2022-2023学年河北省张家口市高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 19 页 2022-2023 学年河北省张家口市高二上学期期末数学试题 一、单选题 1已知两条直线1:5210 lxy和2:320laxy相互垂直，则a（）A152 B215 C65 D65【答案】D【分析】利用两条直线垂直的充要条件，建立方程，即可求出 a的值.【详解】两条直线1:5210 lxy和2:320laxy相互垂直，则560a，解得65a.故选：D 2若点2,4在抛物线220ypx p上，则抛物线的准线方程为（）A4x B2x C=1x D4y 【答案】B【分析】先将点代入抛物线得到抛物线的方程，即可得到准线方程【详解】因为点2,4在抛物线220ypx p上，所以2

2、44p，解得4p，故抛物线为28yx，故其准线方程为：2x 故选：B 3椭圆22:15030 xyC的离心率为（）A105 B22 C55 D2 25【答案】A【分析】先由椭圆的标准方程求得,a c，再求得椭圆的离心率即可.【详解】因为椭圆22:15030 xyC，所以2250,30ab，则22220cab，又0,0ac，所以5 2a，2 5c，所以椭圆的离心率为2 51055 2cea.第 2 页 共 19 页 故选：A.4 已知圆221:4690Cxyxy与圆222:119Cxy，则圆1C与圆2C的位置关系为（）A相交 B外切 C外离 D内含【答案】B【分析】确定两圆的圆心和半径，由圆心间

3、的距离与半径的关系即可得解.【详解】圆221:4690Cxyxy化成标准方程为22234xy，圆心12,3C，半径为12r，圆222:119Cxy，圆心21,1C，半径为23r，2212122 13 15C Crr，圆1C与圆2C的位置关系为外切，故选：B 5 已知正方体1111ABCDABC D的棱长为3，,E F分别在1,DB AB上，且12,2BEED AFFB，则EF（）A3 B2 2 C2 3 D4【答案】A【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合条件求得,E F的坐标，再利用空间向量的模的坐标表示即可得解.【详解】依题意，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则10,0,

4、0,3,0,0,3,3,0,3,3,3DABB，因为12,2BEED AFFB，所以1,1,0,3,2,2EF，所以2,1,2EF，故4 143EF .故选：A.6已知三角形数表：第 3 页 共 19 页 现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列 na，则100a（）A73 B83 C93 D103【答案】B【分析】根据数表，先判断第 100 个数字在第几行的第几个数，再代入通项，即可求解.【详解】第一行有 1 个数，第二行有 2 个数，第n行有n个数，所有11002nn中，n的最大值是 13，前13行共有131 13912个数，第 100 个数字在第 14 行的第 9 个数，根据通项13

5、k可知，第 9 个数是9 1833，即81003a.故选：B 7已知0 xy，则22222222xyxyxy的最小值为（）A5 B2 2 C10 D2 5【答案】C【分析】设点(,)P x y为直线0 xy上的动点，题意可转化成求(,)P x y与 1,1的距离和(,)P x y与2,0的距离之和的最小值，求出1(1)M，关于直线0 xy的对称点)1(1M，故PMPNPMPNMN10，即可求出答案【详解】设点(,)P x y为直线0 xy上的动点，由222222222222112xyxyxyxyxy可看作(,)P x y与 1,1的距离和(,)P x y与2,0的距离之和，第 4 页 共 19

6、 页 设点 1,12,0MN，则点1,1M 为点1(1)M，关于直线0 xy的对称点，故PMPM，且22(2 1)(01)10M N，所以2222112xyPxMyPN PMPNMN10，当且仅当,P M N三点共线时，取等号，所以22222222xyxyxy的最小值为10.故选：C 8已知 na为等比数列，583aa，6718 a a，则211aa（）A3 B9 C212 D212【答案】C【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211aa.【详解】因为 na为等比数列，所以675818a aa a，又583aa,可解得5863

7、aa 或5836aa，设等比数列 na的公比为q,则 当5863aa 时,38512aqa,3521183612131222aaaa qq ；当5836aa 时,3852aqa,35211833216222aaaa qq .故选：C 第 5 页 共 19 页 二、多选题 9下列选项正确的有（）A002xxyy表示过点00,P x y，且斜率为 2 的直线 B2,1a 是直线240 xy的一个方向向量 C以4,1A，1,2B为直径的圆的方程为 41120 xxyy D直线1211 40Rmxmymm 恒过点2,1【答案】BCD【分析】根据直线和圆的性质，逐个判断每个选项.【详解】A 选项：方程0

