2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学(理)试题(解析版).pdf

《2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学(理)试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学(理)试题(解析版).pdf（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 1 页 共 16 页 2021-2022 学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题 1已知2 iz ，则zz（）A34i55 B34i55 C1 D41i3【答案】B【分析】利用复数的除法运算直接求解.【详解】因为2 iz ，所以2i2i2i34i2i2i2i55zz.故选：B 2已知命题p:1cos22，命题q:.3kkZ，则p是q的（）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充分必要 D既不充分也不必要【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：若1cos22，则222,Z3kk或422,Z3kk，即,Z3kk或2,Z3kk，所以p是q的必

2、要不充分条件 故选：B 3设抛物线 C:22ypx的焦点为F，准线为lP是抛物线 C上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线（）A经过点P B经过点O C平行于直线OP D垂直于直线OP【答案】A【分析】依据题意作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ的垂直平分线经过点P，即可求解.【详解】如图所示：第 2 页 共 16 页 因为线段FQ的垂直平分线上的点到,F Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，PQPF，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选：A.4 己知命题2:,2npnN n；命题|:,e1 Rxqx，则下列命题中为

3、假命题的是（）Apq Bpq Cpq Dpq【答案】A【分析】根据或且非命题的真假进行判断即可.【详解】当233,32n,故命题2:,2npnN n 是真命题，0,e1xx，故命题|:,e1 Rxqx是真命题.因此可知pq是假命题，pq 是真命题，pq，pq均为真命题.故选:A 5有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A13 B12 C23 D34【答案】A【详解】每个同学参加的情形都有 3 种，故两个同学参加一组的情形有 9 种，而参加同一组的情形只有 3 种，所求的概率为 p=3193选 A 6设函

4、数 1xf xx，则下列函数中为奇函数的是（）A11f x B11f x C11f x D11f x【答案】A【分析】求出函数 f x图象的对称中心，结合函数图象平移变换可得结果.【详解】因为 1 111111xxfxxxx ，第 3 页 共 16 页 所以，112112121f xfxxx ，所以，函数 f x图象的对称中心为1,1，将函数 f x的图象向右平移1个单位，再将所得图象向下平移1个单位长度，可得到奇函数的图象，即函数11f x为奇函数.故选：A.7观察2()2xx，43()4xx，(cos)sinxx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数()f x满足()()fxf x，记()g

5、 x为()f x的导函数，则()gx=A()f x B()f x C()g x D()g x【答案】D【详解】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x是偶函数，则()()g xfx是奇函数，所以()()gxg x，应选答案 D 8若关于 x 的方程13log32xax有解，则实数 a的取值范围为（）A4,)B(4,)C6,)D(6,)【答案】C【分析】将方程13log32xax有解，转化为方程233xxa有解求解.【详解】解：因为方程13log32xax有解，所以方程233xxa有解，因为29932633333xxxxxx，当且仅当933xx，即1x 时，等号成立，所以实数 a 的取

6、值范围为6,)，故选：C 9如图，点 A的坐标为(1,0)，点 C 的坐标为(2,4)，函数2()f xx，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）第 4 页 共 16 页 A512 B49 C712 D37【答案】A【分析】分别由矩形面积公式与微积分的几何意义计算阴影部分和矩形部分的面积，最后由几何概型概率计算公式计算即可.【详解】由已知，矩形的面积为 4，阴影部分的面积为123233121115444 224 113333xdxxx ，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于553412P，故选：A 10ABC的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若

7、2sinsincos2aABbAa，则ab（）A32 B2 C3 D22【答案】D【分析】利用正弦定理边化角，角化边计算即可.【详解】由正弦定理边化角得22sinsinsincos2sinABBAA，22sincossinsin2sinAABBA，再由正弦定理角化边得2ba，即22ab 故选：D.11已知 f x是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数1x、2x都有 2112120 x f xx f xxx，记0.20.24.14.1fa，2.12.10.40.4fb，0.20.2log4.1log4.1fc，则（）Aacb Babc Ccba Dbca【答案】A 第 5 页 共 16 页

8、【分析】由题，可得()()f xg xx是定义在(,0)(0,)上的偶函数，且在(0,)上单调递减，在(,0)上单调递增，根据函数的单调性，即可判断出,a b c的大小关系.【详解】设120 xx，由题，得 21120 x f xx f x，即 1212f xf xxx，所以函数()()f xg xx在(0,)上单调递减，因为()f x是定义在 R上的奇函数，所以()g x是定义在(,0)(0,)上的偶函数，因此0.20.20.24.14.1(1)4.1fagg，2.12.122.10.40.40.4(0.5)0.4fbggg，0.20.250.2log4.1log4.1log 4.1(1),

