ，a 是常数；若种植 2 万斤莲藕，利润是 2.5 万元(1)求 a的值；第 11 页 共

19、 14 页(2)每年种植莲藕多少万斤，利润最大？【答案】(1)2a (2)6【分析】（1）求出利润与种植量的函数关系式，利用已知条件种植 2 万斤莲藕，利润是2.5 万元即可求得；（2）利用导数求函数的最大值即可.【详解】(1)由题意可知种植莲藕x（单位：万斤）的成本为112x万元，设销售利润为 g x，则 32321911191181622816g xxaxxxxax ，当2x 时，321922212.5816ga ，解得2a (2)由（1）得 3219188g xxx，23936848gxxxx x ，当06x时，0g x，g x单调递增；当68x时，0gx，g x单调递减；于是当6x 时

20、，函数 g x取得极大值即最大值 即每年种植莲藕6万斤，利润最大.208 名医护人员投入到疫情防控和治疗工作中，3 人到重症科室，其余 5 人到呼吸、感染、检验三个科室(1)从 8 名医护人员中选 3 人到重症科室，共有多少种不同选法；(2)将 5 名医护人员 A，B，C，D，E安排到呼吸、感染、检验三个科室，每名医护人员只安排到 1 个科室，每个科室至少有 1 人，共有多少种不同的安排方法；(3)完成工作后，8 名医护人员站成一排合影留念，A，B两人相邻且不在两端，共有多少种不同的站位方法【答案】(1)56；(2)150；(3)7200.【分析】（1）直接利用组合解答；（2）分两种情况讨论，

21、利用两个原理解答；（3）利用捆绑法和分步原理求解.【详解】(1)解：由题得从 8 名医护人员中选 3 人到重症科室有388 7 6C563 2 1 ，共有56 种不同的选法(2)解：5 个人按 3，1，1 分成 3 组，共有35C10（种）方法，再分到科室有33A6（种）第 12 页 共 14 页 方法，根据分步计数原理，共有 60（种）方法；5 个人按 2，2，1 分成 3 组，共有225322C C15A（种）方法，再分到科室有33A6（种）方法，根据分步计算原理，共有 90（种）方法；由以上分析可知共有 150（种）方法(3)解：6 人有66A种排法，A，B 两人看为一个整体，则 A，B

22、两人有22A种排法，此整体有15A种排法，根据分步计数原理，共有621625A A A7200（种）站位方法 21已知函数 lnf xxax，0a (1)求函数 f x的极值；(2)若方程 f xk有 2 个不等的实根1x，2x，证明：122xxa【答案】(1)极小值为lnaaa，没有极大值；(2)证明见解析.【分析】（1）求出导函数 fx，利用导数与函数单调性的关系，判断 f x的单调性，从而即可求解；（2）由（1）知 f x在0,a上单减，在,a 上单增，不妨设120 xax，构造函数 2g xf xfax，0,xa，从而即可证明.【详解】(1)解：f x的定义域是0,，afxxx，当0

23、xa时，0fx，f x单调递减；当xa时，0fx，f x单调递增，所以当xa时，f x有极小值，极小值为 lnfaaaa，没有极大值；(2)证明：由（1）知 f x在0,a上单减，在,a 上单增，不妨设120 xax，令 2g xf xfax，0,xa，因为 2gxfxfax，所以 22222axxaaxgxfxfaxxaxxax，当0 xa时，0gx，g x单调递减；所以 g x在0,a上单调递减，所以 0g xg a，即当0 xa时，第 13 页 共 14 页 2f xfax，由题意 2112f xf xfax，2xa，12axa，且 f x在,a 上单调递增，所以212xax，即122x

24、xa【点睛】关键点点睛：本题（2）问证明的关键是：构造函数 2g xf xfax，0,xa，从而利用导数可得 g x在0,a上单调递减，则 0g xg a.22已知函数 21ln112f xxaxa xaR(1)讨论函数 f x的单调性；(2)当1a 时，求证：21e12ln2xf xxxx【答案】(1)当0a 时，f x在0,上为单调递增；当0a 时，f x在0,a上为单调递减，在,a 上为单调递增.(2)证明见见解析.【分析】（1）求出函数的导数，通过对a分类讨论，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证明eln10 xxxx 成立，构造函数令 eln1xg xxxx 0 x，通过二次求

25、导求出函数的最小值即可得证.【详解】(1)由已知条件得函数 f x的定义域为0,，2111xa xaxaxafxxaxxx，因为0,10 xx 当0a 时，0fx在0,上恒成立，故 f x在0,上为单调递增.当0a 时，当xa时，0fx，当0,a时，0fx 故 f x在0,a上为单调递减，在,a 上为单调递增；综上所述：当0a 时，f x在0,上为单调递增 当0a 时，f x在0,a上为单调递减，在,a 上为单调递增(2)当1a 时，21n12lf xxx 要证原式成立，需证ln1e1xxx 成立，第 14 页 共 14 页 即需证eln10 xxxx 成立，令 eln10 xg xxxxx，

26、则 1ee1xxgxxx11exxx，令 1exu xx，则 21e0 xuxx，故 u x在0,上单调递增，1e202u，1e 10u ，由零点存在性定理可知，存在0 x使 00u x，则在00,x上 0u x，在0,x 上 0u x，即在00,x上 0gx，在0,x 上 0g x，则 g x在00,x上单调递减，在0,x 单调递增，在0 xx处取得最小值，由 00u x可得 0001e0 xu xx，即00e1xx，两边同取对数00ln eln1xx，即00ln0 xx，g x的最小值为 00000eln10 xg xxxx，即eln10 xxxx 成立，故当0a 时，21()(e1)2xf xxx成立.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数讨论函数的单调性，利用导数证明不等式.解答本题的关键是构造函数 eln10 xg xxxxx，分析其单调性，得出其最小值，从而得出函数在在0 xx处取得最小值，而0 x满足00e1xx，两边同取对数得00ln0 xx，从而得出最小值为 0，从而得证.属于难题.