8、02xxyy，0yy，点00,P x y不在直线上，A 选项错误；B 选项：因为直线240 xy的斜率为12，所以(2,1)a 是直线240 xy的一个方向向量，B选项正确；C 选项：设()M xy，是所求圆上任意一点，则 AMBM，因为()41AMxy，()12BMxy，所以(4)(1)(1)20AM BMxxyy，即所求圆的方程为(4)(1)(1)20 xxyy，C 选项正确；D 选项：直线方程化为)R(2410m xyxym，由 24010 xyxy，解得 21xy，所以直线恒过定点2,1，D 选项正确.故选：BCD 10已知nS为等差数列 na的前n项和，910110aaa，9120a

9、a，则下列选项正确的有（）A数列 na是单调递增数列 B当10n 时，nS最大 C19200SS D20210SS【答案】BC【分析】通过等差数列的性质可得到100a，110a，故得到0d，然后利用等差数列的特征和求和公式即可判断每个选项【详解】对于 A，设 na的公差为d，因为910111030aaaa，所以100a，第 6 页 共 19 页 又91210110aaaa，所以11100aad，故0d，所以数列 na是单调递减数列，所以 A 错误；对于 B，因为0d，所以12345678910110naaaaaaaaaaaa，所以当10n 时，nS最大，所以 B 正确；对于 CD，因为1191

10、01919()19 2022aaaS，12010112020()20()022aaaaS，121112121()21 2022aaaS，所以19200SS，20210SS，所以 C 正确，D 错误 故选：BC 11已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为34，12,F F是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，12FPF的周长为14，则下列选项正确的有（）A椭圆C的方程为221167xy B1216PFPF C12FPF内切圆的面积S的最大值为 D121cos8FPF 【答案】ABD【分析】由椭圆焦点三角形周长为2214ac和离心率34ca可构造方程组求得,a c，由椭圆,a b c关

11、系可得2b，进而确定椭圆方程，知 A 正确；利用基本不等式和椭圆定义可求得 B 正确；利用面积桥可知当P为椭圆C短轴端点时，12FPF内切圆的半径最大，由此可求得半径的最大值，确定 C 错误；若12cosFPF最小，则12FPF最大，可知当P为椭圆C短轴端点时12FPF最大，利用余弦定理可确定 D 正确.【详解】对于 A，12F PF的周长为2214ac，7ac，又离心率34cea，4a，3c，2227bac，椭圆C的方程为221167xy，A 正确；对于 B，212212162PFPFPFPFa（当且仅当124PFPF，即P为椭圆C短轴端点时取等号），B 正确；第 7 页 共 19 页 对于

12、 C，设12FPF内切圆的半径为r，则1211472F PFSrr；当P为椭圆C短轴端点时，1212max13 72F PFSFFbbc，max3 77r，12FPF内切圆面积S的最大值为23 7977，C 错误；对于 D，当P为椭圆C短轴端点时，12FPF取得最大值，此时12cosFPF取得最小值，P为椭圆C短轴端点时，124PFPF，126FF，222121212121616361cos2328PFPFFFFPFPFPF，当P为椭圆C上的动点时，121cos8 FPF，D 正确.故选：ABD.12在长方体1111ABCDABC D中，12 2,2AAABAD，M为棱DC的中点，点P满足1B

13、PBCBB，其中 ,0,10,1，则下列结论正确的有（）A当11,22时，异面直线AP与1DB所成角的余弦值为3 714 B当12时，1APDC C当12时，有且仅有一个点P，使得1APD P D当1时，存在点P，使得1APMC【答案】AB【分析】首先根据,的值，确定点P的位置，再利用空间向量的垂直和线线角的坐标运算，即可判断选项.【详解】A.当11,22时，11122BPBCBB，此时点P是1BC与1BC的交点，如图，建立空间直角坐标系，2,0,0A，1,2,2P，0,0,0D，12,2,2 2B，1,2,2AP ，12,2,2 2DB，所以11163 7cos,1474AP DBAP DB