9、(0.5)log4.1fcgggg，即acb.故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的单调性判断大小的问题，其中涉及到构造函数的运用.12己知 F 为抛物线2:6Cyx的焦点，过 F作两条互相垂直的直线1l，2l，直线1l与 C交于 A、B两点，直线2l与 C交于 D、E两点，则|ABDE的最小值为（）A24 B22 C20 D16【答案】A【分析】由抛物线的性质：过焦点的弦长公式212(1)ABpk计算可得.【详解】设直线1l，2l的斜率分别为12,k k，由抛物线的性质可得2211112(1)6(1)ABpkk，2222112(1)6(1)DEpkk，所以222212121111|6(1)6

10、(1)126ABDEkkkk（），又因为12ll，所以121kk，所以2211221111|126126 224ABDEkkkk（），故选：A.第 6 页 共 16 页 13已知函数2()lnf xxxax有两个极值点 m，n，且1,2m，则()()f mf n的最大值为（）A2ln23 B2ln23 C3ln24 D3ln24【答案】C【分析】对()f x求导得()fx，得到 m，n 是2210 xax 两个根，由根与系数的关系可得 m，n 的关系，然后构造函数，利用导数求单调性，进而得最值.【详解】由2()lnf xxxax得：2121()2xaxfxxaxx m，n 是2210 xax

11、两个根，由根与系数的关系得：1,22amnmn，故12nm 22222221()()lnlnlnln24mf mf nmmamnnanmnmmnm，令 2,1,4xm x 记1()ln2,1,44g xxx xx，则22222211141 4()10444xxxg xxxxx ，故()g x在1,4x上单调递减.max311n24g xg 故选：C 14已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，过点1F且斜率为247的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若1212()0FFF AF A，则双曲线C的离心率是（）A43 B53 C32 D2【答案】B【分析】根据1

12、212()0FFF AF A得到三角形12AF F为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到2AF，设12AF F，进而作12FMAF，得出4sin225acc，由此求出结果【详解】因为 1212()0FFF AF A，所以221211121120FFF AF AFFF AFF，即112F AFF 所以1122AFFFc，第 7 页 共 16 页 由双曲线的定义，知222AFac，设12AF F，则24tan7，易得71 cos4cos,sin25225，如图，作12FMAF，M为垂足，则sin22acc，所以425acc，即53ca，即双曲线C的离心率为53.故选：B 二、填空题 15我国是世界

13、上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0，0.5），0.5，1），4，4.5）分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图，则 a=_ 【答案】0.3310【分析】由频率之和等于 1，即矩形面积之和为 1 可得.【详解】由题知，0.50.080.160.40.520.120.080.041aa 第 8 页 共 16 页 解得0.3a.故答案为：0.3 16若23abm，且112ab，则m _【答案】6【分析】由23abm，可得2logam，3logbm，0m，从而利用换底公式及对数

14、的运算性质即可求解.【详解】解：因为23abm，所以2logam，3logbm，0m，又112ab，所以2311log 2log 3log232loglo1g1mmmabmm，所以26m，所以6m，故答案为：6.17用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有_个（用数字作答）【答案】504【分析】分两种情况求解，一是四个数字中没有奇数，二是四个数字中有一个奇数，然后根据分类加法原理可求得结果【详解】当四个数字中没有奇数时，则这样的四位数有44A24种，当四个数字中有一个奇数时，则从 5 个奇数中选一个奇数，再从 4 个偶数中

15、选 3 个数，然后对这 4 个数排列即可，所以有134544C C A5 424480 种，所以由分类加法原理可得共有24480504种，故答案为：504 18 空间四边形OABC中，8OA，6AB，4AC，5BC，45OAC，60OAB，则OA与BC所成角的余弦值等于_【答案】32 25【分析】计算出OA BC的值，利用空间向量的数量积可得出cos,OA BC的值，即可得解.【详解】2cos12040OA OBOAOAABOAOAAB，2cos1356416 2OA OCOAOAACOAOAAC，第 9 页 共 16 页 所以，64 16 24024 16 2OA BCOAOCOBOA OC

16、OA OB，所以，24 16 232 2cos,8 55OA BCOA BCOABC.所以，OA与BC所成角的余弦值为32 25.故答案为：32 25.19数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1C xyx y 就是其中之一（如图）给出下列三个结论：其中，所有正确结论的序号是_ 曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过2；曲线 C 所围城的“心形”区域的面积小于 3 【答案】【分析】根据题意，先判断曲线C关于y轴对称，由基本不等式的性质对方程变形，得到222xy，可判定正确；当0 x 时，222xy，得到曲线C右侧部分的点到