14、AP DB，故 A 正确；第 8 页 共 19 页 B.当12时，112BPBCBB，此时，点P在线段EF上，（,E F分别是棱11,BB CC的中点），此时，10,0,2 2D，0,2,0C，,2,2,02P xx，2,2,2APx，10,2,2 2DC，所以1202 222 20AP DCx 恒成立，所以当12时，有1APDC，故 B 正确；C.当12时，112BPBCBB，此时点P在线段HS上，（,H S分别是1 1,BC BC的中点），1,2,02 2Pzz，1,2,APz，11,2,2 2D Pz，当1APD P时，有1142 20AP D Pz z ，即22 230zz，0，所以方

15、程无解，不存在点P使1APD P，故 C 错误；第 9 页 共 19 页 D.当1时，1BPBCBB，此时点P在线段1CC上，0,2,Pz,0,1,0M，10,2,2 2C，10,1,2 2MC，2,2,APz，022z，若1MCAP，则122 20MCAPz，解得：22z ，不成立，所以不存在点P，使得1APMC，故 D 错误.故选：AB 三、填空题 13已知空间向量3,2,2,8ab，ab，则 ab _【答案】58【分析】运用空间向量共线的坐标运算与数量积的坐标运算可得结果.【详解】(3,2,)a，(2,8)b，/a b 存在实数 t使得atb，3(2)42182tttt (3,2,4)a

16、，(6,4,8)b 3(6)2(4)(4)858 a b 故答案为：58.14已知点F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左焦点，过点F作倾斜角为 60的直线l，直线l与双曲线C有唯一交点P，且6FP，则双曲线C的方程为_【答案】2211648xy【分析】根据题意得3ba，2ca，由6FP，得32,3 3Pa，代入方程解决即可.第 10 页 共 19 页【详解】由题知，因为点F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左焦点，过点F作倾斜角为 60的直线l，直线l与双曲线C有唯一交点P，所以直线l与渐近线平行，所以tan603ba，即3ba，2ca 所以双曲线为222213xya

17、a，因为6FP，所以3,3 3PPxc y，即32,3 3Pa，所以222322713aaa，解得4a，或0a（舍去），所以4 3,8bc，所以双曲线C的方程为2211648xy，故答案为：2211648xy.15已知数列 na满足1211,232naannn，nS为数列 na的前n项和，nS恒成立，则的最小值为_【答案】43【分析】利用裂项求和法求得nS，注意1n 时的特殊情况，从而利用恒成立问题的解法求解即可.【详解】因为1211,232naannn，当1n 时，111Sa，又当2n时，21111321212nannnnnn，所以1111114141344512323nSnnn，因为nS恒

18、成立，第 11 页 共 19 页 所以43，即的最小值为43.故答案为：43.16过点2,1P作圆22:2410 E xyxy的两条切线，切点分别为,A B，则直线AB的方程为_【答案】310 xy【分析】先求出2,1P为圆心，PAPB为半径的圆的方程，再利用两圆的公共弦所在直线方程求解.【详解】圆22:(1)(2)6Exy，所以圆心为(1,2)E，半径6r，221310PE,所以切线长222PAPBPEr，以2,1P为圆心，2PAPB为半径的圆的方程为：22(2)(1)4xy，直线AB为圆22:(1)(2)6Exy与圆22(2)(1)4xy的公共弦，所以由2222(1)(2)6(2)(1)4

19、xyxy得310 xy.故答案为:310 xy.四、解答题 17已知nS为等差数列 na的前n项和，若8216,0aS(1)求数列 na的通项公式；(2)求数列 na的前 50 项和50T【答案】(1)222nan (2)1670 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与前n项和公式求得基本量1,a d，从而得解；（2）结合（1）中结论，判断na的正负情况，从而利用分组求和法即可得解.第 12 页 共 19 页【详解】（1）设等差数列 na的首项为1a，公差为d，因为82160aS，所以117621 202102adad，即1176100adad，解得1202ad，所以 2012222nann

20、.（2）由（1）得222nan，令2220nan，解得11n，所以当11n时，0na，则nnaa；当11n 时，0na，则nnaa；所以5012501211121350Taaaaaaaaa 121112111213502 aaaaaaaaa 11502SS11 100 49211 2025020222 22014501670.18已知直线:1l ykx与圆22:239Exy交于,A B两点(1)当AB最大时，求直线l的方程；(2)若0,1D，证明：DA DB为定值【答案】(1)21yx(2)证明见解析 【分析】（1）当AB最大时，直线l过圆心，代入圆心坐标可求直线l的方程；（2）直线与圆联立方

21、程组，利用韦达定理证明DA DB为定值【详解】（1）当AB最大时，AB为直径，即直线l过圆心，把圆心2,3E代入直线l的方程，有321k，解得2k，直线l的方程为21yx.（2）证明：设11(,)A x y，22,B xy，由题意知 k存在，由221239ykxxy，得22(184110)kxkx 所以 122841kxxk，122111x xk，且22844410kk，第 13 页 共 19 页 因为 11221212(1,1),11DA DBx yxyx xyy，111ykx，221ykx，所以 212(1)11DA DBkx x，即DA DB为定值.19“十三五”期间，依靠不断增强的综合

22、国力和自主创新能力，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用，下图是我国的一座抛物线拱形拉索大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为 64 米，拱形最高点与桥面的距离为 32 米 (1)求该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距（焦点到准线的距离）(2)已知直线m是抛物线的对称轴，Q为直线m与水面的交点，P为抛物线上一点，,O F分别为抛物线的顶点和焦点若PFm，POPQ，求桥面与水面的距离【答案】(1)16 米(2)8 米 【分析】（1）根据题意设抛物线的方程并求得16p，进而可得结果；（2）先求,O F的坐标，再设,P Q的坐标，根据PFm，POPQ建立关系，

23、运算求解，进而可得结果.【详解】（1）如图建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为220 xpy p，由题意可知：抛物线过点32,32，代入得232232p ，解得16p，故焦准距为16p（米）（2）由（1）可得：抛物线的方程为232xy，则其焦点0,8F，顶点0,0O，设2,0,32nP nQt，PFm，则2832n，2256n，即,8P n，第 14 页 共 19 页 又,8,8nQOPntP，且POPQ，2880nt ，解得40t ，故桥面与水面的距离为40328（米）20已知数列 na满足12a，12,2,nnnanaa n为奇数为偶数，21nnba(1)求数列 nb的通项公式；(2)求数

24、列nnb的前n项和nS【答案】(1)3 24nnb (2)12(33)2226nnSnnn 【分析】（1）通过题意可得到4nb 是等比数列，然后求其首项和公比，即可求得答案；（2）利用错位相减法和分组求和法即可求解【详解】（1）由21nnba，得111212nnbaba，又*22121222kkkkaaaakN，故2121212(2)24kkkaaa，所以124kkbb，即124nnbb，故142.4nnbb 又146b，所以数列4nb 是以 6 为首项，2 为公比的等比数列，所以14623 2nnnb，故数列 nb的通项公式为3 24nnb （2）324nnnbnn 第 15 页 共 19

25、页 设2nncn，其前 n 项和为nT，则21 2222nnTn，23121 2222nnTn，所以2311112 1 22222222221 2nnnnnnnTnnn ，所以1(1)22nnTn，所以34(12)nnSTn112(1)3(1)264(33)22262nnn nnnnn 21如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是边长为4的正方形，平面ADP 平面ABCD，2PD，2 7PB (1)求证：AP平面CDP；(2)若点E在线段AC上，直线PE与直线DC所成的角为4，求平面PDE与平面PAC夹角的余弦值 【答案】(1)证明见解析(2)10535 【分析】（1）根据面面垂直性质可证

26、得AB平面ADP，则ABAP，利用勾股定理可证得APPD，结合APCD，由线面垂直的判定可得结论；（2）作POAD，垂足为O，作/OF CD，则以O为坐标原点可建立空间直角坐标系，设01AEAC，根据线线角的向量求法可构造方程求得12，利用面面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）四边形ABCD为正方形，ABAD，又平面ADP 平面ABCD，平面ADP 平面ABCDAD，AB平面ABCD，AB平面ADP，又AP平面ADP，ABAP，第 16 页 共 19 页 222 3APPBAB，22216APPDAD，APPD；/AB CD，APCD，又PDCDD，,PD CD 平面CDP，AP平面CDP