17、原点的距离都不超过2，再根据曲线C的对称性，可判定正确；由x轴的上方，图形的面积大于四点围成的矩形的面积，在x轴的下方，图形的面积大于三点围成的三角形的面积，可判断不正确.【详解】根据题意，曲线22:1C xyx y，用(,)x y替换曲线方程中的(,)x y，方程不变，所以曲线C关于y轴对称，对于中，当0 x 时，221xyx y，即为2222:112xyC xyxy ，可得222xy，所以曲线经过点(0,1),(0,1),(1,0),(1,1)，再根据对称性可知，曲线还经过点(1,0),(1,1)，故曲线恰好经过 6 个整点，所以正确；对于中，由可知，当0 x 时，222xy，即曲线C右侧

18、部分的点到原点的距离都第 10 页 共 16 页 不超过2，再根据曲线C的对称性可知，曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2，所以正确；对于中，因为在x轴的上方，图形的面积大于四点(1,0),(1,0),(1,1),(1,1)围成的矩形的面积1 22，在x轴的下方，图形的面积大于三点(1,0),(1,0),(0,1)围成的三角形的面积12 1 12 ，所以曲线C所围城的“心形”区域的面积大于 3，所以不正确.故选：20已知函数3()23f xxx，若过点1,1Mm存在三条直线与曲线()yf x相切，则m的取值范围为_【答案】2,0【分析】设过 M的切线切点为,)x f x，求出切线方程，参变分

19、离得32462xxm，令 3246g xxx，则原问题等价于 y=g(x)与 y=-m-2 的图像有三个交点，根据导数研究 g(x)的图像即可求出 m的范围【详解】263fxx，设过点1,1Mm的直线与曲线 yf x相切于点3,23xxx，则32231631xxmxx，化简得，32462xxm，令 3246g xxx，则过点1,1Mm存在三条直线与曲线()yf x相切等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点 121gxx x，故当 x1 时，0g x，g(x)单调递增；当 0 x1 时，0gx，g(x)单调递减，又 00g，12g，g(x)如图，第 11 页 共 16 页 -2-m-2

20、0，即2,0m 故答案为：2,0 三、解答题 21设nS为数列 na的前 n 项和，且满足12nnSn aa(1)求证：数列 na为等差数列；(2)若35a，且125,a a a成等比数列，求数列 na的前4n项和4nS【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【分析】（1）利用给定的递推公式，结合“当2n时，1nnnSSa”变形，再利用等差中项的定义推理作答.（2）利用（1）的结论，利用等比中项的定义列式计算，再利用等差数列前 n 项和公式计算作答.【详解】(1)依题意，12nnSn aa，当2n时，有1112(1)nnSnaa，两式相减得：11(2)(1)0nnnanaa，同理可得11(

21、1)0nnnanaa，于是得11(22)(1)(1)0nnnnanana，即112nnnaaa，而当1n 时，11Sa，所以数列 na为等差数列.(2)由（1）知数列 na为等差数列，设其首项为1a，公差为 d，依题意，12111254adadaad，解得15,0ad或1a1,d 2，第 12 页 共 16 页 当15,0ad时，420nSn，当1a1,d 2时，244(41)42162nnnSnn.22如图，四棱台ABCDEFGH的底面为正方形，DH 面ABCD，112EHDHAD （1）求证：/AE平面BDG；（2）若平面BDG 平面ADHm，求直线 m 与平面BCG所成角的正弦值【答案】

22、（1）证明见解析；（2）12.【分析】（1）：连结交AC交BD于点 O，连结EG，GO，通过四棱台的性质以及给定长度证明EG AC，从而证出/AE GO，利用线面平行的判定定理可证明/AE面BDG；（2）利用线面平行的性质定理以及基本事实可证明/GO m，即求GO与平面BCG所成角的正弦值；通过条件以及面面垂直的判定定理可证明面BGD 面BCG，则OGB为GO与平面GBC所成角，利用余弦定理求出余弦值，即可求出正弦值.【详解】（1）证明：连结交AC交BD于点 O，连结EG，GO，由多面体ABCDEFGH为四棱台可知ACGE四点共面，且面ACGE面EFGHEG，面ABCD面ACGEAC，面/EF

23、GH面ACGE，/EG AC，EFGH和ABCD均为正方形，12EHAD，12EGACAO，所以AOGE为平行四边形，/AE GO，GO 面BDG，AE 面BDG，/AE平面BDG 第 13 页 共 16 页 (2)AE 面ADH，/AE平面BDG，BDG 平面ADHm，/AE m，又/AE GO，/GO m 求直线 m与平面BCG所成角可转化为求GO与平面BCG所成角，EFGH和ABCD均为正方形，112EHHDAD，且HDDC，2DGGC，2CD，DGCG，又BC 面CGHD，BCDG DG面BCG，面BGD 面BCG，由面BGD面BCGBG，设 O 在面BCG的投影为 M，则MBG，OG

24、B为GO与平面GBC所成角，由BCCG，可得6BG，又2BOOG，6223cos2262OGB 1sin2OGB，直线 m与平面GBC所成角的正弦值为12.【点睛】思路点睛：（1）找两个平面的交线，可通过两个平面的交点找到，也可利用线面平行的性质找和交线的平行直线；（2）求直线和平面所成角，过直线上一点做平面的垂线，则垂足和斜足连线与直线所成角即为直线和平面所成角.23已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的左、右焦点为1F，2F，122FF，离心率e为12（1）求椭圆C的标准方程 第 14 页 共 16 页（2）C的左顶点为A，过右焦点2F的直线l交椭圆C于D，E两点，记直线l，AD，AE

25、的斜率分别为k，1k，2k，求证：21221bk kka a 【答案】（1）22143xy；（2）证明见解析【分析】(1)由122FF 可求出1c，结合离心率可知2a，进而可求出3b，即可求出标准方程.(2)由题意知2,0A，21,0F，则由直线的点斜式方程可得直线DE的解析式为1yk x，与椭圆进行联立，设11,D x y，22,E x y，结合韦达定理可得2122212283441234kxxkkx xk，从而由斜率的计算公式对12k kk进行整理化简从而可证明21221bk kka a.【详解】（1）解：因为122FF，所以1c 又因为离心率12cea，所以2a，则3b，所以椭圆C的标准

26、方程是22143xy（2）证明：由题意知，2,0A，21,0F，则直线DE的解析式为1yk x，代入椭圆方程22143xy，得22223484120kxk xk 设11,D x y，22,E x y，则2122212283441234kxxkkx xk又因为226112 3ba a ，1212120022yyk kkkxx12121122k xk xkxx21212121224224x xxxkx xxx 2236136kk，所以21221bk kka a 第 15 页 共 16 页 【点睛】关键点睛:本题第二问的关键是联立直线和椭圆的方程后，结合韦达定理，用k表示交点横坐标的和与积，从而代入

27、12k kk进行整理化简.24函数 ln1f xxax，1xg xe.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）若 f xg x在0,x上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）,2.【分析】（1）求出函数 yf x的定义域为1,，求得 11axafxx，分0a、0a、0a 三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数 yf x的单调递增区间和递减区间；（2）构造函数 h xf xg x，由题意可知 0h xh恒成立，对实数a分2a 和2a 两种情况讨论，利用导数分析函数 yh x在区间0,上的单调性，验证 0h xh是否成立，由此可得出实数a的取值范围.【详解】（1）函数

28、 ln1f xxax的定义域为1,，1111axafxaxx.（i）当0a 时，101fxx，函数 yf x在1,上单调递增；（ii）当0a 时，令 0fx得111axaa.若0a，则11aa；若0a，则11aa.当0a 时，101fxax，函数 yf x在1,上单调递增；当0a 时，11aa xafxx，第 16 页 共 16 页 当11,axa 时，0fx，函数 yf x单调递增；当1,axa时，0fx，函数 yf x单调递减；综上，可得，当0a 时，函数 yf x在1,上单调递增；当0a 时，函数 yf x在11,aa上单调递增，在1,aa上单调递减；（2）设 ln11xh xf xg

29、xxeax，0 x，则 11xh xeax.当0 x 时，211xhxex单调递增，则 00hxh.所以，函数 yh x 在0,上单调递增，且 02h xha.当2a 时，101xh xeax，于是，函数 yh x在0,上单调递增，00h xh恒成立，符合题意；当2a 时，由于0 x，020ha，1ln01lnhaa，所以，存在00 x，使得 00h x.当00 xx时，0h x，函数 yh x单调递减；当0 xx时，0h x，函数 yh x单调递增.故 0(0)0h xh，不符合题意，综上所述，实数a的取值范围是,2.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分类讨论思想的应用，属于难题.