27、.（2）作POAD，垂足为O，作/OF CD，交BC于F，平面ADP 平面ABCD，平面ADP 平面ABCDAD，PO平面ADP，PO平面ABCD，由（1）知：APCD，2 3AP，2PD，6PAD，132POAP，332AOAP，1OD，以O为坐标原点，,OA OF OP正方向为,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则0,0,3P，1,0,0D，1,4,0C，3,0,0A，0,4,0DC，3,0,3PA，4,4,0AC ，1,0,3DP，设01AEAC，则4,4,0AE，34,4,3PEPAAE，22162cos,2434163PE DCPE DCPEDC，解得：12，1,2,3PE

28、，设平面PDE的法向量,nx y z，则30230DP nxzPE nxyz，令1z，解得：3x ，3y，3,3,1n；设平面PAC的法向量,ma b c，则330440PA macAC mab，令1a，解得：1b，3c，1,1,3m；第 17 页 共 19 页 3105cos,3575m nm nmn，即平面PDE与平面PAC夹角的余弦值为10535.22已知一动圆与圆22:318Exy外切，与圆22:32Fxy内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程(2)已知点P在曲线C上，斜率为k的直线l与曲线C交于,A B两点（异于点P）记直线PA和直线PB的斜率分别为1k，2k，从下面、

29、中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立 4,1P；120kk；12k 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分【答案】(1)2218xy2 2x (2)证明见解析 【分析】（1）利用两圆位置关系得到3 2,2MErMFr，从而得到4 26MEMFEF，再利用双曲线的定义即可得到曲线C的方程；（2）依次选择其中两个作为已知条件，联立直线与曲线C的方程，结合韦达定理得到关于12,k kk m的表达式，从而得证.【详解】（1）依题意，设动圆的圆心为,M x y，半径为 r，因为该动圆与圆22:318Exy外切，与圆22:32Fxy内切，此处要特别注意圆F在圆M的内部与圆M相切，否则圆M无法

30、与圆E外切，所以3 2,2MErMFr，3,0,3,0EF，所以4 26MEMFEF，由双曲线定义可知，M 的轨迹是以 E，F为焦点，实轴长为 42的双曲线的右支，所以 2a42，2c6，即 a22，c3，所以 b2c2a21，所以曲线 C的方程为2218xy2 2x.第 18 页 共 19 页.（2）选择：设直线 l：ykxm，A11(,)x y，B22(,)xy，联立2218ykxmxy，消去y，得2(1 8)kx216mkx8m280，所以 x1x221681mkk，x1x2228881mk，因为4,1P，k1k20，所以2214yx1114yx0，即12(4)(1)xkxm21(4)(

31、1)xkxm0，即 2kx1x212(14)()mkxx 8(1)m0，所以 2k228881mk216(1 4)()81mkmkk 8(1)m0，化简得 8k22k1m(21)k0，即(21)(41)kkm 0，所以12k 或 m14k，当 m14k时，直线 l：ykxmk(4)x1 过点 P(4,1)，不满足题意，舍去；当12k 时，由于曲线C是双曲线2218xy的右支，易知0m，又由2(1 8)kx216mkx8m280 得228880 xmxm，此时0，则22644 880mm，解得21m，故1m，即1m时，12k 满足题意，综上：12k ，所以成立.选择：设直线 l：y12xm，A1

32、1(,)x y，B22(,)xy，第 19 页 共 19 页 联立221218yxmxy，消去y，得228880 xmxm，所以 x1x28m，x1x28m28，由第 1 种选择可知1m且0，此处不再详细说明，所以 k1k22214yx1114yx221124xmx111124xmx 1234mx134mx1121212(3)(8)4()16mxxx xxx 12(3)(88)884 816mmmm 0，所以成立.选择：设直线 l：y12xm，A11(,)x y，B22(,)xy，P(x0，y0)，联立221218yxmxy，消去y，得228880 xmxm，所以 x1x28m，x1x28m2

33、8，由第 1 种选择可知1m且0，此处不再详细说明，由 k1k22020yyxx1010yyxx202012xmyxx101012xmyxx0，得10201()()2xxxmy20101()()2xxxmy0，即x1x200121()()2myxxx2x00()my0，所以8m288m001()2myx2x00()my0，故 2m00(4)xy2x0y080，由于m的任意性，所以0040 xy，00280 x y，解得04x ，又02 2x，所以04x，则01y，满足2218xy，所以 P(4,1)，成立.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.